TD n° 9 - Files d’attente

Evaluation de performances (2012-2013) {mohamed.baslam,eric.thierry}@ens-lyon.fr
TD n° 9 - Files d’attente
Exercice 1. Organisme public
Un organisme public est ouvert, chaque jour ouvrable, de 9h à 17h sans interruption. Il accueille, en moyenne,
64 usagers par jour ; un guichet unique sert à traiter le dossier de chaque usager, ceci en un temps moyen
de 2,5 minutes. Les usagers si nécessaire, font la queue dans l’ordre de leur arrivée ; même si la queue est
importante, on ne refuse aucun usager. Une étude statistique a permis de conclure que la durée aléatoire
des services suit une loi exponentielle et que le régime les arrivées des usagers forment un processus de
Poisson.
1. Donner la notation de Kendall de cette file.
2. Donner l’expression de la probabilité invariante, πk, donner la justification de son existence.
3. Quel sont les temps moyens passés : à attendre ? dans l’organisme par chaque usager ?
4. Quelles sont les probabilités qu’il n’arrive aucun client entre 15H et 16H ? Que 6 clients arrivent entre
16H et 17H ?
5. Quelle est, en moyenne et par heure, la durée pendant laquelle l’employé du guichet ne s’occupe pas
des usagers ?
6. Quelle est la probabilité d’observer une file d’attente de 4 usagers, derrière celui en cours de service ?
Solution.
1. M/M/1/∞ avec λ = 8 (clients par Heure) et µ = 24 (clients par Heure).
2. On pose a = λ
µ , soit a = 1
3 . Comme a < 1, la distribution stationnaire existe ; le probabilité qu’il ait k
clients dans le système à un instant donné est πk = (1 − a)a (formule du Poly).
3. Le temps , T , passé par un client dans le système (attente + service) suit une loin exponentiel de
paramètre µ − λ, i, e : E(T ) = 1
µ−λ
= 1
16 heur.
=⇒ le temps moyen d’attente dans la file est E(Tq ) = E(T ) − 1
µ = λ
1
µ(µ−λ) = 48 .
4. Probabilité qu’il n’arrive aucun client entre 15H et 16H. On sait que le nombre N de clients arrivant
dans le système pendant une unité de temps est une v. a. qui suit la loi de Poisson, i.e.
P(N = K ) = exp(−λ) λk
k!
Pour k = 0, on obtient P(N = 0) = exp(−8). Pour k = 6, on obtient P(N = 6) = exp(−8) 86
6! .
5. L’employé est inoccupé lorsque le système est dans l’état 0, ce qui correspond à la probabilité π0 =
1 − a = 2
3 , soit en moyenne 40 minutes par heure.
6. S’il y a quatre usagers dans la file d’attente, il y a 5 clients en tout dans le système, ce qui correspond
à la probabilité π5 = (1 − a)a 5 = 2
36 Exercice 2. Maternité
Une importante maternité accueille des femmes enceintes qui sont arrivées à terme et viennent accoucher
et donner naissance à leur bébé. L’occupation moyenne d’une salle de travail est de 6 heures pour un accouchement.
Un statisticien a déterminé que la loi d’arrivée des futures mamans dans une maternité pour
y accoucher, peut être approximée de façon satisfaisante, par une loi de Poisson, (il se présente en moyenne
24 femmes par jour) et que celle de l’occupation de la salle de travail peut l’être par une loi exponentielle.
Leurs taux respectifs valent λ et µ.
Le but est de déterminer le nombre N de salles de travail (et, par conséquent le nombre minimal de sagesfemmes
devant se trouver dans la maternité), de telle sorte que la probabilité pour que toute les salles soient
occupées soit inférieure à un centième : une femme qui arriverait dans ce cas serait dirigée vers une autre
maternité, ce que l’on désire éviter ‘a l’extrême
1
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1. Donner la valeur numérique de λ et µ.
2. Montrer que le système d’attente est un processus de naissance et de mort, comportant N + 1 états,
numérotés de 0 à N . A quoi correspondent, ici une naissance et une mort ? Donner la signification de
l’état k, exprimer λk en fonction de λ et µk en fonction de µ.
3. La probabilité pour que le système soit, en régime permanent, dans l’état k est notée πk. Calculer πk
en fonction de π0,
4. Quel est l’état pour lequel toutes les salles sont occupées ; quelle est sa probabilité ? Trouver le nombre
de salles de travail que devra comporter la clinique, de sorte que la probabilité pour qu’elles soient toutes
occupées soit inférieure à 0,01
Solution.
1. C’est une file M/M/s/s ou s est le nombre de serveurs, dans notre cas le nombre N de salles d’accouchement.
Notons que s = N est un nombre inconnu puisque la question est justement de calculer N
pour garantir une certaine qualité de service (voir question 4). On a λ = 24 (clients par jour) et µ = 4
(accouchements par salle). Le système est dans l’état k lorsqu’il y a k salles occupées simultanément
(k est un entier naturel).
2. Le système, M/M/s/s, est modélisé par un processus de naissance et de mort tel que : λk = λ et
µk = kµ, ∀k ≥ 0.
3. La distribution stationnaire πk est donnée par la formule (voir cours) :
⎧
⎪⎨
⎪⎩
N
π0=
n=0
an −1 n! ,
πk= ak
k! π0.
4. Le sytème est saturé lorsque toutes les salles sont occupées, i.e. lorsque k = N. D’après la formule
précédente, ceci se produit avec la probabilité
πN = aN
N ! π0
que l’on note traditionnellement B(N , a) et qui représente la proportion de clients refusés. On connait
a = λ
µ = 6 et l’inconnue est le nombre de salles N . Il faut donc résoudre l’inéquation :B(N , a) ≤ 0.01.
On ne peut résoudre cette équation que par ordinateur. On programme une procédure qui renvoie
B(N, a) et on effectue la boucle de calcul, on trouve N = 9.
Exercice 3. File M/M/c
On s’intéresse à une file d’attente avec c > 1 serveurs, mais les arrivées et les services restent des processus
de Poisson, de paramètres respectifs λ et µ. Dans ce contexte, on définit la charge du système par r = λ/µ et
le taux d’utilisation par ρ = r /c.
1. Donner le graphe de la chaîne induite et le générateur infinitésimal.
2. Donner et démontrer la condition de stabilité de la file.
3. Calculer la distribution stationnaire.
4. Déterminer Lq le nombre moyen de personne en attente dans le système.
5. Dans le cas d’une file G/M/c, donner la relation entre W le temps de séjour moyen et Wq le temps
d’attente moyen.
6. En déduire L, W et Wq (on utilise la loi de Little).
7. Donner la probabilité d’être servi immédiatement à l’arrivée dans la file.
Solution.
1. Le générateur infinitésimal est donné par
qi ,i+1 = λ qi+1,i = iµ pour i < c − 1 qi+1,i = cµ pour i ≥ c − 1
2
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2. Comme toujours, la condition est ρ < 1. Elle se démontre à nouveau en utilisant le premier théorème
de Foster, en choisissant F = {0,...,c − 1} et ɛ = λ − cµ.
3. Notons π la distribution stationnaire. En écrivant l’équilibre de flux pour les i premiers états, on obtient
les équations
λπi = iµπi+1
λπi = cµπi+1
i r
c!c i−c c r
π0 =
si i < c − 1
si c ≥ c − 1
i r
ce qui donne πi = i ! π0 pour i ≤ c et πi = c! ρi−c π0 si i ≥ c. Plus généralement, si on note
µ(i ) le taux de service lorsqu’il y a i personnes dans la file, l’équilibre des flux donne πi =
λ i
in=1 µ(n) π0.
Comme à chaque fois, la valeur des π0 est donnée par la condition i≥0 πi = 1. Malheureusement, ici
π0 n’a pas de forme simple :
π0 =
r c
c!(1 − ρ) +
c−1
n=0
r n
−1 4. On choisit de calculer en premier Lq = n≥c(n − c)πn car il permet d’éviter la forme particulière des c
premières valeurs de π.
Lq =
n≥c+1
(n − c)πn =
nπn+c =
n≥1
n≥1
c r
n
c! ρnπ0 = r cρ c! π0
n!
n≥1
nρ n−1 = r cρ c! π0
′
1
=
1 − ρ
r c ρ
π0
c!(1 − ρ) 2
5. Le temps de séjour moyen est le temps d’attente moyen plus le temps de service moyen : W = Wq + 1
µ .
6. On utilise la loi de Little et la question précédente. On obtient en particulier l’égalité L = Lq + r , vraie
pour toute file G/G/c.
7.
Wq = Lq
λ =
r c
π0 W
c!(cµ)(1 − ρ) 2
Wq (0) = PX ≤ c − 1 = π0
c−1
n=0
r n
= 1
µ +
n! = 1 − r c π0
c!(1 − ρ)
r c
π0 L
c!(cµ)(1 − ρ) 2
r
= r +
cρ π0
c!(1 − ρ) 2
en explicitant la valeur de π0.
Théorème (Little). En adoptant les notations suivantes :
– L (resp. Lq ) est nombre de clients dans le système (resp. dans la file d’attente).
– W (resp. Wq ) est le temps de séjour d’un client dans le système (resp. dans la file d’attente).
– λ Fréquence moyenne d’arrivées des clients.
on a : E(L) = λE(W ),
E(Lq )=λE(Wq ).
Exercice 4. Augmentation de capacité
On reprend la file M/M/c de l’exercice précédent et, pour fixer les idées, on prend µ = 1, ρ = 0,75 et c = 12.
On a donc λ = r = 9 arrivées par unité de temps en moyenne, ce qui fait ∆ = c −r = 3 serveurs pour absorber
les variations de trafic. Supposons que les arrivées quadruplent : λ ′ = 4λ = 36, comment choisir c ′ ?
1. Donner différentes grandeurs qu’on peut vouloir garder constantes pour la file d’attente.
2. Pour chacune, calculer le nouveau nombre de serveurs nécessaires.
Solution.
1. Dans les grandeurs usuelles, on peut choisir de garder constant :
(a) le taux de service : ρ,
(b) la probabilité d’attendre : 1 −Wq (0) (mesure de congestion),
(c) le nombre de serveur pour absorber les variations de trafic : ∆ = c − r .
3
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2. Dans les trois cas, le nouveau nombre de serveur est :
(a) ρ ′ = ρ ⇐⇒ c ′ µ = 4cµ donc c ′ = 4c = 48,
(b) on calcule successivement Wq (0) pour différentes valeurs de c ′ avant de trouver c ′ = 42,
(c) c ′ = ∆ + r ′ = 3 + 4r = 39.
Comme ce n’est pas le même nombre, il faut faire des compromis entre la qualité et l’efficacité. le
premier choix est appelé domaine de qualité, le second domaine de qualité et d’efficacité et le dernier
domaine d’efficacité, ce qui illustre la motivation de chacun de ces choix.
Exercice 5. Comparaison de trois modèles de serveur
On souhaite comparer les trois architectures suivantes de files d’attente :
– A : Consiste à utiliser un seul serveur de capacité 2µ,
– B : Consiste à utiliser deux serveurs de capacité µ en parallèle, ces serveurs partagent la même file d’attente,
i.e, s’il y a une requête en attente de traitement, elle est transmise vers le premier serveur qui se
libère,
– C : Consiste à utiliser deux serveurs de capacité µ en parallèle, mais cette fois-ci, chaque serveur à son
propre file d’attente.
1. Intuitivement, quelle configuration semble la meilleure ?
Pour chacune des trois configurations :
2.Donnez sa condition de stabilité.
3.Écrire son générateur infinitésimal (en précisant les cas limites).
4.Calculer le nombre moyen de clients dans le système.
5.En déduire le temps moyen de réponse.
Où se trouve la différence entre les différentes configurations ? Laquelle préférer ?
Solution.
1. C’est subjectif mais . . .la deuxième ?
2. La condition de stabilité est toujours λ < 2µ.
3. – d’après de TD de la semaines dernière : qi+1,i = λ, qi−1,i = 2µ, qi i = −(λ + 2µ)
– l’analyse donne qi+1,i = λ, qi−1,i = 2µ, qi i = −(λ + 2µ)
– chaque file a un générateur donné par qi+1,i = λ
2 , qi−1,i = µ, qi i = −( λ
2 + µ) donc par linéarité de la
dérivation, le générateur final est qi+1,i = λ, qi−1,i = 2µ, qi i = −(λ + 2µ)
4. –
–
λ
2µ−λ
λ
2µ−λ
– 2 λ
2
µ− λ = 2
2
λ
2µ−λ
1
2µ−λ
5. – d’après l’exercice 1 :
– presque pareil (même temps d’attente mais la loi de traitement par les serveurs est plus faible)
– le temps moyen est celui de chaque file :
1
µ− λ
2
= 2
2µ−λ
La différence entre les deux premières configurations se fait lorsqu’il n’y a qu’un client dans le système : il
est servi à vitesse double dans la première. La meilleure configuration semble être la première mais il y a
d’autres facteurs à prendre en compte dans la vie réelle : le coût, la résistance aux pannes, . . .
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4
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