PROPAGATION ET RAYONNEMENT DES ONDES ...

JM VANHAECKE Lycée MALHERBE CAEN Chapitre 3 d'électromagnétisme: PROPAGATION ET RAYONNEMENT Page 1 sur 30 

Électromagnétisme : Chapitre 3: 

PROPAGATION ET RAYONNEMENT DES ONDES ELECTROMAGNETIQUES 

I Propagation des ondes électromagnétiques dans le vide (illimité). 

Programme et commentaires (pour les paragraphes I et II de ce chapitre) : 

Équations de propagation des champs dans une région sans 

charges ni courants. Structure de l’onde plane progressive. 

Cas particulier de l’onde monochromatique (ou harmonique). 

États de polarisation d’une onde progressive et 

monochromatique. 

Propagation d’une onde plane transverse progressive 

monochromatique dans un plasma. Fréquence de coupure. 

Dispersion, vitesse de phase et vitesse de groupe. 

1. Rappels. 

Les 4 équations de Maxwell dans le vide (toujours couplées bien que ρ = 0 et ⎯→ 

j = ⎯→ 

0 ) conduisent à deux équations de 

d’Alembert, l’une pour le champ électrique et l’autre pour le champ magnétique (découplage des équations). Ainsi les 8 

équations de Maxwell (2 scalaires et 2 vectorielles) conduisent à 6 équations (2 équations vectorielles) vérifiées par les 

champs. On peut donc trouver en utilisant les équations de Maxwell d’autres équations ou propriétés des champs. 

Considérons par exemple uniquement des ondes planes qui donc par définition ne dépendent que d’une seule 

coordonnée cartésienne de l’espace (on choisit ici x) et du temps. L’équation de Maxwell Gauss conduit à : ∂Ex(x,t) 

= 0 et 

∂x 

l’équation de Maxwell Ampère conduit, en projection sur la première coordonnée cartésienne, à 0 = ε0 µ0 ∂Ex(x,t) 

et ainsi le 

∂t 

champ électrique a une composante sur x c'est-à-dire selon la direction de propagation qui ne dépend ni de x ni de t et qui donc 

ne se propage pas. Bien sûr les champs statiques et uniformes vérifient les équations de Maxwell mais nous ne nous intéressons 

qu’à la partie propagative des champs et nous dirons donc que le champ électrique ⎯⎯→ 

E n’a pas de composante dans la 

direction de propagation : il est transverse. On montre de même avec l’équation de Maxwell Thomson et la projection de 

l’équation de Maxwell Faraday sur la première coordonnée que le champ magnétique ⎯⎯→ 

B est transverse, mais on ne sait rien 

de leurs directions l’un par rapport à l’autre. 

Remarque : souvent une onde est quasiment plane dans un « petit » domaine de l’espace, elle est dite localement 

plane. 

2. Structure de l’OEMV plane, progressive. 

L’onde électromagnétique est dans le vide, plane et maintenant seulement progressive. On choisit toujours x comme 

variable cartésienne d’espace et on pose u = t – x 

. On rappelle que les trois composantes du champ électrique et les trois 

c 

composantes du champ magnétique ne dépendent que de la seule variable u. 

L’équation de Maxwell Gauss conduit à : ∂Ex(x,t) 

= 0 et donc à – 

∂x 

1 

c dEx(u) 

du = 0 et donc Ex ne dépend pas de u, donc 

ne se propage pas et est donc pris nul : le champ électrique est transverse (on dit aussi que l’onde est TE). On obtient le même 

résultat pour le champ magnétique à partir de l’équation de Maxwell Thomson (l’onde est dite TM). Les équations de Maxwell 

Ampère et de Maxwell Faraday n’ont pas servi (l’onde est non seulement plane mais aussi seulement progressive). 

– 1 

c dEy dBz 

= – 

du du 

L’équation de Maxwell Faraday donne en projection sur ⎯→ 

ey : 1 

c dEz 

du 

On fait ressortir le caractère idéal du modèle de 

l’onde plane monochromatique comme 

composante élémentaire d’un paquet d’ondes. 

Les polariseurs sont introduits en TP. Les lames à 

retard sont hors programme. 

Pour le plasma, on utilise le modèle le plus 

simple : celui d’un milieu dilué dont les charges 

sont sans interactions entre elles et où les ions 

sont immobiles. Le but est uniquement de faire 

apparaître la relation de dispersion et ses 

conséquences. Toute étude des champs dans les 

milieux matériels est exclue. 

= – dBy 

du 

et en projection sur ⎯→ 

ez : 

d’où : – 1 

c Ez = By + cste (prise nulle car ne se propage pas) et 1 

c Ey = Bz + cste (prise nulle car ne se propage 

pas) et donc sous une forme vectorielle : ⎯⎯→ 

B = 1 

c ⎯→ 

ex Λ ⎯⎯→ 

E L’équation de Maxwell Ampère conduit au même résultat. 

Dans une onde électromagnétique plane progressive le champ électrique est transverse, le champ magnétique 

est transverse et le vecteur unitaire dans la direction de propagation, le champ électrique et le champ magnétique 

« forment » un trièdre direct : ⎯⎯→ 

B = 1 

c ⎯→ 

ex Λ ⎯⎯→ 

E


On a donc|| ⎯⎯→ 

⎯⎯→ 

|| E || 

B || = . 

c 

La force de Lorentz exercée sur une particule de charge q passant en M à la vitesse ⎯→ 

v est : 

⎯⎯→ 

F (M,t) = q ⎯⎯→ 

E + q ⎯→ 

v Λ ⎯⎯→ 

B = q ( ⎯⎯→ 

⎯→ 

v ⎯→ 

E + Λ ( u Λ 

c ⎯⎯→ 

E ) ) ≈ q ⎯⎯→ 

E si v


On peut donc rechercher une solution en onde plane à une équation de propagation. Faisons le pour le champ 

électrique ⎯⎯→ 

E = Re( ⎯⎯→ 

E ) avec ⎯⎯→ 

E = ⎯⎯→ 

E0 exp(i(ωt – ⎯→ 

k . ⎯→ 

r ) où l’on se « donne » ω et où l’on « cherche » ⎯→ 

k , ⎯⎯→ 

E0 ne 

dépendant ni du temps ni de l’espace, l’équation de propagation étant l’équation de d’Alembert obtenue à partir des équations 

de Maxwell dans le vide (ρ = 0 et ⎯→ 

j = ⎯→ 

0 ). 

div ⎯⎯→ 

E = 0 devient div ⎯⎯→ 

E = 0 (les équations de Maxwell sont linéaires) et de même pour les autres équations de 

Maxwell. Prenons ⎯→ 

k de coordonnées kx ky kz , il vient (– i kx E0x – i ky E0y– i kz E0z )exp(i(ωt – ⎯→ 

k . ⎯→ 

r ) = 0 ou bien 

– i ⎯→ 

k . ⎯⎯→ 

E = 0 et en revenant aux réels : ⎯→ 

k . ⎯⎯→ 

E = 0 et donc le champ électrique est transverse. 

On obtient de même à partir de div ⎯⎯→ 

B =0 que le champ magnétique est transverse. 

Si on écrit div ⎯⎯→ 

E sous la forme ⎯⎯→ 

∇ . ⎯⎯→ 

E on s’aperçoit que le « vecteur » (opérateur) ⎯⎯→ 

∇ « est » le vecteur – i ⎯→ 

k . 

L’équation de Maxwell Faraday s’écrit alors – i ⎯→ 

k Λ ⎯⎯→ 

E = i ω ⎯⎯→ 

B et en revenant en réels : ⎯⎯→ 

⎯→ 

k Λ 

B = 

⎯⎯→ 

E 

. 

ω 

L’équation de Maxwell Ampère donne – i ⎯→ 

k Λ ⎯⎯→ 

B = 1 ⎯⎯→ 

2 E qui compte tenu de la relation précédente conduit à 

c 

k 2 = ω2 

c 2 appelée relation de dispersion. On obtient k = ± ω 

conforme à ce qu’on a obtenu différemment précédemment. Si on 

c 

appelle X la direction de propagation (axe dirigeant ⎯→ 

k ), on écrit l’onde en cos (ωt – kX) ou cos ω(t– X 

ω 

k 

) ou ω 

est la vitesse de 

k 

propagation de cette onde sinusoïdale de pulsation ω, on l’appelle par définition la vitesse de phase vφ = ω 

k . Ici vφ = c quelle 

que soit ω, toutes les ondes sinusoïdales se propagent à la même vitesse (de phase), on dit qu’il n’y a pas de dispersion. Ce 

n’est pas le cas dans un verre (dispersion de la lumière dans un prisme). 

L’équation de propagation de d’Alembert pour le champ électrique (conséquence des équations de Maxwell) donne, 

avec ⎯⎯→ 

∆ = ⎯⎯→ 

∇ 2 , – k 2 + ω2 

c 2 = 0 c'est-à-dire directement la relation de dispersion. 

Attention : l’identification de ⎯⎯→ 

∇ avec – i ⎯→ 

k n’est vrai que si les équations sont linéaires bien sûr et que si l’onde est 

vraiment plane c'est-à-dire que ⎯⎯→ 

E0 ne dépend ni du temps ni de l’espace. Dans la suite (guide d’ondes), il nous arrivera de 

rechercher des solutions de « type » onde plane, c'est-à-dire du genre Re ( ⎯⎯→ 

E ) avec ⎯⎯→ 

E = ⎯⎯→ 

E0 (y,z) exp(i(ωt –kx) : cette onde 

n’est pas plane ( ⎯⎯→ 

E0 (y,z) n’a pas la même valeur en tout point d’un plan d’onde x= cste) mais y ressemble. On ne peut 

évidemment pas utiliser ⎯⎯→ 

∇ = – i ⎯→ 

k . 

3.3 Aspect énergétique. 

Écrivons l’OEMVPPM sous la forme Ex = 0 Ey(x,t) = E0y cos (ω(t – x 

c )) et Ez(x,t) = E0z cos (ω(t – x 

) – φ ) , le 

c 

champ magnétique s’en déduisant par : ⎯⎯→ 

B = 1 

c ⎯→ 

ex Λ ⎯⎯→ 

E : Bx = 0 By = – 1 

c E0z cos (ω(t – x 

c ) – φ ) Bz = 1 

c E0y cos (ω(t – x 

c )) 

d’où le vecteur de Poynting : ⎯⎯→ 

Π = Π ⎯→ 

ex avec Π = 1 

µ0 

1 

c (E0y 2 cos 2 (ω(t – x 

c )) + E0z 2 cos 2 (ω(t – x 

) – φ ) ) . On obtient aussi : 

c 

w = 1 

2 ε0 (E0y 2 cos 2 (ω(t – x 

c )) + E0z 2 cos 2 (ω(t – x 1 

) – φ ) ) + 

c 2µ0 

1 

c 2 (E0y 2 cos 2 (ω(t – x 

c )) + E0z 2 cos 2 (ω(t – x 

) – φ ) ) = 

c 

= 1 

µ0c 2 (E0y 2 cos 2 (ω(t – x 

c )) + E0z 2 cos 2 (ω(t – x 

) – φ ) ) . 

c 

On peut remarquer que la valeur moyenne dans le temps de Π est 1 

2 1 

µ0 

1 

c (E0y 2 + E0z 2 ) et celle de w est 

= 1 

2 1 

µ0 

1 

c (E0y 2 + E0z 2 ) d’où, par le même raisonnement que précédemment mais sur les valeurs moyenne dans le temps 

(ce qui est plus précis) une vitesse de propagation de l’énergie électromagnétique valant c. 

Remarque : il ne faut jamais calculer le vecteur de Poynting ou la densité volumique d’énergie par les complexes car 

ces expressions font intervenir des produits et on sait que Re( produit) ≠ produit des parties réelles !!. Par contre on rencontre 

parfois une façon de calculer la valeur moyenne (pour des fonctions sinusoïdales) qui est : 

< ⎯⎯→ 

Π > = 1 1 ⎯⎯→ 

Re( E Λ 

2 µ0 

⎯⎯→ 

B * ) = 1 1 ⎯⎯→ 

Re( E *Λ 

2 µ0 

⎯⎯→ 

B ) où * représente le conjugué et de même : 

= 1 

2 ε0 Re( ⎯⎯→ 

E ⎯⎯→ 

E *) + 1 

Re( 

2µ0 

⎯⎯→ 

B ⎯⎯→ 

B *) 

3.4 Polarisation. 

La polarisation caractérise le caractère vectoriel de la lumière qui est une onde électromagnétique. En général cette onde 

est localement plane et le champ électrique E r est perpendiculaire à la direction de propagation. 

• Si dans un plan d’onde donné, la direction du champ électrique est constante au cours du temps, l’onde est dite polarisée 

rectilignement. Lorsque cette onde se propage dans le vide elle garde en tout point une polarisation rectiligne de même 

direction. Il n’est pas en fait nécessaire que l’onde soit monochromatique.


• Lorsque l’onde est monochromatique, l’extrémité du champ électrique en un point d’un plan d’onde décrit a priori une 

ellipse. Le champ électrique se propageant suivant ici les z croissants s’écrit : 

⎧ Ex = E0 cos (ωt – kz) 

Ey = E1 cos ( ωt – kz – ϕ ) 

⎨ 

⎩ 

0 

par convention E0 et E1 sont positifs. Attention à la définition de la phase. 

L’ellipse est caractérisée par le déphasage ϕ entre les composantes Ex et Ey du champ électrique E r (Ox, et Oy étant 

dans un plan d’onde). 

L’onde venant vers l’observateur, la polarisation est : 

elliptique gauche si l’ellipse est décrite dans le sens trigonométrique ( 0 < φ < π ) 

elliptique droite si l’ellipse est décrite dans l’autre sens (π < φ < 2π). 

π et si E0 = E1 l’ellipse devient un cercle (polarisation circulaire droite ou gauche) . 

Si ϕ = ± 

2 

Si ϕ = 0 ou π, l’ellipse se réduit à un segment (la polarisation est rectiligne). 

D’où le tableau résumé suivant : 

• La lumière naturelle est dite non polarisée : Un très grand nombre de trains d’ondes (de durée τc ) successifs de 

polarisations quelconques se succèdent pendant la durée d’observation du récepteur τR ( τR >> τc ) . Pour une telle lumière, 

toutes les directions dans un plan d’onde sont statistiquement équivalentes. On représentera alors la lumière naturelle par un 

scalaire : la vibration lumineuse de Fresnel. 

• Toute onde lumineuse peut être décrite comme la superposition de deux ondes polarisées rectilignement selon deux 

directions orthogonales et l’intensité totale est égale à la somme des intensités des deux composantes. 

• De même toute onde de polarisation rectiligne est la somme de deux ondes polarisée circulairement droite et gauche de 

même amplitude. 

• Différents phénomènes physiques ont une action sur la polarisation des ondes lumineuses ; citons : 

◊ Le passage dans un filtre polarisant, ou polariseur : 

Polariseur rectiligne, loi de Malus 

Un polariseur rectiligne transforme une onde non polarisée ou déjà polarisée en une onde polarisée 

rectilignement. Sa direction de polarisation dépend de l’orientation du polariseur (on tourne celui-ci dans un plan 

perpendiculaire à la direction de propagation). 

Loi de Malus : Une onde incidente, d’intensité I0, polarisée rectilignement selon la direction r u 0, traverse un 

polariseur orienté selon la direction r u ; l’onde émergente est polarisée rectilignement selon la direction r r 

u et son intensité vaut 

I = K I0 cos 2 α avec α = ( r u 0, u ) et K est une constante inférieure à 1 qui caractérise le rendement du polariseur ; le 

π 

polariseur est idéal si K = 1. Quand α = ± , I = 0 et on dit que les polariseurs sont croisés ; il y a extinction. 

2 

◊ La réflexion sur un dioptre ou un métal 

◊ La diffusion (la lumière directe du soleil n’est pas polarisée mais le bleu du ciel l’est)


◊ Le passage dans certains milieux anisotropes, dans lesquels les différentes directions de polarisation ne 

sont pas équivalentes. 

◊ Le passage dans un milieu doté de pouvoir rotatoire, qui a pour effet de faire tourner la direction de 

polarisation d’une onde de polarisation rectiligne. 

4. Notion de transformée de Fourier. 

Soit un signal s(t) périodique dans le temps de période T0 , à valeurs réelles. Ce signal physique est supposé satisfaire à 

toutes les conditions mathématiques pour être développable en série de Fourier, c'est à dire que l’on peut écrire: 

an = 2 

T0 

+ ∞ 

s(t) = ∑ n=0 

⌡ ⌠ 

t1 

t1 + T0 

( an cos(2π nf0 t) + bn sin(2π nf0 t) ) où f0 = 1 

T0 

avec: 

s(t) cos(2π nf0 t) dt où t1 est quelconque et bn = 2 

an et bn sont ici des réels puisque s(t) est à valeurs réelles. 

T0 

⌡ ⌠ 

t1 

t1 + T0 

s(t) sin(2π nf0 t) dt 

Remarque : On peut aussi décomposer en série de Fourier des fonctions périodiques à valeurs complexes, an et bn sont 

alors des complexes 

Le nom ( t ) et le sens de la variable ( le temps ) peut aussi évidemment changer. 

Prenons comme exemple le signal périodique suivant, dessiné comme une fonction paire: 

E 

s(t) T0 

–τ/2 τ/2 

Il est facile de montrer que bn = 0 pour tout n ( s est une fonction paire ) et que an = 2 E τ 

T0 

sin u 

u 

pour tout n 

y compris 0 , avec u = nπf0τ. 

Nous traçons alors le spectre, c'est à dire tous les an , mais non pas en fonction de n , mais en fonction de f = n f0 . Nous 

obtenons pour le cas T0 = 5τ le document suivant (on ne voit pas ici a0 qui est sur l’axe vertical): 

Les an sont nuls périodiquement pour les n (≠ 0 puisque a0≠ 0) tels que sin πfτ = 0 soit f = k 

τ ( k ∈ IN* ) ou n = k 

donc ici n = 5, 10 , 15 … 

Nous prenons alors une période trois fois plus grande sans changer τ puis dix fois plus grande et nous obtenons les 

tracés suivants (on trace toujours en fonction de la fréquence) : 

0.4 

0.3 

0.2 

0.1 

0.4 

0.3 

0.2 

0.1 

0.4 

0.3 

0.2 

0.1 

0 

0 

0 

2 

2 

2 

4 

4 

4 

6 

6 

6 

8 

8 

8 

10 

10 

10 

12 

12 

12 

14 

14 

14 

τf0


Les fréquences où les an sont nuls sont restées les mêmes ( τ n’a pas changé) . Plus la période est grande plus le spectre 

est « serré » et nous pouvons admettre que quand la période tend vers l’infini c'est-à-dire qu’il ne reste plus qu’une impulsion 

de durée τ, alors le spectre est non plus discret mais continu. 

Dans les spectres discrets que nous avons tracés, les amplitudes des an et les bn sont en fait divisées par trois puis par 

dix quand la période est multipliée par trois puis dix : nous n’en n’avons pas tenu compte dans le tracé mais nous y 

reviendrons. 

Nous sommes passé à la transformée de Fourier d’un signal non périodique. 

On généralise la notion de série de Fourier en écrivant, pour un signal s(t) réel: 

+∞ 

+∞ 

s(t) = ⌡⌠ A(f) cos2πft df + ⌡⌠ B(f) sin2πft df que l’on transforme en : 

0 

0 

+∞ 

s(t) = ⌠ A(f) – i B(f) 

e 

⌡ 2 

0 

i 2πf t +∞ 

df + ⌠ A(f) + i B(f) 

e 

⌡ 2 

0 

– i 2πf t df 

Les fonctions A(f) et B(f) ne sont définies que sur IR+ . On introduit alors les fonctions a(f) et b(f) définies sur IR 

par : f ≥ 0 a(f) = A(f) et f ≤ 0 a(f) = A(–f) donc a(f) est une fonction paire de f. 

f > 0 

impaire de f. 

b(f) = B(f) et f < 0 b(f) = – B(–f) (et b(0) = 0 si l’on veut) donc b(f) est une fonction 

On pose S(f) = 1 

( a(f) – i b(f) ) 

2 

* On peut facilement vérifier qu’ainsi : s(t) = ⌡ ⌠ 

* On démontre que S(f) se calcule à partir de s(t) par 

Calculons directement le spectre S(f) de s(t) valant E de – τ 

2 

E 

à τ 

2 : 

– τ 

2 τ 

2 t 

S(f) = ⌡⌠ s(t)e – i 2πft dt = ⌡⌠ –∞ 

+∞ 

– τ 

2 

+ τ 

2 

S(f) = ⌡ ⌠ 

E e – i 2πft dt = E τ 

–∞ 

sin πf τ 

πf τ 

+∞ 

S(f)e i2πft df 

–∞ 

+∞ 

s(t)e – i 2πft dt 

* On montre facilement que si s(t) est paire alors S(f) est réelle et paire 

* De même : si s(t) est impaire alors S(f) est imaginaire et impaire 

* (on peut très bien avoir s(t) complexe et les deux relations encadrées s’appliquent alors aussi ) 

dont voici le tracé (en fonction de f) :


Nous retrouvons bien le spectre en sinu 

que nous avions, il est maintenant continu et non discret. 

u 

Nous n’avons tracé ce spectre que pour des fréquences positives pour pouvoir comparer simplement, mais le signal s(t) 

est l’intégrale de S(f) e i 2πft sur toutes les fréquences ( f de – ∞ à + ∞ ) et il faudrait donc tracer « tout » S . On profite en fait de 

la parité de S(f) (due à s(t) paire) pour écrire : 

s(t) = ⌡⌠ S(f)e i2πft df = ⌡⌠ 2S(f) cos(2πft) df = ⌡⌠ –∞ 

+∞ 

0 

+∞ 

+∞ 

S1(f) cos(2πft) df avec S1(f) = 2 E τ 

0 

sin πf τ 

πf τ 

qui est donc le 

double de ce qu’on a tracé et qui est ( au facteur T0 près ) exactement le même résultat que pour le signal périodique de départ. 

Ce facteur T0 ne peut évidemment pas intervenir puisque la fonction n’est pas périodique. Nous avons fait remarquer que les 

spectres discrets tracés voyaient leurs amplitudes divisées par 3 puis 10 quand T0 était multiplié par 3 puis 10. On aurait pu 

alors tracer les an multiplié par T0 pour obtenir cette fois exactement le même résultat. 

Et on peut aussi remarquer que les an et les bn ont la même dimension que s mais ce n’est pas le cas de S qui a la 

dimension de s multipliée par un temps d’où une justification dimensionnelle du résultat. 

Le fichier Maple « 01_passage_SF_TF.mws » permet de voir ces différents spectres pour le signal « impulsions 

périodiques » et le fichier Maple « 02_passage_SF_TF_anim.mws » permet de voir de façon animée l’évolution de ce signal 

« impulsions périodiques » quand la période augmente et l’évolution concomitante du spectre. Le fichier Maple 

« 03_signaux.mws » permet de voir différents signaux et leurs spectres. 

Il arrive que τ soit très faible. Nous voyons qu’alors le spectre est très étalé : si τ est divisé par 2, la fréquence où S(f) 

s’annule pour la première fois est multipliée par 2. De façon plus générale : si on « dilate » l’échelle a fois (a1 ) alors 

l’échelle des fréquences est « contractée » a fois. 

Ainsi un signal très bref (éclair) possède un spectre de fréquence très étendu : n’importe quel appareil récepteur 

(téléviseur, radio, téléphone…) accordé sur n’importe quelle fréquence « craque » lorsqu’il y a un éclair. 

De façon « symétrique » un signal sinusoïdal (une seule fréquence) est éternel.


II Dispersion, propagation dans un plasma, dans un métal, sur une ligne électrique. 

1. Idée de la dispersion. 

On s’intéresse à la propagation d’ondes planes progressives monochromatiques, modèle utile, qu’on associe entre elles 

pour former un paquet d’ondes (cf 3°). Ces ondes sont donc écrites avec cos ( ω( t – X 

)) où X est la direction de propagation 

et vφ la vitesse de propagation de cette onde sinusoïdale ou monochromatique appelée par définition vitesse de phase. Cette 

vitesse dépend a priori de ω, c’est le phénomène de dispersion, vocabulaire lié à la dispersion des couleurs de la lumière 

blanche dans un prisme. Quand cette vitesse de phase dépend effectivement de ω, on dit qu’il y a dispersion. On cherche 

comment elle dépend de ω, ou mieux comment k défini par ω 

dépend de ω : k(ω) est la relation de dispersion. Si il n’y a pas 

vφ 

de dispersion c’est que vφ = cste et donc que k et ω sont proportionnels et réciproquement. 

2. Propagation dans un plasma. 

Nous allons faire un modèle très simple : un plasma est un gaz ionisé mais restant électriquement neutre ( ρ = 0 ) . Il y a 

n ions positifs (masse M) de charge +e par unité de volume et n électrons (masse m) de charge –e par unité de volume. n est la 

densité particulaire. 

Ce gaz est soumis à un champ électrique ⎯⎯→ 

E et on peut donc écrire pour un ion : M 

pour un électron : m 

⎯⎯→ 

d v 

dt 

vφ 

⎯⎯→ 

d V 

dt 

= e ⎯⎯→ 

E et 

= – e ⎯⎯→ 

E (en moyenne, les vitesses sont en effet des grandeurs nivelées et on suppose que le 

champ varie peu sur le petit volume élémentaire de plasma). Nous considérons que seul un champ électrique agit sur les ions et 

électrons, il n’y a donc pas de chocs ni d’interactions entre les particules, c’est le cas dans un milieu dilué (faible pression). En 

M ⎯→ 

v et donc ⎯→ 

j = – n e ⎯→ 

v + n e ⎯⎯→ 

V ≈ – n e ⎯→ 

v puisque m


div ⎯⎯→ 

E = 0 nous conduit à k E0X sin (ωt – kX ) = 0 , vrai pour tout t et tout X d’où E0X = 0 , l’onde est TE. 

⎯⎯→ 

rot ⎯⎯→ 

⎯⎯→ 

∂ B 

E = – nous permet de calculer 

∂t 

⎯⎯→ 

B par – ∂BX ∂EZ ∂EY 

= – 

∂t ∂Y ∂Z = 0 d’où BX = 0 , l’onde est TM , 

– ∂BY ∂EX ∂EZ 

= – 

∂t ∂Z ∂X = – k E0Z sin (ωt – kX + ψ) d’où BY = – k 

ω E0Z cos (ωt – kX + ψ) 

– ∂BZ ∂EY ∂EX 

= – 

∂t ∂X ∂Y = k E0Y sin (ωt – kX + φ) d’où BZ = k 

ω E0Y cos (ωt – kX + φ) et donc : ⎯⎯→ 

⎯→ 

k Λ 

B = 

⎯⎯→ 

E 

ω 

comme dans le vide. On remarque ici que B = E 

< 

vφ 

E 

c puisque vφ > c ce qui justifie l’approximation faite plus haut. 

div ⎯⎯→ 

B = 0 est vérifié puisqu’on a trouvé que l’onde est TM 

L’équation de Maxwell Faraday avec ⎯→ 

⎯→ 

∂ j ne2 

j tel que = 

∂t m ⎯⎯→ 

E redonne la relation de dispersion. 

Tout se passe donc comme dans le vide sauf qu’il y a dispersion et la vitesse de phase est supérieure à c. Aucun 

signal, aucune information ne peut se propager à une vitesse supérieure à c (théorie de la relativité restreinte). Une onde 

monochromatique ne transporte en réalité aucune information. Comme pour le son, il faut moduler en fréquence (grave, aigu ) 

et/ou en amplitude (son fort, faible) pour qu’une information puisse exister et être propagée. Ainsi ce n’est pas une seule onde 

sinusoïdale qu’il faut générer et propager mais un ensemble, un groupe d’ondes. Nous allons étudier un tel groupe appelé 

paquet dans le paragraphe suivant et chercher la vitesse (dite de groupe) de ce paquet d’ondes. 

3. Notion de paquet d’onde. 

Nous considérons un signal fonction du temps seulement qui sera le signal à propager : c’est un réel. Il est constitué 

d'un ensemble continu de fréquences: c'est une somme (intégrale) de sinusoïdes d'amplitudes différentes (positives ou 

négatives) dépendant de la fréquence. Par contre dans le modèle que nous prenons toutes ces sinusoïdes sont en phase. 

Ce signal s(t) s’écrit donc ainsi : s(t) = ⌡⌠ 

0 

+∞ 

S1(f) cos 2πft df . (s(t) est donc ici par construction une fonction paire de t) 

Avec S1(f) à valeurs réelles appelé spectre de s(t). S1(f) est définie seulement pour f ≥ 0. 

De plus, et c'est là l'hypothèse "paquet d'ondes", toutes ces fréquences sont voisines d'une fréquence moyenne notée fp . 

L'étalement en fréquence est caractérisé par ∆f largeur à mi hauteur, ou à la base, … ou à 1/ 2, … ou à1/e … 

On a donc ∆f


Il y a équivalence entre l’aspect fréquentiel défini initialement du paquet d’onde : ensemble continu de fréquences 

voisines d’une fréquence « moyenne » notée fp et l’aspect temporel qui est une porteuse à la fréquence fp modulée en amplitude 

par un signal temporel fonction de la forme du spectre. 

Paquet d'onde gaussien : cet exercice part d’un signal du genre porteuse modulée en amplitude et montre que c’est un 

paquet d’onde. 

Soit un signal g(t) à valeurs réelles et fonction paire de t. 

1. Rappeler les relations existant entre g(t) et son spectre G(f) par transformée de Fourier ( c'est à dire la définition des 

transformées de Fourier). Justifier que G(f) est une fonction réelle. 

2. Exprimer g(t) sous la forme d'une intégrale sur les seules valeurs positives de f d'une fonction réelle de f notée G1(f). 

3. Ce signal g(t) est maintenant le signal modulant en amplitude une porteuse de fréquence fp . Exprimer le signal 

modulé s(t). Déterminer le spectre S(f) de s(t) à partir de la fonction G en faisant intervenir G(f – fp) et G(f+fp) . 

Exprimer s(t) sous la forme d'une intégrale sur les seules valeurs positives de f d'une fonction réelle de f. 

4. g(t) est un signal gaussien : g(t) = A exp( – π ⎛ t 2 ⎞ ). On montre que G(f) = A τ exp( – π (fτ) 

⎝τ ⎠ 2 ). Montrer que 

l’extension en fréquence de G est de l’ordre de 1/τ. On suppose alors que l’on a un paquet d’ondes donc que 

1/τ > 1/fp où τ est la largeur en temps du signal modulant. 

–∞ 

+∞ 

On considère G(f) = ⌡⌠ 

G(f) exp( i 2πft) df et G(f) = ⌡ ⌠ 

–∞ 

+∞ 

–∞ 

+∞ 

g(t) exp( - i 2πft) dt par « définition ». 

g(t) exp( - i 2πft) dt . g(t) est une fonction paire de t : on décompose l’intégrale en deux en utilisant 

exp( - i 2πft) = cos 2πft - i sin 2πft et la deuxième intégrale est donc nulle donc G(f) est réelle. La première est une fonction de 

f dans le cos 2πft donc une fonction paire de f : ainsi G(f) est une fonction paire de f. 

2. On peut donc écrire, puisque G(f) est paire : g(t) = ⌡ ⌠ 

–∞ 

+∞ 

G(f) exp( i 2πft) df = ⌡ ⌠ 

- ∞ 

+∞ 

G(f) cos 2 πft df = ⌡ ⌠ 

0 

+∞ 

2G(f) cos 2 πft df 

= ⌡⌠ G1(f) cos 2 πft df avec G1(f) = 2 G(f) (pour f positif seulement) On a fait « à l’envers » ce qui a été fait ci-dessus. 

0 

+∞ 

3. Par définition d’un signal modulé en amplitude : s(t) = g(t) cos 2πfpt On a S(f) = ⌡⌠ 

= ⌡ ⌠ 

+∞ 

–∞ 

+∞ 

= ⌡ ⌠ 

–∞ 

g(t) cos (2πfpt) exp( - i 2πft) dt = ⌡ ⌠ 

g(t) /2 exp (- i 2π(f – fp)t) dt + ⌡ ⌠ 

On en déduit : s(t) = ⌡ ⌠ 

–∞ 

+∞ 

donc on a encore s(t) = ⌡ ⌠ 

–∞ 

–∞ 

+∞ 

+∞ 

g(t) ( exp ( i 2πfpt) + exp (- i 2πfpt) )/2 exp( - i 2πft) dt = 

g(t) /2 exp (- i 2π(fp + f)t) dt = G(f – fp )/2 + G(f+fp)/2 

–∞ 

+∞ 

s(t) exp( – i 2πft) dt = 

( G(f – fp )/2 + G(f+fp)/2 ) exp( i 2πft) df où S(f) = G(f – fp )/2 + G(f+fp)/2 est une fonction paire de f 

0 

+∞ 

( G(f – fp ) + G(f+fp) ) cos( 2πft) df 

4. G(f) = A τ exp( – π (fτ) 2 A τ 

) est une fonction paire de f que l’on trace : elle est maximum et vaut A τ pour f = 0 et vaut 

e 

pour f = 1 

2 

Gmax 

. Elle est d’extension à la hauteur 

τ τ e . Lorsque l’on trace G(f – fp ) + G(f+fp) en fonction de f avec fp >> 1 

τ 

alors la fonction G(f+fp) est pratiquement nulle pour f >0. On a donc s(t) = ⌡ ⌠ 

0 

+∞ 

G(f – fp) cos2πft df et on retrouve la 

définition fréquentielle d’un paquet d’ondes. 

On peut bien sur reprendre tout « à l’envers » pour montrer l’équivalence entre l’aspect fréquentiel (définition d’origine) et 

l’aspect temporel.


Examinons quelques exemples : 

Sur la figure 1, on a deux paquets d’ondes de même période de porteuse (il y a dix périodes de t=0 à t=1 dans les deux 

cas). L’extension temporelle de ces deux paquets (l’un est gaussien (exp( – t 2 ) ) et l’autre triangulaire, on a tracé les fonctions 

modulantes en les décalant) est à peu près la même ( 2 de –1 à 1 , à la base) . On constate que les deux spectres sont bien 

centrés sur la même fréquence centrale de porteuse fp et qu’ils ont à peu près la même largeur ∆f ( à la base de 9 à 11 ) par 

contre leur allure n’est pas la même(TF de la fonction gaussienne et TF de la fonction triangle). Si on prenait les largeurs à mi 

hauteur on aurait τ ≈ 1 et ∆f ≈ 1 soit τ ∆f ≈1 . 

FIGURE 1 

Sur la figure 2, la période de la porteuse est restée la même mais les signaux sont deux fois moins étalés dans le temps. 

Les spectres restent donc centrés sur la même valeur de fréquence moyenne fp mais sont deux fois plus larges tout en gardant la 

même allure. 

Sur la figure 3 on a doublé la période de la porteuse et on a gardé des signaux modulants identiques à ceux de la figure 

2 : on constate que les spectres ont gardés la même forme que dans la figure 2 mais qu’ils sont centrés sur la fréquence moitié.


FIGURE 2 

FIGURE 3


Pour les calculs, nous privilégierons la définition fréquentielle d'un paquet d'onde. Mais il est bien clair que d'un point 

de vue technique, il est difficile de créer un signal temporel à partir d'une somme continue donnée ( S1(f) ) de sinusoïdes. Il est 

par contre très simple (voir TP analyse spectrale) de créer un signal s(t) de type porteuse modulée en amplitude: il suffit d'un 

signal modulant sm(t) ( par exemple le courant électrique variable obtenu dans un microphone et qui suit proportionnellement 

la voix ) , d'un décalage pour que le vrai signal modulant soit toujours positif afin que la démodulation ( la récupération du 

signal modulant après propagation ) soit facile (voir TP analyse spectrale), et d'un système électronique appelé multiplieur. On 

applique ensuite s(t) à une antenne et le signal ( électromagnétique) se propage alors . C'est ce qui se passe en radio pour les 

grandes ondes, ondes courtes et moyennes. A la réception, la porteuse est éliminée par un filtre passe bas et le signal modulant 

récupéré par un circuit à diode par exemple. 

L'information n'est que dans le signal modulant, il est bien évident que la fréquence de la porteuse n'intervient pas, mais 

plus elle est élevée, plus la largeur en fréquence du signal modulant peut être grande. 

Le fichier Maple « 04_paquets.mws » permet de voir ces différents signaux modulés et leurs spectres. 

4. Notion de dispersion. 

Soit le paquet d’ondes s(t) le plus simple possible : c’est un signal constitué de 2 sinusoïdes de mêmes amplitudes A, 

non déphasées, de pulsations très voisines ω1 et ω2 avec ω2 > ω1. La sinusoïde de pulsation ω1 se propage à la vitesse v1 dans la 

direction x et on écrit s1(x,t) = A cos (ω1t – k1x ) avec k1 = ω1 

v1 

. On écrit de même s2(x,t) = A cos (ω2t – k2x ) avec k2 = ω2 

Le signal total est un paquet d’onde si ω2 – ω1 ( = 2 δω) est petit devant le ω moyen : ωm = ω1 + ω2 

2 

v2 

. v1 et v2 sont 

alors proches (peu de dispersion)et donc, en posant km = k1 +k2 

et δk = 

2 

k2 – k1 

on a aussi δk


L’onde se propage tout en se déformant. Ici le signal modulant se propage moins vite (deux fois) que dans le cas 

précédent. Il peut aussi se propager plus vite. Voir les simulations Maple : 05_propa_paquet_2_ondes_sin1.mws ou 

05_propa_paquet_2_ondes_sin0.mws où il faut valider toutes les lignes. 

On reprend avec un autre paquet d’ondes s(t): c’est ici un signal constitué de sinusoïdes de mêmes amplitudes A, non 

déphasées, de pulsations très voisines s’étalant de ω1 à ω2 avec ω2 > ω1 . On pose ∆ω = ω2 – ω1 et ωp = 

2 

ω2 + ω1 ( p comme 

2 

porteuse, voir aspect temporel d’un paquet d’ondes : porteuse modulée en amplitude) et l’on a ∆ω


On en conclut donc que le paquet d’onde dont la forme temporelle est en 

sin u 

(signal modulant) se déplace à une 

u 

vitesse qui est ⎛ ⎞ 

⎝ ⎠ 

dω 

dk ωp que l’on appelle la vitesse de groupe. Le fait d’avoir un paquet d’ondes c’est à dire une extension faible 

en fréquence autour d’une fréquence donnée fp est indispensable puisque l’on a fait un DL au premier ordre seulement. 

On retiendra : vϕ = ω 

k et vg = ⎝ ⎛ 

dω 

dk ωp . 

⎞ 

⎠ 

Si il y a dispersion c’est que vϕ dépend de ω (ou que k n’est pas proportionnel à ω) et réciproquement. Si on connaît la 

relation entre ω et k appelée relation de dispersion on peut alors calculer la vitesse de groupe au voisinage de la pulsation sur 

laquelle est "centré" le paquet d'onde par vg = ⎛ ⎞ 

⎝ ⎠ 

dω 

dk ωp et on a vg≠ vϕ. 

Si il n’y a pas de dispersion c’est que la vitesse de phase est indépendante de ω (ou que k est proportionnel à ω) et 

réciproquement ; tout le paquet d’ondes se déplace donc à cette même vitesse et l’on a ainsi vg = vϕ . Ainsi : pas de dispersion 

⇒ vg = vϕ donc ⎛ ⎞ 

⎝ ⎠ 

dω 

= 

ω 

et donc ω et k sont proportionnels : la relation de dispersion est 

ω 

dk k k = cste = vϕ = vg ! 

Réciproquement si la relation de dispersion est ω 

= cste alors la vitesse de phase est constante ainsi que celle de groupe qui lui 

k 

est égale et il n’y a pas de dispersion. 

Tout ceci est montré dans les fichiers Maple suivants où la forme de « l’enveloppe » ou signal modulant est le sinus 

cardinal précédent ou une gaussienne ou un rectangle : 06_propa_paquet_sinc1.mws et 07_propa_paquet_gaussien1.mws et 

08_propa_paquet_rect1.mws ou les mêmes sans le chiffre final 1. 

Reprenons le cas du plasma avec la relation de dispersion de Klein Gordon : k 2 = ω2 

c 2 2 

ωc 

– 

c 2 où on a écrit ωc à la place de 

ωplasma . On différentie cette relation et on obtient 2 k dk = 1 

inférieur à c. 

c 2 2 ω dω et donc vg vφ = c 2 2 

ωc 

soit vg = c 1 – 

ω 2 qui est bien 

Donnons quelques exemples de propagation de paquets d’ondes de modulations d’amplitudes différentes, de même 

porteuse, dans un milieu dispersif avec la relation de dispersion de Klein Gordon k 2 = ω2 

pulsation de coupure (haute : ω > ωc pour qu’il y ait propagation) 

c 2 – 

ωc 2 

c 2 . ωc est une constante : la 

On fixe d’abord ∆ω = ωc 

2 et ωp = 3 ωc (on changera ces rapports après) . On voit en x = 1 puis 5 puis 10 , en fonction du 

temps, d’abord (de haut en bas) un signal gaussien qui se propage sans dispersion, puis avec, puis les signaux modulés en 

triangle et rectangle qui se propagent aussi avec dispersion.


En x=1, les signaux « viennent juste de partir », ils se sont propagés sans déformation ni étalement, à la même vitesse. 

En x = 5, on constate que la propagation des paquets d’ondes se fait à une vitesse plus faible quand il y a dispersion 

(signaux 2 3 4 ) et qu’il y a déformation de ces signaux, la vitesse (de groupe) de propagation des paquets ne semble pas 

dépendre de la forme ou modulation du paquet.


Le même phénomène continue en x = 10 . Les trois signaux dispersés arrivent par exemple à t ≈ 10.5 au lieu de t = 10 

pour le non dispersé donc leur vitesse (commune) est c × 10 

≈ 0.95 c , ce qui est en accord avec la vitesse de groupe 

10.5 

2 

ωc 

vg = c 1 – 

ωp 2 ≈ 0.94 c qui est effectivement bien indépendante de la forme du signal modulant. 

Plus on observe loin, plus, bien sûr, le retard est important (il est proportionnel à la distance parcourue ! ) . Plus on 

observe loin, plus les signaux se déforment, le rectangle se déformant plus que le triangle, lui-même plus que la gaussienne. 

On prend maintenant ωp = 1.5 ωc 

Ici on a seulement changé la fréquence de la porteuse qui est 1.5 ωc . On constate que les retards sont toujours les 

mêmes pour les trois signaux dispersés par rapport au signal gaussien tracé en premier qui n’est pas dispersé. Le rapport des 

temps d’arrivée en x = 5 est maintenant 5 

6.8 soit vg 

2 

ωc 

≈0.74 c en bon accord avec la formule vg = c 1 – 

ωp 2 qui donne 0.75 c. 

Les signaux modulants ne sont par contre, plus vraiment reconnus et les choses empirent si, en restant à la même 

fréquence de porteuse on élargit la largeur en fréquence du paquet d’ondes : on prend maintenant ici ∆ω = ωc . 

On ne reconnaît plus du tout les signaux modulants. Par contre ils semblent arriver encore tous avec à peu près le


même retard qu’on peut assez difficilement évaluer puisqu’il n’y a plus de maximum vraiment visible, ce retard restant voisin 

du précédent : ceci est assez normal puisqu’on n’a pas changé la fréquence de la porteuse, mais la formule donnant vg 

s’applique à un paquet d’ondes et on a ici ∆ω 

= 

ωp 

1 

ce qui n’est pas vraiment petit devant 1 !!, on ne peut plus parler de 

1.5 

paquet d’ondes. 

On peut interpréter ceci sur la courbe de dispersion donnant ω en fonction de k (ou ω / ωc en fonction de k c/ ωc ) : 

Cas 2 

Cas 1 

Cas 3 

Ces exemples sont dans les fichiers Maple 06_propa_paquet_sinc1.mws 07_propa_paquet_gaussien1.mws 

08_propa_paquet_rect11.mws et le fichier Maple 11_propa_paquet_gauss_CA.mws simule la propagation d’un paquet 

d’ondes gaussien mais dans un milieu dispersif avec une relation de dispersion genre chaîne d’atomes (voir exercice 23). 

Exemples de propagation sans dispersion : 

- OEMPPV ; c’est une onde vectorielle , transverse. 

- Ondes de courant et de tension sur une ligne électrique dans la condition de Heaviside. Il s’agit d’ondes scalaires. 

Elles sont atténuées par absorption lors de la propagation. 

Exemples de propagation avec dispersion : 

- OEMPP dans un plasma ; elles sont vectorielles et transverses et ne sont pas atténuées. 

- OEM dans un guide d’onde ; elles sont vectorielles mais ne sont plus transverses en général. Elles ne sont pas 

atténuées si les parois sont en métal parfait. 

- OEMPP dans un métal dans l’approximation de l’effet de peau. Elles sont vectorielles, transverses et atténuées. 

- Ondes de courant et de tension sur une ligne électrique dans le cas général : elles sont scalaires, atténuées.


5. Propagation dans un câble coaxial : équation des télégraphistes. 

Un câble ou une ligne coaxiale (ou bifilaire) est un ensemble de deux conducteurs séparés par un isolant non parfait. 

Ainsi une longueur dx de câble possède une résistance totale (pour les deux fils) de rdx, une conductance (entre les deux fils) 

de gdx, une inductance propre pour la longueur dx de λdx et une capacité entre les deux fils de γdx . 

Un élément de longueur de valeur dx est donc représenté par exemple ainsi : 

i ( x , t ) r dx λdx i ( x + dx , t ) 

∂∂∂∂∂∂∂ 

u ( x , t ) u ( x + dx , t ) 

g dx γdx 

schéma à l'instant t 

i ( x , t ) i ( x + dx , t ) 

Rq : on peut aussi dessiner la liaison entre les deux fils par gdx et γdx avant l’ensemble rdx et λdx 

Les fréquences des signaux sont telles que les lois des régimes quasi permanents sont applicables à un instant t dans le 

quadripôle de longueur dx. 

1. Établir une relation entre ∂u 

, i et 

∂i 

puis entre 

∂i 

, u et 

∂u 

∂x ∂t ∂x ∂t 

2. Déduire de ces relations une équation aux dérivées partielles vérifiée par u(x,t) et une autre vérifiée par i(x,t). C'est 

l'équation des télégraphistes. 

3. Dans le cas d'une ligne sans pertes, que valent r et g ? Que devient l'équation des télégraphistes dans ce cas ? 

Donner la solution de cette équation. 

4. On revient à une ligne avec pertes et on cherche, si elle existe, une solution pour i(x,t) de la forme 

Re( Imax exp( – αx) exp( j(kx – ωt)) ). En déduire deux relations liant, k et ω aux caractéristiques r, g, γ, et λ. Trouver alors 

une relation bicarrée liant k et ω. Nom de cette relation ? Commentaire. Conclure sur ce qui va arriver à un signal que l’on 

veut propager le long de la ligne. Justifier la forme proposée pour i(x,t). 

5. On cherche à ce que cette ligne avec pertes soit sans dispersion. Trouver une condition portant sur les quatre 

caractéristiques du câble pour qu'il en soit ainsi. C'est la condition de Heaviside. Donner alors la relation de dispersion ainsi 

que les vitesses de phase et de groupe. L’onde s’atténue-t-elle en se propageant ? Cette atténuation dépend elle de la 

fréquence ? Conclure sur la propagation le long de la ligne avec cette condition. 

Remarque : on a ici l’aspect électrocinétique de la propagation, on peut en voir un aspect électromagnétique 

(propagation des champs électrique et magnétique) dans l’exercice11. 

6. Propagation dans un métal. 

j ) 

2. En déduire une équation liant ——→ 

E ρ et —→ 

j et redonnant l'équation de propagation de ——→ 

E lorsque ρ = 0 et —→ 

j = ——→ 

0 . 

3. Le milieu est maintenant ohmique de conductivité γ : 

a) Rappeler l'équation locale de conservation de la charge. Que devient-elle dans le métal ohmique? Que vaut 

1. Rappeler les équations de Maxwell dans un milieu ( ρ —→ 

finalement très rapidement ρ dans un métal ohmique ? ( γ ≈10 7 S.I. ) 

b) Quelle est alors dans ces conditions l'équation de propagation vérifiée par ——→ 

E ? 

c) On en cherche une solution de type onde plane progressive monochromatique. Justifier la recherche de solutions 

de ce type. Écrire la forme de ——→ 

E ( en complexe ). Déterminer la relation de dispersion. Que devient-elle si la 

fréquence ne dépasse pas 1 GHz? Trouver finalement l'expression approchée de ——→ 

E puis de ——→ 

E en introduisant 

δ = 

2 

( épaisseur de peau ). Déterminer les vitesses de phase et de groupe. Y a-t-il dispersion ? Faire une 

µ0γω 

application numérique pour une fréquence de 100 MHz. 

d) Montrer que l'onde est TEM. 

e) Déterminer ——→ 

B puis ——→ 

B puis dessiner ——→ 

E et ——→ 

B à t fixé en fonction de x pour une polarisation rectiligne. 

f) Déterminer les limites de toutes les grandeurs ( ——→ 

E ——→ 

B et —→ 

j ) dans le métal lorsque la conductivité tend vers 

l'infini ce qui est une définition d'un métal parfait. Que sont alors les relations de passage? 

Remarque : aller voir sur le site de Y Cortial la simulation animée de la propagation du champ électromagnétique 

dans un métal et voir le fichier Maple 10_propa_gauss_métal1.mws pour voir l’animation de la propagation d’un paquet 

d’ondes gaussien avec la dispersion et l’atténuation dans le métal.


III Rayonnement des ondes électromagnétiques 

Programme: 

Structure à grande distance du champ d'un dipôle oscillant. 

Puissance rayonnée. 

La connaissance et la démonstration des résultats 

ne sont pas exigibles mais la succession des 

approximations qui y conduisent doit être connue 

des étudiants. En particulier, les expressions des 

potentiels retardés sont admises. On fait 

apparaître les différentes échelles de longueur 

pertinentes (extension spatiale du dipôle, 

longueur d'onde λ et distance r au point 

d'observation) et leur hiérarchie dans l'obtention 

des expressions des champs E et B. On se borne à 

présenter celles-ci seulement dans la zone de 

rayonnement définie par r >> λ.. 

On a étudié la propagation d’ondes électromagnétiques sans savoir comment elles étaient « fabriquées ». Nous étudions 

ici une source de rayonnement électromagnétique : le dipôle électrique oscillant. Il y en a d’autres (dipôle magnétique par 

exemple) mais celui-ci est le plus fondamental et le plus souvent rencontré dans la nature. Il permet d’étudier : 

• L’émission de lumière dans une théorie classique de l’atome avec un électron élastiquement lié. 

• Le rayonnement des antennes émettrices les plus courantes. 

1. Position du problème. Approximations: 

On cherche à calculer en un point M les champs ⎯⎯→ 

E (M, t) et ⎯⎯→ 

B (M, t) dont les sources sont des charges et des 

courants. La solution passe par l'utilisation des potentiels retardés et l'on fait deux hypothèses pour obtenir une solution assez 

simple (ces deux hypothèses correspondent aussi souvent aux conditions expérimentales). 

• La distribution des charges (les courants sont des charges mobiles) est dans un volume fini de taille maximale a . 

Soit O un point quelconque choisi dans ce volume et servant d'origine. Les charges qi sont en Ai et la première hypothèse 

consiste à poser : ∀i || ⎯⎯→ 

OAi || λ c'est la troisième 

approximation appelée de la zone de rayonnement qui permet de ne garder qu’un seul terme des expressions déjà approchées 

des champs ⎯⎯→ 

E et ⎯⎯→ 

B . 

Remarque : on aurait pu introduire directement un dipôle électrique formé d’une charge fixe – q placé en O et d’une 

charge mobile +q en S sur l’axe Oz : on a alors ⎯→ 

p (t) = +q ⎯⎯→ 

OS =q z(t) ⎯→ 

uz avec z(t) = z0 cos ωt dans le modèle le plus simple.


2. Champ de rayonnement d'un dipôle de direction fixe. 

On a les trois hypothèses présentées précédemment et de plus le moment dipolaire électrique ⎯→ 

p garde une direction fixe 

(comme dans la remarque). Après calculs (hors programme) on obtient: 

⎯→ 

p de direction fixe ( Oz ) : ⎯→ 

p = p(t) ⎯→ 

uz et r >> λ >> a On a, en coordonnées sphériques: 

⎯⎯→ 

E ( ⎯→ 

r , t ) = µ0sinθ 

4πr c 

l’onde est donc polarisée rectilignement 

⎯⎯→ 

B ( ⎯→ 

r , t ) = µ0sinθ 

4πrc 

On peut écrire ⎯⎯→ 

B = 1 

• Les champs sont nuls sur l'axe du dipôle ( θ = 0 ou π ) et maxima pour θ = π 

: le rayonnement n’est pas isotrope, il se 

2 

fait surtout au voisinage du plan perpendiculaire à ⎯→ 

p . 

• Toutes les ondes se propagent à la vitesse c , quelle que soit leur fréquence : il n’y a pas de dispersion (on est dans le 

vide illimité). 

3. Puissance rayonnée 

Le vecteur de Poynting est ⎯⎯→ 

Π = 1 

• Choisissons p = p0 cos ωt . Alors ⎯⎯→ 

Π = 1 

µ0 

⎯⎯→ 

E Λ ⎯⎯→ 

B = µ0sin 2 θ 

16π 2 r 2 c ( 

.. 

p ( t – r ⎯→ 

))2 ur . 

c 

µ0 

⎯⎯→ 

E Λ ⎯⎯→ 

B = µ0sin 2 θ 

16π 2 r 2 c p0 2 ω 2 (cos ω( t – r ⎯→ 

))2 ur et < 

c ⎯⎯→ 

Π > = A sin2θ ⎯→ 

2 ur . 

r 

On trace alors pour r fixé || < ⎯⎯→ 

Π > || en fonction de θ : c’est le diagramme de rayonnement dans un plan φ 

quelconque: 

• Revenons à ⎯→ 

p non sinusoïdal (mais toujours de direction fixe et toujours dans la zone de rayonnement). 

La puissance rayonnée à l'instant t à travers la sphère de rayon r centrée sur le dipôle est donc : 

P = ∫∫ 

⎯⎯→ 

Π . ⎯⎯→ 

2π 

dS = ∫ 

0 

.. 

p ( t – r 

π 

dφ ∫ 

0 

) ⎯→ 

uθ 

.. 

p ( t – r ⎯→ 

) uφ M 

c 

c ⎯→ 

E : 

ur Λ ⎯⎯→ 

l'onde est localement plane, O 

mais pas sphérique ( on a bien du 1/r 

mais il y a sin θ ) 

sin 2 θ 

r 2 r 2 sinθ dθ µ0 

16π 2 c (( 

.. 

p ( t – r 

c ))2 = 

1 

6πε0c 3(( 

.. 

p ( t – r 

c ))2 et ainsi toute charge 

accélérée rayonne de l'énergie. Le rayonnement moyen dans le temps ( ) est indépendant du rayon de la sphère, il y a 

conservation de l’énergie (on est dans le vide). 

• Si ⎯→ 

p (t) = p0 cosωt ⎯→ 

ez alors = ω 4 2 1 1 

p0 

2 6πε0c 3 = 4π3 2 

c p0 

2 

3ε0 λ 4 c'est la diffusion Rayleigh: le bleu ( λ = 0.4 µm ) 

est 16 fois plus diffusé que le rouge ( λ = 0.8 µm ) : d'où le bleu du ciel et le rouge du soleil couchant. 

Ouvrages à consulter: 

Physique 2 ième année MP TEC DOC chap 21,p501, notamment les « questions » p517 

Physique tout en un 2 ième année MP j’intègre DUNOD chap 16 

Ondes Hprépa HACHETTE chap 6 

Toute la Physique Chimie MP ELLIPSES p590 à 594 + exos 

Mille et une questions de physique en prépa ELLIPSES p 138, 146, 151 + réponses 

θ 

⎯→ 

uz 

φ 

θ 

r 

⎯⎯→ 

B 

⎯⎯→ 

E 

⎯→ 

ur


IV Réflexion d’une onde EM sur un métal. Onde stationnaire. Guides d’ondes. 

Programme: 

ELECTROMAGNETISME 

C4 Propagation et rayonnement 

Réflexion sous incidence normale d’une onde plane, 

progressive et monochromatique sur un plan conducteur 

parfait. Onde stationnaire. 

Propagation guidée entre deux plans métalliques parallèles. 

Application au guide d’ondes infini à section rectangulaire. 

L’étude se limite à celle des champs de l’onde 

réfléchie et de l’onde stationnaire. L’étude de 

l’effet de peau est hors programme. 

L’étude se limite à celle des champs du mode 

fondamental TE10. On met en évidence le fait que 

la relation de dispersion et la présence d’une 

fréquence de coupure sont dues aux conditions 

aux limites. 

On s’intéresse dans ce chapitre à une onde EM qui se propage dans le vide et qui rencontre un autre milieu. Ceci est très 

général et mène aux lois de Descartes à la réflexion et à la réfraction ainsi qu’à la répartition de l’énergie entre l’onde 

transmise et l’onde réfléchie mais on se restreint ici à une arrivée sous incidence normale sur un milieu conducteur supposé 

parfait. 

1. Réflexion d’une OEMPP sur un plan métallique parfait, sous incidence normale. 

1.1 Métal parfait. Aspect qualitatif. 

Un métal parfait est d’abord un métal ohmique homogène très bon conducteur: ⎯→ 

j = γ ⎯⎯→ 

E ( avec γ très grand). La 

puissance volumique dissipée est donc γ E 2 et elle est nulle par définition d’un conducteur parfait. On en déduit ⎯⎯→ 

E = ⎯⎯→ 

0 

dans un tel conducteur. L’équation de Maxwell Gauss conduit à ρ = 0 , celle de Maxwell Faraday à ce que seul un champ 

magnétique statique peut y régner. L’équation de Maxwell Ampère donne de même que seuls des courants permanents peuvent 

circuler dans le conducteur. Ainsi, en régime variable, dans le conducteur parfait : ⎯⎯→ 

E = ⎯⎯→ 

0 ; ⎯⎯→ 

B = ⎯⎯→ 

0 ; ⎯→ 

j = ⎯⎯→ 

0 ; ρ = 0 ; 

P = 0 . Ceci correspond à un modèle de métal réel où l’on fait tendre la conductivité γ vers l’infini ou bien δ (épaisseur de 

peau) vers 0. 

Il peut par contre exister en régime variable une densité surfacique de charges σ et une densité de courant surfacique ⎯→ 

jS 

sur un métal parfait. Il y aura alors (éventuellement) discontinuité de la composante normale du champ électrique et de la 

composante tangentielle du champ magnétique (revoir relations de passage). 

Une OEM , transportant donc de l’énergie (vecteur de Poynting non nul) arrivant du vide sur un tel métal parfait ne peut y 

pénétrer et est donc réfléchie, avec toute l’énergie initiale : il faut donc déterminer cette onde. 

1.2 Onde réfléchie. 

L’OEM dans le vide est Plane et Progressive et Monochromatique (cf Fourier, élément constitutif d’un paquet d’ondes) et 

arrive sous incidence normale, elle est prise de Polarisation rectiligne car toutes les directions sur le plan métallique sont 

équivalentes quand on arrive sous incidence normale (on peut ensuite faire la somme sur deux directions perpendiculaires pour 

traiter une polarisation elliptique). 

Par isotropie et symétrie, l’onde réfléchie est aussi normale, plane et est régressive bien sûr. Elle est de même fréquence 

(cela se montre, exercice n° 15 ) et se propage à la même vitesse c. 

⎯⎯→ 

Ei 

⎧ 

⎨ 

⎩ 

0 

Ei0cos( ωt – kx) 

0 

⎪ 

⎧ 

⎨ 

⎯⎯→ 

Bi 

⎩⎪ 

0 

0 

Ei0 

c cos( ωt – kx) 

avec k = ω 

c 

plan conducteur parfait placé en x = 0. On peut alors écrire ⎯⎯→ 

Er 

, la propagation se faisant selon les x croissants jusqu’au 

⎧ 0(car onde plane régressive donc transverse) 

Er0 cos (ωt + kx + φ) 

⎨ 

⎩ 

Ez0 cos( ωt + kx + φ') 

applique les conditions aux limites ou de passage au champ électrique « en » x = 0, conditions vraies à tout instant, le champ 

dans le métal étant nul et le champ pour x < 0 étant la superposition du champ incident et du champ réfléchi. 

On obtient ainsi en raisonnant sur les composantes tangentielles :Ez0 = 0 ; φ = 0 ; Er0 = – Ei0 et , en raisonnant sur la 

composante normale : σ = 0 . D’où : 

⎯⎯→ 

Er 

⎧ 0 

⎨ 

⎩ 0 

et ⎯⎯→ 

Br = 

( – ⎯→ 

ux ) Λ ⎯⎯→ 

Er 

c 

⎪ 

⎧ 

⎨ 

⎩⎪ 

0 

0 

– Ei0 cos (ωt + kx ) 

= 

Ei0 

cos( ωt + kx) 

c 

La continuité de la composante normale de ⎯⎯→ 

B est assurée et la discontinuité de la composante tangentielle conduit à 

l’existence d’un courant surfacique de densité ⎯→ 

jS = 

2 Ei 

µ0c 

et on 

cos (ωt) ⎯→ 

uy , qui, rappelons-le, ne dissipe pas de puissance. On peut 

dire que l’origine physique de ce courant est le champ électrique qui met donc en mouvement les électrons dans le même sens 

(et en phase) ; ce courant variable avec le temps, dans une direction fixée, est assimilable à un ensemble de dipôles électriques


qui donc rayonnent dans toutes les directions d’où l’existence du champ réfléchi qui se superpose au champ incident. On peut 

dire que cette superposition a aussi lieu dans le métal et elle conduit à un champ nul partout. 

1.3 Onde stationnaire. 

On calcule les champs totaux pour x < 0 : ⎯⎯→ 

E = 2 Ei0 sin(ωt) sin (kx) ⎯→ 

uy et ⎯⎯→ 2 Ei0 

B = 

cos(ωt) cos(kx) ⎯→ 

uz 

c 

Il y a superposition, somme, interférence des deux ondes qui donnent une onde ici appelée stationnaire. 

En x = –n π λ 

⎯⎯→ 

= – n ( n ∈ IN ) le champ électrique est nul quel que soit t ; ce sont les nœuds de E . 

k 2 

Les nœuds de ⎯⎯→ 

B sont en x = – (n+ 1 λ 

⎯⎯→ 

) qui sont les positions des ventres de E : points ou l’amplitude du champ électrique 

2 2 

est maximale. Et les ventres de ⎯⎯→ 

B sont aux positions des nœuds de ⎯⎯→ 

E . 

En un point donné, les deux champs électrique et magnétique sont en quadrature, ce que montre le schéma suivant du tracé des 

champs en fonction de x à deux instants différents : 

1.4 Aspect énergétique. 

La densité volumique d’énergie est w = 1 

2 ε0 E 2 + 1 

2µ0 

B 2 = 2 ε0E0i 2 sin 2 ωt sin 2 kx + 2 ε0E0i 2 cos 2 ωt cos 2 kx 

Le vecteur de Poynting est nul en chaque nœud, de ⎯⎯→ 

E comme de ⎯⎯→ 

B , donc, comme on est dans le vide et qu’il n’y a donc 

pas de dissipation d’énergie, l’énergie comprise dans une tranche (de surface S) entre deux nœuds successifs doit être 

indépendante du temps. Vérifions : W = 2 ε0E0i 2 ⌠ 

S ⎮ 

⌡– 

(n+ 1 

– n 

λ 

) 

2 2 

λ 

2 ( sin 2 ωt sin 2 kx + cos 2 ωt cos 2 kx ) dx = ε0E0i 2 S λ 

4 indépendant 

de t. 

On peut aussi calculer le flux moyen (dans le temps) du vecteur de Poynting de l’onde incidente à travers une section 

droite en x fixé et le flux moyen pour l’onde réfléchie : ils sont opposés. Toute l’énergie incidente est réfléchie. 

Ouvrages à consulter (CDI) : 

Physique 2 ième année MP TEC DOC chap 18 

Physique tout en un 2 ième année MP j’intègre DUNOD chap 15 

Ondes Hprépa HACHETTE chap 8 

Toute la Physique Chimie MP ELLIPSES p488 à 503 + exos 

Sur le site de Y Cortial voir : ondes stationnaires (dans ondes EM) ; onde réfléchie et onde stationnaire (dans ondes 

générales) ; réflexion par une paroi fixe (dans ondes mécaniques) 

Voir aussi les deux très courtes vidéos : ondes transversales puis ondes longitudinales sur un ressort.


2. Ondes stationnaires. Modes propres. Résonances. 

2.1 Ondes stationnaires. 

• Soit une équation de propagation c'est-à-dire une équation reliant des dérivées partielles par rapport au temps et par 

rapport à l’espace d’une grandeur scalaire (ou vectorielle) réelle s(M,t). En chercher une solution en onde stationnaire est 

chercher une solution (sans doute particulière) de la forme s(M,t) = h(M) l(t) ( h et l fonctions à valeurs réelles). 

• Prenons l’exemple de l’équation de propagation dite de d’Alembert : ∆s – 1 

v 2 ∂2s ∂t 2 = 0 

Il vient : l ∆h – 1 

v 2 h d2l dt 2 2 ∆h 1 

= 0 et, en séparant les variables, v = 

h l d2l dt 2 , équation dans laquelle le premier membre ne 

dépend que de la position et le deuxième que du temps donc ces deux termes égaux sont la même constante (réelle puisque l et 

h le sont). 

Résolvons alors 1 

l d2l dt 2 = cste . Si la constante est positive la solution l(t) est une somme de ch et de sh ( de cste t ) et 

| l(t) | = + ∞ ce qu’on exclut en physique. Il en est de même si cste = 0 où l(t) est alors fonction affine de t . Il ne 

donc lim 

t → +∞ 

reste donc que la seule possibilité : cste négative, et la fonction l(t) est alors fonction sinusoïdale du temps de pulsation 

ω = – cste , valeur pour l’instant arbitraire et plusieurs (toutes) valeurs sont a priori possible et comme l’équation de 

d’Alembert considérée ici est linéaire, on peut superposer des solutions de différentes pulsations. Une solution est donc 

l(t) = A cos ( ωt + φ ) , ω quelconque. 

2 ∆h 

On a donc maintenant à résoudre v 

h = – ω2 . 

• Supposons alors en plus que h(M) ne dépende que d’une seule coordonnée cartésienne ( x par exemple ), il vient 

d 2 h 

dx 2 + ω2 

v 2 h = 0 d’où h(x) = B cos ( kx + ψ) avec k = ω 

et ainsi : 

v 

Une solution s(M,t) en onde stationnaire de l’équation de d’Alembert dans le cas où une seule variable cartésienne 

intervient est s(x,t) = C cos ( ωt + φ ) cos ( ω 

x + ψ ) ; toute somme de fonctions de ce type où l’on change ω et C convient 

v 

aussi. 

Mais on vient en fait de chercher une solution en onde plane de l’équation de d’Alembert puisqu’on cherche s(x,t) et on 

sait qu’alors s(x,t) est la somme d’une onde progressive f ( t – x 

x 

) et d’une onde régressive g( t + ) où f et g sont deux 

v v 

fonctions quelconques. C’est effectivement tout à fait compatible puisque : 

cos ( ωt + φ ) cos ( kx + ψ ) = 1 

1 

cos (ωt + φ – kx – ψ ) + cos (ωt + φ + kx + ψ ) et f et g sont donc, pour des ondes 

2 2 

planes stationnaires (et pour l’équation de d’Alembert) deux fonction très particulières : sinusoïdales de même amplitude (ou 

mieux des sommes de fonctions sinusoïdales). 

Une onde stationnaire plane solution de l’équation de d’Alembert est donc la superposition de deux ondes planes 

sinusoïdales de même pulsation et de même amplitude, progressive et régressive (ou mieux une somme de superposition de 

deux ondes planes sinusoïdales de même pulsation et de même amplitude, progressive et régressive) . 

• On peut aussi chercher des ondes stationnaires cylindriques, sphériques pour l’équation de d’Alembert et aussi utiliser 

d’autres équations de propagation (télégraphistes, plasma, métal …). 

2.2 Modes propres. 

Comme il a été vu dans le premier paragraphe de ce chapitre, l’onde réfléchie par un métal parfait à une structure liée aux 

conditions aux limites sur ce métal : relations de passage avec ⎯⎯→ 

E = ⎯⎯→ 

0 et ⎯⎯→ 

B = ⎯⎯→ 

0 dans le métal. 

Les conditions aux limites sont souvent la nullité de la fonction ou de sa dérivée en un point, quel que soit t. 

On s’intéresse ici au cas d’une onde électromagnétique plane stationnaire entre deux plans métalliques parfaits : 

On recherche un champ électrique ⎯⎯→ 

E sous la forme : 

⎯⎯→ 

E = f(x) cos (ωt) ⎯→ 

ey ( la fonction l(t) est prise ici sinusoïdale car... 

Fourier et linéarité ). 

(on peut aussi chercher ⎯⎯→ 

E sur ⎯→ 

ez, ce qui est évidemment équivalent 

puis superposer, en déphasant ce qui nous ramène à une polarisation 

elliptique somme de deux polarisations rectilignes) 

D’après les relations de passage pour ⎯⎯→ 

E c'est-à-dire ⎯⎯→ 

y 

a 

x 

E tangentiel 

continu, on a , compte tenu du métal parfait des deux cotés : f(0) = 0 et 

f(a) = 0 . 

L’équation locale de Maxwell Gauss est vérifiée (elle ne le serait pas si 

on avait cherché un champ selon ⎯→ 

ex ). 

L’équation de Maxwell Faraday permet de calculer ⎯⎯→ 

⎯⎯→ 

rot ⎯⎯→ 

E = df 

⎯→ 

cos (ωt) ez = – 

dx 

⎯⎯→ 

∂ B 

∂t 

B : 

d’où ⎯⎯→ 

B = – 1 

ω df 

⎯→ 

sin (ωt) ez 

dx


L’équation de Maxwell flux est vérifiée, la continuité de la composante normale de ⎯⎯→ 

B aussi et l’équation de Maxwell 

B = 1 

⎯⎯→ 

∂ E 

2 donne : 

c ∂t 

1 

ω d2f dx 2 sin (ωt) ⎯→ 

ey = – 1 

c 2 ω f(x) sin (ωt) ⎯→ 

ey d’où l’équation vérifiée par f : f ’’ + ω2 

c 2 f = 0 . 

Ampère ⎯⎯→ 

rot ⎯⎯→ 

La solution de cette équation différentielle est f(x) = D cos ( ω 

c 

ω 

x) + A sin ( x ) , les conditions aux limites donnent : 

c 

f(0) = 0 d’où D = 0 et f(a) = 0 d’où A sin( ω 

ωa 

a ) = 0 d’où soit A = 0 ce qui est sans intérêt soit = n π . 

c c 

Ainsi les conditions aux limites ne permettent l’existence d’ondes électromagnétiques stationnaires qu’à certaines 

pulsations appelées pulsations propres (ou modes propres). Le champ électrique le plus général s’écrit alors: 

+ ∞ 

⎯⎯→ 

E = ∑ 

n=1 

An sin ( n π x c ⎯→ 

) cos ( n π t) ey Les An sont quelconques ou plutôt déterminés par les conditions de création 

a a 

de l’OEM comme pour une corde vibrante : une même corde ne donne pas le même son suivant qu’elle est frottée (guitare) , 

écartée (clavecin) ou frappée (piano) et à quel endroit elle l’est. Le spectre est composée des mêmes harmoniques mais leurs 

poids sont différents. 

Sur le site de Y Cortial voir : onde réfléchie et onde stationnaire (dans ondes générales) ; réflexion par une paroi fixe, corde de 

Melde simple, amélioré, clavecin (dans ondes mécaniques). 

3. Guides d’ondes. 

3.1 Guide d’onde plan-plan : recherche d’ondes TE. 

Les deux plans sont métalliques, parfaits. On cherche le champ 

électrique ⎯⎯→ 

E sous la forme la plus générale suivante : 

⎧ E01(x,y)exp(i(ωt – kz)) 

⎯⎯→ 

E ⎨ E02(x,y)exp(i(ωt – kz)) 

ωt – kz car 

⎩ 0 car ondeTE se propageant selon z 

onde « plane » progressive dans la direction z, sinusoïdale (car Fourier) , en complexe car équations linéaires, mais l’onde n’est 

peut être pas plane d’où E01 et E02 sont fonctions de x et y (mais ni z ni t !) et k est réel car la propagation est dans le vide entre 

deux plans de métal parfait donc il n’y a nulle part de dissipation d’énergie. 

Il y a invariance par translation suivant y donc les deux fonctions inconnues à déterminer E01 et E02 ne dépendent en fait 

que de x. Il faut aussi déterminer la relation de dispersion. 

div ⎯⎯→ 

E = 0 conduit à E01(x) est une constante (à déterminer et non à supprimer : Ex a la même forme que dans les 

OEMPPVM). Attention : si l’on n’a pas dit que E01 et E02 ne sont fonction que de x on ne peut « rien » faire (voir guide à 

section rectangulaire, modes TEm,n). Attention : surtout ne pas utiliser ⎯⎯→ 

nabla = – i ⎯→ 

k l’onde n’est pas plane rigoureusement 

( x et y sont dans l’amplitude, pas seulement dans ⎯→ 

k . ⎯→ 

x 

y 

z 

r ) 

L’équation de d’Alembert appliquée à Ex conduit à (k 2 – ω2 

c 2 ) E01 = 0 soit : E01 = 0 ou k 2 – ω2 

c 2 = 0 ou les deux. 

L’équation de d’Alembert appliquée à Ey conduit à d2 E02(x) 

dx 2 + ( ω2 

c 2 – k 2 ) E02(x) = 0 qui va permettre de déterminer Ey 

On calcule ⎯⎯→ 

B par l’équation de Maxwell Faraday : ⎯⎯→ 

– 

B 

k 

ω E02(x)exp(i(ωt – kz)) 

k 

ω E01 exp(i(ωt – kz)) 

i 

ω dE02(x) 

exp( i(ωt – kz )) 

dx 

Cette expression vérifie bien Maxwell flux. 

L’application de l’équation de d’Alembert aux trois composantes de ⎯⎯→ 

B redonne les deux équations déjà vues pour 

déterminer E01 et E02(x). 

L’application de Maxwell Ampère ne donne rien de plus (on a aurait pu l’appliquer et dans ce cas, c’est l’application de 

l’équation de d’Alembert à ⎯⎯→ 

E qui n’aurait rien donné de plus). 

L’onde étant limitée par deux plans de métal parfait, on applique les relations de passage en exprimant donc la 

continuité de E tangentiel et de B normal soit : E02(0) = 0 et E02(a) = 0 pour E tangentiel et B normal continu donne la même 

chose. L’application des relations de passage, normale pour ⎯⎯→ 

E et tangentielle pour ⎯⎯→ 

B donnera σ et ⎯→ 

jS quand on aura les 

champs. L’expérimentateur ne peut pas imposer σ et/ou ⎯→ 

jS ! 

On résout alors avec ces conditions aux limites l’équation différentielle vérifiée par E02(x) , en discutant : 

⎧ 

⎨ 

⎩


Si ω2 

c 2 – k 2 < 0 , alors E02(x) = A sh (αx) + D ch(αx) ( ω2 

c 2 – k 2 est posé égal à – α 2 ) E02(0) = 0 conduit à D = 0 et 

E02(a) = 0 conduit à A = 0 . De plus on a, d’après l’équation pour E01 , E01 = 0 . Il est vrai que tout champ nul vérifie bien les 

équations de Maxwell mais ce n’est pas vraiment intéressant !! 

Si ω2 

c 2 – k 2 = 0 alors E02(x) = Ax + D et les conditions aux limites conduisent là encore à A = 0 et D = 0 . Mais 

maintenant E01 peut ne pas être nul (sinon tout est nul ce qui est encore possible mais toujours sans intérêt) et on a alors une 

onde TE polarisée rectilignement sur x qui se propage sans dispersion ( ω2 

c 2 – k 2 = 0 ) selon z et ⎯⎯→ 

B est alors selon y et en 

fait la structure de l’onde est exactement comme dans le vide illimité. L’onde est TEM. On a ainsi restreint l’extension 

« surfacique » infinie dans deux directions (x et y) des plans d’ondes à une seule direction (y) : on peut penser à réduire 

(problème d’énergie totale à injecter dans le guide) dans cette direction en plaçant de nouveau deux plans métalliques parfaits 

perpendiculairement à y (en 0 et b) , on obtient un guide d’onde à section rectangulaire. On verra qu’alors malheureusement 

l’onde TEM ne peut plus exister et par contre celle que l’on va étudier ci-dessous existe (ainsi que d’autres, voir exercices). 

Si ω2 

c 2 – k 2 > 0 alors E02(x) = A sin(αx) + D cos (αx) ( ω2 

c 2 – k 2 est posé égal à α 2 ) E02(0) = 0 conduit à D = 0 

et E02(a) = 0 conduit à : A = 0 ce qui donne alors des champs nuls (puisqu’on a alors E01 =0 vu que ω2 

c 2 – k 2 ≠ 0) ou bien 

sin(αa) = 0 soit αa = mπ (m ∈ IN*) ou ω2 

c 2 – k 2 = m 2 π 2 

a 2 ou mieux k 2 = ω2 

c 2 – 

Gordon) avec ωc = m πc 

a 

, m est le numéro du mode dans lequel il y a propagation. 

ωc 2 

c 2 (relation de dispersion de Klein 

E01 est ici nul ( ω2 

c 2 – k 2 ≠ 0 ) et l’onde TE est polarisée rectilignement mais l’onde n’est pas TM (Bz ≠ 0 ) . 

La vitesse de phase est vφ = 

c 

1 – ⎝ ⎛ 

ωc 

ω 

⎞ 

⎠ 

2 

( > c ) et la vitesse de groupe est vg = c 1 – ⎝ ⎛ 

ωc 

ω 

⎞ 

⎠ 

2 ( < c ) et il y a une 

vitesse de phase et une de groupe pour chaque mode ( ωc = m πc 

dépend du mode). 

a 

En général on fixe expérimentalement ω et alors plusieurs modes peuvent se propager ensemble : il faut k réel donc 

ω 2 

c 2 2 

ωc 

– 

c 2 > 0 donc m < ωa 

: seuls un nombre fini de modes peuvent se propager. 

πc 

On peut donc écrire ⎯⎯→ 

E = ∑ 

0 < m < ωa 

Am sin( m π x 

a 

πc 

) cos( ωt – 

ω 2 

c 2 – ⎝ ⎛ 

mπ 

a 

⎞ 

⎠ 

2 ⎯→ 

z) ey 

On peut interpréter de façon graphique en traçant ω(k) ou mieux ω / (π c 

) . Si ω =3.6 πc par exemple, seuls les modes 1 

a a 

2 et 3 peuvent exister. L’énergie se répartit sur ces trois modes d’une façon liée à la façon dont on « excite » le guide c’est à 

dire dont on injecte l’onde à l’extrémité du guide (les valeurs de Am sont différentes, un peu comme les poids des différentes 

harmoniques d’une même note jouée par deux instruments de musique différents).


Les vitesses de groupe étant différentes, il est bien clair qu’on va avoir du mal à s’y retrouver parmi tous les signaux à 

l’arrivée et c’est pour cela que l’on préfère les guides monomodes (les fibres optiques monomodes dans les communications). 

Le schéma suivant montre en fonction du temps les signaux correspondants à un dédoublement d’un signal initial 

unique du à deux modes, signaux arrivants en x = 1 puis x = 5 puis x = 10. 

Voir fichiers Maple : 09_propa_guide1.mws 12_propaguide_1_2_3_modes.mws 

On prendra donc un paquet d’ondes centré sur ωp < 2 π c 

ou, plus précisément tel que 

a 

ωp – ∆ω 

> πc 

2 a et ωp + ∆ω 

< 2 πc (voir schéma) 

2 a 

Ainsi l’onde qui se propage dans la direction z à l’intérieur du guide n’est pas plane, ni TM alors qu’elle est choisie TE. 

On peut aussi dire que cette onde se propage dans la direction z et qu’elle est stationnaire dans la direction x c'est-à-dire 

entre les deux plans : on comprend ainsi le nom de mode et qu’on peut en avoir un ou plusieurs suivant « l’excitation ». 

On peut enfin dire et vérifier qu’elle est la superposition de deux ondes TEM dans le vide illimité puisque l’on peut 

écrire : 

sin(m π 

1 

1 

x) cos (ωt – kz) = sin( ωt– k z + m πx ) – sin( ωt– k z – mπx ) ; 

a 2 a 2 a 

ondes se propageant dans les directions ⎯→ 

k1 

la relation de dispersion. 

⎪ 

⎧ 

⎨ 

⎩ 

⎪ 

– m π 

a 

0 

k 

et ⎯→ 

k2 

⎪ 

⎧ 

⎨ 

⎩ 

⎪ 

m π 

a 

0 

k 

avec || ⎯→ 

k1 || = || ⎯→ 

k2 || = k 2 + m 2 π 2 

a 2 = ω 

c vue 

C’est donc l’existence de conditions aux limites (sur ici des conducteurs parfaits) qui font qu’il y a dispersion et que 

l’onde n’est pas plane ni TM quand on la choisit TE. 

On peut compléter l’étude de ces deux types de propagation c'est-à-dire TEM sans dispersion comme dans le vide (on 

l’appelle aussi mode m = 0 puisque cela donne bien ω2 

c 2 – k 2 = 0, mais on fera attention que le champ ⎯⎯→ 

E est sur ⎯→ 

ux), TE avec 

dispersion et plusieurs modes ( ⎯⎯→ 

E est sur ⎯→ 

uy), par la recherche de la densité surfacique de charge sur les deux plans ainsi que 

la densité de courant surfacique. 

σ : E normal est Ex donc dans le cas de l’onde TE σ = 0 sur chacun des deux plans. Pour l’onde TEM : 

σ = ε0 E01 cos(ωt – kz) sur le plan x = 0 et l’opposé sur le plan x = a. 

⎯→ 

jS : B tangentiel est By et Bz . Pour l’onde TEM ⎯→ 

jS = E01 ω ⎯→ 

cos(ωt – z) uz en x = 0 et l’opposé en x = a 

µ0c c 

Pour l’onde TE et pour le mode m : ⎯→ 

jS = Am m π 

aωµ0 

sin (ωt – kz) ⎯→ 

uy en x = 0


⎯⎯→ 

Π = 

et ⎯→ 

jS = Am m ( – 1) m π 

aωµ0 

sin (ωt – kz) ⎯→ 

uy en x = a 

On peut aussi chercher la vitesse de propagation de l’énergie et la comparer à vg comme dans le vide et dans le plasma. 

On choisit un seul mode, on verra si la vitesse dépend du mode. 

On calcule, en réels : 

⎯⎯→ 

E Λ 

µ0 

⎯⎯ → 

B 

= 1 

µ0 

Am sin( m π x 

⎯→ 

) cos( ωt –kz) ey Λ[– 

a k 

⎯→ 

ez ] 

= 1 

µ0 

k 

ω Am 2 sin 2 ( m π x 

a ) cos2 ( ωt –kz) ⎯→ 

ez – m 1 

µ0 

ω 2 

ω Am sin( m π x 

⎯→ 

) cos( ωt –kz) 

a 

ex – Am m π 

π 

aω Am 2 sin( m π x 

⎯→ 

) cos( m πx) 

cos( ωt –kz) sin( ωt –kz) ex 

a a 

aω 

cos( m πx) 

sin( ωt –kz) 

a 

avec k = 

c 2 – ⎛mπ 

⎞2 

. Le premier terme représente une propagation de l’énergie dans le sens de z et le second selon x ! 

⎝ a ⎠ 

mais en x = 0 et en x = a Πx s’annule et donc l’énergie reste en quelque sorte confinée entre ces deux plans : c’est l’aspect 

onde stationnaire suivant x que l’on retrouve. 

Calculons le flux moyen dans le temps du vecteur de Poynting à travers la surface perpendiculaire à z, en un z fixé, de 

largeur a selon x et de largeur finie b selon y (on peut calculer d’abord la moyenne dans le temps puis intégrer sur x et y ou le 

contraire, mais il est toujours plus facile de faire la moyenne dans le temps d’abord, la dépendance en z disparaissant alors) : 

 = 1 

2 1 

µ0 

k 

ω Am 2 a 

⌠ 2 x 

sin ( m π 

⌡0 a ) dx ⌡⌠ b dy = 

0 

1 

2 1 

µ0 

k 2 a 

Am b . L’énergie moyenne traversant cette section pendant la 

ω 2 

durée dt est donc 1 

2 1 

µ0 

k 2 a 

Am b dt . 

ω 2 

On calcule ensuite en réels : w = 1 

2 ε0E 2 + 1 

2µ0 

B 2 = 1 

2 ε0 Am 2 sin 2 ( m π x 

a ) cos2 ( ωt –kz) + 1 

2µ0 

k2 

ω 2 Am 2 sin 2 ( m π x 

a ) cos2 ( ωt –kz) 

+ Am 2 m 2⎛ 

π ⎞ 

⎝aω⎠ 

a ) sin2 ( ωt –kz) qu’il faut intégrer sur un parallélépipède de largeur a selon x, b selon y et ve dt 

suivant z, avec dt suffisamment petit pour que z reste pratiquement le même et on en prend la valeur moyenne dans le temps. 

Là encore, on fait les deux calculs d’intégration sur le temps et sur l’espace dans un ordre quelconque et il vaut mieux ici faire 

d’abord la moyenne dans le temps. On obtient : 

k2 

ω 2 2 1 

Am 

2 a 

2 b ve dt + Am 2 m 2⎛ 

π ⎞2 

1 

aω 2 a 

2 b ve dt ce qui s’écrit, compte tenu de la 

2 cos 2 ( m π x 

< W > = 1 

2 ε0 

2 1 

Am 

2 a 

2 b ve dt + 1 

2µ0 

relation de dispersion: < W > = 1 

2 ε0 

2 1 

Am 

2 a 

2 b ve dt + 1 

2µ0 

⎝ 

⎠ 

1 

c 2 2 1 

Am 

2 a 

2 b ve 

2 1 

dt = ε0 Am 

2 a 

2 b ve dt et on dit que c’est cette 

énergie qui a traversé (flux moyen du vecteur de Poynting pendant dt) la section droite (a,b) , d’où : 1 

2 k 

ve = c 

ω 

c2 

= = vg comme c’est presque toujours le cas. 

vφ 

µ0 

k 

ω = ε0 ve et 

Cette vitesse ne semble pas dépendre du mode mais en fait, comme on peut le voir sur les courbes de dispersion, pour 

une fréquence de porteuse donnée, il y a plusieurs modes avec chacun une vitesse de groupe différente. ve dépend donc du 

mode. 

On peut bien sûr reprendre une telle étude systématique avec la recherche d’une onde TM (exercice). 

Pour préciser le mode étudié on ajoute l’indice du mode au type d’onde: TEm . 

3.2 Guide à section rectangulaire . 

On place maintenant en plus deux plans parfaitement conducteurs en y = 0 et y = b . On recherche par exemple de 

nouveau une onde TE que l’on suppose seulement polarisée selon ⎯→ 

ey : ⎯⎯→ ⎧ 0 

E ⎨ E0(x,y)exp(i(ωt – kz)) . 

⎩ 0 

div ⎯⎯→ 

E = 0 conduit à E0 n’est fonction que de x . 

L’équation de d’Alembert conduit à d2 E0(x) 

dx 2 + ( ω2 

c 2 – k 2 ) E0(x) = 0 

On calcule ⎯⎯→ 

B par l’équation de Maxwell Faraday : ⎯⎯→ 

B 

⎪⎧ 

⎨ 

⎩⎪ 

– k 

ω E0(x)exp(i(ωt – kz)) 

0 

i 

ω dE0(x) 

exp( i(ωt – kz )) 

dx 

Cette expression vérifie bien Maxwell flux. 

L’application de l’équation de d’Alembert aux deux composantes de ⎯⎯→ 

B redonne l’ équation déjà vue pour déterminer E0 .


L’application de Maxwell Ampère ne donne rien de plus (on a aurait pu l’appliquer et dans ce cas, c’est l’application de 

l’équation de d’Alembert qui n’aurait rien donné de plus). 

L’onde étant limitée par des plans de métal parfait, on applique les relations de passage en exprimant donc la continuité 

de E tangentiel (c'est-à-dire de Ey et Ez sur les plans x = 0 et x = a et de Ex et Ez sur les plans y = 0 et y = b) de B normal (c'està-dire 

de Bx sur les plans x = 0 et x = a et de By sur les plans y = 0 et y = b) soit finalement : 

E0(0) = 0 et E0(a) = 0 

On résout alors avec ces conditions aux limites l’équation différentielle vérifiée par E0(x) , en discutant : c’est la même 

équation et donc les mêmes résultats que l’étude des mode TE du paragraphe précédent. On note ces modes TEm,0 . 

⎯⎯→ 

E = ∑ 

0 < m < ωa 

Am sin( m π 

πc 

x 

a 


ω 2 

c 2 – ⎝ ⎛ 

mπ 

a 

⎞ 

⎠ 

2 ⎯→ 

z) ey 

On peut bien sûr reprendre cette étude en cherchant cette fois une onde TE polarisée rectilignement selon ⎯→ 

ex . Cela 

revient à permuter les rôles de x et de y et une telle onde convient aussi : onde TE0,n . 

⎯⎯→ 

E = ∑ 

0 < n < ωb 

An sin( n π 

πc 

y 

ω 


b 2 

c 2 – ⎛mπ 

⎞2 

⎯→ 

z) ex 

⎝ a ⎠ 

Afin d’éviter les confusions entre x et y, on appelle par convention x le plus grand coté du rectangle. 

Une onde TEM imposerait dans le premier cas E0(x) = cste (vient de Bz = 0 ) ce qui est impossible vue l’expression de 

⎯⎯→ 

E , il en est de même dans le deuxième cas. 

La superposition de ces deux types de modes TEm,0 et TE0,n est bien sûr possible mais on peut aussi rechercher des 

solutions du type suivant, pris initialement dans l’étude du paragraphe précédent : 

⎧ E01(x,y)exp(i(ωt – kz)) 

⎯⎯→ 

E ⎨ E02(x,y)exp(i(ωt – kz)) 

⎩ 0 

Il n’y a plus cette fois d’invariance par translation donc il n’est pas question de supprimer une des variables x ou y et 

l’application de div ⎯⎯→ 

E = 0 ne permet pas non plus l’élimination d’une variable car on a ici deux composantes non nulles de 

⎯⎯→ 

E . Le calcul est néanmoins faisable (voir exercice 17) et conduit à des modes TEm,n avec un champ électrique de la 

forme !!!: 

nπ 

⎯⎯→ 

b 

E = ∑ – Am,n 

sin(n π 

m, n ⎛mπ⎞2 

+ ⎛nπ⎞2 

⎝ a ⎠ ⎝ b⎠ 

y x 

⎯→ 

) cos(m π ) sin( ωt – k z) ex + 

b a 

mπ 

a 

∑ Am,n 

cos(n π 

m, n ⎛mπ⎞2 

+ ⎛nπ⎞2 

⎝ a ⎠ ⎝ b ⎠ 

y x 

⎯→ 

) sin(m π ) sin( ωt – k z) ey avec k 

b a 2 = ω2 

c 2 – ⎛mπ⎞2 

– ⎛nπ⎞2 

et 

⎝ a ⎠ ⎝ b ⎠ 

les sommes sur n (>0) et m (>0) sont limitées par ⎛mπ⎞2 

+ ⎛nπ⎞2 

ω 

< 

⎝ a ⎠ ⎝ b ⎠ 

2 

c 2 !!! 

Voici les lignes de champs électriques en z fixé à un instant t dans le mode TE11 puis le mode TE32


On peut aussi rechercher des ondes TMm,0 TM0,n et TMm,n et on peut dans tous ces cas chercher les charges 

surfaciques et les courants surfaciques sur les 4 faces du guide ainsi que la vitesse de propagation de l’énergie : c’est encore vg 

donc elle dépend du mode.

PROPAGATION ET RAYONNEMENT DES ONDES ...

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