L'effet de l'agrégation sur la structure des modèles ARMA spatiaux ...

L’effet de l’agrégation sur la structure des
modèles ARMA spatiaux unilatéraux
Soulafa ALI
LabSAD 1251 Avenue Centrale, B.P. 47, 38040 Grenoble Cedex 9, France
Résumé
Ce papier considère le problème de l’agrégation des données spatiales issues d’un modèle
autorégressif moyenne mobile ARMA spatial unilatéral sur une grille de Z 2 . D’abord, nous
définissons la procédure de l’agrégation spatiale. Nous étendons la définition de l’agrégation
aléatoire dans le cadre spatial mais nous nous limitons à l’agrégation déterministe
sans recouvrement. Ensuite, nous prouvons que l’agrégation préserve la structure ARMA.
C’est à dire que si le processus initial est un ARMA(p,q) où p = (p1,p2), q = (q1,q2) et
pi,qi ≥ 1 pour i = 1,2, alors le processus agrégé est aussi un ARMA(p ∗ ,q ∗ ). Les ordres p ∗
et q ∗ sont de plus explicités. Puis, nous donnons les relations entre les pôles du processus
initial et ceux du processus agrégé. Quant aux modèles spatiaux unilatéraux moyenne
mobile, MA, nous montrons que l’agrégation spatiale préserve la structure MA et nous
déterminons l’ordre du processus agrégé. Enfin, nous prouvons que l’agrégation ne préserve
pas la structure autorégressive spatiale unilatérale, AR. L’agrégation conduit à un
modèle de type ARMA dans ce cas et nous donnons les ordres du modèle agrégé ainsi
que la relation liant les pôles du modèle initial et ceux du modèle agrégé.
Mots clés : Processus spatiaux unilatéraux stationnaires, modèles ARMA unilatéraux et
agrégation spatiales.
Summary
This paper considers the problem of the aggregation of spatial data resulting from an
unilateral spatial autoregressive moving average model ARMA on a grid of Z 2 . At first, we
define the spatial aggregation procedure. We extend the definition of random aggregation
in a spatial framework but we will be limited to the deterministic aggregation without
covering. Then, we prove that aggregation preserves the ARMA structure. I.e. that if the
initial process is an ARMA(p,q) where p = (p1,p2), q = (q1,q2) and pi,qi ≥ 1 for i = 1,2,
then the aggregated one is also ARMA(p ∗ ,q ∗ ). Moreover p ∗ and q ∗ are determined . Then,
we give the relations between the poles of the initial process and those of the aggregated
one. For the unilateral spatial moving average models, MA, we show that aggregation
preserves the MA structure and we determine the order of the aggregated model. Finally,
we prove that aggregation does not preserve the unilateral spatial autoregressive structure,
AR. The aggregation in this case leads to an ARMA model and we give the orders of the
aggregated model as well as the relation between the poles of the initial model and those
of the aggregated one.
Key words : Stationary unilateral spatial processes, unilateral ARMA models and spatial
aggregation.
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1 Notations et Définitions
Le problème essentiel de la modélisation des données spatiales est dû à l’absence
d’une relation d’ordre canonique sur le support alors que la flèche du temps joue un rôle
fondamentale dans la modélisation temporelle. Aussi définissons nous une notion d’ordre
dans le plan adaptée à l’élaboration d’une procédure d’agrégation aléatoire spatiale et par
analogie à celle définie dans le cadre temporel.
1.1 Notions d’ordre dans Z 2
On définit ici deux types d’ordre dans Z 2 :
Définition 1.1 Soient i = (k,l), j = (m,n), deux points dans Z 2 . On note par i ≤ j
l’ordre lexicographique défini par
i ≤ j ⇔ (k < m) ou (k = m,l ≤ n). (1)
Cet ordre est appelé aussi ordre demi-plan ou ordre total.
On appelle ordre quart de plan l’ordre fort défini par
i ≪ j ⇔ (k ≤ m) et (l ≤ n). (2)
Ce qui est considéré comme un cas particulier de l’ordre total.
Soit X = {X(s), s = (u,v) ∈ Z 2 } un processus centré et à valeurs réelles.
Définition 1.2 On dit que le processus X = {X(s),s ∈ Z 2 } est stationnaire au second
ordre si
E{X(s + h)X(t + h)} = E{X(s)X(t)}, ∀s,t,h ∈ Z 2 . (3)
L’opérateur de retard Bk,k = 1,2 est défini par
B1X(u,v) = X(u − 1,v), et B2X(u,v) = X(u,v − 1) (4)
On utilise la notation B = 2
Bk et on définit B(z) = 2
B(z)X(s) =
2
k=1
k=1
k=1
B zk
k , c’est à dire
B zk
k X(s) = X(u − z1,v − z2) pour tout z ∈ Z 2 .
Définition 1.3 Soient X = {X(s),s ∈ Z 2 } un processus spatial stationnaire au second
ordre et à valeurs réelles et ε = {ε(s),s ∈ Z 2 } une famille de variables aléatoires centrées,
indépendantes et identiquement distribuées et de même variance σ 2 . On dit que X suit
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un modèle autorégressif moyenne mobile d’ordre (p,q), p = (p1,p2), q = (q1,q2) et pk,qk,
k = 1,2 sont des entiers positifs, si X vérifie l’équation aux différences suivante
a(i)X(s − i) =
b(i)ε(s − i). (5)
i∈D[0,p]
i∈D[0,q]
où D[0,s] = {u = (u1,u2) ∈ Z 2 , 0 ≤ uk ≤ sk k = 1,2} et a(0,0) = b(0,0) = 1.
Le modèle autorégressif spatial unilatéral est donné par l’équation
a(i)X(s − i) = ε(s). (6)
i∈D[0,p]
Le modèle moyenne mobile spatial vérifie :
2 Agrégation spatiale
X(s) =
i∈D[0,q]
b(i)ε(s − i). (7)
Filtrage et échantillonnage aléatoire
On appelle filtre linéaire toute transformation linéaire F qui associe au processus X
le processus FX défini par :
FX(s) =
c(i)X(s − i)
où les c(k,l) sont des réels tels que ∞
=
i∈Dm−1
m1−1
k=0
−∞ −∞
m2−1
l=0
c(k,l)X(u − k,v − l)
∞
|c(k,l)| < ∞.
Le choix des lieux d’observation est effectué à l’aide d’un opérateur d’échantillonnage,
EL, défini à l’aide d’une marche aléatoire T . D’autre part, on définit un opérateur d’échantillonnage
de la façon suivante :
Soit T = {T (s) = (Tu,Tv); s = (u,v) ∈ Z 2 } une famille de variables aléatoires et qui
vérifie les conditions suivantes :
1. T(0,0)=(0,0)
2. Les variables [T (s ′ )−T (s)] sont indépendantes et identiquement distribuées de même
loi
Li = P [T (s ′ ) − T (s) = i] (8)
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où s ′ est un élément de l’ensemble V (s) = {(u + 1,v),(u,v + 1)} constitué par les
voisins les plus proches de s situés dans le demi plan des sites supérieurs à s (au
sens de l’ordre défini en (1.1)).
L’opérateur EL associe au processus X le processus échantillonné défini par :
ELX(s) = X(T (s)) (9)
Définition 2.1 Nous appelons procédure d’agrégation tout opérateur (EL ◦ F) qui au processus
initial X associe le processus agrégé, noté Y , et qui sera donnée par :
Y (T (s)) = (F ◦ EL)X(s)
=
a(i)X(T (s) − i) (10)
i∈Dm−1
Nous pouvons le réécrire de la manière suivante :
Y (Tu,Tv) =
m1−1
k=0
m2−1
l=0
a(k,l)X(Tu − k,Tv − l). (11)
Définition 2.2 L’agrégation est dite déterministe lorsque L est la loi de Dirac en j =
(m,n), c’est à dire que Li = δj[(T (s + 1) − T (s)]
Dans la suite, nous nous limitons à l’agrégation déterministe et nous utilisons la définition
équivalente à la définition (2.2) suivante :
Définition 2.3 Soit X = {X(s) ; s = (u,v) ∈ Z 2 } un processus spatial unilatéral autorégressif
moyenne mobile ARMA(p,q) où p = (p1,p2) et q = (q1,q2), sur une grille de Z 2 ,
stationnaire au second ordre et défini par (5). Soit Dm−1 = Dm1−1m2−1 = {(i,j) ∈ N 2 ; 0 ≤
i ≤ m1 −1, et 0 ≤ j ≤ m2 −1} où m1,m2 sont deux entiers naturels finis tels que m1 > 1
et m2 > 1. On appelle processus agrégé de X, le processus noté Y et défini par la relation
suivante :
Y (u,v) =
=
m1−1
i=0
m2−1
j=0
(i,j)∈Dm−1
où c(i,j) sont des réels tels que
|c(i,j)| 2 < ∞
i
j
c(i,j)X(u − i,v − j)
c(i,j)X(u − i,v − j) (12)
Le processus agrégé est donc obtenu en regroupant les lieux d’observation dans des blocs de
dimension m1×m2 et l’opérateur d’agrégation considéré réalise une moyenne pondérée des
valeurs X(u,v) à l’intérieur de chaque bloc. Les variables observées sont donc Y (m1u,m2v)
où (u,v) ∈ Z 2 .
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3 La structure du processus agrégé
Une question posée par la procédure d’agrégation précédente est celle du respect de
la structure de dépendance spatiale induite.
3.1 Agrégation d’un processus ARMA spatial
L’opérateur d’agrégation conserve les caractéristiques d’un processus de la classe ARMA.
On vérifie en effet le théorème suivant :
Proposition 3.1 Soit X un processus ARMA(p,q), stationnaire au second ordre et défini
par (5). Soit Y le processus agrégé associé à X défini par (12). Alors Y est un processus
autorégressif moyenne mobile. De plus, il vérifie la relation suivante :
(i,j)∈D ∗ p 1 p 2
= ν(u,v) −
(1 − a m1
i Bm1
1 )(1 − b m2
j Bm2
2 )Y (u,v)
D ∗ q 1 q 2
ρ(i,j)ν(u − im1,v − jm2) (13)
où {ν(u,v) | (u,v) ∈ Z 2 } est une famille de variables aléatoires centrées et de variance
. Les ρ(i,j) sont des réels tels que les racines du polynôme
soient à
σ 2 ν
(i,j)∈Dq 1 q 2
ρ(i,j)z i 1 zj
2
l’extérieur de disque unité. σ2 ν et les ρ(i,j) sont déterminés en fonction des coefficients
a(i,j) de la partie autorégressive du modèle (5). L’ordre de la partie moyenne mobile
est déterminé par q1 et q2 qui sont les plus grands entiers vérifiants l’inégalité suivante
qimi < (pi + 1)(mi − 1) + 1, i = 1,2.
La proposition précédente se particularise au cas des modèles AR unilatéraux et MA
unilatéraux respectivement par les deux résultats suivants :
Corollaire 3.1 Si le processus initial X est un processus spatial unilatéral autorégressif
AR(p), stationnaire au second-ordre. Alors Y , le processus déduit de X par l’opérateur
d’agrégation (12), est un processus autorégressif moyenne mobile, ARMA(p ∗ ,q ∗ ) où p ∗ =
p et q ∗ est tel que q ∗ i mi < (pi + 1)(mi − 1) + 1.
Corollaire 3.2 Si le processus initial X est un processus spatial unilatéral moyenne mobile
MA(q), stationnaire au second-ordre, alors Y , le processus agrégé associé à X défini
par (12), est un processus moyenne mobile, MA(q ∗ ) où q ∗ = (q ∗ 1 ,q∗ 2 ) où q∗ i mi <
mi + qi , i = 1,2..
Bibliographie
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