Oscillations électriques forcées - tunisiamaths

Contrôle des prérequis :
Oscillations forcées en régime sinusoïdal.
1- a- Rappeler l’expression de la période en fonction de la pulsation
b- Donner l’expression de la période propre d’un circuit RLC série
2- On donne sur le graphe suivant l’évolution de l’intensité électrique traversant un circuit :
Cocher la bonne réponse :
1- La période de l’intensité du courant est T=: ¨ 2,2 ms ¨ 2,4 ms ¨ 2,0 ms ¨ 1,4 ms.
2- La fréquence des oscillations est N= : ¨ 500 ms ¨ 500 Hz ¨ 0,5 Hz.
3- La valeur maximale de intensité est Im= : ¨-4 mA ¨ -2 mA ¨ 4 mA ¨ 2 mA.
4- La valeur efficace de l’intensité est donnée par :: ¨ I= Im2 ¨
I. Réponse d’un circuit RLC série à une tension sinusoïdale.
I-1 Production des oscillations électriques forcées
a- Etude expérimentale.
Le montage électrique schématisé par la figure 1
est formé d’un dipôle RLC série connecté aux
bornes d’un générateur basse fréquence (G.B.F)
délivrant une tension sinusoïdale u(t) d’amplitude
Um et de fréquence N réglable : soit
u(t) = Um sin( w t) .
Un oscilloscope bicourbe est connecté au montage
comme l’indique la figure 1.
Activité 1
0
4
2
-2
-4
i(mA)
1 2 3 4
AMOR YOUSSEF- Les oscillations électrique forcées en régime sinusoïdales 1
I
t(ms)
2
I
= ¨ m
a. Flécher les tensions aux bornes du résistor de résistance R0, la bobine d’inductance L et de
résistance, et le condensateur de capacité C et le G.B.F.
b. Identifier la tension visualisée sur chaque voie de l’oscilloscope.
c. Expliquer comment la tension visualisée, sur la voie A de l’oscilloscope permet l’étude de
l’évolution de l’intensité du courant électrique dans le circuit.
m
I =
I
2
Figure 1

Activité 2
Pour quatre valeurs de la fréquence N on obtient les quatre écrans reproduits sur la figure 2.
Um= UR0m=
T = N =
Um= UR0m=
T = N=
Um= UR0m=
T = N=
1- Identifier les tensions visualisées sur chaque écran.
2- Comparer la forme de l’oscillogramme représentant i(t) à celle de u(t).
3- a. Sans faire de calcul comparer pour chaque écran la fréquence des oscillation de i(t) à celle de
u(t).
b. Mesurer pour chaque écran la période T des oscillations et déduire la fréquence N.
4- Conclure quant à la réponse d’un circuit RLC série à une tension sinusoïdale.
5- a. Calculer la période propre T0, déduire la fréquence propre N0.
b. Pour une fréquence N donnée de la tension u(t), la tension i(t) oscille t-elle à la fréquence
propre du circuit RLC série.
c. Sur chaque écran de la figure 2 indiquer la valeur Um de la tension maximale aux bornes du
générateur et UR0m la valeur maximale de la tension aux bornes du résistor.
d. Que peut-on conclure quant à l’influence de la fréquence N sur la valeur maximale de
l’intensité du courant électrique.
e. Déduire pourquoi les oscillation de l’intensité i(t) sont qualifiées de « forcées ».
b- Etude théorique.
Activité 3
1- Reproduire le schéma du circuit RLC série suivant et flécher les
diverses tensions.
2- Le générateur basse fréquence délivre une tension sinusoïdale
donnée par l’expression : u(t) = Um sin( w t) .
Ecran (1) Ecran (2)
Figure 2
Um= UR0m=
Ecran (3) Ecran (4)
T = N=
R0 L,r C
AMOR YOUSSEF- Les oscillations électrique forcées en régime sinusoïdales 2
GBF

a- Etablir l’équation différentielle régissant les oscillations électriques de l’intensité du courant
électrique i(t).
b- L’équation différentielle ayant un second membre non nulle admet comme solution
particulière : i(t) = Imsin( w t +j ) .
Les oscillations du courant électrique sont-elle forcée ? Justifier.
I-2 L’impédance du dipôle RLC série.
Activité 4
A l’aide du circuit de la figure 1, on réalise l’expérience suivante :
On fixe la valeur de N=200 Hz et on varie la valeur de l’amplitude Um de la tension u(t).
Pour chaque valeur de Um , on mesure la tension maximale UR0m et on en déduit la valeur de Im. Les
résultats sont consignés dans le tableau suivant :
Um(V) 2 4 6 8 10
UR0m(10 -3 V) 139 278 415 556 695
Im(10 -3 A)
Um
Im
1-Compléter le tableau ci-dessus.
Um
2-Quelle est l’unité du rapport .
Im
3-Définir l’impédance du circuit RLC série.
5,56 6,95
1438 1438 1438
II- Le déphasage
On considère deux fonctions sinusoïdales données par les expressions :
y 1(t) = Ym sin( w t +j
1
1)
et y 2(t) = Ym sin( w t +j
2
2)
1- Définition
2- Exemples de déphasage entre deux fonctions sinusoïdales
a- La concordance de phase
0
b- L’opposition de phase
0
Tension
+
Tension
+
Axe des
phases
Axe des
phases
0
0
Tension
Tension
y1(t)
y2(t)
Cas (a)
Cas (b)
AMOR YOUSSEF- Les oscillations électrique forcées en régime sinusoïdales 3
t
t
· Décalage horaire
· Déphasage
· Décalage horaire
· Déphasage

c- La quadrature de phase avance
0
d- La quadrature de phase retard
0
Tension
+
Tension
+
3- Conclusion :
Axe des
phases
Axe des
phases
Tension
Recopier et compléter le texte suivant :
Deux fonctions sinusoïdales y1(t) et y2(t) isochrone ( ……………………………………………) sont :
· En concordance de phase ou en phase si : D t = soit Dj=
· En opposition de phase si : D t = soit Dj=
· En quadrature de phase si : D t = soit Dj=
* Si Dj =j2 -j 1 > 0, y1(t) est ………………………….. de phase par rapport à y2(t).
* Si Dj =j2 -j 1 < 0, y1(t) est ………………………….. de phase par rapport à y2(t).
4- Application : Déphasage intensité tension
0
0
Tension
On considère un circuit RLC série parcouru par un courant électrique d’intensitéi(t) = Im sin( w t +j ) .
1- Ecrire en fonction du temps les expressions des tensions uR(t),uL(t) et uC(t).
2- Déduire les déphasages suivants : ( ji -j u ) ; ( j
R i -j u ) ; ( j
L i -j u ) . C
3- Représenter à une date quelconque le vecteur de Fresnel correspondant à chacune des tensions
uR(t),uL(t) et uC(t).
AMOR YOUSSEF- Les oscillations électrique forcées en régime sinusoïdales 4
t
Cas (c)
Cas (d)
t
· Décalage horaire
· Déphasage
· Décalage horaire
· Déphasage

III- Influence de la fréquence de l’excitateur sur la réponse d’un dipôle RLC série.
III-1 Etude expérimentale
On réalise le montage électrique schématisé par la figure 1. Le dipôle RLC série connecté aux bornes
d’un générateur basse fréquence (G.B.F) délivrant une tension sinusoïdale u (t) d’amplitude Um=2V et
de fréquence N réglable : soit u(t) = 2sin(2p Nt) .
On faisant varier la fréquence N de l’excitateur on constate que qu’a chaque fois uR0(t) garde la même
forme mais sa valeur maximale URm et son décalage Dt par rapport à u(t), changent.
Dt
Les résultats des mesures ont permis d'obtenir :
- le tracé de la figure 4a représentant l'évolution de l'amplitude Im de l'intensité i(t) en fonction de N.
- le tracé de la figure 4b représentant l'évolution de la phase initiale j de l'intensité i en fonction de N.
Activité 5
Figure 3
Um
URm
Tension (V)
1
T =
N
Figure 4 a Figure 4 b
1. Montrer que, dans les conditions de l'expérience réalisée, la valeur de la phase initiale j est égale à la
valeur du déphasage entre i et u.
2. Décrire la forme particulière de la courbe représentant Im en fonction de N.
3. a. Déterminer graphiquement la valeur de la fréquence N pour laquelle l'intensité maximale Im du
courant oscillant est à sa valeur la plus élevée Im0 et la comparer à la fréquence propre N0 de
l’oscillateur.
b. Relever la valeur de Im0 et la valeur de j0 correspondante.
c. Calculer l’impédance Z du circuit RMC lorsque Im= Im0. Comparer cette valeur à sa résistance
totale (R0+r).
Conclusion :
1. Quelle est la réponse d’un circuit RLC soumit à une tension u(t) de fréquence N=N0 ?
2. Quand est ce que le circuit RLC est en résonance d’intensité ?
3. Comment se comporte le circuit RLC en résonance d’intensité ?
AMOR YOUSSEF- Les oscillations électrique forcées en régime sinusoïdales 5
t

III-2 Etude théorique
Les oscillations de l’intensité du courant électrique traversant le circuit RLC précédemment étudié
di 1
sont régis par l’équation différentielle : R ti+ L + idt = Umsin( wt)
dt Cò
avec Rt=R0+r.
La solution de cette équation différentielle est i(t)= Imsin( w t +j).
III-2-1 Construction de Fresnel de l’équation différentielle.
Activité 6
1. Monter que l’équation différentielle s’écrit sous la forme :
p 1
p
Rt Imsin( w t +j ) + LwImsin( w t +j+ ) + Imsin( w t +j-= ) Umsin( wt)
2 Cw 2
2. Attribuer à chaque tension de l’équation différentielle un vecteur de Fresnel.
3. Représenter la construction de Fresnel correspondante à l’équation différentielle dans le cas
suivant :
1
a- Lw>
.
Cw
1
b- Lw=
Cw
1
c- Lw<
Cw
Préciser dans chaque cas la nature : Capacitif –inductif ou résistif du circuit.
III-2-2 Expression de l’intensité maximale Im et de la phase initiale j de
l’intensité i(t).
Activité 7 : Expression de l’intensité maximale
On considère un circuit RLC série en oscillations
électriques forcées. La construction de Fresnel
correspondante à l’équation différentielle régissant les
oscillations de l’intensité du courant électrique est
donnée par la figure suivante :
1- En exploitant la construction ci-contre déterminer
l’expression de l’intensité maximale Im.
2-Représenter l’allure de la courbe Im=f( w)
0
2- Déduire l’expression de l’impédance Z du circuit RLC série.
Activité 8 : Expression de la phase initialej de l’intensité i(t)
1- Exprimer tg ejon fonction des modules des vecteur de Fresnel
p p
2- Vérifier que -

- L’expression de l’intensité maximale
c- L’expression de l’impédance Z du circuit RLC
d- La nature du circuit.
e- La valeur du déphasage entre l’intensité i(t) et la tension excitatrice u(t).
III-3-2 Influence de la résistance totale sur la résonance d’intensité.
Activité 10 :
On refait l'étude expérimentale du paragraphe III, toujours avec L = 0,2H et C = 0,47µF, mais en fixant
R0 successivement aux valeurs R02 = 20W et R03 = 200W .Les résultats des mesures faites permettent
d'obtenir :
-Les courbes de résonance d'intensité (1) et (2) de la figure 5a, correspondant respectivement à R02 et
R03.
- Les courbes (a) et (b) de la figure 5b représentant l'évolution de la phase initiale jde l'intensité i en
fonction de N et correspondant respectivement à R02 et R03.
Figure 5.a Figure 5.b
N(Hz)
1. Comparer les allures des courbes de résonance (1) et (2) entre elles.
2. Pour les valeurs R02 et R03 de R0, déterminer graphiquement :
a. la valeur de la fréquence de résonance.
b. le déphasage correspondant entre l'intensité i et la tension d'alimentation u.
3. En déduire l'influence de la résistance totale du circuit sur la résonance.
III-3-3 La surtension.
Activité 11
Voie A
R0 L,r
Voie B
C
On considère le montage de la figure 6 toujours avec
L = 0,2H, C = 0,47µF et Um = 2V, mais en choisissant
comme fréquence d'excitation, la fréquence propre (N0 =
Figure 6
520Hz) du circuit RLC série. On mesure la valeur maximale
GBF
UCm de la tension aux bornes du condensateur pour des valeurs de la résistance R0 égales à R01 = 20 W ,
R02 = 50W et R03 = 200W . Les résultats des mesures sont consignés dans le tableau suivant :
R0( W) 20 50 200
UCm(V) 40 21 6,5
1. Reproduire, puis compléter le tableau suivant :
R0( W ) 20 50 200
Q = UCm/Um
2. Le quotient Q = UCm/Um est appelé facteur de surtension à la résonance. Justifier cette appellation.
3. a) Montrer théoriquement que Q peut s'écrire uniquement en fonction des caractéristiques R, L et C
de l'oscillateur.
b. Calculer les valeurs théoriques de Q, correspondant respectivement aux valeurs 20 W , 50W et 200W
de la résistance R0.
4. Quelle précaution faut-il prendre pour avoir un facteur de surtension modéré à la résonance
AMOR YOUSSEF- Les oscillations électrique forcées en régime sinusoïdales 7

IV-La puissance électrique moyenne.
IV-1 Expression de la puissance électrique moyenne
IV-2 Forme de la puissance électrique moyenne d’un circuit RLC série
Activité 12
Monter que quelque soit la fréquence de l’excitateur la puissance moyenne électrique d’un circuit RLC
est dissipée par effet joule.
IV-3 Evolution de la puissance électrique moyenne d’un circuit RLC série en
fonction de la fréquence.
Activité 13
1. a. Montre que la puissance moyenne électrique fournit par le G.B.F peut s’écrire sous la
forme :
2
RU
P =
2 1 2
R + (L w- )
Cw
b. Préciser les pulsations wpour lesquelles le transfert de puissance (de l’énergie) est nul ; est
maximal.
P(mW)
c. Quelle est l’influence de la valeur de R sur la
6,4
valeur de l’énergie transférée ?
5,6
Résonance
2. Application : On donne sur la figure 7 les courbes de
4,8
……………
l’évolution de la puissance électrique moyenne P en
fonction de la fréquence N pour deux valeurs R01> et R02 de la
résistance R0.
4
3,2
Résonance
…………….
a. Attribuer à chaque courbe la valeur de la résistance 2,4
correspondante.
1,6
b. Indiquer sur chaque courbe s’il s’agit d’une
résonance floue ou aigue.
c. Pour quelle fréquence le circuit est en état de
résonance de puissance ? S’agit-il aussi d’une
résonance d’intensité ?
0,8
d. Déterminer la valeur du facteur de puissance à la résonance de puissance.
e. Sachant que Um=2V. Déterminer les valeurs des résistances R01 et R02.
IV-3 Importance du cos j
La tension U imposée par le réseau STEG est (220V, 50 Hz), la puissance P
nécessaire pour une installation électrique, P = U.I.cosj.
P
Ainsi le courant s’adapte suivant la relation : I =
U.cos j .
Problème économique : plus I est faible plus les pertes sont faibles. Pour
diminuer I sans modifier P ou U, il faut augmenter cos j.
On dit qu’il faut relever le facteur de puissance.
Problème électrique : comment modifier cos j sans modifier la puissance P ?
0 100 300 520 700 N(Hz)
Figure 7
AMOR YOUSSEF- Les oscillations électrique forcées en régime sinusoïdales 8
Courbe 1
Courbe 2
cos phi mètre

R
Réponse : le facteur de puissance peut s’exprimer de la façon suivante ; cosj=
.
2 1 2
R + (L w- )
Cw
1
Plus ( Lw-
) se rapproche de 0, plus cos j se rapproche de 1. En rajoutant à l’installation électrique des
Cw
1
condensateurs ou des inductances, on modifie ( Lw-
) sans modifier P.
Cw
Relèvement du facteur de puissance
1
1
Si l’installation électrique est inductive ( Lw-
> 0), il faut diminuer (L w- ) en adjoignant des
Cw
Cw
condensateurs.
1
1
Si l’installation électrique est capacitive ( Lw-
< 0), il faut augmenter (L w- ) en adjoignant des
Cw
Cw
inductances.
Inconvénient d'avoir un mauvais facteur de puissance
Pour le producteur (STEG):
- nécessité d'avoir des alternateurs et des transformateurs plus importants,
- posséder une tension plus élevée au départ de la ligne,
- besoin d'avoir des lignes de plus forte section,
- pertes Joules plus élevées,
- appareils de contrôle, de protection et de coupure plus importants.
Pour le consommateur :
- nécessité d'avoir des transformateurs, des moteurs, des appareillages de manœuvre plus importants,
- tension d'utilisation plus faible,
- intensité plus grand,
- pertes Joules plus élevées,
- rendement des appareils mauvais.
Condensateur pour redresser cos phi
Wattmètre et cos phi mètre
Plaque signalétique d’un moteur
AMOR YOUSSEF- Les oscillations électrique forcées en régime sinusoïdales 9