Ondelette Hypercomplexe

Ondelette Hypercomplexe
P. Carré
Laboratoire XLIM-SIC, UMR CNRS 7252
philippe.carre@univ-poitiers.fr
Thèse R. Soulard 2012
Grenoble 11 octobre 2012

But
La définition d’une tranformée en ondelette pour
les images
La représentation doit permettre une analyse fine de
l’information 2-D
• Lien avec des notions physiques : redéfinir la notion analytique
• De nouvelles informations
• Apporter de nouvelles propriétés : invariance, directionnalité
directionnalité, , couleur
• La reconstruction parfaite doit être assurée assurée, , représentation redondante
•Cette Cette représentation doit être associée avec un algorithme numérique
rapide et stable

2-D : une réponse géométrique par bases fixes
Transformée géométrique à fonctions d’analyse
fixes
Ridgelet
Contexte : transformation
Fonction « adaptée »
2-D : une réponse géométrique par bases adaptatives
Transformées adaptatives
Bandelettes
et extensions

Base fixe
Transformation d’un signal nD : changement de base permettant d’obtenir une
autre représentation des données (démarche non structurelle)
1. Définition de fonctions (formes) constituant la base
2. Mesures de ressemblances entre les données et les fonctions de bases
Transformée (produit scalaire)
But de la nouvelle représentation
Fourier
Extraire d’une façon optimale l’information présente dans les données

Idée
Contexte : ondelette
•Définir des fonctions de bases localisées spatialement et associées à
une fréquence d’oscillation précise
•Adapter la taille des fenêtres en fonction de la fréquence étudiée
0.1
0.05
0
-0.05
Fréquence : 0.05, Longueur : 61
-20 0 20
0.1
0.05
0
-0.05
Fréquence : 0.15, Longueur : 21
-20 0 20
Construction de bases discrètes orthogonales avec reconstruction

Algorithme rapide
Un ensemble de filtres liés par des opérateurs de ré ré-échantillonnage
échantillonnage
s’ = s

Echelle
Signal
1 . 2
1 . 0
0 . 8
0 . 6
0 . 4
0 . 2
0 . 0
trame
4.0
3.0
2.0
1.0
Singularitées
0.5
0 20 40 60 80 100 120 140
0 2 0 4 0 6 0 8 0 1 0 0 1 2 0 1 4 0
Temps

Décomposition séparable
Dilatation séparable k 1
G y
2 y
G x
2 x
H y
2 y
d 1 ( 3)
d 1 ( 2 )
c 0
G y
2 y
d 1 ( 1)
H x
2 x
H y
2 y
c 1
k 2

Discontinuités 2-D
Ondelettes meilleures que Fourier mais
•Détectent les singularités pas la structure contour
•Directions privilégiées
•Trois plans d’ondelettes par échelle

Dilatation en quinconce
c 0
Exemple de décomposition à 2 canaux
H D
c 1
G D d 1
H D c 2
G D d 2
2
c
2
d
k 1
1
d
k 2

Première Echelle
Problème avec la transformée en ondelette réelle
Signal de test Signal de test
DWT réelle DWT réelle
Oscillations ; Sensibilité à la translation ; Problème de direction pour la transformée 22-D

Ondelette Complexe
Bülow : Signal Analytique
Kingsbury : Shift invariant

Outils Temps Temps-Fréquence Fréquence : notion de phase, fréquence et énergie
instantanée
[Ville 43]
Calcul du signal analytique
Retour aux sources
Signal analytique
Signal analytique : obtenu par suppression des fréquences négatives
Transformée de Hilbert
G(f)=-j sign(f)
Fonctions de même module mais déphasées de 90 90° °

Notion de phase
Energie locale : Phase locale
Fréquence instantanée
La phase locale permet une analyse des structures du signal
Pic
Trou
Pente

Notion de base : signal analytique
Extension 22-D
D ??? : notion de fréquences négatives

Limites des ondelettes réelles : Comparaison avec Fourier
Le module de Fourier n’oscille pas
Le module de Fourier est invariant à la translation
Les fonctions de base de Fourier 22-D
D sont directionnelles
Paire de Hilbert
• Construction d’une paire de Hilbert
Notion de phase
Fonction réelle oscillante

Calcul de la transformée complexe discrète 1-D ?
Solution : calcul calcul du signal analytique avant analyse
Réponse impulsionelle infinie
Le support des fonctions analysantes devient très grand
Solution de Fernandes et al. projection dans l’espace « Softy »
Filtre passe-bas : translation fréquentielle
DWT
Analyse
Synthèse
Représentation quasi-invariante
par translation
Représentation redondante

Calcul de la transformée complexe 1-D ?
Solution de Kingsbury et al. : calcul par arbre dual
2 bancs de de filtres à reconstruction parfaite (et conditions «classiques »)
Partie réelle
Partie imaginaire
Contrainte : les filtres doivent être définis
afin qu’ils vérifient
Redondance 2
Paire de Hilbert
Mais aussi les autres contraintes de reconstruction parfaite, de support fini.
Ces contraintes peuvent être antagonistes
Selesnick

Première Echelle
Première Première Echelle
Signal de test Signal de test
DWT réelle DWT réelle
DWT complexe DWT complexe

Classique
2D ???
HH
HL
LH
LL

Arbre Double 2D : analyse orientée
Partie réelle Partie imaginaire
Enveloppe

Fonction analysante réelle et complexe
Construction des 6 différentes combinaisons
i=1,2,3
Arbre dual 22-D
D orienté et réel
Représentation complexe (« analytique ») : utilisation
de la partie réelle et partie imaginaire

Première application
Résout le problème de la variance par translation
Moins redondante qu’une transformée non-décimée, analyse orientée
Première génération : seuillage selon le module
Résultat similaire à UWT
Evolution : intégration de la dimension Phase
Utilisation du mélange de Gaussienne
Introduit par Portilla (Steerable pyramid)
Rayleigh
Kingsbury

Applications des Ondelettes Complexe : débruitage
Noisy image Standard GSM denoising Dual model GSM denoising
Introduction de
Introduction de
l’information de phase

Applications des Ondelettes Complexe
Classification de texture
Majorité des cas : estimation d’un paramètre selon le module des
différentes orientations
Quelques travaux modélisant la phase (par exemple Vo étudie la
différence de phase)
Distribution circulaire : Von Mises, Cauchy
Intégration de mesures sur la phase dans le descripteur
Définition d’une distance sur une mesure angulaire
Amélioration du taux de classification

Et Hilbert (Ondelette analytique 22-D)
D) ?
Retour à la question d’origine
Partie réelle Partie imaginaire
Hilbert ?

0
Ondelettes 2-D ? Interprétation par transformée de Hilbert
Hilbert 22-D
D : direct extension du 1-D 1
Hahn
v
0 0
4F(u,v)
u
Insuffisant du fait de la symétrie hermitienne
Introduction d’un deuxième signal analytique
Permet de couvrir le quadrant en haut à gauche

Lien entre Hahn et Arbre-double 2D complexe
Correspond au signal analytique selon Hahn de
2 signaux analytiques donc 2 modules et 2 phases : interprétation difficile

Critique : vision Fourier 2-D (phase)
• Ambiguïté dans la phase
« Extension » des complexes : quaternion

Solution : Ondelette Hypercomplexe
Bulow
Quaternion
Felsberg
Monogénique
Notion de phase 22-D
D en lien avec la géométrie

Quaternion

Norme :
Quaternions : Définition
Produit non commutatif :

Vectorielle
Exponentielle
Polaire
Représentation
scalaire vecteur
Un vecteur de longueur |q| et de direction

34
Une autre utilisation : Couleur
Une couleur = un vecteur de R R3 quaternion sur les 3 parties imaginaires
f[m,n f[ m,n] ] = r[ r[m,n m,n] ] i + v[ v[m,n m,n] ] j + b[m,n b[ m,n] k [Sangwine Sangwine]
i j
k
f[m,n]
Avant les ondelettes …… Fourier
m et n : coordonnées spatiales

Bülow
Translation
Fourier Quaternionique
1. est invariant à la translation
i
Image NvG
2. sont modifiés linéairement par la translation
Notion de signal analytique ?
j

Symétrie ?
Notion de conjugaison
est hermitienne au sens des quaternions (Bülow) si
La transformée QFT d’un signal réel est hermitienne au
sens des quaternions

La transformée QFT d’un signal réel est hermitienne au sens des quaternions
Signal analytique selon Hahn
v
0
4F q (u,v)
0 0
Signal analytique quaternionique
Représentation complète
u

Phase quaternionique
Extension « complexe » réellement 2D
Ondelettes Quaternioniques : adaptation du DT
Baraniuk et al

Rappel
Transformée en ondelettes quaternionique
Signal analytique selon Hahn de
Rappel Signal quaternionique analytique
Extention « complexe » réellement 2D
Signal quaternionique analytique de

Transformée en ondelettes quaternionique

Transformée en ondelettes quaternionique
Présence
d’information
Décalage spatial
41
Texture

[Soulard 10]
QWT : classification
Std Norme
Std
Phase

QWT : classification

Transformée en ondelettes quaternionique

Vraie définition 2-D
Domaine applicatif prometteur
Algorithme de Calcul
QWT : Bilan
Phase difficile à interpréter
Variance à la rotation
Approche séparable

Fonction complexe
Extension : analyse complexe (Feslberg)
Signal analytique : peut être défini comme la restriction à l’axe réel d’une
fonction holomorphe
Holomorphe : dérivable en tout point du domaine
Fonction réelle harmonique
Signal analytique ?
Cauchy
Noyau de Poisson
u : une fonction réelle harmonique
Il existe une fonction réelle harmonique v telle
y→0+
est holomorphe

Définition
Riesz 1-D D : Hilbert
Notion de Steerability
Notion de base : Transformée de Riesz
avec
Déphasage pur isotropique
Déphasage 11-D
Rotation Invariance par rotation

Ecriture complexe de Riesz
Isotropie du signal Monogène
Nouveau signal analytique 22-D
D
signal Monogène

Signal Monogène : coordonnées sphériques
Direction
Phase
Module du signal analytique quaternionique et du
signal monogène

Interprétation : Caractérisation de structures locales
Gradient
Recherche de la direction dominante de s selon les moindres carrés.
Introduction d’un lissage local
Orientation
Cohérence
Le degré de directonnalité du
signal sur le voisinage (=1, la
structure est 1-D).
Direction selon laquelle la
transformée de Hilbert
directionnelle donne sur le
voisinage une énergie
maximale

Interprétation du Monogénique
Lissage isotrope
Version lissée du gradient

Transformée en ondelettes Monogènes
Ondelettes Monogéniques
1) Des solutions continues (Olhede et al)
2) Une solution numérique (Unser et al)
Une fonction d’échelle de lissage isotropique
approximant la fonction Gaussienne
Opérateur Laplacien
Monogénique

Couleur ?
La suite ?
Monogénique : généralisation 2-D satisfaisante
Interprétation des coefficients ?
Schéma numérique ?

Analyse complexe : une piste pour l’extension couleur
Pour résoudre le système est scindé en 3
[Demarcq 2009]

Transformée en ondelettes Monogènes Couleur

Transformée en ondelettes Monogènes Couleur

Transformée en ondelettes Monogènes Couleur

Schéma numérique ?

Une autre analyse directionnelle : Radon
Intégration de l’intensité selon une direction
S(x1,x2)
x2
t
t
x1

Théorème de projection de Radon
Somme des pixels le long
d’un ensemble de lignes
Stratégie
classique
Transformée
de Fourier
2D de
l’image
Définir les
lignes radiales
passant par
l’origine de
l’image
Transformée de
Fourier 1D
inverse le long
des lignes

Décomposition de Radon discrète : Slant Stack
Discrétisation des paramètres
Image échantillonnée
n2
n2=pn1+1
n2=pn1
n1
Problème d’inversion
Pas toujours défini
Entier le plus proche

Inversion : utilisation du théorème de projection
Interpolation
Grille Polaire Grille Cartésienne

Radon analytique
Stratégie de calcul de Radon analytique 2D :
Extraction des
coefficients de
Fourier
FFT 2D
Coefficients de
Fourier
iFFT
Projection de
l’image
Définition
des
droites
discrètes
Extraction des
coefficients de
Fourier
[Carré&Andres2002]

f 2
Transformation de Radon analytique discrète
Stratégie de Fourier pour la transformation de Radon
0
0
Domaine de Fourier
f1 Droites L [p,q] sont définies à l’aide de
géométrie analytique discrète
Nous avons besoin d’une droite discrète avec :
• une symétrie centrale,
• formant une « bonne » approximation de la
droite euclidienne.

Type de droites
Droites naïves fermées (8-connexes)
Droites supercouvertures (4-connexes)
Droites pythagoriciennes fermées (8-connexes)

Transformée complète inversible
0
0

Utilisation de Radon pour du filtrage isotropique

20
40
60
80
100
120
20 40 60 80 100 120
20
40
60
80
100
120
Définition numérique d’un signal monogène
Passe-bande
20 40 60 80 100 120
20
40
60
80
100
120
20
40
60
80
100
120
20 40 60 80 100 120
20 40 60 80 100 120

20
40
60
80
100
120
Caractéristique monogénique
20 40 60 80 100 120
-0.5
-1
-1.5
-2
-2.5
-3
Phase
Direction : paramètre sensible
20
40
60
80
100
120
20 40 60 80 100 120
Utilisation de la notion de tenseur

Direction
120
110
100
90
80
70
60
50
40
15 20 25 30 35 40 45 50

Extension Multiéchelle : notion de passe-bande
Algorithme à trous
20
40
60
80
100
120
20
40
60
80
100
120
20 40 60 80 100 120 20 40 60 80 100 120 20 40 60 80 100 120
20
40
60
80
100
120
20
40
60
80
100
120
20 40 60 80 100 120

Intégration de la couleur
Structure locale couleur
Thèse R. Soulard

Structure locale couleur
Une norme et une orientation basées sur un modèle vectoriel
Combinaison des expressions marginales

Extension par l’approche « Tenseur de structure »
Gradient lissé
Caractéristique de Riesz couleur

Phase
Signal monogénique : notion de phase en couleur ?
En couleur ? Utilisation de normes
En scalaire, introduction de la valeur absolue

Signal monogénique : notion de phase en couleur ?

Phase en couleur : angle + axe

Descripteur couleur
Multiéchelle
Invariant
Extension par l’approche « Tenseur de structure »
Amplitudes pour 3 échelles
Phase
Axe couleur
Orientation

Test par reconstruction partielle

Test par reconstruction partielle

Conclusion ?
Représentation monogénique : analyse locale avec l’information de phase
Importance de la transformée de Radon
Extension aux images « multibandes » à travers le lien avec les
tenseurs de structures
Schéma numérique et information couleur