Vidéomicroscopie et piégeage optique

Master Science de la matière Projet expérimental 2011–2012
École Normale Supérieure de Lyon Christoph Charles et Nicolas Deutschmann
Université Claude Bernard Lyon I M1 Physique
Vidéomicroscopie et piégeage optique
Stage encadré par :
Artyom Petrosyan
artyom.petrosyan@ens-lyon.fr / (+33) 4 72 72 86 49
Laboratoire de physique
ÉNS de Lyon
UMR 5672 CNRS
46, allée d’Italie
F69007 Lyon, France
http://www.ens-lyon.fr/PHYSIQUE

1 Introduction
Notre projet de physique expérimental de M1 a porté sur la vidéomicroscopie et le piégeage optique. Nous
avions deux objectifs : mesurer la constante de Boltzmann et mesurer la viscosité d’un fluide en étudiant le
mouvement brownien de particules de silice sous microscope. La première mesure a été effectuée en mesurant
un coefficient de diffusion et deux méthodes ont été utilisées pour la seconde : une mesure de coefficient de
diffusion pour des particules libres et une mesure de spectre de puissance pour des particules piégées par des
pinces optiques.
2 Dispositifs expérimentaux
2.1 Mesure en mouvement brownien
La première expérience (inspirée de [3], [4] et [6]) consistait en une étude sous microscope de particules en
mouvement brownien. On préparait une lame mince de micro-particules (d’un rayon de l’ordre du micromètre)
plongées dans un liquide. Pour ce dernier nous avons d’abord utilisé de l’eau puis un mélange d’eau et de glycérol
en proportion inconnue.
On construisait la cellule comme dans [2] : on utilisait une plaque de verre pour microscope sur laquelle on
collait un cylindre de verre creux fermé par une lamelle collée à son sommet. Deux trous étaient percés dans
la plaque pour le remplissage puis étaient colmatés avec du ruban adhésif. Pour l’étude sous microscope, on
utilisait un objectif à courte distance de travail qui était mis en contact avec la plaque via une goutte d’huile
d’immersion d’indice de réfraction proche de celui du verre pour minimiser les effets d’optiques (voir Fig.1).
Mélange à étudier
Huile d'immersion
Objectif
Figure 1 – Schéma du dispositif pour l’étude du mouvement brownien. L’échelle n’est pas respectée.
Après une courte attente, les billes de silice contenues dans la solution se déposaient au fond de la cellule.
La mise au point était effectuée, l’image était filmée par une caméra haute résolution à 30 images par seconde.
Cette vitesse de capture nous donne une limite de résolution pour le traitement des données.
2.2 Système de pince optique
Dans la deuxième expérience, nous utilisions le même type de cellule et les mêmes billes en piégeant cette
fois une particule dans une pince optique. Une pince optique est un système optique construit avec un laser,
qui permet de créer un potentiel attractif pour des objets d’indice optique supérieure à celui du milieux en
exploitant la force résultant du changement d’impulsion du laser lors de la réfraction (ce dispositif est décrit
dans [1] et [5] par exemple).
De ce fait, la bille subit une force qui l’attire vers le waist du faisceau. Dans la limite des petites distances,
cette force est harmonique et permet de piéger la bille au col (voir Fig.2). Ce dispositif permet de mesurer des
forces de l’ordre du piconewton.

Figure 2 – Aux petites distances, la bille subit une force qui la rapproche du col du faisceau gaussien.
Pour cette expérience, on piégeait le bille via un premier laser. Un second laser de plus faible puissance
permettait de mesurer ses mouvements. La bille jouait le rôle de levier optique et les mouvements étaient
détectés via un système de bidiodes.
Soumis au mouvement brownien, les déplacements de la bille se modélisent par un oscillateur harmonique
amorti soumis à un bruit blanc. En passant dans l’espace des fréquences, on obtient une fréquence de coupure,
caractéristique de la force de rappel et de la force de frottement. On peut donc se servir de ce système pour
mesurer la viscosité du milieu.
3 Mesure de kB
3.1 Principe
La première expérience menée lors de nos séances de TP a constitué à la mesure de la constante de Boltzmann
kB par étude du mouvement brownien. Il peut en effet être montré que pour une particule effectuant un
mouvement brownien dans un milieu visqueux, le carré de sa distance parcourue est en moyenne proportionnel
au temps d’évolution suivant la loi (cf [4]) :
< R 2 > = 4kBT
6πη
où r est le rayon de la particule, η la viscosité du fluide et T sa température.
t (1)
Nous avons étudié le mouvement brownien de particules de silice) dans de l’eau, à des températures entre
295 K et 297 K.
Nous avons utilisé ImageJ pour traiter les données, en binarisant les images avant d’utiliser l’outil Analyse
Particles qui permet d’identifier les positions des billes image par image. Ce procédé fonctionne extrêmement
bien puisqu’une très large majorité était identifiée et seules les billes étaient identifiées comme particules. Nous
avons écrit un programme utilisant un algorithme naïf pour relier les positions en trajectoires :
– Pour la première image de la vidéo, chaque position constitue un début de trajectoire
– Pour les images suivantes, pour la dernière position de chaque trajectoire existante
– Si une position de particule se trouve à une distance en dessous du seuil (déterminé “expérimentale-
ment”), c’est la position suivante dans la trajectoire. On efface ce point de la liste des positions dans
cette image.
– Si aucune position ne convient, la trajectoire est terminée ; on l’enregistre et l’on n’essaie plus de la
prolonger.
– S’il reste des positions une fois toutes les trajectoires traitées, il s’agit de nouveaux débuts de trajectoire.

Il est clair que cet algorithme est susceptible d’échanger des particules dans les trajectoires si elles sont suffi-
samment proches. Cependant, ceci est de peu d’importance si on admet les hypothèses du mouvement brownien
puisque les particules sont supposées sans “mémoire”. Sa structure a par contre l’avantage de permettre de gérer
la sortie et l’entrée de particules dans le champ de la caméra.
3.2 Calculs d’erreurs
Pour estimer les erreurs statistiques dans notre mesure, nous avons fait l’hypothèse que le mouvement entre
chaque image se fait avec une distribution gaussienne des vitesses (moyenne 0, écart-type σ). Si on appelle ∆t
l’inverse de la fréquence d’acquisition et vx(t) le déplacement horizontal de la particule entre t et t + ∆t,
X(n∆t) =
n
vx(k∆t) (2)
k=0
suit une loi normale, de moyenne nulle et de variance σ √ n. Alors R 2 = X 2 + Y 2 , où Y suit la même loi que X.
On montre que X 2 (t) est d’écart-type 2 √ 5σ 2 n et donc celui de R 2 est :
σ R 2 (t) = 4 √ 5nσ 2
Le théorème central limite nous permet alors d’établir que la moyenne de N réalisations de R 2 est d’espérance
< R 2 > et d’écart-type σR 2/√ N.
On a donc une valeur de l’incertitude statistique :
4 √ 5nσ 2
√ N
On mesure σ expérimentalement (cf Fig.3), ceci induit une incertitude statistique supplémentaire dont nous
n’avons pas tenu compte. En effet, nous avons utilisé environ 90000 points pour l’évaluer si bien que cette
incertitude peut être considérée comme négligeable.
Finalement le calcul de l’incertitude sur la régression linéaire qui permet d’obtenir kB est effectué par
Gnuplot, qui prend les incertitudes sur chaque point comme paramètre.
N
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
fit gaussien
data
0
-10 -5 0 5 10
vx [pixel/frame]
Figure 3 – Distribution de “vitesse” (déplacement entre deux images), 1 pixel/frame → 8.6 × 30 µm · s −1 ,
< v 2 x >= 2.74 (pixel/frame) 2
(3)
(4)

3.3 Résultats
N
350
300
250
200
150
100
50
0
0 50 100 150 200 250 300
durée [1/30 s]
Figure 4 – Distribution des trajectoires en fonction de leur durée
La mesure de kB s’est effectuée sur des trajectoires de durée inférieure ou égale à 10 s. La moitié des trajec-
toires a atteint cette durée et la durée moyenne des trajectoires est de 4.96 s. La Fig.4 donne la répartition des
durées des trajectoires.
Le calcul de la moyenne fait apparaître, comme attendu, un comportement linéaire de < R 2 > avec le temps
(cf Fig.5).
< R2 >
pixel 2
700
600
500
400
300
200
100
0
0 50 100 150 200 250 300
t [1/30 s]
< R2 >
pixel 2
700
600
500
400
300
200
100
fit lineaire
data
0
0 50 100 150
t [1/30 s]
200 250 300
Figure 5 – Exemple sur une trajectoire et moyenne du carré de la distance parcourue en fonction du temps
Une fois les changements de variable effectués, le coefficient de proportionnalité est :
αeau = 4.66 · 10 −9 m 2 s −1
On obtient alors la constante de Boltzmann sans correction :
kB = 6πηeaurαeau
4T
= 1.17 · 10 −23 ± 0.351 ·10 −23 JK −1
On peut noter que l’erreur statistique est bien plus faible que ce que l’on pourrait croire en traçant les barres
d’erreur comme sur la Fig.6
(5)
(6)
(7)

R2 >
pixel 2
1200
1000
800
600
400
200
0
0 50 100 150 200 250 300
t [1/30 s]
Figure 6 – Moyenne du carré de la distance parcourue en fonction du temps avec les barres d’erreur statistique.
Il faut cependant tenir compte de l’effet hydrodynamique lié à la proximité de la paroi (voir [4]), qui induit
une correction d’un facteur
κ =
1 − 9r
−1 16h
où h est la distance entre la paroi et le bas de la bille. Ce facteur vaut ici 1.96 et on obtient
kB,corr = 2.34 · 10 −23 ± 0.702 ·10 −23 JK −1
ce qui est trop élevé. L’erreur est tout de même à relativiser. On ne se trouve à 1.4σ de la valeur tabulée,
c’est-à-dire que l’on a 15% de probabilité d’avoir un tel écart par des mesures statistiques. En outre, il a été
réalisé que pour des billes en silice, les effets électrostatiques dans l’eau pure sont non négligeables et réduisent
la correction hydrodynamique. En effet lors de mesures effectuées par notre équipe d’accueil, il a été montré
que la valeur théorique de la correction hydrodynamique est correcte lorsque l’on remplace l’eau pure par une
solution de NaCl afin de réduire la couche de Debye.
Les mesures effectuées avec les pinces optiques donnent quant à elles une correction hydrodynamique d’un
facteur 1.33 à 1 µm et on peut s’attendre à une valeur plus faible pour la distance de 1.6 µm ce qui rend plausible
le facteur 1.18 attendu pour retrouver kB. Cependant comme un contrôle précis de la distance à la plaque dans
ce régime à l’aide des pinces optiques nous a été impossible, nous n’avons pas pu mesurer le facteur de correction
effectif à 1.6 µm de manière indépendante.
La mesure de la hauteur par elle-même était soumise à une grande incertitude relative (au mieux 0.5 µm
pour 1.5 µm, soit 33%) si bien que le facteur hydrodynamique seul peut varier de 1.5 à 3 et même nécessiter
des corrections d’ordre supérieur.
3.4 Test de l’hypothèse du mouvement brownien
Afin de tester si l’hypothèse du mouvement brownien, i.e. si la fonction d’autocorrelation des vitesses est un
delta de Dirac centré en 0, nous avons tracé le module de cette fonction entre 0 s et 5 s moyennée sur 180 tra-
jectoires de 10 s (Fig.7). Nous choisissons comme temps de corrélation le temps au delà duquel l’autocorrélation
descend en dessous de l’écart-type attendu si l’hypothèse de décorrélation est vérifiée, soit 0.21 pixel.
On trouve que le temps de corrélation est de 2/30 s ce qui est satisfaisant étant donné le temps de 10 s choisi
pour effectuer les ajustements linéaires.
(8)
(9)

pixel 2
v 2 x
3
2.5
2
1.5
1
0.5
0
-150 -100 -50 0 50 100 150
t [1/30 s]
Figure 7 – Fonction d’autocorrélation des vitesses en fonction du temps. On a tracé son symétrique par rapport
à l’axe vertical pour plus de lisibilité.
4 Mesure de viscosité d’un fluide inconnu
Nous avons préparé un mélange H2O+glycérol contenant environ 15% de glycérol en laissant une incertitude
délibérée sur les mesures afin de n’avoir pas de biais à l’analyse de données. Le but était d’en trouver la viscosité
afin de remonter à la concentration grâce à des tables de viscosité.
4.1 Mesure par mouvement brownien
En reprenant l’expérience dans ce milieu, on trouve un coefficient de proportionnalité
αgly = 3.45 · 10 −9 m 2 s −1
Le rapport des coefficients de l’eau et du mélange nous donne le rapport des viscosités :
αeau
αgly
(10)
= ηgly
= 1.35 ± 0.11. (11)
ηeau
Ce qui donne une concentration massique de 11.7% en glycérol dans la solution.
4.2 Mesure par mouvement brownien piégé
Une autre façon de mesurer la viscosité d’un fluide est de mesurer la fréquence de coupure du mouvement
brownien d’une particule piégée dans la pince optique de raideur k. En effet, on peut montrer le spectre du
mouvement est une lorentzienne de fréquence de coupure
k
2πγ
Pour ne pas avoir à mesurer la constante de raideur du piège, nous avons effectué des mesures dans l’eau et
dans la solution de glycérol et le rapport des fréquences de coupure donne le rapport des viscosités.
Nous avons utilisé un programme MATLAB créé par l’équipe d’accueil pour réaliser le spectre de puissance du
mouvement piégé et faire la régression pour obtenir la fréquence de coupure. On trouve 66.83 ± 0.40 Hz dans
l’eau et 37.77 ± 0.42 Hz dans le mélange inconnu (Fig.8). Les mesures sont moyennées respectivement sur 20
(12)

mesures et 15 mesures et les erreurs sont calculées comme l’écart-type d’une loi de Student (la limite des grands
nombres de mesures n’est clairement pas atteinte).
Puissance (UA)
10 −5
10 −6
10 −7
10 −8
10 −9
10 −1
10 −10
10 0
10 1
10 2
Fréquence (Hz)
(a) H2O
10 3
10 4
Puissance (UA)
10 −4
10 −5
10 −6
10 −7
10 −8
10 −9
10 −10
10 −1
10 −11
10 0
10 1
10 2
Fréquence (Hz)
(b) H2O+glycérol
Figure 8 – Spectres de puissance du mouvement brownien piégé d’une bille de silice et leurs régressions
lorentziennes.
On trouve alors un rapport des viscosités :
feau
fgly
= ηgly
= 1.77 ± 0.03 (13)
ηeau
5 Mesure de la correction hydrodynamique et électrostatique
Comme nous l’avons mentionné plus haut, la correction hydrodynamique à la viscosité reproduit mal les
attentes théoriques à cause d’effets électrostatiques. Nous avons effectué deux séries de mesures, avec des par-
ticules à 15 µm de la paroi et à 1 µm de la paroi dans l’eau et le mélange eau + glycérol. Alors, le rapport des
fréquences de coupure donne directement la correction à la viscosité induite par ces effets.
On trouve dans le glycérol :
Et dans l’eau :
κexp = 1.33 (14)
κexp = 1.14 (15)
Comme notre contrôle sur la position verticale proche de la paroi était mauvais, nous n’avons pas testé de
modèle quantitatif de cette correction. Cependant, on peut constater que la variation entre les deux mesures
effectuées se fait dans le sens attendu puisque les effets électrostatiques sont plus forts dans l’eau pure que dans
le mélange, où l’on s’imagine que la présence du glycérol les écrante partiellement.
6 Conclusion
Lors de notre projet expérimental, nous avons mis en oeuvre deux méthodes relatives à la vidéomicroscopie
et nous avons effectué deux mesures : celle de la constante de Boltzmann et celle de la viscosité d’un fluide.
Pour ces deux mesures, le point noir est la détermination de la correction hydrodynamique proche des
surfaces en verre. En effet, sa mesure est sujette à de grandes imprécisions et sa valeur théorique n’est pas bien
déterminée. C’est probablement la raison de l’incohérence des deux mesures de viscosité puisqu’elles étaient
10 3
10 4

effectuées à des distances différentes de la paroi si bien qu’il y a un facteur correctif différent pour chacune (la
correction ne suit pas une loi de puissance).
On peut imaginer deux façons d’améliorer les mesures effectuées :
1. effectuer des mesures de distances plus précises. Cela peut se faire par interférométrie par exemple. Cette
amélioration devrait d’ailleurs être bientôt effectuée par l’équipe d’accueil.
2. Minimiser les problèmes théoriques, par exemple en éliminant la couche de Debye. Cela a été effectué sur
une expérience mais il faudrait reconduire la plupart des mesures.
Cette dernière voie n’est pas toujours envisageable. En effet, pour la mesure de viscosité d’une solution
inconnue par exemple, ajouter des ions en solution pour supprimer la couche de Debye modifierait les propriétés
du liquide. Aussi, une meilleure description de la correction hydrodynamique pourrait permettre d’affiner les
résultats.
Ce projet expérimental a été pour nous l’occasion de nous familiariser avec les méthodes de vidéomicroscopie
et de piégeage optique. Nous avons eu la possibilité de réfléchir à des problèmes physiques et techniques,
notamment les méthodes de tracking. Le traitement de données statistiques a été pour nous une opportunité de
mettre à profit et d’approfondir notre compréhension des connaissances issues du cours de traitement du signal
de l’an passé sur le calcul d’incertitudes. Nous tenons à remercier chaleureusement Artyom Petrosyan qui nous
a encadré lors de ce projet expérimental et en a fait une expérience des plus enrichissantes.
Références
[1] John Bechhoefer et Scott Wilson, « Faster, cheaper, safer optical tweezers for the undergraduate labo-
ratory », dans : American Journal of Physics 70.4 (2002), page(s): 393–400.
[2] Luc P. Faucheux et Albert J. Libchaber, « Confined Brownian motion », dans : Phys. Rev. E 49 (6
1994), page(s): 5158–5163.
[3] Tomasz Greczyło et Ewa Dębowska, « Finding viscosity of liquids from Brownian motion at students’
laboratory », dans : European Journal of Physics 26.5 (2005), page(s): 827.
[4] Paul Nakroshis et al., « Measuring Boltzmann’s constant using video microscopy of Brownian motion »,
dans : American Journal of Physics 71.6 (2003), page(s): 568–573.
[5] M. S. Rocha, « Optical tweezers for undergraduates : Theoretical analysis and experiments », dans :
American Journal of Physics 77.8 (2009), page(s): 704–712.
[6] Reese Salmon, Candace Robbins et Kyle Forinash, « Brownian motion using video capture », dans :
European Journal of Physics 23.3 (2002), page(s): 249.