Ondelette Hypercomplexe
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<strong>Ondelette</strong> <strong>Hypercomplexe</strong><br />
P. Carré<br />
Laboratoire XLIM-SIC, UMR CNRS 7252<br />
philippe.carre@univ-poitiers.fr<br />
Thèse R. Soulard 2012<br />
Grenoble 11 octobre 2012
But<br />
La définition d’une tranformée en ondelette pour<br />
les images<br />
La représentation doit permettre une analyse fine de<br />
l’information 2-D<br />
• Lien avec des notions physiques : redéfinir la notion analytique<br />
• De nouvelles informations<br />
• Apporter de nouvelles propriétés : invariance, directionnalité<br />
directionnalité, , couleur<br />
• La reconstruction parfaite doit être assurée assurée, , représentation redondante<br />
•Cette Cette représentation doit être associée avec un algorithme numérique<br />
rapide et stable
2-D : une réponse géométrique par bases fixes<br />
Transformée géométrique à fonctions d’analyse<br />
fixes<br />
Ridgelet<br />
Contexte : transformation<br />
Fonction « adaptée »<br />
2-D : une réponse géométrique par bases adaptatives<br />
Transformées adaptatives<br />
Bandelettes<br />
et extensions
Base fixe<br />
Transformation d’un signal nD : changement de base permettant d’obtenir une<br />
autre représentation des données (démarche non structurelle)<br />
1. Définition de fonctions (formes) constituant la base<br />
2. Mesures de ressemblances entre les données et les fonctions de bases<br />
Transformée (produit scalaire)<br />
But de la nouvelle représentation<br />
Fourier<br />
Extraire d’une façon optimale l’information présente dans les données
Idée<br />
Contexte : ondelette<br />
•Définir des fonctions de bases localisées spatialement et associées à<br />
une fréquence d’oscillation précise<br />
•Adapter la taille des fenêtres en fonction de la fréquence étudiée<br />
0.1<br />
0.05<br />
0<br />
-0.05<br />
Fréquence : 0.05, Longueur : 61<br />
-20 0 20<br />
0.1<br />
0.05<br />
0<br />
-0.05<br />
Fréquence : 0.15, Longueur : 21<br />
-20 0 20<br />
Construction de bases discrètes orthogonales avec reconstruction
Algorithme rapide<br />
Un ensemble de filtres liés par des opérateurs de ré ré-échantillonnage<br />
échantillonnage<br />
s’ = s
Echelle<br />
Signal<br />
1 . 2<br />
1 . 0<br />
0 . 8<br />
0 . 6<br />
0 . 4<br />
0 . 2<br />
0 . 0<br />
trame<br />
4.0<br />
3.0<br />
2.0<br />
1.0<br />
Singularitées<br />
0.5<br />
0 20 40 60 80 100 120 140<br />
0 2 0 4 0 6 0 8 0 1 0 0 1 2 0 1 4 0<br />
Temps
Décomposition séparable<br />
Dilatation séparable k 1<br />
G y<br />
2 y<br />
G x<br />
2 x<br />
H y<br />
2 y<br />
d 1 ( 3)<br />
d 1 ( 2 )<br />
c 0<br />
G y<br />
2 y<br />
d 1 ( 1)<br />
H x<br />
2 x<br />
H y<br />
2 y<br />
c 1<br />
k 2
Discontinuités 2-D<br />
<strong>Ondelette</strong>s meilleures que Fourier mais<br />
•Détectent les singularités pas la structure contour<br />
•Directions privilégiées<br />
•Trois plans d’ondelettes par échelle
Dilatation en quinconce<br />
c 0<br />
Exemple de décomposition à 2 canaux<br />
H D<br />
c 1<br />
G D d 1<br />
H D c 2<br />
G D d 2<br />
2<br />
c<br />
2<br />
d<br />
k 1<br />
1<br />
d<br />
k 2
Première Echelle<br />
Problème avec la transformée en ondelette réelle<br />
Signal de test Signal de test<br />
DWT réelle DWT réelle<br />
Oscillations ; Sensibilité à la translation ; Problème de direction pour la transformée 22-D
<strong>Ondelette</strong> Complexe<br />
Bülow : Signal Analytique<br />
Kingsbury : Shift invariant
Outils Temps Temps-Fréquence Fréquence : notion de phase, fréquence et énergie<br />
instantanée<br />
[Ville 43]<br />
Calcul du signal analytique<br />
Retour aux sources<br />
Signal analytique<br />
Signal analytique : obtenu par suppression des fréquences négatives<br />
Transformée de Hilbert<br />
G(f)=-j sign(f)<br />
Fonctions de même module mais déphasées de 90 90° °
Notion de phase<br />
Energie locale : Phase locale<br />
Fréquence instantanée<br />
La phase locale permet une analyse des structures du signal<br />
Pic<br />
Trou<br />
Pente
Notion de base : signal analytique<br />
Extension 22-D<br />
D ??? : notion de fréquences négatives
Limites des ondelettes réelles : Comparaison avec Fourier<br />
Le module de Fourier n’oscille pas<br />
Le module de Fourier est invariant à la translation<br />
Les fonctions de base de Fourier 22-D<br />
D sont directionnelles<br />
Paire de Hilbert<br />
• Construction d’une paire de Hilbert<br />
Notion de phase<br />
Fonction réelle oscillante
Calcul de la transformée complexe discrète 1-D ?<br />
Solution : calcul calcul du signal analytique avant analyse<br />
Réponse impulsionelle infinie<br />
Le support des fonctions analysantes devient très grand<br />
Solution de Fernandes et al. projection dans l’espace « Softy »<br />
Filtre passe-bas : translation fréquentielle<br />
DWT<br />
Analyse<br />
Synthèse<br />
Représentation quasi-invariante<br />
par translation<br />
Représentation redondante
Calcul de la transformée complexe 1-D ?<br />
Solution de Kingsbury et al. : calcul par arbre dual<br />
2 bancs de de filtres à reconstruction parfaite (et conditions «classiques »)<br />
Partie réelle<br />
Partie imaginaire<br />
Contrainte : les filtres doivent être définis<br />
afin qu’ils vérifient<br />
Redondance 2<br />
Paire de Hilbert<br />
Mais aussi les autres contraintes de reconstruction parfaite, de support fini.<br />
Ces contraintes peuvent être antagonistes<br />
Selesnick
Première Echelle<br />
Première Première Echelle<br />
Signal de test Signal de test<br />
DWT réelle DWT réelle<br />
DWT complexe DWT complexe
Classique<br />
2D ???<br />
HH<br />
HL<br />
LH<br />
LL
Arbre Double 2D : analyse orientée<br />
Partie réelle Partie imaginaire<br />
Enveloppe
Fonction analysante réelle et complexe<br />
Construction des 6 différentes combinaisons<br />
i=1,2,3<br />
Arbre dual 22-D<br />
D orienté et réel<br />
Représentation complexe (« analytique ») : utilisation<br />
de la partie réelle et partie imaginaire
Première application<br />
Résout le problème de la variance par translation<br />
Moins redondante qu’une transformée non-décimée, analyse orientée<br />
Première génération : seuillage selon le module<br />
Résultat similaire à UWT<br />
Evolution : intégration de la dimension Phase<br />
Utilisation du mélange de Gaussienne<br />
Introduit par Portilla (Steerable pyramid)<br />
Rayleigh<br />
Kingsbury
Applications des <strong>Ondelette</strong>s Complexe : débruitage<br />
Noisy image Standard GSM denoising Dual model GSM denoising<br />
Introduction de<br />
Introduction de<br />
l’information de phase
Applications des <strong>Ondelette</strong>s Complexe<br />
Classification de texture<br />
Majorité des cas : estimation d’un paramètre selon le module des<br />
différentes orientations<br />
Quelques travaux modélisant la phase (par exemple Vo étudie la<br />
différence de phase)<br />
Distribution circulaire : Von Mises, Cauchy<br />
Intégration de mesures sur la phase dans le descripteur<br />
Définition d’une distance sur une mesure angulaire<br />
Amélioration du taux de classification
Et Hilbert (<strong>Ondelette</strong> analytique 22-D)<br />
D) ?<br />
Retour à la question d’origine<br />
Partie réelle Partie imaginaire<br />
Hilbert ?
0<br />
<strong>Ondelette</strong>s 2-D ? Interprétation par transformée de Hilbert<br />
Hilbert 22-D<br />
D : direct extension du 1-D 1<br />
Hahn<br />
v<br />
0 0<br />
4F(u,v)<br />
u<br />
Insuffisant du fait de la symétrie hermitienne<br />
Introduction d’un deuxième signal analytique<br />
Permet de couvrir le quadrant en haut à gauche
Lien entre Hahn et Arbre-double 2D complexe<br />
Correspond au signal analytique selon Hahn de<br />
2 signaux analytiques donc 2 modules et 2 phases : interprétation difficile
Critique : vision Fourier 2-D (phase)<br />
• Ambiguïté dans la phase<br />
« Extension » des complexes : quaternion
Solution : <strong>Ondelette</strong> <strong>Hypercomplexe</strong><br />
Bulow<br />
Quaternion<br />
Felsberg<br />
Monogénique<br />
Notion de phase 22-D<br />
D en lien avec la géométrie
Quaternion
Norme :<br />
Quaternions : Définition<br />
Produit non commutatif :
Vectorielle<br />
Exponentielle<br />
Polaire<br />
Représentation<br />
scalaire vecteur<br />
Un vecteur de longueur |q| et de direction
34<br />
Une autre utilisation : Couleur<br />
Une couleur = un vecteur de R R3 quaternion sur les 3 parties imaginaires<br />
f[m,n f[ m,n] ] = r[ r[m,n m,n] ] i + v[ v[m,n m,n] ] j + b[m,n b[ m,n] k [Sangwine Sangwine]<br />
i j<br />
k<br />
f[m,n]<br />
Avant les ondelettes …… Fourier<br />
m et n : coordonnées spatiales
Bülow<br />
Translation<br />
Fourier Quaternionique<br />
1. est invariant à la translation<br />
i<br />
Image NvG<br />
2. sont modifiés linéairement par la translation<br />
Notion de signal analytique ?<br />
j
Symétrie ?<br />
Notion de conjugaison<br />
est hermitienne au sens des quaternions (Bülow) si<br />
La transformée QFT d’un signal réel est hermitienne au<br />
sens des quaternions
La transformée QFT d’un signal réel est hermitienne au sens des quaternions<br />
Signal analytique selon Hahn<br />
v<br />
0<br />
4F q (u,v)<br />
0 0<br />
Signal analytique quaternionique<br />
Représentation complète<br />
u
Phase quaternionique<br />
Extension « complexe » réellement 2D<br />
<strong>Ondelette</strong>s Quaternioniques : adaptation du DT<br />
Baraniuk et al
Rappel<br />
Transformée en ondelettes quaternionique<br />
Signal analytique selon Hahn de<br />
Rappel Signal quaternionique analytique<br />
Extention « complexe » réellement 2D<br />
Signal quaternionique analytique de
Transformée en ondelettes quaternionique
Transformée en ondelettes quaternionique<br />
Présence<br />
d’information<br />
Décalage spatial<br />
41<br />
Texture
[Soulard 10]<br />
QWT : classification<br />
Std Norme<br />
Std<br />
Phase
QWT : classification
Transformée en ondelettes quaternionique
Vraie définition 2-D<br />
Domaine applicatif prometteur<br />
Algorithme de Calcul<br />
QWT : Bilan<br />
Phase difficile à interpréter<br />
Variance à la rotation<br />
Approche séparable
Fonction complexe<br />
Extension : analyse complexe (Feslberg)<br />
Signal analytique : peut être défini comme la restriction à l’axe réel d’une<br />
fonction holomorphe<br />
Holomorphe : dérivable en tout point du domaine<br />
Fonction réelle harmonique<br />
Signal analytique ?<br />
Cauchy<br />
Noyau de Poisson<br />
u : une fonction réelle harmonique<br />
Il existe une fonction réelle harmonique v telle<br />
y→0+<br />
est holomorphe
Définition<br />
Riesz 1-D D : Hilbert<br />
Notion de Steerability<br />
Notion de base : Transformée de Riesz<br />
avec<br />
Déphasage pur isotropique<br />
Déphasage 11-D<br />
Rotation Invariance par rotation
Ecriture complexe de Riesz<br />
Isotropie du signal Monogène<br />
Nouveau signal analytique 22-D<br />
D<br />
signal Monogène
Signal Monogène : coordonnées sphériques<br />
Direction<br />
Phase<br />
Module du signal analytique quaternionique et du<br />
signal monogène
Interprétation : Caractérisation de structures locales<br />
Gradient<br />
Recherche de la direction dominante de s selon les moindres carrés.<br />
Introduction d’un lissage local<br />
Orientation<br />
Cohérence<br />
Le degré de directonnalité du<br />
signal sur le voisinage (=1, la<br />
structure est 1-D).<br />
Direction selon laquelle la<br />
transformée de Hilbert<br />
directionnelle donne sur le<br />
voisinage une énergie<br />
maximale
Interprétation du Monogénique<br />
Lissage isotrope<br />
Version lissée du gradient
Transformée en ondelettes Monogènes<br />
<strong>Ondelette</strong>s Monogéniques<br />
1) Des solutions continues (Olhede et al)<br />
2) Une solution numérique (Unser et al)<br />
Une fonction d’échelle de lissage isotropique<br />
approximant la fonction Gaussienne<br />
Opérateur Laplacien<br />
Monogénique
Couleur ?<br />
La suite ?<br />
Monogénique : généralisation 2-D satisfaisante<br />
Interprétation des coefficients ?<br />
Schéma numérique ?
Analyse complexe : une piste pour l’extension couleur<br />
Pour résoudre le système est scindé en 3<br />
[Demarcq 2009]
Transformée en ondelettes Monogènes Couleur
Transformée en ondelettes Monogènes Couleur
Transformée en ondelettes Monogènes Couleur
Schéma numérique ?
Une autre analyse directionnelle : Radon<br />
Intégration de l’intensité selon une direction<br />
S(x1,x2)<br />
x2<br />
t<br />
t<br />
x1
Théorème de projection de Radon<br />
Somme des pixels le long<br />
d’un ensemble de lignes<br />
Stratégie<br />
classique<br />
Transformée<br />
de Fourier<br />
2D de<br />
l’image<br />
Définir les<br />
lignes radiales<br />
passant par<br />
l’origine de<br />
l’image<br />
Transformée de<br />
Fourier 1D<br />
inverse le long<br />
des lignes
Décomposition de Radon discrète : Slant Stack<br />
Discrétisation des paramètres<br />
Image échantillonnée<br />
n2<br />
n2=pn1+1<br />
n2=pn1<br />
n1<br />
Problème d’inversion<br />
Pas toujours défini<br />
Entier le plus proche
Inversion : utilisation du théorème de projection<br />
Interpolation<br />
Grille Polaire Grille Cartésienne
Radon analytique<br />
Stratégie de calcul de Radon analytique 2D :<br />
Extraction des<br />
coefficients de<br />
Fourier<br />
FFT 2D<br />
Coefficients de<br />
Fourier<br />
iFFT<br />
Projection de<br />
l’image<br />
Définition<br />
des<br />
droites<br />
discrètes<br />
Extraction des<br />
coefficients de<br />
Fourier<br />
[Carré&Andres2002]
f 2<br />
Transformation de Radon analytique discrète<br />
Stratégie de Fourier pour la transformation de Radon<br />
0<br />
0<br />
Domaine de Fourier<br />
f1 Droites L [p,q] sont définies à l’aide de<br />
géométrie analytique discrète<br />
Nous avons besoin d’une droite discrète avec :<br />
• une symétrie centrale,<br />
• formant une « bonne » approximation de la<br />
droite euclidienne.
Type de droites<br />
Droites naïves fermées (8-connexes)<br />
Droites supercouvertures (4-connexes)<br />
Droites pythagoriciennes fermées (8-connexes)
Transformée complète inversible<br />
0<br />
0
Utilisation de Radon pour du filtrage isotropique
20<br />
40<br />
60<br />
80<br />
100<br />
120<br />
20 40 60 80 100 120<br />
20<br />
40<br />
60<br />
80<br />
100<br />
120<br />
Définition numérique d’un signal monogène<br />
Passe-bande<br />
20 40 60 80 100 120<br />
20<br />
40<br />
60<br />
80<br />
100<br />
120<br />
20<br />
40<br />
60<br />
80<br />
100<br />
120<br />
20 40 60 80 100 120<br />
20 40 60 80 100 120
20<br />
40<br />
60<br />
80<br />
100<br />
120<br />
Caractéristique monogénique<br />
20 40 60 80 100 120<br />
-0.5<br />
-1<br />
-1.5<br />
-2<br />
-2.5<br />
-3<br />
Phase<br />
Direction : paramètre sensible<br />
20<br />
40<br />
60<br />
80<br />
100<br />
120<br />
20 40 60 80 100 120<br />
Utilisation de la notion de tenseur
Direction<br />
120<br />
110<br />
100<br />
90<br />
80<br />
70<br />
60<br />
50<br />
40<br />
15 20 25 30 35 40 45 50
Extension Multiéchelle : notion de passe-bande<br />
Algorithme à trous<br />
20<br />
40<br />
60<br />
80<br />
100<br />
120<br />
20<br />
40<br />
60<br />
80<br />
100<br />
120<br />
20 40 60 80 100 120 20 40 60 80 100 120 20 40 60 80 100 120<br />
20<br />
40<br />
60<br />
80<br />
100<br />
120<br />
20<br />
40<br />
60<br />
80<br />
100<br />
120<br />
20 40 60 80 100 120
Intégration de la couleur<br />
Structure locale couleur<br />
Thèse R. Soulard
Structure locale couleur<br />
Une norme et une orientation basées sur un modèle vectoriel<br />
Combinaison des expressions marginales
Extension par l’approche « Tenseur de structure »<br />
Gradient lissé<br />
Caractéristique de Riesz couleur
Phase<br />
Signal monogénique : notion de phase en couleur ?<br />
En couleur ? Utilisation de normes<br />
En scalaire, introduction de la valeur absolue
Signal monogénique : notion de phase en couleur ?
Phase en couleur : angle + axe
Descripteur couleur<br />
Multiéchelle<br />
Invariant<br />
Extension par l’approche « Tenseur de structure »<br />
Amplitudes pour 3 échelles<br />
Phase<br />
Axe couleur<br />
Orientation
Test par reconstruction partielle
Test par reconstruction partielle
Conclusion ?<br />
Représentation monogénique : analyse locale avec l’information de phase<br />
Importance de la transformée de Radon<br />
Extension aux images « multibandes » à travers le lien avec les<br />
tenseurs de structures<br />
Schéma numérique et information couleur