Approches non-probabilistes : comment modéliser l'incertain ?

Approches non-probabilistes : comment modéliser 

l’incertain ? 

Daniel BOISSIER 

Aurélie Aur lie TALON 

Fiabilité Fiabilit des Matériaux Mat riaux et des Structures 

Nantes, 26-28 26 28 mars 2008 

JFMS08 D.Boissier, A.Talon

Sommaire 

1 Incertain, imprécis, impr cis, non connaissance 

2 Sources et qualité qualit des données donn es 

3 Théorie Th orie des possibilités possibilit s et Modélisation Mod lisation par SEF 

4 Traitement des SEF 

5 Passage des statistiques aux possibilités possibilit 

6 Défuzzification fuzzification 

7 Synthèse Synth se 

JFMS08 D.Boissier, A.Talon 

2


Connaissance et non connaissance 

connaissance 

connaissance 

Ingénierie Ing nierie : domaine de la 

connaissance 


Non 

connaissance 

2

1 

Incertain, imprécis, impr cis, non connaissance 

Connaissance probabilisée probabilis e ou non 

Probabilisé Probabilis 


Non Probabilisé Probabilis 

Faible domaine probabilisable 

2


Espace de connaissance probabilisé 

probabilis 

Causes Conséquences 

Cons quences 

Données Donn es 

Echantillon 

Hypothèses Hypoth ses 

Méthodes thodes 


Incertitude 

sur la loi 

Incertitude 

sur les 

moments 

Erreurs de modélisation 

mod lisation 

2

1 

Incertain, imprécis, impr cis, non connaissance 

Domaine de la connaissance et temps 

AVANT 

POSSIBILITE QU’UN QU UN 

EVENEMENT SE SOIT PASSE 

CONNAISSANCE 

Doute réductible r ductible 


APRES 

TEMPS 

POSSIBILITE QU’UN QU UN 

EVENEMENT SE PASSE 

ALEA 

Part irréductible irr ductible 

2

Sommaire 









2


• Quantitative : 

– Dénombrement 

• Nombre de couches,de 

fissures 

– Estimateur calculé 

• F, Tassement… 

– Mesure ou estimation 

• Qd, Pl,c, … 

• Concordante 

Information 


• Qualitative : 

– déclarations d’experts et 

appréciations subjectives 

• Sol bon, compressible, 

raide,.. 

• Risque de glissement, 

liquéfaction, … 

• Moins résistant, plus mou 

• Clair, consistant 

• limon, époque,.. 

• Discordante

Modèles d’informations 

• Déterministes 

• Bases de faits, règles de production 

• Semi Probabilistes : Fractiles, Valeurs 

caractéristiques 

• Probabilistes : Lois et paramètres 

• Champs et processus aléatoires 

•Possibilistes : SEF, .. 

•Croyance : valeurs + masse de croyance 


Source 

Mesure 

Déclaration 

Savoir 


Fiabilité 

Appareil (s) 

Echantillon 

Process 

Expert (s) 

Situation 

Théorie (s) 

Biblio… 


Informativité 

Unification 

Agrégation 

2


SOURCES 

Observations et Expérimentations 

Dires d’expert 

Statistiques 

Résultats de simulation, Analyse et calcul 

- la source de cette donnée, 

QUALITE fonction de : 

- la modélisation de cette donnée sous un format possibiliste, 

- l’utilisation prévue de cette donnée : correspondance entre cette 

donnée et le problème posé, 

- informativité de cette donnée 


2

Acquisition 

Transformation 

Utilisation 

Qualité des données 

Valeurs prises par les critères 

Critères 1 2/3 1/3 0 

Modélisation C1 

Théorie 

corroborée 

Théorie non 

corroborée 


Étude 

statistique 

G E N I E C IV IL 

C l e r m o n t - F e r r a n d 

Uni ve rs i té B la is e Pas c al 

Non modélisée 

Hypothèses de modélisation C2 Très faible Faible Forte Très forte 

Données de base C3 

Plan 

d’expérience 

Retour 

d’expérience 

Estimation 

« éduquée » 

Estimation 

« non éduquée » 

Source C4 Référencée Interne Conférence Isolée 

Censure C5 Non censurée 

Partiellement 

censurée 

Censurée 

Non prise en 

compte 

Représentativité C6 Parfaite Correcte Faible Pauvre 

Correspondance d’échelles C7 Entière Correcte Faible Pauvre 

Correspondance des sollicitations C8 

Sollicitations 

identiques 

Correcte Faible Pauvre 

Entropie C9 Valeur calculée continue 

CIVIL ENGIN 

C l e r m o n t 

B l a i

Sommaire 









2

Théorie Th orie des sous ensembles flous 

Flou du Domaine d’appartenance 

d appartenance 

+ 

Théorie Th orie des possibilités possibilit 

Flou de l’Appartenance 

l Appartenance 

profils de compatibilités 

compatibilit 

fusion et masse de croyance 

(Demspter Demspter Shaffer) Shaffer 

Relation floue 

Logique floue : bases 

+ 

Flou de la relation, relation, 

SE 


2

Logique floue et incertain 

Incertitude sur la validité validit d’une une connaissance 

Je crois que ce drain a déjà d été bouché bouch 

+ 

Imprécision Impr cision sur l’é l’énonc 

noncé d’une une connaissance 

Le débit d bit du drain est important 

Incomplétude Incompl tude de données donn es 

+ 

Il manque la composition du drain nord 


2

Pascal, Bernouilli,... Bernouilli,... 

Logique floue 

Lofti Zadeh (1965, Berkeley) 

Bellman (Programmation dynamique et aide à la 

décision cision ~1980) 

A. Kauffmann (1973) RO - Intro aux SEF 

Dubois et Prade (UPS – ~1975) Théorie Th orie des 

possibilités possibilit s en info ; proba/possibilit 

proba/possibilités 

Dampster et Shafer (67,68) : théorie th orie de l’é l’évidence 

vidence 

Bouchon Meunier (~90) (commande floue) 

Yager ( 1980) (défuzzification 

( fuzzification, , aggrégation aggr gation) 

Roy B ( Analyse multicritère multicrit re et SEF) 


2

3 Théorie Th orie des possibilités possibilit s et SEF 

Un sous ensemble flou du type (L-R) est définie par cinq paramètres : 

m : valeur modale inférieure, n : valeur modale supérieure 

α : étalement à gauche, β : étalement à droite, 

noyau = valeurs les plus 

plausibles 

Notation L-R( m,n, α ,β, h) 

support = intervalle de variation 

possible 

µ 

h 

L 

noyau 

m n 

α β 

support 


R 

x 

2

hauteur : 

noyau : 

support : 

cardinalité : 

α-coupe coupe : 

SEF : définitions d finitions 

( A) 

= sup µ ( x) 

h A 

x∈X 

{ } 

( A) 

= x ∈ X µ ( x ) h( 

A) 

Noy A = 

{ > 0} 

( A) 

= x∈ 

X µ ( x) 

Supp A 

( A) 

= sup µ ( x) 

h A 

x∈X 

{ x∈ 

X µ ( ) ≥α} 

Aα A 

= x 


2

1 

0 

1 

0 

0 10 

0 10 

Différentes formes possibles 

1 

0 

1 

0 

SEF : variétés 

vari 

0 10 

0 10 


1 

0 

1 

0 

0 10 

0 10

Déclaration 

Empirisme 

Statistique 

Calcul 

SEF : Construction 

SEF 

Dires d’expert 

# Sources 

X 

Relations 

logiques 

Opérations 


VA 

Lois à priori 

Cv par défaut 

Estimations 

Fonctions de 

VA 

2

1 

0,8 

0,6 

0,4 

0,2 

0 

Valeurs jugées 

impossibles 


Valeurs jugées les 

plus vraisemblables 


possibles 



impossibles 

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 

Exemple de notation (échelle ( chelle 1 à 10) 

2

1 

0,8 

0,6 

0,4 

0,2 

0 


0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 

Distribution de possibilité possibilit déclar clarée e par l’expert l expert E2 pour 

l’indicateur indicateur « Etat des enrochements » 


2

3 Théorie Th orie des possibilités possibilit s des données donn es au modèle mod le 

Echelle d’évaluation des indicateurs 

Excellent Bon Passable Médiocre Mauvais Inacceptable 

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 

Approche déterministe : 

Approche possibiliste : 

Valeur ponctuelle 

Certitude de la valeur 

• Valeur ponctuelle 

Certitude de la valeur 

• Intervalle 

Certitude de la classe de valeurs 

• Sous-ensemble flou 

Combinaison de valeurs certaines et possibles 


Environ 

30 minutes 

Approximativement 

entre 20 et 30 minutes 

Signification 


G E N I E C IV IL 

3 Théorie Th orie des possibilités possibilit s des données donn es au modèle mod le 

Forme triangulaire Forme trapézoïdale 

Représentation 

C l e r m o n t - F e r r a n d 

Uni ve rs i té B la is e Pas c al 

Avant 30 minutes Au delà de 30 minutes 

Forme triangulaire 

ouverte à gauche 

Paramètres caractéristiques 

Forme triangulaire 

ouverte à droite 

3 : a, b et c 4 : a, b, c et d 2 : a et b 2 : a et b 

CIVIL ENGIN 

C l e r m o n t 

B l a i

Resistance 

Solicitation 

Resistance R(t) 

Solicitation S(t) 

Durée de vie d’un composant 

Failure probability 

Mean service life 

Service life distribution 

Une trajectoire… 

Des évènements 

Time 

5 

Modèle de résistance et 

de sollicitation 

PERFORMANCE 

1 

2 - 3 

Construction End of life 

1 –réalisation, 

2 – Mécanismes de dégradation, 

3 –Cinétique de dégradation, 

4 –impact des réparations, 

5 –Etats limites. 


4 

TIME

Table 

d'évaluation 

de la 

crédibilité 

des 

données 

Crédibilité des données 

Sources Durée de service 

PI BAT 150 1 0,29 

Gumpertz [25-100] 1 0,47 

ISO [70-80] 1 0,53 

Moniteur >30 ans 2 0,55 

Siemes PDF(µ=100,σ=100) 1 0,65 

Kurti [100-120] 1 0,43 

Calcul ddv [5-130] 1 0,36 

Calcul modèle [55-75] 3 0,64 

Origine des données 

Crédibilité des données 


4 

3 

2 

1 

0 

origine des données 

expérimentale 

historique 

calculée 

expert 

non expert

Valeur 

ponctuelle 

Intervalle 

Fuzzy set 

Distribution 

de 

probabilité 

Sources et Modélisation des données 

a c d b 

Format Example 

a 

a b 

a b 


a = 55 ans 

[30, 60] ans 

[10, 30, 60, 70, 1] ans 

Distribution à n paramètres 

(Ici, distribution Normale avec µ 

= 50 ans et σ = 13 ans)

Sommaire 









2

égalit galité : si et seulement si 

inclusion : si et seulement si 

union : est donné donn par : 

intersection : est donné donn par 

complément compl ment : 

produit cartésien cart sien 

projection 


Propriétés Propri s des SEF 


( x) 

µ ( x) 

∀ x ∈ X , µ A = B 

( x) 

µ ( x) 

∀ x ∈ X , µ A ≤ B 

A ∪B 

( x) = max( 

µ A( 

x) 

µ B ( x) 

) 

( ) = min( 

µ ( x) 

µ ( x) 

) 

µ , 

µ , 

A ∩B 

x A B 

( x) 

= µ ( x) 

∀x ∈ X , µ 1− 

A 

A 

2

SEF : Relations floues 

relation floue R 

Une relation floue R entre deux univers non flous de référence r rence X et Y 

est un sous-ensemble sous ensemble flou de X × Y de fonction d ’appartenance: 

appartenance: 

f R 

[ 0 1] 

: X × Y → , 

R T V A M 

T 1 0,5 0,8 0,2 

V 0,5 1 0,3 0 

A 0,2 0,7 1 0,3 

M 0,8 1 0,7 1 


2

SEF L-R L R : opérations op rations 

I :L-R( : m, n, α ,β, 1 et J : L-R( m’,n’, α’ ,β’, 1) 

Opposé Oppos – I : L-R ( -n, -m, β, α,1) 

Addition I + J : L-R ( m+m’, n+n’, α+α’, β+β’, 1) 

Soustraction I – J : L-R ( m-m’, n-n’, α+β’, β+α’, 1) 

Produit I * J ~ L-R ( m*m’, n*n’, mα’+m’α, nβ’+n’β, 1) 

Quotient I / J 

Maximum Max(I,J) 

µ m 

~ 

ax( 

I , J ) ( = ) 

Minimum Min (I,J) 

z) = 

sup x , y: 

z max( x , y min( µ I ( x), 

µ J 


( y)) 

2

Addition I (m = 2, n = 4, α = 1, β = 1) J (m’ = 4, n’ = 5, α’ = 2, β’ = 1) 

1 

0,9 

0,8 

0,7 

0,6 

0,5 

0,4 

0,3 

0,2 

0,1 

0 

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9101112131415161718192021222324252627282930 


I + J 

I 

J

Max I (m = 2, n = 4, α = 1, β = 1) J (m’ = 4, n’ = 5, α’ = 2, β’ = 1) 

1 

0,9 

0,8 

0,7 

0,6 

0,5 

0,4 

0,3 

0,2 

0,1 

0 

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9101112131415161718192021222324252627282930 


Max(I, J) 

I 

J

1 

0,8 

0,6 

0,4 

0,2 

0 

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 

1 

0,8 

0,6 

0,4 

0,2 

(a) 

0 

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 

(b) 

2 SEF : opérateur op rateur max 

1 

0,8 

0,6 

0,4 

0,2 

0 

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 

1 

0,8 

0,6 

0,4 

0,2 

0 

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 


(c) 

(d) 

2

Multiplication I (m = 2, n = 4, α = 1, β = 1) J (m’ = 4, n’ = 5, α’ = 2, β’ = 1) 

(la formule correcte) Produit I * J ~ L-R ( m*m’, n*n’, mα’+m’α, nβ’+n’β, 1) 

1 

0,9 

0,8 

0,7 

0,6 

0,5 

0,4 

0,3 

0,2 

0,1 

0 

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9101112131415161718192021222324252627282930 


Multiplication 

I 

J

1 

0,8 

0,6 

0,4 

0,2 

0 

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 

A ~ 

A ~ 

A ~ 

A ~ 

1 

2 

SEF L-R L R : comparaisons 

DC 

1 

0,8 

0,6 

0,4 

0,2 

E1−E 

2 

I i 

0 

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 

= 

S − 

S 

~ 

A 2 I 

~ ~ S 

A 1 S + ~ 

A 2 I 

~ ~ S 

A 1 S + 


~ 

I 

14, 

3 

% 

DC 

E 1 − E 2 

I i 

= 

S 

A 1 

~ 

A 1 

~ 

S 

+ S 

~ 

I 

A 2 

~ 

A 2 

~ 

− S 

~ 

I 

× 100 

2

Sommaire 









2

1 

0 

Des statistiques aux possibilités 

Modèle construit autour de la médiane (m) 

π ( x) 

10 30 120 

Inf(I) m Sup(I) 


x 

2


Modèle construit autour du mode (M) 

La distribution de possibilité π est telle que : 

Le support de π est [min, max], 

son noyau est : . 

1 

0 

π ( x) 

⎡ M + min max + M 

⎢ , 

⎣ 2 2 

10 60 120 

Inf(I) M Sup(I) 

⎤ 

⎥ 

⎦ 


x 

2


Modèle construit autour de la médiane (m) et du mode (M) 

Le support de π est [min, max], 

son noyau est :[m, M]. . 

1 

0 

π ( x) 

10 30 60 120 

Inf(I) m M Sup(I) 


x 

2

1 

0,8 

0,6 

0,4 

0,2 

0 


Modèle construit autour de la moyenne 

π 

max − moy 

max − x 

π x = 1 − 

x − moy 

x − min 

∀ x ∈ moy 

( x) = 

∀x 

∈ [ min, moy] 

( ) [ , max ] 

1 11 21 31 41 51 61 71 81 91 101 111 

moy 


2

x1, x2 et x3 à 5%, 50% et 95%, 

π 

( x ) = π ( x ) = 0, 

1 

1 

3 


Modèle construit à partir de fractiles 

et interpolations linéaires sur [min, x1], [x1, x2], [x2, x3] et [x3, max]. 

π ( x) 

et 

π 

( ) 1 x 

2 = 


x 

2


Modèle construit à partir d’une distribution statistique 

MASSON M.H., DENŒUX T. Inferring a possibility distribution 

from empirical data. Fuzzy sets and systems. 2006, Vol. 157, pp. 

319-340. 

DUBOIS D. Possibility theory and statistical reasoning. 

Computational statistics & data analysis. 2006, vol. 51, pp. 47-69. 


2

Sommaire 









2

6 Deffuzification 

Méthodes associées à la moyenne 

Moyenne de la surface 

Une partie de la moyenne de la surface 

Moyenne du support 

Moyenne du noyau 

Méthodes associées au minimum 

Méthodes associées au maximum 

Autres méthodes 


6 Deffuzification 


Moyenne du noyau 

Fonction 

d’appartenance 

1 

0 

= 

Mean of maxima ou Middle of maximum (MOM ou MeOM) 

Continuity focused choice of maxima (CFCOM) 

Center of mean (COM) 


Note de 0 à 10



Moyenne du support 

Fonction 


1 

0 

= 


Mean of support (MOS ou MeOS) 

Note de 0 à 10

6 

Fonction 


1 

0 

Défuzzification fuzzification 

Méthodes associées au minimum 


First of minima (FOM) 

First of support (FOS) 

Note de 0 à 10

6 

Fonction 


1 

0 


Moyenne de la surface 


= 


Center of gravity (COG) 

Center of area (COA) 

Extended center of area (ECOA) 

Midpoint of area (MOA) 

Weighting function of center of gravity (WFCOG) 

Maximum entropy of the WFCOF (MEWFCOG) 

Basic defuzzification distribution (BADD) 

Maximum entropy of BADD (MEWBADD) 

Generalized level set defuzzification (GLSD) 

Fuzzy mean (FM) 

Weighted fyzzy mean (WFM) 

Quality method (QM) 

Extended quality method (EQM) 

Random generation (RAGE) 

Note de 0 à 10

6 

Fonction 


1 

0 



Une partie de la moyenne de la surface 

= 


Indexed center of gravity (ICOG) 

Semi-linear defuzzification (SLIDE) 

Note de 0 à 10

Sommaire 









2

Conclusion 

Applications potentielles 

* Fiabilité, durabilité : 

-Evaluation des durées de vie, 

-Criticité des scénarios 

-Sensibilité aux imperfections 

* Aide à la décision : 

-Evaluation des performances 

-Compatibilité entre performances imprécises et 

objectifs flous 

-Classement multicritère 


1 

0,8 

0,6 

0,4 

0,4 

0,2 

Comparaison objectif flou et performance floue 

Objectif 

0 

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 

Degré d'appartenance 

1 

0,8 

0,6 

0,4 

0,2 

0,8 

0,6 

0,4 

0,2 

0 

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 

Degré de compatibilité 

JFMS08 D.Boissier, A.Talon 0,75 

1 

Performance 

0 

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 

0 3,25 0 

3,25 

0,6 

objectif Performance 

Profil de 

compatibilité 

compatibilit 

2

L’approche possibiliste 

Oblige de réfléchir sur 

- les sources de données, 

- leur qualité / leur informativité 

Relativise 

- l’importance des phénomènes 

- l’importance des modèles 

Fournit 

Conclusion 

- un couple (résultat, qualité) 

- une entrée pour l’aide à la décision 


Conclusion: 

Déterminisme, probabilisme, 

possibilisme 

Passages Probabilités / Possibilités possibles 

Approches complémentaires 

et non concurrentes 


Merci de votre attention 


Pascal, Bernouilli,... Bernouilli,... 

Logique floue 

Lofti Zadeh (1965, Berkeley) 

Bellman (Programmation dynamique et aide à la 

décision cision ~1980) 

A. Kauffmann (1973) RO - Intro aux SEF 

Dubois et Prade (UPS – ~1975) Théorie Th orie des 

possibilités possibilit s en info ; proba/possibilit 

proba/possibilités 

Dampster et Shafer (67,68) : théorie th orie de l’é l’évidence 

vidence 

Bouchon Meunier (~90) (commande floue) 

Yager ( 1980) (défuzzification 

( fuzzification, , aggrégation aggr gation) 

Roy B ( Analyse multicritère multicrit re et SEF) 


2

Approches non-probabilistes : comment modéliser l'incertain ?

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