Fonctions exponentielles - Page personnelle de M. ZERR

Fonctions exponentielles
Ce document présente deux façons de définir la fonction exponentielle. Dans les deux cas, des théorèmes lourds
sont à connaitre en pré-requis.
Première façon de procéder : l'exponentielle comme solution d'équation différentielle
En pré-requis, on supposera connu le théorème de Cauchy :
THEOREME : soit dérivable. On considère l'équation différentielle suivante :
Il existe une unique fonction solution à cette équation.
{ ( ) ( )
( )
On définit ainsi la fonction exponentielle. Toute la difficulté d'admettre une telle définition réside dans l'existence et
dans l'unicité de cette fonction. La démonstration s'appuie sur la notion de suites adjacentes, et plus
particulièrement sur la suite :
qui constitue une bonne approximation de l'exponentielle lorsque est assez grand.
(
DEFINITION : la fonction exponentielle est l'unique fonction solution de cette équation différentielle. On note
( ) ou .
Le premier résultat essentiel est le suivant :
THEOREME : Étant donnée une fonction dérivable non nulle, les trois propositions suivantes sont
équivalentes (en d'autres termes, l'une de ces trois proposition entraine forcément l'autre) :
i. vérifie l'équation fonctionnelle : ( ) ( ) ( )
ii. vérifie l'équation différentielle : { ( ) ( )
( )
iii. est une fonction exponentielle : ( ) .
REMARQUE :
Il y a plusieurs types de fonctions (puisqu'il y a plusieurs valeurs possibles de ). Cependant, pour la fonction
est la fonction exponentielle au sens de la définition ci-dessus. Par conséquent, tous les résultats vérifiés par la
fonction sont aussi vérifiés par la fonction exponentielle.
DEMONSTRATION :
Montrons que ii entraine i. On suppose que :
On considère la fonction définie sur par :
{ ( ) ( )
( )
)
( ) ( ) ( )
1

On a, par dérivation :
Or d'après i :
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
Par conséquent, ( ) donc la fonction est constante.
( )
Cette égalité est vraie pour tout . En particulier, pour :
C'est-à-dire :
Or ( ) donc :
D'où :
C'est-à-dire :
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
On en déduit que la fonction ne s'annule jamais. En effet, on ne peut pas avoir à la fois :
( ) ( ) ( )
Comme la fonction ne s'annule jamais, on peut considérer la fonction définie sur par :
où est quelconque.
On a, par dérivation :
Or d'après i, on :
( )
( )
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
[ ( )]
( )
( ) ( ) ( ) ( )
[ ( )]
Par conséquent, ( ) donc la fonction est constante :
( )
Cette égalité est vraie pour tout . En particulier, pour :
C'est-à-dire :
Or ( ) donc :
D'où :
C'est-à-dire :
Et donc :
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
( )
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On a donc démontré que ii entraine i.
Montrons que i entraine ii. On suppose que :
Montrons d'abord que ( ) .
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
L'égalité i est vraie pour tout En particulier, pour , on a :
Par conséquent, soit ( ) , soit ( )
Supposons que ( )
Alors :
( ) ( ) ( ) ( ) [ ( )]
( ) (( ) ) ( ) ( ) ( )
Donc la fonction f est la fonction nulle, ce qui est contraire à l'hypothèse du théorème.
En en déduit que :
( )
Montrons maintenant que : ( ) ( )
En dérivant par rapport à la variable , on obtient :
En particulier, pour :
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
Comme ( ) est une constante, on peut très bien poser :
D'où :
Montrons que ii entraine iii.
( )
{ ( ) ( )
( )
Montrons d'abord que la fonction est positive. Comme ii entraine i, on a :
En particulier, en remplaçant les deux inconnues par
( ) (
( ) ( ) ( )
) (
) (
, on a :
) [ (
Par ailleurs, comme f est non nulle (voir ci-dessus), on a donc démontré que :
Revenons à ii. On suppose que :
On considère la fonction auxiliaire :
( )
( ) ( )
)]
3

REMARQUE :
Par dérivation :
Or d'après ii :
Donc :
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
Par conséquent, la fonction est constante :
En particulier, pour :
C'est-à-dire :
( )
Comme ( ) , on en déduit que :
D'où :
C'est-à-dire :
D'où :
( )
( )
( )
( )
( )
( )
car (voir ci-dessus). On a donc démontré iii.
Montrons que iii entraine ii. On suppose que :
Par conséquent :
Par ailleurs :
On a donc démontré ii :
Si l'on suppose connue la fonction logarithme, alors :
( )
( )
( ) ( )
{ ( ) ( )
( )
En effet, la fonction logarithme est continue, strictement croissante sur ] [ à valeurs dans d'où le résultat
par le théorème des valeurs intermédiaires (théorème dont la démonstration n'est pas évidente).
Par conséquent, la fonction peut s'écrire :
Sous cette forme, on dit que la fonction f est la fonction exponentielle de base .
Une fois toutes les propriétés de l'exponentielle et du logarithme connues, on démontre que :
( )
( )
( )
( ) ( ) ( ( ) )
Les fonctions puissances de la forme sont des fonctions exponentielles de base , c'est-à-dire :
( )
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Deuxième façon de procéder : l'exponentielle comme bijection réciproque de la
fonction logarithme népérien
Pour ce faire, il faut bien évidemment supposer connue la fonction logarithme népérien. On la définit ainsi :
DEFINITION : la fonction logarithme népérien est l'unique primitive de la fonction inverse qui s'annule en 1 :
( ) ∫
Cette définition suppose que toute la théorie de l'intégration au sens de Riemann est maitrisée. En particulier, toutes
les fonctions n'admettent pas forcément une primitive. Pourquoi la fonction inverse admettrait-elle une primitive ?
Parce qu'on suppose connu le théorème suivant :
THEOREME : toute fonction continue admet une primitive.
Cela justifie l'existence de la fonction logarithme, mais pas son unicité. Celle-ci se déduit de la manipulation
élémentaire d'intégrales.
La définition de la fonction exponentielle repose alors sur le théorème de fonctions réciproques :
THEOREME : Étant donnée un intervalle et une fonction à la fois continue et strictement monotone sur
cet intervalle , on a :
La fonction est une bijection de sur ( ). On note sa bijection réciproque.
La fonction ( ) est une fonction à la fois continue et strictement monotone, de même sens de
monotonie que
La fonction logarithme étant continue et strictement croissante sur ] [, le théorème précédent s'applique.
DEFINITION : la fonction exponentielle est la bijection réciproque de la fonction logarithme népérien.
On la note .
Le théorème des fonctions réciproques, ainsi que les propriétés générales des fonctions bijectives, nous donnent :
PROPRIETES :
i. ] [ donc ] [
ii. La fonction exponentielle est continue et strictement monotone sur de même sens de monotonie que
la fonction logarithme népérien, c'est-à-dire strictement croissante sur
iii. on a :
iv.
En particulier, on sait que :
De même, on sait que :
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ( ))
( ( ))
v. Comme pour toutes applications réciproques, le graphe de la fonction exponentielle se déduit du graphe
de la fonction logarithme népérien par symétrie par rapport à la première bissectrice.
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