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N° d’ordre : 873
Institut National des Sciences Appliquées de Toulouse
Ecole Nationale d’Ingénieurs de Tunis
THESE
en vue de l’obtention du
DOCTORAT
de L’INSAT et de L’ENIT
Spécialité : Génie Mécanique
par
Jamel CHAKHARI
Ingénieur et technologue en génie mécanique
Le 10 Juillet 2007
MODELISATION D’UNE FIXATION PAR ELEMENTS FILETES
D’UNE STRUCTURE A FORTE EXCENTRATION DE
CHARGEMENT ET SOUMISE A DES SOLLICITATIONS EN
FATIGUE
Jury :
M. Ali ZGHAL Professeur à l’ESST de Tunis
M. Marc SARTOR Professeur à l’INSA de Toulouse
M. Jean GUILLOT Professeur à l’INSA de Toulouse
M. Tahar FAKHFAKH Maître de conférences (HDR) à l’ENI de Sfax
M. Jean-Marc LINARES Maître de conférences (HDR) à l’IUT d’Aix en Provence
M. Alain DAIDIE Maître de conférences à l’INSA de Toulouse
Laboratoire de Génie Mécanique de Toulouse, 135 avenue de Rangueil 31077 Toulouse Cedex 04 France.
Laboratoire de mécanique des solides, de structures et de développement technologique, ESST de Tunis Tunisie.

Nom : CHAKHARI Prénom : Jamel
MODELISATION D’UNE FIXATION PAR ELEMENTS FILETES D’UNE
STRUCTURE A FORTE EXCENTRATION DE CHARGEMENT ET
SOUMISE A DES SOLLICITATIONS EN FATIGUE
Thèse de doctorat en Génie Mécanique
Laboratoire de Génie Mécanique de Toulouse, INSA Toulouse, France.
Laboratoire de mécanique des solides, de structures et de développement technologique, ESST de Tunis Tunisie.
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RESUME :
Dans cette thèse, un outil numérique de dimensionnement d’une fixation par éléments
filetés d’une structure à forte excentration de chargement est présenté. Il s’agit du
développement d’un modèle numérique pour un assemblage type d’une pièce prismatique
fixée sur son support par deux vis ou deux boulons. Les axes des vis et celui de la force
appliquée à l’assemblage sont parallèles et situés dans le même plan.
Le modèle proposé est construit à partir d’éléments finis unidimensionnels représentant les
pièces et d’éléments ressorts modélisant le contact élastique entre les deux pièces assemblées.
La particularité du modèle est la prise en compte de l’évolution de la zone de contact en
fonction du chargement extérieur. La déformation locale due au contact de la pièce assemblée
avec le coin de son support est formulée. Un algorithme qui réactualise la matrice de rigidité
de contact est développé. La résolution numérique est associée à un programme écrit en
Langage C, donnant les contraintes dans les vis d’assemblage en statique et en dynamique.
Des simulations éléments finis tridimensionnels et une étude expérimentale ont été
réalisées. Le comportement et les résultats du modèle développé sont validés. La méthode de
plan d’expériences est appliquée pour l’analyse des effets des paramètres de l’assemblage sur
le comportement en fatigue des vis de fixation. Le modèle est ensuite étendu et appliqué à
d’autres configurations d’assemblages multi boulonnés.
Mots clés : Assemblages boulonnés, Dimensionnement, Modélisation de structures, Eléments
Finis, Non linéarité de contact, Fatigue.

Name: CHAKHARI Surname: Jamel
MODELING OF A THREADED ELEMENTS JOINT OF A STRUCTURE
SUBJECTED TO HIGH ECCENTRIC FATIGUE LOADING.
PhD thesis of Mechanical Engineering
Toulouse Mechanical Engineering Laboratory, INSA Toulouse, France.
Solid Mechanics, Structures and Technological Developments Laboratory, ESST Tunis, Tunisia.
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ABSTRACT:
This PhD thesis presents a numerical tool for dimensioning threaded elements joint of a
structure subjected to high eccentric fatigue loading. The model is relative to a basic joint
prismatic part fixed on its supporting structure by two fasteners (screws or bolts) whose axes
are parallel and coplanar with external loading.
This model is established from unidirectional finite elements to represent the
subassemblies and the screws. The elastic contact between subassemblies is modelled by
linear springs. The main advantage of the model is considering the evolution of the contact
zone with external loading. Moreover, Local deformation due to the contact between the
lower part angle and the upper connected subassembly is formulated. An algorithm which
updates the contact stiffness matrix and sets out forces and displacements at each node of the
structure is developed and coded under C. The main contribution of this program is the
evaluation of the stresses in both static and fatigue.
3D Finite Elements calculations and experimental tests were conducted to validate the
behavior of the model and results. A statistical software method is applied to set out joint
parameters effects on fasteners fatigue. The numerical dimensioning model is finally extended
to others configurations of multi bolted joints.
Keywords: Bolted joints, Dimensioning, Structures modelling, Finite elements, Contact nonlinearity,
Fatigue.

Remerciements
Ce travail a été réalisé au sein du Laboratoire de Génie Mécanique de Toulouse et du
Laboratoire de Mécanique des Solides, de Structures et de Développement Technologique de
Tunis, sous la direction des professeurs Marc Sartor et Ali Zghal. Ce même travail a été suivi
de près par le professeur émérite Jean Guillot et le maître de conférences Alain Daidié à
l’INSA de Toulouse.
J’exprime profondément mes remerciements à M. Jean Guillot pour m’avoir proposé le
sujet de recherche qui a donné ce travail. M. Guillot m’a motivé dans les moments difficiles.
Je tiens à remercier M. Alain Daidié qui a suivi de près l’avancement de ce travail. Il m’a
aidé dans la vérification des différents résultats. M. Daidié m’a aidé et m’a dirigé au cours de
la préparation de mes communications et de mes articles. Grâce à lui j’ai pu trouver tous les
moyens nécessaires pour effectuer mes essais expérimentaux dans de bonnes conditions,
malgré les déplacements entre les deux laboratoires. Il m’a également soutenu pour trouver un
hébergement pendant les périodes de mon séjour à l’INSA de Toulouse.
J’adresse ma reconnaissance à M. Jean Marc LINARES et également à M. Taher
FAKHFAKH, maîtres de conférence à l’IUT d’Aix en Provence et à l’ENI de Sfax, qui m’ont
fait l’honneur d’être rapporteurs de mon travail et ont accepté de consacrer du temps pour la
lecture et le jugement de ce document.
J’adresse toute ma gratitude à M. Marc Sartor pour son accueil chaleureux et pour son aide
pendant le déroulement des procédures d’inscription à l’INSA. Je le remercie pour m’avoir
encouragé et permis d’avancer progressivement pour atteindre les objectifs du sujet de
recherche.
Je remercie également M. Ali Zghal pour m’avoir accueilli dans son laboratoire et pour
m’avoir dirigé pendant les différentes étapes de recherche. M. Zghal m’a conseillé d’aborder
le problème sur les différents aspects analytique, numérique et expérimental.
Je remercie vivement la secrétaire du laboratoire LGMT, Mme Annie Cazeaux, pour son
aide administratif pendant mes inscriptions. Merci à M. Alain Bezombes, le technicien du
laboratoire LGMT, pour son aide pendant la préparation et le déroulement des essais
expérimentaux.
Le travail dans les deux laboratoires de recherche m’a amené à connaître un grand nombre
de personnes avec beaucoup de plaisir. Les relations entre nous ont été très agréables.
J’exprime un Merci spécial à Zouhair Chaib mon ami tunisien au Laboratoire LGMT. Il m’a
aidé à plusieurs occasions et pendant nos discussions sur certains points concernant les
assemblages filetés. Merci à Dimitri Leray, Feras Alkatan, Hazem Aziz, Emmanuel
Rodriguez, Adrien Barrot, Christine Barrot, Youssef Fares, Abbassi Fathi, Chaouachi Fredj, à
tous les techniciens et enseignants des deux laboratoires.
Par rapport à ce travail de thèse, merci à mes parents comme aux membres de ma famille.
Je remercie infiniment mon frère Zouhaier et sa femme Nathalie pour m’avoir aidé pendant
mon séjour en France.
Merci aux lecteurs de cette thèse.

TABLE DES MATIERES
Introduction Générale.............................................................................................................. 5
Chapitre I : Etat de l’art sur les assemblages filetés à chargements excentrés................... 7
1.1 Application des éléments filetés........................................................................................... 7
1.2 Résistance statique et dynamique d’un élément fileté ......................................................... 9
1.2.1 Tenue statique d’un élément fileté ............................................................................... 9
1.2.2 Tenue dynamique d’un élément fileté ........................................................................ 11
1.3 Modèles de calcul existants des assemblages filetés à chargement excentré..................... 12
1.3.1 Assemblages à chargement faiblement excentré (Modèle VDI 2230 linéaire).......... 12
1.3.2 Assemblage à chargement fortement excentré (Modèle poutre non linéaire)............ 18
1.4 Conclusion et position du sujet de recherche..................................................................... 21
Chapitre II : Modélisation analytique d’un assemblage précontraint à un ou à deux
boulons et à chargement excentré......................................................................................... 23
2.1 Modèle analytique à un boulon .......................................................................................... 23
2.1.1 Modèle analytique à un boulon et en tension ............................................................. 23
2.1.2 Modèle analytique à un boulon et en compression .................................................... 25
2.2 Modèle analytique à deux boulons..................................................................................... 26
2.2.1 Modèle analytique à deux boulons en tension............................................................ 26
2.2.2 Modèle analytique à deux boulon en compression..................................................... 27
2.3 Programme de calcul du modèle analytique ...................................................................... 29
2.4 Conclusion.......................................................................................................................... 29
Chapitre III : Modélisation en éléments finis tridimensionnels d’un assemblage à deux
éléments filetés........................................................................................................................ 31
3.1 Méthode des éléments finis................................................................................................ 31
3.2 Modèle éléments finis 3D d’un assemblage à deux vis ..................................................... 32
3.3 Résultats des simulations EF 3D........................................................................................ 37
3.4 Limites du modèle analytique ............................................................................................ 40
3.4.1 Etude de cas................................................................................................................ 40
3.4.2 Analyse du problème de référence à une vis (calcul EF 3D) ..................................... 41
3.4.3 Comparaison calcul tridimensionnel (EF) / Modèle analytique à deux vis................ 43
3.5 Conclusion.......................................................................................................................... 45
Chapitre IV : Etude expérimentale ....................................................................................... 47
4.1 Assemblage étudié.............................................................................................................. 47
4.2 Essais réalisés..................................................................................................................... 48
4.2.1 Méthodes des plans d’expériences ............................................................................. 48
4.2.2 Choix d’un plan d’expériences mixte......................................................................... 48
4.2.3 Assemblages réalisés .................................................................................................. 49
4.3 Précontraintes et forces appliquées aux assemblages ........................................................ 50
4.4 Dispositifs expérimentaux.................................................................................................. 52
___________________________________________________________________________
1

Table des matières
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4.4.1 Machine d’essais ........................................................................................................ 52
4.4.2 Préparation des pièces pour un plan d’expériences mixte.......................................... 52
4.4.3 Instrumentation des vis par des jauges de déformation.............................................. 53
4.4.4 Dispositifs d’application des efforts sur les assemblages........................................... 54
4.5 Dépouillement des résultats expérimentaux....................................................................... 55
4.5.1 Résultats expérimentaux bruts.................................................................................... 55
4.5.2 Calcul de contraintes à partir des lectures sur les jauges............................................ 56
4.5.3 Contraintes normales gauches et droites de chaque vis.............................................. 56
4.5.4 Causes possibles de différence de contraintes entre vis symétriques......................... 57
4.5.5 Passage d’un assemblage à 4 vis à un assemblage à 2 vis.......................................... 58
5.6 Conclusion.......................................................................................................................... 61
Chapitre V : Modèle numérique simplifié d’un assemblage à deux boulons..................... 63
5.1 Présentation du modèle ...................................................................................................... 63
5.2 Problème du rapprochement des pièces au coin support.................................................... 69
5.2.1 Position du problème du coin support ........................................................................ 69
5.2.2 Plasticité locale et formation d’un coin arrondi du support........................................ 70
5.2.3 Formulation analytique du rapprochement Delta au coin
sous chargement de compression............................................................................... 71
5.3 Résolution numérique ........................................................................................................ 76
5.4 Structure du programme de calcul ..................................................................................... 76
5.5 Conclusion.......................................................................................................................... 77
Chapitre VI : Validation du modèle numérique simplifié................................................... 79
6.1 Validation des résultats du modèle..................................................................................... 79
6.2 Etude des effets par plan d’expériences ............................................................................. 84
6.2.1 Etapes du plan d’expériences réalisé.......................................................................... 84
6.2.2 Dépouillement et interprétation des résultats ............................................................. 85
6.2.2.1 Utilisation du logiciel BPEW ........................................................................... 85
6.2.2.2 Utilisation du logiciel JMP............................................................................... 86
6.2.3 Effets des paramètres de l’assemblage sur la fatigue des vis ..................................... 86
6.2.3.1 Effet du module d’élasticité des pièces assemblées ......................................... 86
6.2.3.2 Effets des paramètres définissant la géométrie des pièces ............................... 86
6.2.3.3 Effets du serrage des vis................................................................................... 87
6.2.3.4 Effets du rapprochement Delta au coin ............................................................ 87
6.2.4 Formulation du coefficient α à l’aide du logiciel BPEW........................................... 88
6.2.5 Application à des cas tests.......................................................................................... 89
6.3 Conclusion.......................................................................................................................... 90
Chapitre VII : Application du modèle numérique simplifié et conception d’une interface
graphique sur Visual Basic (VBA6)...................................................................................... 91
7.1 Etude d’une structure profilée en « U » ............................................................................. 91
7.1.1 Application du modèle numérique simplifié .............................................................. 91
7.1.1.1 Structure symétrique et position de la force variable (cas 1) ........................... 91
7.1.1.2 Structure non symétrique et position de la force centrée (cas 2)...................... 93
___________________________________________________________________________
2

Table des matières
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7.1.1.3 Cas particulier d’une plaque avec la position de la force variable (cas 3)........ 94
7.1.1.4 Comment appliquer le modèle numérique simplifié ........................................ 94
7.1.2 Simulation éléments finis 3D des assemblages profilés à quatre vis ......................... 95
7.1.3 Proposition d’un modèle spatial construit par des éléments finis 1D ........................ 98
7.2 Conception d’interface graphique pour le logiciel d’application
du modèle numérique simplifié ......................................................................................... 100
7.2.1 Synoptique de l’interface graphique......................................................................... 100
7.2.2 Environnement et outils de développement ............................................................. 102
7.2.3 Elaboration d’une maquette d’interface ................................................................... 103
7.2.4 Aperçu du logiciel .................................................................................................... 104
7.2.5 Evolution futures de l’environnement de l’outil de calcul ....................................... 108
7.3 Conclusion........................................................................................................................ 108
Chapitre VIII : Extension d’étude : Modèle numérique simplifié général. Cas d’un
assemblage à deux boulons, sollicité en plus par une force transversale ........................ 111
8.1 Modélisation..................................................................................................................... 111
8.2 Condition de non glissement à l’interface de contact ...................................................... 112
8.3 Algorithme de résolution et programmation du modèle .................................................. 115
8.4 Validation du modèle par des simulations EF 3D............................................................ 117
8.4.1 Simulations EF 3D du comportement de l’assemblage............................................ 117
8.4.2 Distribution de la pression à l’interface de contact .................................................. 118
8.4.3 Comparaison des résultats en contrainte alternée..................................................... 120
8.5 Effet de l’effort transversal sur les contraintes alternées des vis ..................................... 124
8.6 Intérêt des essais expérimentaux...................................................................................... 126
8.7 Conclusion........................................................................................................................ 126
Conclusion générale et perspectives ................................................................................... 127
Références bibliographiques ............................................................................................... 129
Publications........................................................................................................................... 135
Annexes ................................................................................................................................. 137
___________________________________________________________________________
3

INTRODUCTION GENERALE
Les éléments filetés trouvent beaucoup d’applications dans différents domaines
mécaniques, civils, aéronautiques et marins. Ils sont utilisés pour supporter des charges
statiques ou des charges cycliques de fatigue. Les industriels recherchent de plus en plus à
maîtriser le dimensionnement de ces éléments de fixation. Cet intérêt nécessite de développer
des modèles de calcul plus performants que les règles de calcul conventionnelles sur les
assemblages. D’autre part, l’exploitation de ces modèles dans le processus de conception
exige des outils interactifs pour que le concepteur puisse simuler plusieurs scénarii et trouver
la solution convenable.
Les assemblages par éléments filetés sont couramment utilisés dans les différents secteurs
de l’industrie et ceci grâce à leur facilité de mise en oeuvre. La maîtrise de ce genre
d’assemblage est bien exploitée par les industriels pour différentes raisons :
- Minimiser les volumes des produits finis : Produit en pièces détachées.
- Décomposer le produit pour assurer le transport et la livraison : avions, voitures, grues…
- Faciliter le changement des pièces pour des opérations de maintenance…
Malgré les nombreuses applications des éléments filetés, leur dimensionnement dans
certaines configurations d’assemblage n’est pas maîtrisé par les industriels.
Le cas de chargement fortement excentré entraînant de grandes déformations des pièces
assemblées n’a pas été suffisamment étudié. Le modèle VDI n’est alors plus convenable. La
formulation poutre fléchie d’Agatonovic, même améliorée, souffre de la non-prise en compte
de la zone réelle de contact. En se référant à ces travaux et aux travaux réalisés au Laboratoire
de Génie Mécanique de Toulouse (LGMT), nous avons développé dans cette thèse un outil de
dimensionnement des assemblages de pièces prismatiques comportant deux éléments filetés
disposés en « Tandem », soumis à un chargement excentré de tension et/ou de compression.
Le travail comporte plusieurs étapes :
Le chapitre I est une étude bibliographique dans laquelle on a défini les éléments filetés et
leurs critères de dimensionnement en statique et en fatigue. Dans une seconde section, les
méthodes et modèles existants de calcul des assemblages filetés à chargements excentrés sont
rappelés. Après une synthèse bibliographique, le problème de recherche est posé. Il s’agit de
développer un modèle de calcul des assemblages filetés précontraints, sollicités par des
charges fortement excentrées.
Dans le chapitre II, un modèle analytique des assemblages filetés à un ou à deux boulons et
à chargements excentrés, sollicités en tension ou en compression, est présenté. C’est une
extension du modèle poutre fléchie du LGMT. L’algorithme de résolution numérique est
défini.
Au début du chapitre III, un modèle Eléments Finis tridimensionnels d’un assemblage à
deux éléments filetés effectué sur le logiciel de calcul EF I_DEAS est présenté. Dans la suite
de cette étude, les résultats du modèle analytique sont comparés aux résultats des simulations
en Eléments Finis tridimensionnels. L’objectif est d’étudier au préalable le comportement
général de ces assemblages, de valider le modèle analytique et de montrer ses limites
d’exploitation. La comparaison des résultats montre que le modèle analytique représente
correctement le comportement réel de l’assemblage en tension. Mais l’application directe de
___________________________________________________________________________
5

Introduction générale
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ce modèle n’est pas possible, car on ne dispose pas de la valeur de la souplesse au contact.
Ceci s’explique par l’absence de formules exactes des raideurs de contact entre la pièce
assemblée et son support. Le comportement du modèle analytique en compression est loin du
comportement réel, car dans ce cas s’ajoute le problème du contact de la pièce assemblée avec
le coin du support.
Le chapitre IV présente l’étude expérimentale qui a été réalisée pour analyser le
comportement réel d’un assemblage symétrique à quatre boulons sollicité par un chargement
excentré de tension ou de compression. Les essais ont permis de disposer de données fiables
servant à valider et caler un modèle numérique simplifié dont la présentation est faite dans le
chapitre V. Dans cette étude la méthode des plans d’expériences est appliquée afin de
minimiser et choisir convenablement les cas expérimentaux.
Le modèle analytique s’est montré inexploitable, ce qui nous a poussé à élaborer une
modélisation plus sophistiquée présentée au chapitre V. Cette nouvelle approche a été
développée sur le principe d’un modèle numérique simplifié, dans lequel nous avons tenu
compte du comportement du contact pièce-support en mettant une série de ressorts dont le
nombre évolue selon l’état de chargement. L’assemblage est modélisé par une structure
d’éléments poutres à deux nœuds. La déformation au niveau du coin support en compression
est formulée. La résolution du modèle s’apparente à une méthode itérative qui tient compte de
l’évolution du contact en fonction du chargement extérieur. L’algorithme de résolution est
codé en langage C. Il donne les déplacements en tout nœud de la structure, ce qui permet de
calculer les efforts nodaux et d’en déduire ensuite les contraintes dans les vis ou les boulons
de fixation.
Le chapitre VI regroupe les différents résultats et présente plusieurs cas d’étude qui
permettent de valider le comportement général du modèle numérique simplifié. La méthode
des plans d’expériences déjà définie pour l’étude expérimentale est exploitée ici pour étudier
les effets des différents paramètres de l’assemblage sur la tenue en fatigue des vis. Elle permet
aussi de préciser les coefficients de calage du modèle programmé. Un coefficient REP est
défini comme facteur de distribution de raideur permettant de trouver la raideur équivalente
de la couche élastique. Un autre coefficient de calage α est introduit dans la formulation de
déformation au coin de contact pour le modèle en compression. Les valeurs optimales des
coefficients de calage ont été déterminées et les résultats du modèle numérique sont validés à
l’intérieur et à l’extérieur du domaine des cas étudiés.
Dans le chapitre VII, l’application du modèle numérique développé est étendue au calcul
des assemblages à quatre éléments filetés et à d’autres configurations de structures profilées
dont le dimensionnement se ramène au modèle de base présenté. On traite en particulier la
fixation des profilés en U. La seconde section de ce chapitre présente le développement de
l’interface d’un logiciel qui calcule plusieurs configurations d’assemblages filetés en
exploitant le programme de base du modèle développé. L’interface est réalisé dans
l’environnement Visual Basic for Applications 6 (VBA6).
Le dernier chapitre présente une extension de l’étude. Il s’agit du développement d’un
modèle pour le même type d’assemblage celui-ci étant sollicité en plus par un effort
transversal. Nous avons dû améliorer les algorithmes de calcul en considérant les états
d’adhérence, de frottement et de glissement à l’interface. Les résultats de ce nouveau modèle
sont validés par des simulations en éléments finis tridimensionnels.
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6

Chapitre I :
ETAT DE L’ART SUR LES ASSEMBLAGES FILETES
À CHARGEMENTS EXCENTRES
1.1 APPLICATION DES ELEMENTS FILETES
Un assemblage par éléments filetés est constitué par deux ou plusieurs structures à
assembler moyennant un ou plusieurs des éléments de liaison suivants :
Vis : Tige filetée avec ou sans tête équipée d’un dispositif d’entraînement (rainure, forme
hexagonale : creux ou tête…)
Ecrou : Pièce taraudée ayant un dispositif d’entraînement.
Goujon : Tige comportant un filetage à ses deux extrémités.
Boulon : Ensemble constitué d’une vis à tête et un écrou. Un boulon est destiné normalement
à assurer un serrage entre la face d’appui de la tête et celle de l’écrou.
L’AFNOR a réuni dans un recueil Boulonnerie – Visserie, les principales normes relatives
aux éléments d’assemblages filetés (vis, écrous, …). Parmi ces normes ayant une
spécification technique, on cite : NF E27-005, E27-702 et NF E 27-009 [49]. Les
caractéristiques mécaniques définies par ces normes sont :
- Diamètre nominal d ;
- Les dimensions du filet et sa section résistante As ;
- Essais de caractérisation de l’élément fileté ;
- Les classes de qualité.
Le grand avantage des boulons, en particulier les boulons haute résistance HR, réside dans
le fait qu’ils permettent un serrage élevé des pièces tout en restant dans le domaine élastique.
Cet effort de serrage induit un effort de frottement qui s’oppose au mouvement relatif des
surfaces de contact des pièces assemblées et ainsi permet de réaliser des assemblages par
adhérence. Cette technique a conduit l’AFNOR à une normalisation globale des éléments
filetés (vis, goujons, écrous). Pour la vis, la classe de qualité défini essentiellement la
résistance minimale à la traction (Rm) et la limite minimale conventionnelle d'élasticité (Rρ0.2).
Ces caractéristiques sont obtenues à partir d’essais statistiques effectués sur un lot de pièces
prélevé au cours de la fabrication de ces éléments qui sont généralement forgés et pour
lesquels le filetage est réalisé par roulage et traité thermiquement.
Les assemblages par éléments filetés sont couramment utilisés dans les différents secteurs
et ceci grâce à leur facilité de manipulation. La maîtrise de ce genre d’assemblage est bien
exploitée par les industriels pour différentes raisons dont on cite :
- Minimiser les volumes des produits finis : Produit en pièces détachées ; tel que les
appareils électroménagers, machines de production ;
- Discrétiser le produit pour assurer le transport et la livraison : avion en tronçons,
grues… ;
- Faciliter la maintenance des pièces défectueuses : changements des composants
mécaniques.
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Chapitre I Etat de l’art sur les assemblages filetés à chargements excentrés
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La flexion est une sollicitation qu’on cherche à éviter en jouant sur la géométrie pour la
transformer en sollicitation de traction et de compression, mais ce n’est pas toujours possible.
Nous citons quelques exemples de pièces soumises à ce type de sollicitation :
- Assemblage boulonné des Bogies de TGV, (Figure 1.1)
- Supports des moteurs de voitures, (Figure 1.2)
- Les charpentes métalliques sont souvent en flexion excentrée. Elles sont
surdimensionnées en structure et en nombre de fixations, (Figure 1.3)
- Les stabilisateurs, les pales d’hélicoptères et autres pièces aéronautiques. Le poids
est le facteur prépondérant d’où le recours aux éléments filetés précontraints.
- Les ressorts plats qui travaillent généralement sous des chargements fortement
excentrés. Ils sont sollicités en fatigue.
- En agriculture et en génie civil : les pelleteuses, les bineuses …
- Les panneaux de publicité et les panneaux routiers.
Figure 1.1 : Assemblage boulonné des Bogies de TGV
Figure 1.2 : Support moteur assemblé par 4 boulons et renforcé par des nervures.
Figure 1.3 : Fixation des charpentes métalliques
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Chapitre I Etat de l’art sur les assemblages filetés à chargements excentrés
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1.2 RESISTANCE STATIQUE ET DYNAMIQUE D'UN ELEMENT FILETE
1.2.1 Tenue statique d’un élément fileté
Dans le cas le plus général, la vis est soumise à un effort de tension FB, à un moment de
flexion MFB et à un moment de torsion CB dans le cas où la précontrainte est obtenue par
application d’un couple de serrage. Pour les filetages normalisés le moment de torsion CB
s’exprime par la relation usuelle :
C B
2
= Q [0.16 p + 0.583f d ]
(1-1)
Avec :
Q : effort de précontrainte.
p : pas du filetage.
d2 : diamètre à flanc de filet.
f : coefficient de frottement vis / écrou.
Compte tenu de la forme de la vis, celle-ci est tout à fait assimilable à une poutre et le calcul
serait classique s’il n’y avait pas les deux particularités suivantes :
- La vis obtenue par forgeage et roulage n’est pas un matériau homogène et isotrope.
- On constate que la plupart des ruptures se produisent au niveau du premier filet en prise,
donc dans la zone d’introduction des charges (concentration de contrainte à fond de filet
et répartition non uniforme des charges le long de l’écrou), (Figures1.4 et 1.5).
Figure 1.4 : Concentration de contrainte à fond de filet dans la vis [23].
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Chapitre I Etat de l’art sur les assemblages filetés à chargements excentrés
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B
3
s
FB
F B
1 er
filet en prise
Figure 1.5 : Répartition non uniforme des charges le long de l’écrou [23].
En plus de ces inconvénients, s’ajoutent les perturbations dues à la fabrication en très grande
série des éléments filetés, ce qui est difficile à quantifier. La solution fournie par la norme est
qu’au niveau des essais de caractérisation, les essais de traction pour obtenir Rm, Rp0.2 et
éventuellement σD (limite de fatigue ou d’endurance) seront réalisés directement sur les vis
équipées de leurs écrous.
A partir d’un lot représentatif de la fabrication, on obtiendra des valeurs représentatives
d’efforts maximaux admissibles à rupture et d’efforts à la limite conventionnelle d’élasticité,
ou d’efforts alternés limites. Pour pouvoir passer aux contraintes (Rm, Rp0.2, σD) pour une
pièce filetée il était nécessaire de choisir une section équivalente ; c'est la section résistante
(As). Elle est définie comme la section de la pièce cylindrique de même résistance que la
pièce filetée. La norme E25-030 [15] définit cette section résistante de la manière suivante :
d d
As
=
π ⎛ 2 + 3⎞ ⎜ ⎟
4⎝2 ⎠
2
(1-2)
Où d2 est le diamètre à flanc de filet et d3 le diamètre à fond de filet.
Pour la vérification statique de la vis, considérée comme une pièce cylindrique de section (As)
et de diamètre (ds), on calcule les contraintes maximales de tension (traction + flexion),
Eq.(1-3), et de torsion, Eq.(1-4).
FBmax 32M FBmax
σ M = + (1-3)
3
A s π d s
16 C
τ M =
πd
(1-4)
Puis la contrainte équivalente de Von Mises :
2 2
σ éq.max = σ M +3.τ (1-5)
M
Critère de résistance en statique de la vis : On suppose que la contrainte normale
équivalente maximale que peut supporter la vis sans se déformer de façon permanente est telle
que :
σéq.max ≤ 0.9Re min
(1-6)
___________________________________________________________________________
10

Chapitre I Etat de l’art sur les assemblages filetés à chargements excentrés
__________________________________________________________________________________________
Où Re min est la résistance élastique minimale de la classe de qualité de la vis. Cette condition
correspond à la charge d’épreuve définie par la norme ISO 898-1 anciennement E27-009 [49].
On remarque un faible coefficient de sécurité dans la valeur limite choisie, ceci s’explique par
le fait que la limite d’élasticité apparente caractérise l’effort qui entraîne le fluage partiel du
premier filet en prise, ce qui ne met pas en cause la résistance globale de la vis.
1.2.2 Tenue dynamique d’un élément fileté
Le comportement en fatigue des boulons normalisés (vis obtenues par roulage plus un
traitement thermique) est indépendant de la classe de qualité. Leur résistance en fatigue est
légèrement influencée par le chargement statique généré par la contrainte principale statique
(σm = 0.5 à 0.8 Re avec Re correspondant à la limite élastique de la classe de qualité)
(Martinez-Martinez [43], VDI 2230 [67], E25-030 [15], Fares et al. [17]).
Les essais de fatigue sur les assemblages boulonnés doivent être conforme à la norme NF
E27-009 [49], Fares [16] et VDI 2230 [67] sachant que 85% des ruptures se font au premier
filet engagé, (Figure 1.5). Ceci est dû à la grande concentration de contraintes qui est en
relation avec la distribution des charges entre la vis et l’écrou.
La résistance en fatigue des vis est très faible comparée à leur résistance statique. Ceci
s’explique par la concentration de contrainte au niveau des filets et donc à la plastification aux
fonds des filets même pour des efforts appliqués faibles. Les normes VDI 2230 [67] et
E25-030 [15] prennent en compte la concentration de contraintes au niveau des filets. Elles
recommandent des valeurs de la limite de fatigue pour les boulons haute résistance exprimés
par rapport à la section de la tige filetée As à partir de courbes de Wöhler théoriques et en
sollicitations axiales de fatigue.
La sollicitation de fatigue est la variation de la contrainte normale entre l’état précontraint
et l’état de chargement au niveau de la section As du filetage. Ces variations résultent d’une
force de traction ou d’un moment fléchissant. Dans le cas le plus général, la contrainte
alternée est la conséquence de la variation de l’effort de tension ΔFB et du moment de flexion
ΔMFB dans le boulon, Eq (1-7).
ΔF
ΔM d
B FB s
σ a = +
2As 4Is
(1-7)
πd4
s
Is=
(1-8)
64
Pour le calcul de vérification, on peut se contenter des résultats d’essais publiés dans les
références VDI-1983 [67], Sayettat et al [55], Lieurade [40] et Heywood [25].
La limite de fatigue des vis est pratiquement indépendante de la classe de qualité. Les
essais les plus récents tendent à montrer que la limite de fatigue σD décroît légèrement pour
les classes (HR) les plus élevées (12.9). La contrainte alternée admissible σD décroît lorsque
le diamètre des vis augmente. Pour un nombre de cycles de 2.10 6 et pour les classes de qualité
8.8, 10.9 et 12.9 on adopte les valeurs données par le diagramme de Haigh (Figure 1.6).
___________________________________________________________________________
11

Chapitre I Etat de l’art sur les assemblages filetés à chargements excentrés
__________________________________________________________________________________________
90
80
70
60
50
40
0
± σa (MPa)
d = 4 à 8 mm
d = 10 à 16 mm
d = 18 à 30 mm
10 20 30 40 50 60 70
80 90
σm/Rp0.2(%)
Figure 1.6 : Diagramme de Haigh définissant les contraintes σa en fonction
σ / pour les vis de classes 8.8, 10.9 et 12.9 [25]
de m R p0.
2
1.3 MODELES DE CALCUL EXISTANTS DES ASSEMBLAGES FILETES À
CHARGEMENT EXCENTRE
1.3.1 Assemblages à chargement faiblement excentré (Modèle VDI 2230 linéaire)
Actuellement, il existe un modèle très connu, proposé par les recommandations VDI 2230-
1983 [67] pour le calcul des assemblages vissés. Ce modèle implique le non-décollement à
l’interface de contact des pièces assemblées.
Hypothèses :
La Figure1.7 représente un assemblage boulonné sollicité par une charge extérieure FE
excentrée de m. et dont l’axe (SS’) de la vis est excentré de n par rapport à l'axe principal
d'inertie (OO’) des pièces considérées. On peut avoir un ou plusieurs boulons en ligne.
Cette modélisation impose de respecter certaines conditions géométriques :
2u ≤ D + l
(1-9)
a P mini
D + l
m u
2
Avec :
Da est le diamètre de tête de la vis
lP mini est la plus faible épaisseur des pièces assemblées.
b est la largeur des pièces (suivant Z).
δ est l'entraxe entre deux boulons successifs.
a P mini
≤ ≤ (1-10)
On peut prendre :
b= D a + l P mini pour δ > Da+ lP
mini
(1-11)
b=δ pour δ ≤ Da + lP
mini
(1-12)
En fait, dans le cas de plusieurs boulons alignés, on se ramène au modèle à un boulon en
supposant que la charge se répartît également sur chaque élément.
___________________________________________________________________________
12

Chapitre I Etat de l’art sur les assemblages filetés à chargements excentrés
__________________________________________________________________________________________
LP
b
LP mini
O
O' S'
2u
___________________________________________________________________________
13
Y
n
Z
Figure 1.7 : Assemblage a chargement faiblement excentré.
Ces conditions dimensionnelles définissent un solide prismatique, les hypothèses suivantes
sont considérées réalisables :
- Toutes les sections transversales de ce solide prismatique restent planes et la distribution
des contraintes dans chaque section est linéaire.
- La rigidité en flexion de la vis est négligeable devant celle du solide.
- Sous l'action des forces appliquées au solide, la pression de contact (contrainte normale
de contact) dans l'interface n'est nulle en aucun point de la surface ce qui veut dire qu'il
n'y a pas de décollement.
Détermination du supplément d'effort
Si les hypothèses précédentes sont respectées, nous pouvons calculer les souplesses
définies comme le quotient des déplacements Δl pris sur l'axe de la vis par la force de
compression résultante F sur les pièces.
En admettant un non-décollement des pièces, l'équation de la compatibilité des
déplacements sur l'axe de la vis nous donne l'égalité entre l'allongement supplémentaire du
boulon sous ΔFB et la détente des pièces sous ΔFE :
** *
ΔF ⋅ S = ΔF ⋅Sp−ΔF ⋅ Sp
(1-13)
B b E B
D’où le supplément de force sur le boulon :
* *
Sp
Δ FB = ΔF
(1-14)
* E
Sb + Sp
S
m
F E
FE
X
X

Chapitre I Etat de l’art sur les assemblages filetés à chargements excentrés
__________________________________________________________________________________________
Sp, Sp * et Sp ** sont les souplesses équivalentes suivant les différents cas de charge,
représentés sur la Figure 1.8.
FE
F E
ΔP/2
ΔP/2
n
FE
F E
___________________________________________________________________________
14
ΔP’/ 2
ΔP’/ 2
Position finale Position intermédiaire
n
m
FE
FE
ΔP’’/ 2
ΔP’’/ 2
Figure 1.8 : Influence de l’emplacement de la force par rapport à l’axe de la pièce sur la
déformation élastique.
Pour une disposition de vis concentrique et une charge concentrique (n = m = 0) :
lp
Sp = (1-15)
E × Ap
Pour une disposition de vis excentrée de n et une introduction de charge extérieure
excentrée de m tel que m = n :
* lp n² × Ap n² × Ap
S p = (1 + ) = Sp(1 + )
(1-16)
E × Ap Ip
Ip
Pour une disposition de vis excentrée de n et une charge extérieure excentrée de m :
* * lp n × m × Ap n × m×
Ap
S p = (1+
) = Sp(1+
)
(1-17)
E × Ap Ip
Ip
Ap = 2u.b
(1-18)
Avec :
Ap la section équivalente
Ip le moment quadratique de Ap
E le module de Young des pièces
m distance de FE à Gz, G est le barycentre de surface (vue de dessus).
n distance de OO' à SS' affectée du signe positif si FE et FB sont du même côté de l'axe Gz
sinon du signe négatif.
De la même manière que pour les assemblages chargés axialement, nous introduisons un
coefficient γ pour tenir compte de la zone d’introduction du chargement sur les pièces [65],
[23]. Le supplément d'effort vaut alors :
* *
Sp
Δ FB = γ ΔF
* E
Sb + Sp
(1-19)
Δ F = λ ⋅ ΔF
(1-20)
B
ex
E

Chapitre I Etat de l’art sur les assemblages filetés à chargements excentrés
__________________________________________________________________________________________
* *
Sp
λ ex = γ
(1-21)
*
Sb + Sp
λex est appelé le facteur de charge. Il peut être exprimé en fonction des raideurs KB et KP :
nmAp
K B ⋅ (1 + )
Ip
λ ex = γ
n²Ap
KP + K B(1
+ )
I
Détermination du supplément de moment
p
(1-22)
Nous appliquons l’effort sur la pièce supérieure de l’assemblage. Nous considérons
l’ensemble comme un solide en flexion et nous admettons que la tête du boulon suit la
déformée de la pièce, ce qui signifie que les rotations angulaires de la pièce et du boulon sont
égales.
Considérons deux états de chargement sous FEmaxi et FEmini. Le boulon va alors tourner d’un
angle θ1 pour un effort extérieur égal à FEmaxi et d’un angle θ2 pour un effort extérieur égal à
FEmini (Figure 1.9).
Figure 1.9 : Détermination du supplément de moment.
On considère que la tête du boulon suit la déformée de la pièce, nous obtenons :
m ⋅ FE
− n ⋅ F
max B1 − M FB1 M FB1
θ 1 =
=
(1-23)
K FP
K FB
m⋅FEmin −n⋅FB2 −MFB2MFB2
θ 2 = = (1-24)
KFP KFB
Et donc en introduisant le facteur de charge λex et en faisant la différence nous avons :
n
⎛K⎞ FP
m(FEmax −F Emin )(1 − λ ex ) = Δ MFB ⎜ + 1⎟
(1-25)
m ⎝KFB ⎠
KFB et KFP sont respectivement les raideurs en flexion de la vis et de la pièce. Par
hypothèse KFB est petit devant KFP alors 1 est négligeable devant KFP/KFB d’où :
___________________________________________________________________________
15

Chapitre I Etat de l’art sur les assemblages filetés à chargements excentrés
__________________________________________________________________________________________
K n
Δ F
(1-26)
FB M FB = (1−
λex
) m ⋅ Δ
K FP m
Détermination de la force minimale de serrage nécessaire
E
La distribution de pression à l’interface ne pouvant être supposée linéaire que pour des
pièces de très faible section, il est difficile, dans le cas de pièces réelles, de s’assurer qu’une
force de serrage FPminiex évite l’ouverture de l’interface dans le cas d’un chargement excentré.
Dans l’hypothèse de répartition linéaire des contraintes de contact σ(x), on écrit que, pour
une force extérieure donnée FE, au point d’abscisse x = u, on considère σ(u) ≥ 0 (Figure 1.10).
En ce point la contrainte normale vaut :
FB MFB
σ (x) = + x
(1-27)
A'p I
Gz
F B = - (Q - (1 - λ ex)F E)
(1-28)
M FB = (m - λ ex.n).F E - Q.n
(1-29)
A’P : section réelle à l’interface.
IGz : moment quadratique de la section A’P.
O
O’
Y
n
___________________________________________________________________________
16
m
S
F B
F B
S’
F E
FE
Figure 1.10 : Précontrainte minimale.
Nous obtenons la précontrainte minimale à installer pour : σ(u) = 0 et elle vaut donc :
u(m − n)
Q miniex = ⋅ FE
+ (1−
λ ex ) ⋅ F
(1-30)
E
IG
z + n.u
A'p
La force minimale de serrage est alors :
u
X

Chapitre I Etat de l’art sur les assemblages filetés à chargements excentrés
__________________________________________________________________________________________
u(m − n)
F = ⋅F
I
+ n.u
A'p
Pminiex E
Gz
(1-31)
Force extérieure maximale
Inversement, pour une précharge donnée Q, nous pouvons déterminer l’intensité maximale
de la force extérieure à ne pas dépasser pour rester dans la zone de non-décollement :
Q
FEC
= (1-32)
u(m − n)
+ (1−
λ ex )
IG
z
+ n.u
A'p
2
πDt
A'p=2ub- (1-33)
4
4
2
⎛ π ⋅ D π ⋅ ⎞
⎜ t 2 D t
I = Ip −
⎟
⎜
+ n ⋅
(1-34)
GZ
⎟
⎝ 64 4 ⎠
A’P est la section réelle, et IGZ est le moment de la section à l'interface (en tenant compte
du trou de passage et de son excentration).
Contrainte alternée et contrainte maximale
On continue le calcul de la même façon que pour le chargement axial mais en faisant
intervenir le moment fléchissant dans le calcul des contraintes. Ce qui donne les contraintes
suivantes :
Selon le modèle LGMT :
λ
⋅ ΔF
ΔM
⋅d
ex E FB s
σ a = +
(1-35)
2As
4Is
2
2
⎛ Qmaxi
+ λex
⋅ FEmaxi
M FBmaxi ⋅ d ⎞ ⎛
s 16 ⋅ C ⎞ M
σ emax = ⎜
+
+ 3 3
As
2I ⎟
⎜
s
d ⎟
(1-36)
π s
Selon le modèle VDI 2230 :
λ
⎝
⋅ ΔF
ΔM
⋅ d
ex E FB 3
σ a = +
(1-37)
2Ad3
4I3
2
2
⎛ FM
+ λex
⋅ F ⎞ ⎛
Emaxi 16⋅
M ⎞ G
σ emax = ⎜
+ 3 3
A ⎟
⎜
d3
d ⎟
(1-38)
π 3
⎝
⎠
⎝
Le LGMT introduit aussi la contrainte due au moment de flexion dans le calcul de la
contrainte équivalente maximale.
Limites d’application du modèle VDI 2230 linéaire
L’application du modèle VDI 2230 [67] linéaire est limitée aux assemblages soumis à des
chargements faiblement excentrés par rapport à la vis ou le boulon à dimensionner. Cette
conclusion a été validée par Massol dans sa thèse [45], (Figures 1.11 et 1.12). La vis de
fixation de la bride est sollicitée par des suppléments de forces et de moments importants et
___________________________________________________________________________
17
⎠
⎠
⎝
⎠

Chapitre I Etat de l’art sur les assemblages filetés à chargements excentrés
__________________________________________________________________________________________
qui varient non linéairement pour des charges extérieures plus importantes. Cette conclusion
s’appuie sur les résultats des simulations éléments finis tridimensionnels et les résultats
expérimentaux. Par contre, le modèle VDI donne une variation linéaire des suppléments
d’efforts en fonction du chargement extérieur et s’il surestime les suppléments d’efforts et de
moments pour les charges faibles, il les sous estime dangereusement à partir d’un certain
niveau de chargement. Ceci s’explique par le fait que la flexion de la pièce n’est pas
négligeable et qu’il existe un décollement à l’interface de contact. Dans cette configuration,
les hypothèses du modèle ne sont pas toutes vérifiées.
140
120
100
80
60
40
20
0
Δ Fb (kN)
L"
Fe
Figure 1.11 : Exemple de bride prismatique à un boulon M24 [45]
Q1 = 100 kN EXP
Q2 = 200 kN EXP
Q3 = 286 kN EXP
Q1 = 100 kN E.F
Q2 = 200 kN E.F
Q3 = 286 kN E.F
VDI lineaire
Fe
1
Fe
2
20 40 60 80 100 120 140
Fe
3
Fe (kN)
20 40 60 80 100 120 140
___________________________________________________________________________
18
140
120
100
80
60
40
20
0
MFb (kN.mm)
Δ
Q1 = 100 kN EXP
Q2 = 200 kN EXP
Q3 = 286 kN EXP
Q1 = 100 kN E.F
Q2 = 200 kN E.F
Q3 = 286 kN E.F
VDI lineaire
a- Suppléments de force b- Suppléments de moment
Figure 1.12 : Suppléments de force et de moment de flexion appliqués
au boulon de la bride prismatique [45]
1.3.2 Assemblages à chargement fortement excentré (Modèle poutre non linéaire)
Fe
1
Fe
2
Fe
3
Fe (kN)
Dans le cas des pièces « minces » soumises à des efforts fortement excentrés, donc à une
flexion prépondérante, l’hypothèse de non-décollement à l’interface de contact des pièces
assemblées n’est plus vérifiée. L’élément fondamental constituant la base de plusieurs
modèles de calcul des assemblages filetés a été le modèle poutre. Agatonovic [1] a proposé un
modèle qui, tout en restant simple, tient compte des deux paramètres principaux que sont la

Chapitre I Etat de l’art sur les assemblages filetés à chargements excentrés
__________________________________________________________________________________________
rigidité en flexion des pièces assemblées et la grandeur de la précontrainte de serrage. Sur la
base de ces travaux, des modèles de calcul soumis à des charges axiales fortement excentrées
ont été développés au sein du Laboratoire de Génie Mécanique de Toulouse (LGMT). Guillot
[23] a amélioré le modèle proposé par Agatonovic en introduisant un paramètre
supplémentaire qui lie entre elles les raideurs locales et dont la valeur dépend de l’importance
de la précharge initiale. Bakhiet [6] a proposé une nouvelle formulation analytique qui prend
en compte la dimension de la zone d’appui. Bulatovic [10] a développé un modèle analytique
qui décrit le processus de déformation d’un assemblage a un boulon, fortement excentré.
Ces modèles ont été développés pour des fixations à un seul boulon et pour un chargement
de direction parallèle à l’axe de la vis. Ils consistent à utiliser des ressorts pour modéliser la
raideur en compression de la poutre et la raideur en traction du boulon. Ils peuvent être
appliqués pour dimensionner un assemblage symétrique en T, (Figure 1.13) assemblage
également modélisé par Broughton [9].
Figure 1.13 : Assemblage symétrique en T de pièces en Aluminium.
Dans plusieurs travaux de recherche, les brides en T ont été modélisées par éléments finis
non linéaires (Bursi et Jaspart [11], Sherbourne et Bahaari [57], Kishi et al. [33], Komuro et
al. [34]). Dans ces travaux le comportement en déplacement de la structure de la bride est
montré. Bursi et Japart [12] ont trouvé une bonne corrélation entre les résultats des
simulations numériques et ceux issus des essais expérimentaux. Girao et al. [21], dans leur
modèle numérique, ont remplacé l’action du boulon sur la poutre par un ressort linéaire axial.
Ces modèles représentent bien le comportement de la structure de la bride en déplacement,
mais ils n’étudient pas la fatigue des vis de fixation sous sollicitations dynamiques qui
nécessite des évaluations très précises des variations de contraintes.
Au cours du développement des différents modèles pour des assemblages à chargement
axial ou excentré, les auteurs ont rencontré souvent le problème de calcul des rigidités pour
les éléments filetés ou bien pour les pièces assemblées. Dans ce cas, ils appliquent des
modèles existants ou bien ils développent leurs propres modèles, comme dans [4], [62], [70].
On trouve dans la littérature [53], [29], [71], [20], les modèles les plus courants qui peuvent
être utilisés pour la détermination des raideurs axiales ou de flexion des éléments filetés et des
pièces assemblées.
Les assemblages à plusieurs boulons n’ont fait l’objet que de quelques travaux. Kowalske
[35] a étudié une poutre reposant sur la moitié inférieure, l’assise a été remplacée dans le
modèle de calcul par un nombre limité d’appuis élastiques. On trouve un développement
conséquent de ces modèles dans les travaux d’Oden et Pires [50]. Ceux-ci ont développé un
modèle de calcul, avec lequel on peut déterminer des assemblages de type poutre à un ou
plusieurs boulons. On peut introduire les charges de fonctionnement sous forme de forces
parallèles aux axes des boulons, des moments et des charges distribuées. La flèche de la
poutre est déterminée, par une résolution analytique ou par la méthode des différences finies
___________________________________________________________________________
19

Chapitre I Etat de l’art sur les assemblages filetés à chargements excentrés
__________________________________________________________________________________________
de l’équation différentielle d’ordre quatre, donnée par la relation Eq. (1-39), avec des
conditions aux limites convenables.
E I
4
∂ w
+ kw= p
(1-39)
4
∂x
p p i
Numériquement l’équation précédente est remplacée par la formulation approchée (1-40).
w + − 2w
+ w
k w p
(1-40)
i 1 i i−1
E p I p
+
2
i i =
Δx
p
Avec :
1 ≤ i ≤ N
w : est la flèche de la poutre en un point d’abscisse x
ki : est la raideur du i ème appui élastique.
p : la densité de charge linéique appliquée à la poutre.
Ip : le moment quadratique de la poutre.
E p : le module de Young du matériau constituant la poutre.
w i : la flèche au i ème nœud du maillage considéré.
Δ x p : le pas du maillage considéré.
i
pi : la densité de charge nodale.
N : le nombre total de nœuds sur la poutre.
La matrice de rigidité globale de la poutre et de l’appui élastique s’obtient en additionnant
les N équations algébriques. Cela donne un système d’équations linéaires à N inconnues (les
flèches wi ,1 ≤ i ≤ N). La résolution du système d’équations se fait par un processus itératif.
A chaque itération, on calcule la pénétration des flèches des nœuds dans la fondation
élastique. Le test de pénétration se fait par vérification du signe de chaque flèche.
Al-Jabri [14] a modélisé un assemblage poutre-poteau à trois boulons sollicité par un
moment extérieur et sous une température élevée. Le LGMT a mis au point un modèle
analytique, appelé « poutre fléchie » ou « modèle non-linéaire », et l'a validé pour les brides
rectangulaires et circulaires. Marty [44] a modélisé les brides cylindriques comme des plaques
en flexion reposant sur leur moitié inférieure considérée en compression et discrétisée. Il a
développé un programme de calcul par éléments finis, construit à partir des éléments de type
plaque axisymétrique à deux nœuds, pour étudier le supplément d’effort et de moment dans le
boulon. Benkhira [7] a contribué à la modélisation numérique des brides prismatiques
boulonnées en tenant compte du frottement à l’interface. Parmi les modèles numériques des
assemblages boulonnés, développés au LGMT et qui prennent en compte les conditions de
contact on trouve le modèle de Lakiss [37].
Malheureusement, les modèles existants restent limités, car ils ne modélisent que des
assemblages de forme géométrique simple et bien définie. Ils ne permettent pas de définir les
différentes zones de contact (adhérence, décollement). Les modèles qui intègrent une couche
élastique au niveau du contact entre pièces, ne montrent pas comment déterminer les raideurs
de ces éléments élastiques et comment elles évoluent en fonction du chargement.
___________________________________________________________________________
20

Chapitre I Etat de l’art sur les assemblages filetés à chargements excentrés
__________________________________________________________________________________________
1.4 Conclusion et position du sujet de recherche
Le modèle VDI 2230 linéaire prend en compte la flexion de la liaison en considérant que le
solide intéressé par la déformation de flexion a un axe neutre parallèle à l'axe du boulon. On
peut dire que cela est conforme à la représentation des assemblages de pièces dont l'épaisseur
est grande par rapport à leurs autres dimensions.
Pour de nombreux assemblages courants, l'épaisseur des pièces reste faible par rapport à
leur longueur et par rapport à la valeur de l'excentration des charges. Le modèle en poutre
fléchie semble alors plus naturel. On cherche alors à étendre l’application de ce dernier
modèle aux fixations à deux boulons et on s’intéresse au développement d’un outil de
dimensionnement des assemblages de pièces prismatiques par deux éléments filetés disposés
en « Tandem », comme le représente la Figure 1.14. Cet assemblage est soumis à un
chargement fortement excentré de tension et/ou de compression.
± ME
± FE
Figure 1.14 : Fixation par deux boulons en « Tandem », sollicitée par une charge
fortement excentrée de tension et/ou de compression parallèle aux axes des vis.
L'application du modèle poutre fléchie, pose de nombreux problèmes :
- Absence de formules analytiques qui donnent les valeurs des raideurs au niveau des
zones de contact ;
- Evolution du contact entre la pièce et le bâti ;
- Effet du coin si l’assemblage est sollicité en compression ;
- Stabilité de l'assemblage ;
- Cas d’un assemblage à un boulon ;
- Cas d’un assemblage à deux boulons.
Le modèle non linéaire ou poutre fléchie a été développé pour le cas d’un assemblage à un
boulon [23]. Il est développé et étendu au cas d’un assemblage à deux boulons travaillant en
tension et en compression, dans le cas le plus général où la zone d’appui est décalée par
rapport à la zone d’application de la charge. C’est cette disposition qui justifie l’utilisation
d’un assemblage à deux boulons.
___________________________________________________________________________
21

Chapitre II :
MODELISATION ANALYTIQUE
D’UN ASSEMBLAGE PRECONTRAINT A UN OU A DEUX BOULONS
ET À CHARGEMENT EXCENTRE
Il s'agit de déterminer une loi analytique modélisant le comportement d’une poutre
sollicitée en flexion. Dans un premier temps, nous présentons brièvement le problème d’une
fixation à un seul boulon. Par la suite, nous étendons le modèle de la fixation à deux boulons.
Dans le cas d’efforts fortement excentrés le modèle linéaire proposé par la
recommandation VDI 2230 n’est plus applicable. D’autre part, cette modélisation est basée
sur le principe d’un non-décollement à l’interface de contact des pièces assemblées. Dans le
cas des poutres soumises à de la flexion prépondérante, cette dernière hypothèse n’est plus
réaliste.
De nombreux travaux expérimentaux ont montré de façon évidente que la force de
précontrainte et la rigidité de flexion de la pièce sont les deux paramètres les plus importants.
Le modèle qui est proposé par Agatonovic [1] prend en compte ces deux grandeurs et notre
modélisation s’appuie sur ces travaux.
2.1 MODELE ANALYTIQUE A UN BOULON
2.1.1 Modèle analytique à un boulon et en tension
Le modèle adopté par Agatonovic [1] et complété par les travaux du LGMT [23] et [6],
consiste à utiliser des ressorts pour modéliser la raideur locale en compression de la poutre et
la raideur en traction du boulon.
Le principe consiste à calculer la valeur de l’excentration s de la résultante des forces de
contact FP1 en utilisant le modèle de poutre défini sur la figure 2.1 et modélisé par une poutre
en flexion et des ressorts de raideurs KB1 pour le boulon et KP pour la pièce.
hp
K B1
Δ OB
K P
Socle
rigide
Δ OP
Q
___________________________________________________________________________
23
Δ B
Δ P
F P1
F B1
θ B1
s
(a) (b) (c)
M FB1
F B1
M FB1
Figure 2.1 : Modèle poutre fléchie en tension (FE positif)
m
F E
f D

Chapitre II Modèle analytique
__________________________________________________________________________________________
Les hypothèses principales consistent à admettre que l’influence du trou de passage du
boulon sur la rigidité en flexion des pièces est négligeable ; que la rigidité en flexion ainsi que
la raideur de compression des pièces assemblées restent constantes mais aussi que les efforts
qui sont situés dans le plan de symétrie de la poutre sont introduits dans le plan supérieur de la
pièce.
En écrivant les conditions de compatibilité des déplacements, entre l’état précontraint
(Figure 2.1-b) et l’état chargé (Figure 2.1-c), on trouve les équations (2-1) et (2-2). En
introduisant ensuite les équations d’équilibre de la pièce fléchie, on obtient les relations
permettant le calcul du paramètre s, de la réaction FP1 et de l’effort de tension FB1, équations
(2-3), (2-4) et (2-5).
Δ0= Δ0P + Δ 0B= Q.S b + Q.S P = Q.(S b + S P)
(2-1)
Δ0= ΔP + Δ B= F B1.S b + F P1.S P - fD
(2-2)
6.E
m .s
p
. I
p
3
. S
éq
Q Sb
+ ( − ) s − m = 0
(2-3)
F S
E
éq
⎡ m⎤
F = F
⎢
1 +
(2-4)
B 1 E ⎥
⎣ s ⎦
F+F E P1-F B1=0
(2-5)
De plus, on admet que le boulon suit parfaitement la déformation de la pièce. De cette
condition d’égalité de rotation angulaire entre la tête de la vis et la pièce (θB1 = θP), on obtient
la relation donnant le moment de flexion dans le boulon :
m . s . E . I
M = (2-6)
b b
FB1 FE
2 . h p.
E p.
I p
Avec :
Souplesse du boulon : Sb =1/KB1
Souplesse de la pièce : Sp =1/KP
Souplesse équivalente : Séq = Sb + Sp
Module de Young du boulon : Eb
Module de Young de la pièce : Ep
Pour une géométrie connue, un chargement FE et une précontrainte donnés, il est possible de
déterminer les inconnues du problème (s, FP1, FB1, MFB1) en résolvant le système d’équations
(2-3), (2-4), (2-5) et (2-6). Pour obtenir des résultats cohérents il faut évaluer avec précision
les raideurs locales (ou les souplesses locales) des pièces sollicitées de l’assemblage. Il est
possible de calculer ces raideurs à partir d’un calcul par éléments finis. Cependant, cette
procédure reste trop lourde à mettre en œuvre dans le cadre d’études préliminaires. Plusieurs
travaux proposent des méthodes de calcul des raideurs des zones en compression des pièces
assemblées (Annexe V). Ces méthodes sont insuffisantes et ne donnent pas de formulations
précises pour les raideurs équivalentes aux contacts. Pour le calcul de la raideur de la vis, on
utilise le modèle LGMT [23].
___________________________________________________________________________
24

Chapitre II Modèle analytique
__________________________________________________________________________________________
2.1.2 Modèle analytique à un boulon en compression
F
P1
s
F
B1
M
FB
F
B1
M
FB
v
F
P2
w
F
E
FP1
P1
Figure 2.2 : Modèle poutre fléchie en compression (FE négatif)
___________________________________________________________________________
25
u
s
FB1
B1
FP2
P2
v w
Le problème est similaire à l’étude pour FE positif. Les inconnues du problème sont les
mêmes que précédemment (s le décollement de la poutre par rapport au boulon, FB1 l’effort de
tension dans le boulon, FP1 l’effort de contact du support sur la poutre) auxquelles on ajoute
FP2 l’effort de réaction de la pièce à l'extrémité « coin » du support (Figure 2.2).
Il faut trouver quatre équations fonctions de quatre inconnues : s, FB1, FP1 et FP2. Pour
satisfaire ce problème, on applique le même raisonnement que dans le cas de la tension. Entre
l’état précontraint et l’état chargé on établit les conditions de compatibilité des déplacements
entre P1 et B1 par la relation (2-7). Les conditions d’équilibre (2-8) et (2-9), sont définies par
l’application du principe fondamentale de la statique. Enfin la dernière équation est obtenue
en écrivant la condition de compatibilité de déplacement entre P1 et P2 soit la relation (2-10).
3
s
Δ 0= Q.S eq = F B1.S b1 + F P1.S P1 -FP1 6.E P.IP (2-7)
F P1 + F P2 - F B1 - F E = 0
(2-8)
v.F B1 - (v + s).F P1 - w.F E = 0
(2-9)
A 3 B 2
F P1.S P1 - F P2.S P2 = .(s + v) + (s + v) + C(s + v) + D
6 2
Où A, B, C et D sont exprimés en fonction des variables : s, FP1 et FP2.
(2-10)
FE
− F
A =
E . I
P
P2
P
B =
( F − F ) . ( s + v)
P2
E
E . I
P
P
− w.
F
2
2
3
3
FP1.
s A.
s
FP1.
s A.
s B 2
C = − − B.
s D = − − . s − C.
s
2.
E . I 2
6.
E . I 6 2
Remarques sur l’évolution de s
P
P
Dans la réalité et pour une étude en tension, la variation de s n’est pas infinie. On peut être
confronté à deux cas qui limitent la position de FP1. Le premier cas, consiste à limiter le socle
d’une distance u, du côté de s (Figure 2.2). Pour une configuration de s = u, on modifie
considérablement la zone de contact entre la pièce et le socle jusqu'à la restreindre à l’arête du
P
P
E
FE

Chapitre II Modèle analytique
__________________________________________________________________________________________
socle. En général, cette configuration est néfaste à la bonne tenue de la pièce (pression de
contact locale très élevée). L’autre cas correspond à un montage avec deux vis de fixation
espacées de la valeur u. Dans cette condition, le paramètre s peut continuer à évoluer.
Cependant, les conditions limites ne sont plus les mêmes car il faut prendre en considération
le comportement associé à la deuxième vis. Ce nouveau problème est une suite du premier
modèle présenté. On montrera, par la suite dans quel cas l’ajout d’une deuxième vis améliore
les performances de la fixation.
2.2 MODELE ANALYTIQUE A DEUX BOULONS
On s’intéresse au modèle paramétré comportant deux vis fixant une poutre de section
rectangulaire (2a x hP), sur un support considéré rigide. À l’extrémité de la poutre, on exerce
un effort FE alternatif (même intensité dans les deux directions).
hP
a
t
u
v
w
FE
Etude en tension de la poutre Etude en compression de la poutre
Figure 2.3 : Modèle paramétré - poutre fléchie sollicitée par un effort alterné
Les modèles qui seront appliqués seront basés sur l’approche des Figures 2.4 et 2.5. Dans
cette étude, on considère que la tête des vis suit l’évolution angulaire de la poutre.
2.2.1 Modèle analytique à deux boulons en tension
On adopte pour le deuxième boulon les mêmes caractéristiques géométriques et la même
précontrainte Q.
FP1
FB2
___________________________________________________________________________
26
FB1
P1 B2 B1 P2
s u v w
s’ m
Figure 2.4 : Modèle analytique poutre fléchie sollicitée par un effort alterné FE>0.
FE
FE

Chapitre II Modèle analytique
__________________________________________________________________________________________
Lorsque l'on applique progressivement FE, on observe que le décollement s augmente petit
à petit. Tant que s est plus petit que l'entraxe des deux vis, la seconde vis ne travaille pas. Son
état de contrainte est toujours celui de la précontrainte seule. Mais lorsque s atteint cette
valeur d'entraxe ou la dépasse, alors il faut la prendre en compte. Celle-ci contribue à l'état
d’équilibre final.
Notation : m = v + w
Les inconnues du problème sont :
s le décollement de la poutre par rapport au boulon 2
Fb1 l'effort de traction dans le boulon 1
Fb2 l'effort de traction dans le boulon 2
Fp1 l'effort de réaction du support sur la poutre
Il faut trouver quatre équations en fonction de ces inconnues.
Compatibilité de déplacement entre P1 et B1 :
3
s
Δ 0= Q.S eq = F P1.S P1+F B2.S b - F (2-11)
P1
6.E .I
P P
Equations d’équilibre :
F P1 - F B1 - F B2 + F E = 0
u.F B2 + m.F E - (u+s).F P1 = 0
Compatibilité de déplacement entre B1 et B2 :
A 3 B 2
(F B1 - F B2 ).S b = .u + .u + C.u
6 2
Avec :
FB1-FE (F -F )u+m.F
A = B =
EI
EI
P P
E B1 E
(2-12)
(2-13)
(2-14)
___________________________________________________________________________
27
P P
F
C = s
2E I
P1 2
Les équations (2-11), (2-12), (2-13) et (2-14) forment le système d'équations qu'il faut
résoudre pour trouver les quatre inconnues s, FB1, FB2 et FP1.
2.2.2 Modèle analytique à deux boulons en compression
La modélisation du comportement mécanique est donnée sur la Figure 2.5.
Les inconnues du problème sont :
s le décollement de la poutre par rapport au boulon 2
Fb1 l'effort de traction dans le boulon 1
Fb2 l'effort de traction dans le boulon 2
Fp1 l'effort de réaction du support sur la poutre
Fp2 l'effort de réaction de la pièce à l'extrémité
Il faut trouver cinq équations en fonction de ces inconnues.
P P

Chapitre II Modèle analytique
__________________________________________________________________________________________
FP1
FB2
s u v w
___________________________________________________________________________
28
FB1
P1 B2 B1 P2
s’
Figure 2.5 : Modèle analytique poutre fléchie sollicitée par un effort alterné FE

Chapitre II Modèle analytique
__________________________________________________________________________________________
2.3 PROGRAMME DE CALCUL DU MODELE ANALYTIQUE
L’organigramme de la Figure 2.6 explique la démarche de calcul d’un assemblage par deux
boulons en « Tandem ». La programmation est réalisée en langage C.
2.4 CONCLUSION
Introduction des données géométriques
+ précontrainte
+ force extérieure
Calcul des souplesses
vis et pièce
Fe > 0
Résolution selon la méthode
une vis en traction
s < u
Oui
La deuxième vis ne
travaille pas
Calcul de σa et σmax
pour chaque vis
Fin
Oui
Résolution selon la méthode
une vis en compression
___________________________________________________________________________
29
Non
Non
Attention !
La deuxième vis travaille
Figure 2.6 : Procédure de calcul du modèle analytique.
En règle générale, le rôle de la première vis est prépondérant par rapport à la seconde.
Dans un premier temps, il est possible de considérer que seule la première vis travaille, dans
le cadre d’une recherche préliminaire de solutions. Le modèle à un boulon pourrait satisfaire
ce pré-dimensionnement. Cette hypothèse est dans tous les cas pessimiste et peut être mal
interprétée si l’assemblage comporte une poutre de hauteur élevée avec un chargement FE
négatif. Dans cette configuration, l’appui sur le « coin » peut avoir un effet de levier et venir
modifier la distribution des efforts dans les fixations. Dans un second temps, on intègre le
comportement de la deuxième vis afin d'affiner l'étude. Les résultats du modèle analytique
sont présentés et interprétés dans le chapitre suivant, après avoir présenté la modélisation en
éléments finis tridimensionnels d’un assemblage à deux vis. Cette organisation permettra de
comparer les deux modèles, de valider le modèle analytique dans les différents cas de
chargement, mais aussi de monter ses limites d’exploitation.

Chapitre III :
MODELISATION EN ELEMENTS FINIS TRIDIMENSIONNELS
D’UN ASSEMBLAGE A DEUX ELEMENTS FILETES
3.1 METHODE DES ELEMENTS FINIS
Les techniques de calcul des structures ont connu ces dernières années un développement
considérable. Elles sont motivées par les besoins des industries de pointe et soutenues par les
progrès effectués en informatique. La méthode des éléments finis (M.E.F) est communément
utilisée aujourd’hui pour l’analyse des structures dans de nombreux secteurs de l’industrie :
aérospatial, nucléaire, génie civil, construction navale, génie mécanique…
Par ailleurs, il est intéressant de remarquer que la M.E.F appliquée au calcul des structures
est une technique récente, à caractère pluridisciplinaire (Figure 3.1), car elle met en œuvre les
connaissances de trois disciplines de base : La mécanique des structures, l’analyse numérique
et l’informatique appliquée [29].
Figure 3.1: Caractère pluridisciplinaire de la M.E.F
La méthode de calcul par cette technique comprend quatre phases (Figure 3.2) :
- Calculs matriciels élémentaires (matrices de rigidité, forces équivalentes, …) ;
- Calculs au niveau global : Assemblage des caractéristiques élémentaires ;
- Résolution numérique du problème global (Système linéaire ou non linéaire, …) ;
- Calcul de restitution au niveau élémentaire (Calcul des contraintes par élément, …).
___________________________________________________________________________
31

Chapitre III Modélisation en Eléments Finis tridimensionnels
__________________________________________________________________________________________
Figure 3.2 : Organigramme simplifié de traitement pour l’analyse statique
(Méthode des déplacements)
3.2 MODELE ELEMENTS FINIS 3D D’UN ASSEMBLAGE A DEUX VIS
Le logiciel utilisé pour les simulations statiques en modèle éléments finis tridimensionnels
est I-DEAS (version 11) [28]. Nous modélisons un assemblage à deux vis et à chargement
excentré tel que celui de la Figure 1.14.
Préparation du modèle :
Compte tenu de la symétrie du problème étudié, seulement la moitié de l’assemblage est
modélisé. Ce qui a permis de réduire le nombre d'équations et donc d'accroître la rapidité de
calcul lors d'une simulation. Compte tenu du nombre prévu de simulations à effectuer, cette
considération a été importante.
___________________________________________________________________________
32

Chapitre III Modélisation en Eléments Finis tridimensionnels
__________________________________________________________________________________________
Dans un premier temps, le socle est considéré infiniment rigide. Son module de Young est
pris 1000 fois plus élevé que celui des vis et de la poutre. La Figure 3.3 montre une vue du
modèle après assemblage des pièces.
±FE/2
Figure 3.3 : Modèle paramétré d’un assemblage à deux vis (Exemple de dimensions).
Notation des paramètres :
t: distance entre l’axe de la deuxième vis et l’extrémité gauche de la pièce assemblée
u: entraxe des deux vis
v : distance entre axe de la vis la plus proche et le coin d’angle du socle
w : distance entre le coin d’angle du socle et l’extrémité de la pièce assemblée
hp : hauteur de la pièce assemblée
a : ½ largeur des pièces
Pour l’exemple étudié, les dimensions de l’assemblage à deux vis sont données dans le
tableau 3.1. La précontrainte de serrage est σ0 = 200 MPa.
Maillage :
t (mm) u (mm) v (mm) w (mm) hp (mm) 2a (mm)
20 25 25 55 20 40
Tableau 3.1 : Dimensions de l’exemple d’assemblage à 2 vis défini Figure 3.3.
C'est certainement la partie la plus délicate du travail à réaliser car celui-ci conditionne la
qualité du modèle en terme de précision des résultats et de rapidité de résolution. La première
étape consiste à partitionner le modèle en fonction du paramétrage souhaité par la suite. Celuici
doit permettre notamment un raffinement du maillage de la pièce assemblée au niveau de
___________________________________________________________________________
33

Chapitre III Modélisation en Eléments Finis tridimensionnels
__________________________________________________________________________________________
chaque vis car il y a une discontinuité de forme en ces zones et donc un risque de
concentration de contrainte. Ensuite, chaque partie est maillée avec un raffinement du modèle
au niveau de chaque vis (les contraintes seront lues dans le corps de la vis), Figures 3.4 et 3.5.
Le modèle de l’exemple ainsi maillé est constitué de 20322 éléments. On comprend ici
l'importance d'avoir tenu compte de la propriété de symétrie. A la zone commune au maillage
vis et poutre, les nœuds ont été fusionnés. Autrement dit, poutre et vis ne forment qu'une seule
pièce. Cette simplification est possible car lors des simulations, il n'y a jamais de glissement
entre la vis et la poutre, lorsque l'effort est normal au plan de contact vis-poutre. Cette
opération nécessite d'avoir maillé la vis et la poutre de telle sorte que les nœuds à faire
coïncider se retrouvent en vis-à-vis.
Figure 3.4 : Maillage de l’assemblage, vue 3D. Raffinement du maillage réglé aux endroits
des vis d’assemblage.
Figure 3.5 : Maillage des vis d’assemblage.
___________________________________________________________________________
34

Chapitre III Modélisation en Eléments Finis tridimensionnels
__________________________________________________________________________________________
Conditions aux limites :
Les conditions limites mises en place pour le modèle sont de trois types :
Contacts : Les éléments "contacts" jouent le rôle de barrières physiques lors de l'interaction
des deux pièces en contact. D'autre part, ils intègrent les phénomènes de frottement entre
pièces dans leur fonction. Ils sont localisés entre le socle et la poutre.
Les croix jaunes marquent les surfaces en vis-à-vis munies de contacts. Il y a près de 1500
éléments de contact ce qui pénalise sensiblement le temps de calcul et notamment la vitesse
de convergence du calcul. Il faut moins de 20 itérations pour aboutir au résultat.
Figure 3.6 : Eléments de contact dans le modèle EF.
Contraintes : Premièrement, compte tenu de la considération de symétrie exploitée pour
diviser le modèle par deux, le plan de coupe doit donc impérativement rester dans son plan de
départ (sa déformation est plane). Deuxièmement, il faut bloquer le socle. C'est la référence
pour les déformations. Du fait de sa rigidité infinie, il ne reste qu'à le bloquer en translation
(pas en rotation). C'est ce que l'on peut voir sur la figure 3.7.
Figure 3.7 : Eléments de blocage dans le modèle EF.
Pour finir, il reste à contraindre l'extrémité des vis. Dans la pratique, les conditions
dépendent du type d’assemblage avec la pièce support. Ici, comme on veut pouvoir lire
facilement la contrainte de flexion, on laisse la vis se déplacer perpendiculairement à son axe.
On parle de flexion circulaire. Ces hypothèses sont similaires avec le modèle analytique. En
axial (suivant l’axe y), on impose initialement un déplacement vers le bas à l'extrémité du
corps de la vis (cela correspond à la précontrainte lors du serrage de la vis) puis on conserve
ce déplacement imposé, Figure 3.8.
Pour régler cette précontrainte, les dimensions géométriques étant fixées, on impose un
déplacement arbitraire à l'extrémité et on lance le calcul sans chargement extérieur. On lit la
contrainte moyenne dans la vis. Il reste à faire une règle de trois sur la valeur du déplacement
pour imposer alors la contrainte souhaitée.
___________________________________________________________________________
35

Chapitre III Modélisation en Eléments Finis tridimensionnels
__________________________________________________________________________________________
Déplacement imposé
Figure 3.8 : Application d’une précontrainte dans le modèle EF.
Chargements : Le chargement est toujours appliqué en bout de poutre, soit vers le haut, soit
vers le bas suivant que l'on veut de la tension ou de la compression sur l’assemblage. On
applique un chargement surfacique (face de l’extrémité) ou linéique (sur la ligne verticale de
la face d’extrémité qui se trouve sur le plan moyen de l’assemblage). Quel que soit le cas de
chargement choisi, les résultats au niveau de la vis sont très proches et l’on trouve les mêmes
contraintes.
On crée plusieurs cas de chargements pour un même calcul afin de gagner en temps de
résolution. En effet, La matrice de raideur n’est conditionnée qu’une seule fois, quel que soit
le chargement. On peut lancer plusieurs calculs de plusieurs heures en tache de fond et les
récupérer plus tard grâce à une sauvegarde automatique.
Exploitation du modèle :
Avec la taille du modèle, une modélisation en 3D et le nombre de contacts sur toute une
surface, la résolution d'un cas de charge est assez longue (environ 1 heure sur un PC HP 2100
P4 CPU 2.4 GHz et 1Go de Ram).
Simulation numérique et résolution du modèle EF 3D:
Au post traitement on peut trouver différents résultats. On s’intéresse particulièrement aux
contraintes normales sur les vis d’assemblage, (Figures 3.9 et 3.10).
Figure 3.9 : Modèle à deux vis, Contraintes normales YY. Chargement en tension avec FE
égal à 15 kN. Déplacement maximal Ymax =1.01 mm.
___________________________________________________________________________
36

Chapitre III Modélisation en Eléments Finis tridimensionnels
__________________________________________________________________________________________
Figure 3.10 : Modèle à deux vis, Contraintes normales YY. Compression avec un chargement
FE de 30 kN. Déplacement maximal Ymax =0.729 mm.
En compression, le coin au point P2 de la pièce support est sollicité par des contraintes
importantes, ce qui favorise sa déformation plastique. Les simulations en EF tridimensionnels
montrent bien la présence de ces contraintes. Au coin les contraintes de Von Mises peuvent
atteindre 1030 MPa pour un chargement de 30 kN, (Figure 3.11).
Figure 3.11 : Contraintes de Von Mises, Déformation du coin de la pièce support
Cas compression avec un chargement FE de 30 kN.
3.3 RESULTATS DES SIMULATIONS EF 3D
Lecture des contraintes : La lecture des contraintes normales sur chaque vis se fait en deux
points de contrôle dans le plan de symétrie, à gauche et à droite dans un plan moyen de
flexion de la vis, Figure 3.12. La position de ce plan de lecture doit être éloignée de la tête
afin de ne pas être perturbé par les concentrations de contrainte existant sous la tête de la vis.
___________________________________________________________________________
37
P2
Points de contrôle
Figure 3.12 : Position des points de contrôle (lecture) gauche et droite sur les vis.

Chapitre III Modélisation en Eléments Finis tridimensionnels
__________________________________________________________________________________________
Contraintes normales : Les contraintes normales de traction et de flexion sur l’axe d’une vis
se calculent facilement tel que défini sur la Figure 3.13.
Figure 3.13 : Contraintes normales de traction et de flexion dans les vis.
Nous donnons à titre d’exemple les résultats de calcul des contraintes normales gauches et
droites (Figures 3.14 et 3.15) des deux vis d’un assemblage dont les dimensions ont été
définies dans le tableau 3.1. Les deux vis sont serrées à une précontrainte Q = 200 MPa.
1000
900
800
700
600
500
400
300
200
σY (MPa)
Contraintes normales dans les vis
Cas tension FE>0
V2g
V2d
V1g
V1d
100
0
FE (N)
0 2000 4000 6000 8000 10000 12000 14000 16000
Figure 3.14 : Contraintes normales gauches et droites dans les vis,
cas de chargement en tension.
___________________________________________________________________________
38

Chapitre III Modélisation en Eléments Finis tridimensionnels
__________________________________________________________________________________________
700
600
500
400
300
200
100
0
σY (MPa)
Contraintes normales dans les vis
Cas compression FE0
V2g
V2d
V1g
V1d
50
FE (N)
0
0 2000 4000 6000 8000 10000 12000 14000 16000 18000
-50
Figure 3.16 : Contraintes alternées gauches et droites dans les vis, cas tension.
___________________________________________________________________________
39

Chapitre III Modélisation en Eléments Finis tridimensionnels
__________________________________________________________________________________________
250
200
150
100
50
0
σa (MPa)
Contraintes alternées dans les vis
Cas compression FE

Chapitre III Modélisation en Eléments Finis tridimensionnels
__________________________________________________________________________________________
Dt (mm) Vis Da (mm) As (mm 2 ) ds (mm)
10,5 M10 17 58 8,593
Caractéristiques des matériaux :
Ep = Eb
(MPa)
Ip
(mm 4 )
Ib
(mm 4 )
Sp
(mm/N)
Sb1
(mm/N)
Sb2
(mm/N)
210000 26666,66 268 3,223E-07 2,10E-06 2,10E-06
Précontrainte appliquée aux vis : σ0 = 200 MPa
3.4.2 Analyse du problème de référence à une vis (calcul EF 3D)
On considère dans ce cas un assemblage à un seul boulon (boulon 1) et qui a les mêmes
dimensions, le même type de vis et les mêmes conditions de serrage. En analysant les
résultats numériques obtenus par éléments finis, pour le modèle à un boulon, nous observons
sur la Figure 3.18, une évolution non linéaire de la contrainte normale (σy) dans la vis en
tension et en compression, mais plus importante pour FE positif. Cette différence notable est
due au fait que, dans le cas de FE négatif, l’extrémité du socle (au point P2 de la Figure 3.11),
supporte l’effort de réaction et donc soulage les efforts dans la vis.
600
500
400
300
200
σY (MPa)
Tension-EF3D
Compression-EF3D
100
0
FE (N)
0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000
Figure 3.18 : Evolution de la contrainte normale σy en fonction du chargement FE
Si en général les fixations par vis acceptent des contraintes statiques très élevées il n’en est
pas de même pour des sollicitations en fatigue. Pour l’exemple étudié, les vis employées, (H
M10, de qualité 8.8), ne permettent pas de dépasser un seuil limite de contrainte alternée de
σS = 50 MPa.
Pour calculer un état de contrainte alternée, il est nécessaire de rechercher, pour une
intensité d’effort FE, les valeurs extrêmes des contraintes associées à un cycle. La valeur
minimale de la contrainte normale vaut σy0 = 200 MPa et est obtenue pour la valeur de l’effort
de précharge Q. Pour un effort extérieur FE, la contrainte normale maximale (σy1) dans la vis
est obtenue pour une sollicitation en tension (FE > 0), (Figure 3.19).
___________________________________________________________________________
41

Chapitre III Modélisation en Eléments Finis tridimensionnels
__________________________________________________________________________________________
σy0 (Q)
σy1 (FE > 0)
2.σa1
2.σa2
FE > 0 FE < 0
σy2 (FE < 0)
Figure 3.19 : Evolution de la contrainte alternée σa en tension et compression alternées
Si l’on trace sur un même graphique, Figure 3.20, la contrainte alternée pour les deux cas
de sollicitation, pris séparément, on remarque une évolution non linéaire des courbes. D’autre
part, la courbe pour FE positif atteint le seuil de σS pour FE = 4150 N et la courbe pour FE
négatif atteint le seuil pour FE = 6900 N. Pour l’exemple traité et en première approche, nous
pouvons considérer que les conditions de tenue à la fatigue sont essentiellement dépendantes
des conditions en tension (FE > 0). En toute rigueur, il faudrait considérer le cumul des
dommages, à conditions de disposer de résultats d’essais en fatigue pertinents, ce qui est
rarement le cas. Enfin, le comportement en contrainte des vis sera fortement dépendant des
dimensions de la poutre, notamment de sa section. Cette remarque sera plus détaillée dans le
prochain chapitre sur la partie expérimentale.
Pour le montage à une vis, les courbes de la Figure 3.20 montrent que les contraintes
alternées calculées à partir du modèle analytique sont très proches de celles données par
simulations en éléments finis tridimensionnels pour le cas d’un chargement en tension. En
compression les deux modèles ne représentent pas le même comportement. On constate que la
progression de la courbe analytique pour FE positif est bien meilleure que pour FE négatif.
Pour la sollicitation de compression, la courbe du modèle analytique est proche d’une
droite et présente un saut au début. Le comportement du modèle analytique dans ce cas n’est
pas réaliste. Cela s’explique par l’absence de formulation adaptée des souplesses des zones de
contact et en particulier par une mauvaise prise en compte de l’effet du coin de la pièce
support.
C: compression (F E < 0) - T: traction (F E > 0) - MA: Modèle analytique - EF3D: Eléments Finis
200
150
100
50
0
σ a (MPa)
0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000
C-MA T-MA T-EF3D
C-EF3D σs limite
___________________________________________________________________________
42
t
F E (N)
Figure 3.20 : Evolutions de σa pour un montage à 1 vis (FE positif et négatif)

Chapitre III Modélisation en Eléments Finis tridimensionnels
__________________________________________________________________________________________
3.4.3. Comparaison calcul tridimensionnel (EF) / Modèle analytique à deux vis
Afin de valider le modèle analytique, nous examinons le cas d’un montage à deux vis pour
les deux cas tension (FE > 0) et compression (FE < 0). Nous calculons par le programme, les
contraintes dans les vis en considérant dans la zone d’appui une souplesse égale à celle
obtenue par la simulation EF, soit SP = SP(EF) = 3,223.10 -7 mm/N.
Pour le montage avec deux vis, le graphique de la figure 3.21 représente l’évolution des
contraintes alternées pour les deux vis pour un assemblage en tension. Le modèle analytique
en tension a le même comportement que le modèle en EF tridimensionnels et les résultats sont
conformes pour les deux vis.
La deuxième vis joue un rôle de maintien de la structure et est peu sollicitée en fatigue. En
plus d’une meilleure tenue en statique de l’assemblage, la deuxième vis soulage légèrement la
première vis puisque la valeur de la contrainte alternée limite est obtenue pour l’effort
FE = 4300 N (valeur supérieure à celle obtenue avec un assemblage à une vis). Pour des
charges plus importantes, les contraintes alternées pour un assemblage à une vis sont
supérieures à celles obtenues pour la première vis d’un assemblage de mêmes dimensions à
deux vis. Ce résultat montre l’intérêt de la deuxième vis.
400
MA: Modèle analytique - EF3D: Eléments Finis
3D
350
300
250
200
150
100
σ a (MPa)
50
0
FE (N)
-50 0 2000 4000 6000 8000 10000 12000 14000 16000 18000
vis 2-MA vis 1-MA
vis 1-EF3D vis 2-EF3D
σs limite vis 1seul-EF3D
Figure 3.21 : Résultats en tension (FE > 0) pour un montage avec 2 vis
Dans le cas d’un chargement avec FE négatif (Figure 3.22), les résultats numériques EF
montrent que les contraintes alternées sont importantes aussi pour la deuxième vis (à partir de
FE = 6000 N). La vis 2 est bien sollicitée en fatigue. Les courbes sont non linéaires et évoluent
progressivement.
___________________________________________________________________________
43

Chapitre III Modélisation en Eléments Finis tridimensionnels
__________________________________________________________________________________________
80
70
60
50
40
30
20
σ a (MPa)
MA: Modèle analytique - EF3D: Eléments Finis
3D
10
0
FE (N)
-10
0 2000 4000 6000 8000 10000 12000 14000 16000 18000 20000 22000
vis2-EF3D vis1-EF3D vis 1-MA
vis 2-MA σs limite
Figure 3.22 : Comparaison des résultats en compression (FE < 0) pour le montage avec 2 vis
Les valeurs obtenues par le programme (modèle analytique) montrent une surévaluation de
la contrainte pour la vis 1. On remarque un saut de contraintes pour des charges faibles,
cependant, pour des efforts de FE élevés les écarts sont plus faibles. Les contraintes alternées
données par le programme sont très petites, le rôle de la vis 2 n’est pas mis en évidence par le
modèle analytique. Les résultats du modèle en compression ne sont pas réalistes ni conformes
aux résultats des simulations EF.
Le contact entre pièce évolue en fonction de la charge appliquée à l’assemblage. Il est
étendu sur la zone d’appui pour l’état précontraint (Figure 3.23a). Pour un chargement
progressif positif de FE, cette pression de contact se déplace vers la vis 2 et reste localisée
essentiellement autour de cette vis lorsque les charges sont importantes (Figure 3.23b). Même
si cette zone est réduite, les conditions d’adhérence restent stables. Pour un chargement
extérieur négatif (Figure 3.23c), l’extrémité de la zone d’appui est très sollicitée. Pour ce type
de chargement, l’effet de levier peut rendre l’équilibre du système fragile puisque les
pressions de contact sont faibles, pour les zones encore actives. Dans le modèle analytique, on
réduit le contact entre pièces en des appuis élastiques concentrés en un ou deux points, c’est
une modélisation insuffisante du contact, particulièrement en compression.
b c
Figure 3.23 : Répartition de la pression de contact (en MPa) au niveau du socle :
(a) état précontraints de 200 MPa ; (b) FE =15 000 N ; (c) FE =-20 000 N.
___________________________________________________________________________
44
a

Chapitre III Modélisation en Eléments Finis tridimensionnels
__________________________________________________________________________________________
3.5. CONCLUSION
Cette étude comparative, entre les modèles analytiques, à une ou deux vis, et les EF,
montre une bonne convergence des résultats en tension.
Pour la tension, s évolue progressivement et le résultat semble logique et représente
correctement la réalité. Par contre pour la compression, l’évolution n’est pas progressive. Ce
qui est surprenant c’est la variation de pente entre FE = 0 et 2000 N. Ce comportement ne
semble pas réaliste et met en cause la pertinence du modèle.
En conservant la souplesse totale de la pièce (SPT = Sp_EF), et en considérant que
SP = SP1 = SP2 = 0,5.SPT, on remarque qu’en compression on diminue de moitié le saut initial.
Dans cette situation, la pente se retrouve légèrement plus faible. Ce qui montre que le modèle
correct serait celui qui serait capable de bien gérer l’évolution et la précision des souplesses
de contact.
Dans le cas où les deux vis travaillent en tension, les résultats du modèle analytique sont
acceptables, mais nous ne pouvons pas évaluer analytiquement la souplesse de la pièce dans
la zone de contact. Ceci limite l’exploitation du modèle. Pour le cas d’une fixation sollicitée
en compression nous devons envisager de prendre en considération l’effet de bord au niveau
du contact de la pièce avec le coin de son socle. Cette condition complique sérieusement une
éventuelle amélioration du modèle analytique.
Le manque de formulation et de méthodes de calcul précises des souplesses des zones de
contact, nous a conduit à développer un modèle plus sophistiqué et plus performant. Ce
nouveau modèle numérique permet de suivre l’évolution du contact en fonction du
chargement de l’assemblage. Il est développé et présenté en détail dans le chapitre V. Pour
valider un tel modèle des résultats expérimentaux étaient nécessaires. Une étude
expérimentale a été réalisée et elle est présentée dans le chapitre suivant.
___________________________________________________________________________
45

Chapitre IV :
ETUDE EXPERIMENTALE
La modélisation analytique de l’assemblage à deux boulons a donné des résultats qui sont
proches de la réalité en comparaison avec une modélisation éléments finis 3D, pour un
assemblage en tension. Cependant, elle reste insuffisante à cause de l’absence de gestion
correcte de l’évolution des raideurs de contact. Notamment, le cas du chargement en
compression ne reflète pas le comportement obtenu en EF.
Pour remédier à ce problème nous avons envisagé de développer un modèle numérique
simplifié, plus présentatif de la réalité. D’autre part, ce nouveau modèle apportera des
informations pertinentes comme l’identification des zones de contact et de décollement.
Comme nous l’avons évoqué dans le chapitre I sur l’état de l’art, il existe peu
d’informations ou de résultats sur des structures sollicitées par des chargements fortement
excentrés en tension et/ou en compression.
Nous proposons, dans ce chapitre, une approche expérimentale qui permettra d'analyser les
conditions dans lesquelles travaillent les vis d’un assemblage excentré. Ce travail servira de
référence pour valider les simulations EF et, par la suite, le modèle numérique simplifié. Nous
nous appuierons sur ces essais pour identifier des paramètres de calage au niveau des raideurs
de contact et pour les exploiter d’une manière plus générale.
Il s’agit donc de déterminer expérimentalement la variation des efforts et des moments de
flexion dans les boulons d’assemblage, qui sont montés précontraints et sollicités par un
chargement excentré. Ceci est possible en mesurant les déformations sur les tiges des vis au
moyen de jauges de déformation. Nous présentons d'abord le dispositif expérimental que nous
avons réalisé. Il s'agit d’un assemblage symétrique à quatre boulons, instrumentés, sollicité en
tension ou en compression au moyen d'une machine d'essais hydraulique. Nous détaillons
aussi l'instrumentation de ces montages : jauges de déformation, boîtier et logiciel
d'acquisition des données. Nous exposons ensuite la procédure que nous avons suivie pour
réaliser un essai, et les traitements appliqués sur les données mesurées, en vue d'en extraire les
informations qui nous ont paru significatives comme les contraintes, la déformation du coin,...
4.1 ASSEMBLAGE ETUDIE
C’est un assemblage symétrique à 4 boulons identiques M10 Q8.8 conçu pour étudier un
assemblage à 2 boulons. Il permet d’appliquer des efforts de traction ou de compression.
Figure 4.1 : Assemblage symétrique à 4 boulons
___________________________________________________________________________
47

Chapitre IV Etude expérimentale
__________________________________________________________________________________________
Poutre : Socle :
t u m = v + w
Lt = 2.(t + u + m)
Φ11
4.2 ESSAIS REALISES
4.2.1 Méthode des plans d’expériences
hP
2a
t u v
Figure 4.2 : Paramètres géométriques de l’assemblage
L’apport de la technique des plans d’expériences est de minimiser le nombre d’essais (plan
factoriel) et surtout de permettre une meilleure interprétation des résultats obtenus tout en
fournissant un modèle expérimental du phénomène étudié. Cette technique est apparue avec la
méthode proposée par Fischer [18], elle est appliquée dans tous les domaines de l’industrie,
en agronomie, médecine et dans les secteurs mécaniques (Kuehl [36], Montgomery [47],
Daidié et al. [13], Gitlow et al. [22]). Sa formulation la plus aboutie est due à Taguchi ([58],
[59], [60]).
Dans un plan d'expériences, plusieurs facteurs sont modifiés d'une expérience à l'autre
selon une règle précise. Ainsi, cette particularité permet d'obtenir la meilleure précision
possible dans les résultats cherchés. L’application de la méthode des plans d’expériences à
l’assemblage permet d’étudier le comportement réel de l’assemblage fileté, en particulier les
vis. Elle permet d’analyser l’effet des différents paramètres (Ep, u, v, b, hp, …) sur les
contraintes alternées dans les deux vis de fixation.
4.2.2 Choix d’un plan d’expériences mixte (voir Annexe III)
Pour choisir un plan d’expériences adapté au problème étudié nous avons procédé comme
suit :
Objectifs d’application du plan d’expériences :
- Valider le comportement et les résultats des modèles développés ou utilisés pour étudier
un assemblage à deux boulons.
- Connaître l’influence des différents paramètres de l’assemblage sur le comportement de
chaque vis (effet sur la contrainte alternée).
- Déterminer une formulation approchée des coefficients de calage destinés au modèle
numérique simplifié (chapitre V suivant).
Définition des facteurs et de leurs niveaux :
Nous avons choisi les paramètres géométriques qui influent le plus sur le comportement
des vis (u, v, b, hp). L’excentration w n’est pas choisie par ce qu’elle influe plus sur la flexion
de la pièce assemblée, il suffit de faire varier v. Pour chaque paramètre géométrique, il faut au
___________________________________________________________________________
48
Φ11
hS
2a

Chapitre IV Etude expérimentale
__________________________________________________________________________________________
moins choisir trois valeurs suffisamment éloignées (3 niveaux) pour étudier les variations non
linéaires du comportement de l’assemblage. Les matériaux des pièces assemblées les plus
utilisés sont l’acier et l’aluminium. Le module d’élasticité longitudinal (EP) agit sur la
déformation élastique des pièces. On lui donne deux valeurs (2 niveaux) associées au choix
du matériau. La pièce support n’est généralement que peu sollicitée en flexion. Il suffit donc
de choisir une hauteur constante (hS = 10 mm) pour la pièce support. Finalement, on doit donc
choisir un plan d’expériences qui comprend cinq facteurs à trois niveaux et un facteur à un
niveau, Tableau 4.1.
Facteurs Description Niveau 1 Niveau 2 Niveau 3
A Ep (MPa) 74000 210000 ---------
B u (mm) 25 35 45
C v (mm) 10 20 25
D b (=2a) (mm) 20 30 40
E hp (mm) 13 16 20
Tableau 4.1 : Choix des facteurs et des niveaux
La précontrainte n’a pas été prise comme un paramètre variable, pour l’étude
expérimentale. Ce choix provient des conditions de serrage à satisfaire pour couvrir tous les
cas d’essais du plan. En particulier, lorsque l’excentration est importante avec une poutre en
aluminium, il est nécessaire d’appliquer une précontrainte assez faible (Q = 200 MPa), pour
éviter de plastifier la pièce avant de pouvoir récupérer des déformations significatives et
exploitables dans les vis. Par contre, lorsque les simulations numériques seront corrélées avec
les cas expérimentaux, il sera possible de simuler d’autres valeurs de précontraintes et de
lancer de nouveaux plans d’expériences numérique.
Construction du plan
Cette étape définit les différentes combinaisons du plan à retenir. Pour un plan complet il
faudrait étudier 2x3x3x3x3 = 162 combinaisons. Le logiciel de plan d’expériences BPEW [8]
dispose d’un outil d’assistance au choix de plan d’expériences. Pour cette étude, on a
recherché le plan qui correspond au minimum d’essais, c’est un plan d’expériences mixte
qui comprend seulement 18 combinaisons parmi 162 (comme le montre la Figure AIII.3 de
l’Annexe III).
Il s’agit donc de réaliser 18 assemblages à 4 boulons et les essais correspondant aux
résultats des essais en tension (FE > 0) et en compression (FE < 0), seront exploités et
comparés à ceux issus du modèle numérique et des simulations en EF 3D.
4.2.3 Assemblages réalisés
Nous avons fabriqué 18 assemblages (9 en Aluminium et 9 en Acier) destinés à réaliser un
plan d’expériences mixte. Les matériaux employés sont un alliage d’aluminium EN AW-2017
[ AlCu4MgSi ] et acier non allié C 35.
Associés à ces assemblages, nous avons également réalisé des outillages qui permettent de
solliciter le montage soit en compression, soit en tension. Cet outillage a conditionné le choix
des dimensions géométriques afin que les poutres résistent aux sollicitations qui seront
appliquées à partir de la machine d’essais.
Les valeurs des paramètres sont données par le Tableau 4.2. Les pièces et les essais sont
réalisés au Laboratoire de Génie Mécanique de Toulouse (LGMT).
___________________________________________________________________________
49

Chapitre IV Etude expérimentale
__________________________________________________________________________________________
Poutre Socle
N° Lt u v 2a hp Mat Ls u v 2a Mat
1 250 25 10 20 13 Alu 55 25 10 20 Alu
2 250 25 20 30 16 Alu 65 25 20 30 Alu
3 250 25 25 40 20 Alu 70 25 25 40 Alu
4 270 35 10 30 20 Alu 65 35 10 30 Alu
5 270 35 20 40 13 Alu 75 35 20 40 Alu
6 270 35 25 20 16 Alu 80 35 25 20 Alu
7 290 45 10 40 16 Alu 75 45 10 40 Alu
8 290 45 20 20 20 Alu 85 45 20 20 Alu
9 290 45 25 30 13 Alu 90 45 25 30 Alu
10 250 25 10 20 13 Acier 55 25 10 20 Acier
11 250 25 20 30 16 Acier 65 25 20 30 Acier
12 250 25 25 40 20 Acier 70 25 25 40 Acier
13 270 35 10 30 20 Acier 65 35 10 30 Acier
14 270 35 20 40 13 Acier 75 35 20 40 Acier
15 270 35 25 20 16 Acier 80 35 25 20 Acier
16 290 45 10 40 16 Acier 75 45 10 40 Acier
17 290 45 20 20 20 Acier 85 45 20 20 Acier
18 290 45 25 30 13 Acier 90 45 25 30 Acier
Tableau 4.2 : Valeurs des paramètres géométriques des essais réalisés.
Le Tableau 4.3 présente les caractéristiques des boulons utilisés pour l’étude
expérimentale.
Boulons
Diamètre M 10
Classe de qualité 8.8
Longueur 60
Nombre 4
Matériaux Eb
Tableau 4.3 : Caractéristiques des boulons utilisés.
Le module d’élasticité Eb de chaque vis utilisée pour l’assemblage est déterminé
expérimentalement au moyen d’un essai de traction simple (Tableau 4.5).
4.3 PRECONTRAINTES ET FORCES APPLIQUEES AUX ASSEMBLAGES
La précontrainte de serrage des boulons est prise toujours inférieure à la limite élastique du
matériau des vis, tel que : σ0 = 30%Re avec Re = 640 MPa pour l’acier des boulons de qualité
8.8.
Pour un montage en ¼ pont, la contrainte et l’effort de serrage sont exprimés comme suit,
en utilisant des jauges de déformation longitudinales (Annexe II) :
___________________________________________________________________________
50

Chapitre IV Etude expérimentale
__________________________________________________________________________________________
Contrainte de serrage :
4.E Δ +Δ
1000.K
Effort de serrage :
2
b
g d
σ 0 = ( )
(4-1)
4.E b.As
Δ g+Δd Q= ( )
(4-2)
1000.K 2
Avec : Δg (mV/V) : lecture sur la jauge de gauche de la vis ;
Δd (mV/V) : lecture sur la jauge de droite de la vis ;
As = 58 mm 2 : Section du filetage des vis ;
K = 2.11 : Facteur de jauge ;
Eb : Module d’élasticité de la vis (Tableau 4.5).
Par exemple, pour un module d’élasticité longitudinal des vis utilisées de valeur moyenne
Eb = 210 000 MPa, la contrainte et l’effort de serrage sont donnés par :
Δ g+Δd σ 0 =398.104( )
(4-3)
2
Δ g+Δd Q=23090.047.( )
2
(4-4)
Pour Δg + Δd = 1, on a σ0 = 199.052 MPa soit 31.1% de la limite élastique de la vis. La
valeur de la précharge appliquée sur chaque boulon est de : Q = 11545 N
On a choisi pour les essais une précontrainte des vis de 200 MPa. Ce choix se justifie par le
fait que pour les essais avec des pièces en Aluminium on ne risque pas d’avoir une
déformation plastique des pièces serrées, lors du chargement extérieur. Cette valeur de
précontrainte permet de solliciter l’assemblage avec des charges importantes tout en restant
dans le domaine élastique des vis employées. Pour serrer les quatre vis d’assemblage à
200 MPa, nous avons utilisé le logiciel CATMAN ce qui a nécessité d’installer les bonnes
4.Eb
valeurs du coefficient de proportionnalité ( ) en fonction de la valeur réelle du module
1000.K
d’élasticité Eb.
Les forces appliquées expérimentalement dans chaque cas sont données dans le
Tableau 4.4.
___________________________________________________________________________
51

Chapitre IV Etude expérimentale
__________________________________________________________________________________________
Matériau et
nombre
d’essais
Aluminium
18 essais
N° essai selon la
numérotation du plan
d’expériences
Plage de force
machine
Fmachine (N)
Matériau
et nombre
d’essais
N° essai selon la
numérotation du plan
d’expériences
Plage de force
machine
Fmachine (N)
1t (Tension) 0 à 5724 10t (Tension) 0 à 9452
1c (Compression) 0 à 11472 10c (Compression) 0 à 17036
2t (Tension) 0 à 6272 11t (Tension) 0 à 16768
2c (Compression) 0 à 40000 11c (Compression) 0 à 39428
3t (Tension) 0 à 13140 12t (Tension) 0 à 18644
3c (Compression) 0 à 40000 12c (Compression) 0 à 54084
4t (Tension) 0 à 11400 13t (Tension) 0 à 18692
4c (Compression)
5t (Tension)
0 à 40000
0 à 9392
Acier
13c (Compression)
14t (Tension)
0 à 45380
0 à 16792
5c (Compression)
6t (Tension)
0 à 29428
0 à 7564
18 essais
14c (Compression)
15t (Tension)
0 à 56384
0 à 9616
6c (Compression) 0 à 22644 15c (Compression) 0 à 26524
7t (Tension) 0 à 11312 16t (Tension) 0 à 18772
7c (Compression) 0 à 26604 16c (Compression) 0 à 39812
8t (Tension) 0 à 8552 17t (Tension) 0 à 8000
8c (Compression) 0 à 32000 17c (Compression) 0 à 32000
9t (Tension) 0 à 7520 18t (Tension) 0 à 14964
9c (Compression) 0 à 26748
18c (Compression) 0 à 36320
Tableau 4.4 : Forces maximales de chargement des assemblages dans chaque essai
4.4 DISPOSITIFS EXPERIMENTAUX
4.4.1 Machine d’essais
Une machine hydraulique Schenck Hydropuls PSB 100 est utilisée pour réaliser des
essais de traction et de compression sur les assemblages boulonnés, (Annexe I). La machine
peut être pilotée en déplacement ou en force.
Dans notre cas, on applique une rampe de force qui varie de 0 à la valeur maximale Fmax
supportée par l’assemblage avec une vitesse de 0.5 kN/s. L’effort machine Fmax à appliquer
sur un assemblage dépend de la géométrie et des matériaux utilisés. Cet effort ne doit
provoquer aucune déformation plastique des éléments de l’assemblage.
L’asservissement de la machine devra fournir l’effort nécessaire pour respecter au plus
juste la consigne de position, sous réserve de ne pas dépasser la capacité de la machine (effort
maximum +/- 100 kN). L’interface informatique de la machine permet de définir quelques
paramètres de sécurité pour le bon fonctionnement, comme des limites de surveillance du
déplacement ou de la force. Pour faciliter le pilotage de l'essai , l'acquisition des données et
éviter de perdre des informations, on lance l’application de l’effort machine ainsi que
l’acquisition des données simultanément.
4.4.2 Préparation des pièces pour un plan d’expériences mixte
Les pièces en Aluminium sont numérotées de 1 à 9 et les pièces en aciers sont numérotées
de 10 à 18. On utilise les quatre mêmes boulons pour les 18 assemblages (Figure 4.3).
___________________________________________________________________________
52

Chapitre IV Etude expérimentale
__________________________________________________________________________________________
Figure 4.3 : Assemblages symétriques à 4 boulons
4.4.3 Instrumentation des vis par des jauges de déformation
La vis munie de jauges de déformations est représentée sur la Figure 4.4. Elle permet de
mesurer au moment du serrage de la vis, la précharge (tension initiale), puis l'évolution de
cette tension au cours de l'essai. On mesure également l'évolution du moment de flexion.
Rétrécissement de la tige pour
le collage des jauges
Jauges de déformation
Figure 4.4 : Vis H M10 instrumentée
La Figure 4.5 montre les modifications apportées à une vis normale M10 de pas de filet 1.5
mm et de 60 mm de longueur. Une partie de la tige a été usinée de manière à dégager un
espace suffisant entre la tige et l’alésage, pour permettre le collage des jauges, la soudure des
fils de liaison et le passage de ces fils sans qu’ils viennent en contact avec l’alésage. On a
laissé près de la tête une partie non usinée de manière à centrer la vis dans son alésage.
Câbles de connexion
Fil rigide pour le maintien
des connexions
Jauge de déformation
Amincissement de la vis
Plaquette-relais
collée sur la tête
Trou de passage
des fils des jauges
Détail d’une
plaquette-relais
Film cuivre
Figure 4.5 : Implantation des jauges et fils de liaison
Support
isolant
___________________________________________________________________________
53

Chapitre IV Etude expérimentale
__________________________________________________________________________________________
Trois jauges simples g, d, m sont collées sur la partie amincie de la tige, figure 4.6. Elles
mesurent la déformation parallèlement à l’axe de la vis ; elles sont positionnées, autour de cet
axe, à 90° l’une de l’autre de façon à indiquer à la fois l’effort de traction et le moment de
flexion dans la tige. Les fils de raccordement de ces jauges passent dans des trous percés à
travers la tête et débouchant sur la partie amincie. La liaison avec les câbles de connexion aux
ponts de mesure est assurée par des plaquettes-relais collées sur la tête de la vis. Sur ces
plaquettes on vient souder à l’étain les fils des jauges d’un côté, et les câbles de connexion de
l’autre côté.
Tige de la vis
g, d et m : jauges de déformation longitudinales
Figure 4.6 : Emplacement des jauges sur la tige amincie
4.4.4 Dispositifs d’application des efforts sur les assemblages
Nous avons conçu deux dispositifs expérimentaux destinés à solliciter l’assemblage
boulonné suivant l’axe de la machine.
Montage de tension de l’assemblage :
On utilise deux rotules (logées dans deux boites fixées sur les mors de la machine) pour ne
pas appliquer des moments extérieurs sur l’assemblage dû au désalignement des axes de
traction, Figure 4.7.
Figure 4.7 : Montage assemblage en tension
___________________________________________________________________________
54
d
g
m

Chapitre IV Etude expérimentale
__________________________________________________________________________________________
Montage de compression de l’assemblage :
On utilise deux rotules pour avoir des moments extérieurs nuls sur l’assemblage, comme
l’indique la figure 4.8.
Figure 4.8 : Montage assemblage en compression
La façon de placer les rotules ainsi que le dispositif d’installation de précontraintes sont
expliqués dans l’Annexe I. Le suivi des mesures en temps réel est assuré par le logiciel
CATMAN (Annexe I). A la fin de l’essai on enregistre les résultats sur un fichier en format
ASCII pour avoir un fichier de données (.dat) qui sera récupéré et traité sur un tableur.
4.5 DEPOUILLEMENT DES RESULTATS EXPERIMENTAUX
4.5.1 Résultats expérimentaux bruts
Pour chaque essai de tension ou de compression, on enregistre les mesures des jauges
installées sur les 4 vis et aussi les mesures des capteurs de forces et de déplacements aux
points d’application du chargement. L'instrumentation de ces assemblages comprend des
jauges de déformation positionnées sur la partie réduite des vis. Chaque vis comporte trois
jauges disposées à 90°, (Figure 4.9). Les jauges JGi et JDi sont placées dans le plan de flexion.
Les jauges JMi, associées aux deux autres, permettent d’identifier le plan réel de flexion de
chaque boulon et de vérifier qu’il est bien confondu avec le plan des jauges JGi et JDi.
L’instrumentation des vis 1’ et 2’ permet une vérification de la symétrie.
2a
JG2
JM2
JD2
JG1
JM1
u v
JD1
FE
___________________________________________________________________________
55
L
±FE
±FE
JM1’
JG1’ JD1’
JM2’
JG2’ JD2’
hp
Niveau
des jauges
Figure 4.9 : Disposition symétrique des jauges sur les 4 vis d’assemblage

Chapitre IV Etude expérimentale
__________________________________________________________________________________________
Dans la suite, nous nous intéressons aux indications des jauges de gauche et de droite pour
chaque vis, ces mesures servent à déterminer les contraintes normales dans chaque vis pour un
chargement donné. La mesure de la jauge de milieu sert à vérifier que la flexion de la vis est
dans le plan médian de l’assemblage.
4.5.2 Calcul des contraintes à partir des lectures sur les jauges
Pour chaque essai de tension ou de compression, on calcule les contraintes normales
associées à chaque jauge longitudinale :
4.Eb
σ i =( )Δi
(4-5)
1000.K
Avec :
Δi (mV/V) : Lecture sur la jauge i de la vis j.
Eb : Module d’élasticité longitudinale des vis. La valeur réelle pour chaque vis est donnée
dans le tableau 4.5.
K = 2.11 : Facteur de jauge (± 1%), ce facteur reste presque constant.
Le coefficient de proportionnalité entre la contrainte normale et la lecture d’une jauge
dépend de la valeur du module d’élasticité de la vis et du facteur de jauge. Comme ces
coefficients varient plus ou moins d’une vis à l’autre, nous avons déterminé le coefficient de
proportionnalité expérimentalement au moyen d’un essai de traction axiale pure pour chaque
vis. Le Tableau 4.5 présente ces différentes valeurs qui dépendent du module d’élasticité
longitudinal de chaque vis.
N° vis d’essai
N° sur figure 4.11
V1
(2)
Eb (MPa) (expérimental) 181681,55 176353,8 199848,65 186618,95
4. Eb
1000. K
344.42 334.32 378.86 353.78
Tableau 4.5 : Valeurs du coefficient de proportionnalité entre contrainte normale et lecture
des jauges pour les 4 vis employées pendant les essais.
Pour chaque vis on utilise le coefficient convenable pour installer la précontrainte. On
installe pour chaque essai la même précontrainte. Ces coefficients sont aussi utilisés pour le
calcul des contraintes normales pour chaque vis.
___________________________________________________________________________
56
V2
(1)
4.5.3 Contraintes normales gauches et droites de chaque vis
Après traitement des données numériques de chaque essai, nous obtenons les courbes de
contraintes normales gauches et droites des quatre vis de l’assemblage. On présente à titre
d’exemple l’allure des courbes pour les 4 vis de l’assemblage 12, en tension (Figure 4.10) et
en compression (Figure 4.11).
V3
(1’)
V4
(2’)

Chapitre IV Etude expérimentale
__________________________________________________________________________________________
400
350
300
250
200
15 0
10 0
50
0
σ (MPa)
Contraintes normales gauches et droites
dans les 4 vis d'assemblage
0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 10000
Vis2D Vis2G Vis1D Vis1G
Vis1' D Vis1' G Vis2' D Vis2' G
Figure 4.10 : Assemblage en tension (Essai 12 Tension, avec précontrainte Q = 200 MPa.
La force machine est de FE=Fmach/2).
400
350
300
250
200
15 0
10 0
50
0
σ (MPa)
Contraintes normales gauches et droites
dans les 4 vis d'assemblage
0 3076 6056 8832 11558 14282 16996 19710 22408 25088
Vis2D Vis2G Vis1D Vis1G
Vis1' D Vis1' G Vis2' D Vis2' G
Figure 4.11 : Assemblage en compression (Essai 12 Compression, avec précontrainte
Q = 200 MPa. La force machine est de FE=Fmach/2).
Les courbes (1,1’) et (2,2’) sont voisines et ont la même allure. L’écart peut être dû à
l’erreur de position des vis et des jauges associées ou à un moment parasite de désalignement
des axes d’application de force machine, comme l’explique le paragraphe suivant. Un essai
est accepté si l’écart entre deux vis symétriques est faible.
4.5.4 Causes possibles de différence de contraintes entre vis symétriques
Les courbes de variation des contraintes pour deux vis symétriques présentent un écart
dans les cas suivants :
- Erreur de position des vis et leurs jauges avant le serrage ;
- Présence d’un moment parasite de désalignement des axes d’application de la force
machine.
___________________________________________________________________________
57
F E (N)
F E (N)

Chapitre IV Etude expérimentale
__________________________________________________________________________________________
La Figure 4.12 représente l’assemblage quand il y a un défaut de perpendicularité entre
l’axe d’application de la force machine et les pièces assemblées. Si l’axe est de longueur l et
d’inclinaison ψ, on applique sur l’assemblage en plus de la force machine (Fmach), un moment
extérieur Mmach tel que :
Mmach = Fmach . l . sin ψ (4-6)
A cause de cette configuration le côté gauche sera soulagé (diminution de contrainte ou
contrainte alternée négative) au cours du chargement, par contre le côté droit sera surchargé
par un moment :
Mmach
M E =
(4-7)
2
Vis de gauche (1,2)
sous chargées
l ψ
Fmach
2 1 1’ 2’
Fmach
Rotule
Vis de droite (1’, 2’)
surchargées
Figure 4.12 : Etat du montage avant l’application de la force machine.
L’inclinaison ψ peut être due à :
- L’implantation du filetage ;
- L’inclinaison de l’axe par rapport à son embase.
Un contrôle métrologique du montage sur la machine de traction a détecté une erreur
angulaire inférieure à 1 degré. On considère que l’angle d’inclinaison est faible donc le
moment ME est négligeable. D’autre part, lors du chargement, le système va s’éloigner et la
faible rigidité en flexion des axes, au regard de l’assemblage, va compenser les défauts
d’alignement.
4.5.5 Passage d’un assemblage à 4 vis à un assemblage à 2 vis
On profite ici de la symétrie de l’assemblage pour réduire l’erreur moyenne réelle en
utilisant la valeur moyenne entre deux jauges symétriques appartenant à deux vis symétriques.
Ce calcul donne les valeurs des jauges d’un assemblage à deux vis, compatible avec la
définition du modèle numérique étudié. Nous obtenons ensuite les contraintes normales de
gauche et de droite pour chacune des deux vis.
___________________________________________________________________________
58

Chapitre IV Etude expérimentale
__________________________________________________________________________________________
Contraintes normales gauches et droites des deux vis d’un ½ assemblage :
Les courbes de contraintes normales gauches et droites des deux vis d’un ½ assemblage
(cas du modèle numérique) sont données par la moyenne entre deux vis symétriques. On
présente les résultats pour l’assemblage 12 : en tension (Figure 4.13) et en compression
(Figure 4.14).
350
300
250
200
15 0
10 0
50
0
σ (MPa)
Contraintes normales gauches et droites
dans 2 vis d'assemblage
0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 10000
Vis1D Vis1G Vis2D Vis2G
___________________________________________________________________________
59
F E (N)
Figure 4.13 : Assemblage à deux vis, en tension (Essai 12 Tension, avec précontrainte
Q = 200 MPa. La force machine est telle que FE=Fmach/2).
400
300
200
10 0
0
σ (MPa)
Contraintes normales gauches et droites
dans les 2 vis d'assemblage
F E (N)
0 5000 10000 15000 20000 25000 30000
Vis1D Vis1G Vis2D Vis2G
Figure 4.14 : Assemblage à deux vis, en compression (Essai 12 Compression, avec
précontrainte Q = 200MPa. La force machine est telle que FE=Fmach/2).
Contraintes alternées gauches et droites des deux vis d’un ½ assemblage :
Les courbes de contraintes normales gauches et droites des deux vis d’un ½ assemblage
sont déduites des variations des contraintes normales relatives. On reprend le cas de
l’assemblage 12 : en tension (Figure 4.15) et en compression (Figure 4.16).

Chapitre IV Etude expérimentale
__________________________________________________________________________________________
80
70
60
50
40
30
20
10
0
-10
σa (MPa)
Contraintes alternées gauches et droites
dans 2 vis d'assemblage
0 2000 4000 6000 8000 10000
Vis 1D Vis 1G Vis 2D Vis 2G
Figure 4.15 : Assemblage à deux vis, en tension (Essai 12 Tension, avec précontrainte
Q = 200 MPa. La force machine est telle que FE=Fmach/2).
18
16
14
12
10
8
6
4
2
0
-2
σ a (MPa)
Contraintes alternées gauches et droites
dans 2 vis d'assemblage
___________________________________________________________________________
60
F E (N)
F E (N)
0 5000 10000 15000 20000 25000 30000
Vis1D Vis1G Vis2D Vis2G
Figure 4.16 : Assemblage à deux vis, en compression (Essai 12 Compression, avec
précontrainte Q = 200 MPa. La force machine est telle que FE=Fmach/2).
Contraintes alternées maximales des deux vis d’un ½ assemblage :
La suite de l’étude consiste à anticiper le comportement de la tenue à la fatigue à partir des
contraintes alternées calculées sur chaque vis. Des précédentes courbes de contraintes
alternées gauches et droites on ne retient que les contraintes alternées maximales sur chaque
vis d’un ½ assemblage en tension (Figure 4.17) et en compression (Figure 4.18).

Chapitre IV Etude expérimentale
__________________________________________________________________________________________
80
70
60
50
40
30
20
10
0
-10
σa (MPa)
Contraintes alternées maximales
dans 2 vis d'assemblage
0 2000 4000 6000 8000 10000
Vis 2 Vis 1
___________________________________________________________________________
61
F E (N)
Figure 4.17 : Assemblage à deux vis, en tension (Essai 12 Tension, avec précontrainte
Q = 200 MPa. La force machine est telle que FE=Fmach/2).
20
15
10
5
0
σa (MPa)
Contraintes alternées maximales
dans les 2 vis d'assemblage
F E (N)
0 5000 10000 15000 20000 25000 30000
Vis 2 Vis 1
Figure 4.18 : Assemblage à deux vis, en compression (Essai 12 Compression, avec
précontrainte Q = 200 MPa. La force machine est telle que FE=Fmach/2).
4.6 CONCLUSION
Cette étude expérimentale a permis de dégager différents résultats pour 36 essais (18
montages sollicités en tension et compression). Pour chaque essai, on dispose d’un fichier brut
de données. Ces données ont été utilisées et traitées pour calculer différents résultats
concernant les vis d’assemblage (forces appliquées, déplacements, flèches, contraintes
normales, contraintes alternées, …).

Chapitre V :
MODELE NUMERIQUE SIMPLIFIE
D’UN ASSEMBLAGE A DEUX BOULONS
Nous proposons dans ce chapitre un modèle numérique simplifié permettant d'aborder le
problème d’assemblages à deux éléments filetés disposés en « Tandem » au stade du bureau
d'études. L’assemblage modélisé est conforme à celui étudié précédemment. Dans le cadre de
la théorie des poutres, nous avons discrétisé l’assemblage en éléments finis unidimensionnels.
Le maillage est constitué par des éléments poutres à trois degrés de liberté par nœud (le
déplacement axial, la flèche et la rotation). La zone de contact est modélisée par une suite
d’éléments ressorts à deux nœuds. Chaque élément de contact est construit par regroupement
de deux nœuds homologues. Chaque boulon ou vis est modélisé par une poutre dont le plan
d’appui de la tête adhère sur la face supérieure de la pièce. Pour que la poutre puisse fléchir
naturellement sans pénétration, il est légitime d’intercaler une fondation élastique entre la
fibre moyenne et le support rigide. L’originalité de cette partie réside dans l’élaboration d’un
modèle simple et dans la mise en place d’une technique de calcul itérative de la matrice de
rigidité du contact, qui varie en fonction du chargement.
5.1 PRESENTATION DU MODELE
On s’intéresse au modèle paramétré comportant 2 vis identiques. Ces fixations
maintiennent une poutre de section rectangulaire (2a x hP), sur un support considéré rigide
(Figure 5.1a). On admet que la rigidité en flexion ainsi que la raideur des pièces assemblées
restent constantes et que les efforts sont situés dans le plan de symétrie de l’assemblage. On
considère que la rigidité en flexion de la pièce est plus importante que celle des vis. On
adopte, pour les deux boulons, les mêmes caractéristiques géométriques et sous précontraintes
respectives Q1 et Q2.
hP
a
t
Vis 2
u
Vis 1
v
w
±0.5FE
±ME
y
k
C’
Elément ressort
C L2
x
Corps rigide
Elément poutres
___________________________________________________________________________
63
B2
Q2
Eléments poutres
a : Modèle éléments finis 3D b : Modèle numérique simplifié
E2
L1
E1
B1
Q1
B
D’
Nœud principal
±FE
A
(±ME)
Nœud intermédiaire
Figure 5.1 : Assemblage symétrique par deux boulons en « Tandem » sollicité en tension
et/ou en compression par des charges situées dans le plan des axes des vis.
Le modèle paramétré en éléments finis tridimensionnels (Figure 5.1a), avec prise en
compte du contact, nous a permis de calculer les suppléments d'effort et de moment pour
différents cas de précontraintes et de chargements. Il nous a également permis d’identifier le
décollement dans la zone de contact, à l’interface des pièces.
La modélisation de la Figure 5.1b consiste à discrétiser l’assemblage en éléments finis
unidimensionnels et à intercaler des éléments de contact entre pièces. Les chargements sont
réalisés par une force verticale FE et par un éventuel moment ME. Dans le cadre de cette étude

Chapitre V Modélisation numérique simplifié d’un assemblage à deux boulons
__________________________________________________________________________________________
de calage avec l’expérimentation, on définit, au point A, une condition de rotation nulle
(θE = 0) autour de l’axe z afin de matérialiser le plan de symétrie du chargement de part et
d’autre des vis (Figure 5.2). Cette situation est conforme à celle de l’assemblage symétrique à
quatre boulons utilisé pour les essais.
hp
hs/2
2a
t
u
v
w
±θE
___________________________________________________________________________
64
[P1]
±FE
Figure 5.2 : ¼ de l’assemblage expérimental
Les éléments constitutifs du modèle simplifié de l’assemblage sont :
Lt = 2(t + v + v + w)
Eléments poutres (pièce CA) : Leur raideur en flexion est identique à celle de l'élément de
la pièce prismatique. Dans le modèle simplifié, nous avons tenu compte des trous de passages
des vis sur les pièces et du trou taraudé pour l’application des charges, en accord avec le
montage expérimental. Un trou est modélisé par des éléments poutres successifs dont la
largeur varie en escalier (Figure 5.3). La pièce réelle et la pièce modèle sont équivalentes en
rigidité de flexion. Pour le modèle simplifié, on considère une ½ pièce (symétrie du montage).
Pièce Modèle
≡
Figure 5.3 : Modélisation des trous en éléments poutres successifs.
Eléments poutres B1L1 et B2L2 : B1L1 et B2L2 modélisent les zones de la pièce assemblée
qui sont comprimées entre le niveau d’application de l’effort extérieur FE et les têtes des
boulons. Chaque élément poutre à une section équivalente AP qui peut être déterminée par un
des modèles existants : Modèle VDI 2230 [67] ou le Modèle de Rasmussen [51] ou la
modélisation du LGMT [2], [3]. Les deux nœuds de chaque poutre (BiLi) sont liés en rotation
pour matérialiser le fait que les têtes des vis suivent la déformée de la pièce.
θ Bi= θLi
(5-1)
Eléments poutres (boulons B1E1 et B2E2) : Chaque boulon est modélisé par un élément
poutre à deux nœuds (Figure 5.4-a), en lui affectant une matrice de rigidité particulière.
Chaque nœud comporte trois degrés de liberté u, v, θ (allongement, flèche et rotation). Le
découpage en plusieurs éléments n'est pas nécessaire, les déplacements aux extrémités
permettent de calculer les contraintes dans chaque section, c'est-à-dire pour nous, l'effort axial
FB et le moment de flexion MFB pour chaque boulon. La matrice de rigidité intègre la même
[P2]

Chapitre V Modélisation numérique simplifié d’un assemblage à deux boulons
__________________________________________________________________________________________
raideur axiale en traction que le boulon réel de section équivalente Abi. La raideur de flexion
est calculée à partir d’une valeur Ibi équivalente qui intègre la forme du boulon (Figure 5.4-b).
o
y
x
θ j
i
j
u j
ui θ i
v j
v i
hb
ls + αGMd l0 + 0.4.d
Calcul de Abi
d
A0
As
ds
___________________________________________________________________________
65
hP
DPi
2
Diamètre équivalent DPi
ls l0
Calcul de Ibi
I0
hs hb
a- Elément poutre à 2 noeuds b- Section et moment quadratique équivalents du boulon
Figure 5.4 : Modélisation du boulon en un élément poutre de longueur hb.
Le calcul de la raideur axiale de compression du boulon intègre un coefficient (αGM = 0.8)
si la fixation est sur une pièce taraudée ou (αGM = 1.1) si l’assemblage est par vis-écrou, (VDI
2230 [65], [67], Alkatan [3], Fukuoka [19]). La section équivalente Abi est calculée en
utilisant l’expression (5.2).
h b
A bi = (5-2)
l 0+0.4d l s+αGMd +
A0 As
L’équation précédente est déduite de la relation suivante en considérant des souplesses
axiales équivalentes :
1 ⎡l+0.4d 0 l+α s GMd⎤ hb
δ Bi = ⎢ + ⎥ ≡
(5-3)
Eb⎣ A0 As ⎦ EbAbi Le moment quadratique équivalent, donné par l’équation (5-5) est calculé à partir de la
souplesse équivalente de flexion, équation (5-4), qui est égale à la somme des souplesses de
flexion des portions cylindriques de la vis.
1
δ FBi =
Eb ⎡l0 l ⎤ s hb
⎢ + ⎥ ≡
⎣I0 Is ⎦ EbIbi (5-4)
hII b 0 s
I bi =
lI+lI 0 s s 0
(5-5)
h b =2h P+ h s
(5-6)
Pour le modèle numérique simplifié qui ne concerne qu’un quart de l’assemblage
(Figure 5.2), le calcul des souplesses axiale et de flexion correspond à la moitié des valeurs
obtenues et calculées pour un montage d’une hauteur totale de pièces serrées hb.
Pour le calage du modèle, par rapport à l’étude expérimentale, on place les vis en flexion
pure. Ce choix évite d’introduire une erreur due à la position de la section dans laquelle sont
lues les contraintes (modèle EF 3D). Les vis se déplacent librement suivant x aux points
d'ancrage E1 et E2 pour satisfaire les conditions de mobilité imposées par les plans de symétrie
[P1] et [P2] de la Figure 5.2. Le moment appliqué au boulon Bi est exprimé par la relation
(5-7).
hP
d
1
Dt
d
ds
Is
0
y
x

Chapitre V Modélisation numérique simplifié d’un assemblage à deux boulons
__________________________________________________________________________________________
2E I
= (5-7)
MFBi b
h b
bi θBi
Avec θBi : rotation de la tête Bi de la vis i (i = 1 ou 2).
Pour le cas d'un assemblage par vis, dans une pièce rigide, les points E1 et E2 sont
considérés comme encastrés et les moments de flexion ne sont plus constants le long des vis.
On peut les calculer facilement à l'aide des équations de la déformée des poutres :
E Ibiv''
MFi
b = (5-8)
On désigne par σ01et σ02 les précontraintes de serrages des vis 1 et 2 correspondant à deux
efforts Q1 et Q2. Sur les bases inférieures des boulons, on applique les déplacements imposés
disp01 et disp02 qui modélisent les efforts de serrage. Dans notre cas, on peut en déduire les
efforts axiaux FB1 et FB2 et les moments de flexion MFB1 et MFB2 respectivement dans la vis 1
et la vis 2. Ces informations sont capitales pour un dimensionnement en fatigue. En effet,
entre l’état de précontrainte et l’état sous chargement on calcule les suppléments d’effort
(ΔFBi) et de moment de flexion (ΔMFBi) dans le boulon i.
ΔFBi= FBi−Qi
(5-9)
ΔMFBi= MFBi(FE)
−MFBi(Qi)
(5-10)
On en déduit la contrainte alternée (σa i) de chaque boulon par la relation (5-11), Junker
[32], et on la compare à une valeur admissible σS préconisé par la norme E25-030 [15].
ΔF ΔMF ⋅ds
= (5-11)
Bi
Bi i
σa i + ≤ σS
2⋅
Asi
4⋅
Ibi
Avec :
dsi : diamètre de la section résistante de la vis.
Asi : section résistante du filetage.
Ibi : Moment quadratique de la section résistante de la vis i.
σad : limite admissible en fatigue du matériau des vis.
Nœuds du socle C’D’ : Le segment C’D’ matérialise la base d'appui de la pièce. Il est
composé d'éléments rigides "indéformables", puisque généralement les pièces supports sont
plus rigides et plus épaisses que les pièces à attacher ou à assembler.
Eléments ressorts : Les éléments ressorts simulent l’élasticité de contact entre les deux
pièces assemblées. On intercale une série de ressorts le long du contact, leur nombre évolue
en fonction du décollement à l’interface de contact, donc en fonction du chargement extérieur
de tension. Leurs raideurs sont distribuées proportionnellement à la surface théorique de
contact représentée par chaque élément ressort. Ils sont associés à des éléments de frottement
prenant en compte la zone d'adhérence. La contrainte normale à l’interface de contact (5-12)
est calculée à partir des déplacements relatifs verticaux entre les nœuds de l’interface de
contact et les nœuds correspondants de la ligne neutre de la pièce (CA). La contrainte
tangentielle (5-13) est déterminée par la loi de frottement de Coulomb.
σ
k.u
i n
n = (5-12)
Si
___________________________________________________________________________
66

Chapitre V Modélisation numérique simplifié d’un assemblage à deux boulons
__________________________________________________________________________________________
Avec
σt = f.σ
(5-13)
n
un , ut : déplacements normal et tangentiel à l’interface.
σn , σt : contrainte normale et contrainte tangentielle à l’interface. Elles dépendent de la
position du ressort i correspondant.
ki : raideur ressort i .
f : coefficient de frottement à l’interface.
Si l’on somme les raideurs ki de chaque ressort élémentaire, on détermine la couche
élastique de raideur totale KT qui modélise le contact par la relation (5-14).
N
K T= ∑ ki
; S
X
i
i-1-Xi+1 k= i K et S= T i .2a
(5-14)
S
2
i=1
Avec :
N : nombre total des ressorts de contact
S : aire de la surface totale de contact à l’interface pièce-support.
Si : aire de la surface de contact correspondant au ressort i situé à l’abscisse Xi.
Détermination des sections équivalentes Ap1 et Ap2 : Les sections équivalentes AP1 et AP2
représentent les zones de la pièce comprimée entre les têtes des vis i, (i = 1 ou 2) et la pièce
support. Ces sections sont déterminées à partir de la méthode de Rasmussen [51] d’où sont
issues les relations (5-15) et (5-16). Connaissant les dimensions des vis et des pièces
assemblées, (Figure 5.5), cette méthode s’appuie sur des paramètres adimensionnels (5-17)
dont le diamètre sous tête Da sert de référence.
hp
Y
Vis 2
Vis 1
Zones en compression
hs/2 Plan de symétrie
___________________________________________________________________________
67
X
t u v w
Figure 5.5 : Application du modèle de Rasmussen à un assemblage
prismatique à deux boulons.
Le modèle de Rasmussen appliquée aux zones 1 et 2 en compression sous les deux vis
donne les expressions (5-15) et (5-16) des sections réduites adimensionnelles.
A
π
= (1−
D
4
x2
⎡0.35
Lp
+
⎢
⎢
⎣ 2( DP1
*
z2
1+
2L
− Dt
) 2 *
z1
x1
−1⎤
⎥
⎥
⎦
b=2a
∅3Da
+ − −
p
) 0.5( D 1). tan
* 2
2 *
* 2
1
t P1
2 *
* (5-15)
P1

Chapitre V Modélisation numérique simplifié d’un assemblage à deux boulons
__________________________________________________________________________________________
A
π
= (1−
D
4
⎡0.35
Lp
+
⎢
⎢
⎣ 2( DP2
*
1+
2L
− Dt
) 2 *
___________________________________________________________________________
68
−1⎤
⎥
⎥
⎦
+ − −
p
) 0.5( D 1). tan
* 2
2 *
* 2
1
t P2
2 *
* (5-16)
P2
Avec les paramètres adimensionnels suivants :
t
t
a
* D
D = ; P
p
D
a
* L
Peq1
L = ; P1
D
a
* D
Peq 2
D = ; P2
D
a
* D
D = ;
D
a 2
P1
P1 * A
A = ;
D
a 2
P2
P2 * A
A = (5-17)
D
Da : diamètre des têtes des vis utilisées.
Dt : diamètre des trous de passage des vis.
Lp : hauteur totale de l’empilement des pièces tel que : LP = 2hP + hS
Lorsque l’on considère un empilage de pièces serrées LP, il convient de définir des limites
géométriques à chaque section équivalente. Dans le cadre d’un assemblage prismatique, il
n’existe pas de diamètre physique pièce DPi comme pour la Figure 5.4b. Aussi, on définit un
diamètre de pièce équivalent fictif DPeq i qui prend en compte les dimensions locales de la
pièce prismatique. Pour cette étude, on considère que les diamètres DPeq 1 et DPeq 2 sont
fonctions des dimensions u, v, t, b et Da. On propose de déterminer les diamètres DPeq i selon
les conditions géométriques suivantes :
- Si 3Da > b ; z1 = z2 = b ; Sinon z1 = z2 = 3Da ;
- Si 1.5Da > v ; x1 = 1.5Da + v ; Sinon x1 = 3Da ;
- Si 1.5Da > t ; x2 = 1.5Da + t ; Sinon x2 = 3Da ;
- Si u

Chapitre V Modélisation numérique simplifié d’un assemblage à deux boulons
__________________________________________________________________________________________
Elle correspond à la somme des raideurs locales KPi. C’est cette raideur totale KT que nous
allons affecter d’un coefficient de calage et distribuer tout le long du contact.
Ep.A
K Pi
Pi = (5-19)
hp
K péq = Kp1
+ Kp2
(5-20)
KT
REP = (5-21)
Kpéq
Nous supposons que le coefficient REP reste constant pour tous les paramètres de
géométrie et de matériaux de l’assemblage. Nous avons vérifié cette hypothèse
expérimentalement et nous avons déterminé la valeur de ce paramètre de calage du modèle.
Déformation et rapprochement au coin du support : Dans le cas d’un coin vif, on a un
matage de celui-ci qui s’arrondit. On tient compte de cette plastification locale en calculant un
déplacement moyen de l’appui d’extrémité. On note Delta le déplacement vertical des pièces
au contact pièce/coin de la pièce support, c’est donc le déplacement imposé au nœud B du
modèle simplifié. Delta est certainement fonction des différents paramètres de l’assemblage
(matériaux, géométrie, chargement), il dépend fortement de la géométrie du coin (vif ou
arrondi), de la nature du contact (linéique ou non) et du champ de déformations élastiques qui
en résulte. La formulation de Delta est présentée dans la section (5.2.3).
5.2 PROBLEME DU RAPPROCHEMENT DES PIECES AU COIN SUPPORT
5.2.1 Position du problème du coin support
Dans le cas d’un assemblage de pièces prismatiques par des éléments filetés, et quand il
s’agit d’un chargement extérieur de compression, nous rencontrons le problème du contact
entre une pièce prismatique chargée et le coin d’angle de la pièce support (Annexe IV).
Lorsqu’il y a contact sur un angle vif les contraintes locales sont très élevées (Annexe IV)
et il y a un matage des pièces. Du point de vue des modèles en élasticité linéaire, ces
déformations plastiques ne peuvent pas être prises en compte directement. Pourtant, la forme
du contact local ne peut être négligée pour le calcul des variations d’efforts dans la vis. Nous
allons donc déterminer expérimentalement la forme du coin plastifié (cylindre de faible
rayon), et à partir de la formulation d’un problème de Résistance des Matériaux approché,
nous recherchons le déplacement de la pièce, considéré comme une poutre, au droit de l’appui
théorique situé à l’extrémité de la pièce support (Figure 5.9). Ce déplacement formulé en
fonction de l’effort FE, est exprimé en fonction de l’action théorique en coin de pièce d’appui.
Il est exprimé sous la forme d’une raideur locale d’appui que l’on réglera par un coefficient de
calage α, déterminé expérimentalement. Cette approche a l’avantage de mettre en évidence
les paramètres influents (au travers de la formulation du problème approché), ce qui devrait
entraîner la détermination d’une valeur du paramètre de calage unique pour toutes les
situations de pièces étudiées. L’autre intérêt de la procédure est de permettre une formulation
simple du modèle paramétré en gardant le contact géométrique au coin théorique de la pièce
d’appui ; la prise en compte de la déformation du coin se faisant à travers une raideur
équivalente calculée analytiquement.
Dans le cadre des déformations élastiques, on a formulé analytiquement le rapprochement
vertical des pièces assemblées autour du coin (Annexe IV). En analysant les formules
___________________________________________________________________________
69

Chapitre V Modélisation numérique simplifié d’un assemblage à deux boulons
__________________________________________________________________________________________
obtenues, on a conclu que sous un effort FC donné appliqué verticalement au coin les
contraintes obtenues sont importantes et croissent rapidement lorsque l’on s’approche du coin
vif. Ceci confirme qu’il y a vraisemblablement toujours une plastification locale du coin dès
les premiers chargements de l’assemblage.
A travers un calcul en éléments finis tridimensionnel nous montrons, par un exemple
d’assemblage (Figure 5.6), l’effet du coin d’angle sur l’état de déformation des pièces
assemblées sous une charge de compression. Les contraintes sur le coin sont importantes et
dépassent la limite élastique du matériau du support ce qui justifie également sa déformation
plastique sous le chargement de compression.
Déformation du
coin du support
Figure 5.6 : Exemple d’assemblage en état de contraintes principales sous l’action d’une
force de compression FE = -80000 N et yA = 0.895 mm (cas de l’assemblage 18, chapitre IV).
5.2.2 Plasticité locale et formation d’un coin arrondi du support
Après chargement, l’angle vif du support devient un congé de rayon r. ce rayon dépend du
matériau des pièces, de la largeur du profil et de la charge maximale qui a provoqué la
plasticité du coin. A l’aide d’un projecteur de profil optique assisté par ordinateur, on a
visualisé la forme des coins des assemblages expérimentaux, (Figure 5.7). On sélectionne
plusieurs points sur le profil projeté du coin du support des pièces après essais. Le logiciel
associé au projecteur de profil optique permet de lire directement les caractéristiques du profil
mesuré (rayon, diamètre et coordonnées du centre). Pour l’exemple de la Figure 5.7, qui
concerne un assemblage en aluminium, on obtient un rayon moyen de 0.43 mm.
Figure 5.7 : Détail de l’extrémité de la pièce d’appui après un chargement de compression
d’un assemblage en Aluminium.
___________________________________________________________________________
70
0
y
x
FE
A

Chapitre V Modélisation numérique simplifié d’un assemblage à deux boulons
__________________________________________________________________________________________
Le tableau 5.1 résume les résultats des mesures pour 18 cas d’assemblages expérimentaux.
Cas Aluminium Rayon r (mm) Cas Acier Rayon r (mm)
N° 1 0.309 N° 10 0.440
N° 2 0.387 N° 11 0.336
N° 3 0.320 N° 12 0.318
N° 4 0.439 N° 13 0.326
N° 5 0.318 N° 14 0.224
N° 6 0.389 N° 15 0.334
N° 7 0.352 N° 16 0.398
N° 8 0.420 N° 17 0.387
N° 9 0.314 N° 18 0.273
Moyenne 0.360 Moyenne 0.337
Tableau 5.1 : Valeurs des rayons des coins arrondis, pour les pièces supports utilisées dans
l’étude expérimentale.
NB : les valeurs des rayons ne correspondent pas à une même intensité de chargement.
Par exemple, pour les cas N° 8 et N° 17, représentés sur la Figure 5.8, les pièces ont les
mêmes dimensions et sont fabriquées dans des matériaux différents. La différence, dans les
formes des arrondis, est due au fait que les matériaux ont des comportements plastiques
différents. On remarque que les valeurs du rayon de congé du coin des pièces supports ne sont
pas très éloignées les unes des autres. Indépendamment du matériau et de la géométrie, la
valeur moyenne du rayon est de r = 0.35 mm.
Pièce en Aluminium (× 40)
Assemblage N° 08
r =0.420 mm
Pièce en Acier (× 40)
Assemblage N° 17
r =0.387 mm
Figure 5.8 : Rayon de congé obtenu après chargement des assemblages pour deux cas de
matériaux et pour les mêmes dimensions avec un chargement Fmach =32000 N.
5.2.3 Formulation analytique du rapprochement Delta au coin sous chargement de
compression
Modèle de calcul
___________________________________________________________________________
71

Chapitre V Modélisation numérique simplifié d’un assemblage à deux boulons
__________________________________________________________________________________________
L’objectif de l’étude consiste à évaluer un déplacement local qui prendrait en compte le
comportement élastique de la poutre (δ1) et un rapprochement élastique de contact (δ2). Le
premier déplacement est obtenu par un calcul de résistance des matériaux, proche du point
théorique B qui correspondrait à une valeur de flèche. Le deuxième déplacement est
équivalent à un contact hertzien au point I de la Figure 5.9.
L’assemblage à deux éléments filetés, équivalent à un quart du montage expérimental, est
en appui sur la pièce support et présente à son extrémité un coin arrondi de rayon r. Pour un
état de chargement FE donné, le contact avec le coin se fait au point I. La perpendiculaire à la
tangente en I, fait un angle θG avec la verticale, (Figure 5.9). On appelle B0’ le point
correspondant au coin théorique non déformé et sa projection sur la ligne moyenne de la
poutre non déformée est notée B0. Le point B matérialise la position du point B0 après
déformation sous l’effet du chargement FE.
Y
t
B2
B1
u v
O
*
θG
G * B
I
r
___________________________________________________________________________
72
w
X
A
FE
N
θG
I
G
B0’
O
r
B0
B’
θB
B
Détails du coin
Figure 5.9 : Modélisation du contact des pièces au coin arrondi (dimensions de l’arrondi
exagérées sur la figure).
Détermination de la réaction du coin support par la méthode de superposition :
* Hypothèses : On considère que la partie de poutre comprise entre les deux vis B1 et B2 à
peu d’influence sur le comportement local en B. En se basant sur le fait que la rotation de
section en B est plus importante que celle en B1, on fait l’approximation que le comportement
de la fixation B1 est équivalent à un encastrement. L’objectif est d’estimer la valeur de l’angle
θB. La distance GB est très faible au regard des autres dimensions. Sous cette condition, les
rotations des sections en G et B sont faibles et très proches (on prend θB ≈ θG). La Figure 5.10
représente le modèle poutre pour l’étude du déplacement élastique δ1 proche du point B. Pour
être en accord avec la partie expérimentale, on impose une rotation angulaire nulle au point A
ce qui se traduit par l’existence d’un moment ME.
B1
y
Allure de la déformée
v
B
RB
w
FE
A ME
Figure 5.10 : Modèle poutre pour estimer la réaction RB et l’angle θB au coin de contact.
Ce modèle hyperstatique est résolu par le principe de superposition de trois modèles
simples : deux cas avec un encastrement en B1 et un effort soit en A soit en B ; un cas avec un
encastrement en B1 et un moment en A. La réaction RB est déterminée en écrivant que la
x
δ1

Chapitre V Modélisation numérique simplifié d’un assemblage à deux boulons
__________________________________________________________________________________________
somme des flèches au point B de la poutre est nulle. La flèche en B est réellement égale à la
déformation locale due au contact du coin support. Cette déformation est négligeable devant
les flèches de la poutre en B qui résultent des forces FE, RB et du moment équivalent ME
appliqué en A. La réaction verticale RB du coin support est exprimée en fonction de FE et ME
selon la relation (5-22).
2v + 3w 3
RB= FE− ME
(5-22)
2v 2v
L’équation de la déformée est exprimée pour la poutre de la Figure (5.10), dans les zones
(B1B) et (BA). L’intégration des équations, en considérant les conditions aux limites et en
écrivant que la rotation en A est nulle, permet d’aboutir à la relation (5-23). On en déduit les
expressions de ME et RB (5-24) et (5-25).
2
2 FEv − (v+ w) + (v+w)M E + R B = 0
2 2
(5-23)
v+ 2w
ME = w FE
v+ 4w
(5-24)
2v + 3w 3w v + 2w
R B= ( − )FE
2v 2v v + 4w
(5-25)
* Angle d’inclinaison de la section de la pièce fléchie au coin arrondi : L’intégration de
l’équation de la déformée de la poutre permet de déduire l’expression (5-26) de l’angle de
rotation θB de la section au point B.
⎪⎧
⎡ 2 ⎛ 2
1 v v ⎞ v + 2w
⎤⎪⎫
= arctan ⎨−
⎢ R B − ⎜ ⎟ +
⎥⎬
⎪⎩
⎜
+ vw E
p p
⎟
F vw
(5-26)
E I ⎢⎣
2 ⎝ 2 ⎠ v + 4w
⎥⎦
⎪⎭
θB FE
Ep: module d’élasticité longitudinal du matériau de la pièce modélisée en poutre
Ip: moment quadratique de la section rectangulaire de la pièce autour de l’axe z.
Déplacement vertical du nœud B dû à la présence d’un coin arrondi (δ1) :
Au cours du chargement le centre de la section (point B) a un déplacement vertical dû à la
présence d’un coin arrondi de rayon r et de centre O (Figure 5.9). La direction (OI) fait un
angle θG avec la verticale. En admettant l’hypothèse que θB est très proche de l’angle θG, pour
un chargement donné, le point B se déplace vers le bas d’une quantité δ1 tel que :
uuuurr
δ 1=B0B.y=-B'0B'=-r[(1-cosθ B)+(1-θ B)sinθ B]
(5-27)
Déplacement vertical du nœud B dû à la déformation élastique au contact (δ2) :
Dans le domaine des petits déplacements, l’angle θB reste faible. Ainsi on peut considérer
que le contact en I est un contact cylindre plan, un cylindre de rayon r. nous formulons le
rapprochement entre les deux corps en nous référant à la bibliographie sur la mécanique du
contact. Pour la configuration d’un contact cylindre/plan, la formulation exacte ou analytique
n’a pas été trouvée dans la théorie de Hertz [5]. Pour l’étude de roulements cylindriques Arvid
Palmgren, ([56], [24]) a établi une formulation expérimentale du rapprochement entre deux
solides en acier. Des travaux similaires analytiques et expérimentaux [31], [46], [26], [27],
[61], ont été menés afin d’évaluer le rapprochement pour plusieurs dimensions de diamètre de
___________________________________________________________________________
73

Chapitre V Modélisation numérique simplifié d’un assemblage à deux boulons
__________________________________________________________________________________________
roulements cylindriques. Pour toutes ces études, les couples de matériaux sont acier-acier et
les plus petits rayons des galets ou des aiguilles sont 10 à 20 fois plus grands que le rayon du
coin d’appui. Notre problème est plus proche du comportement d’un indenteur. La mécanique
des contacts décrite par les théories de Hertz ou Boussinesq, reste valable pour des petites
dimensions avec de faibles pentes. Dans notre cas, la Figure 5.8 montre que les coins sont
suffisamment lisses pour considérer qu’il n’existe plus d’aspérité. Dans ces conditions, on
peut faire une analogie à l’application d’un chargement concentré linéique perpendiculaire à
un solide déformable qui a la forme d’un demi-espace (supposé infini), ce qui correspond à un
enfoncement δ tel que :
1 N
δ ∝ avec
*
E L
⎛ 2 2
1 1 1−
ν − ν ⎞
⎜ 1 1 2
= + ⎟
(5-28)
*
E 2 ⎜
⎟
⎝ E1
E2
⎠
∝ : symbole de proportionnalité
δ: rapprochement entre les deux solides (mm)
N : effort normal au plan tangent, c’est la résultante de la charge linéique appliquée (N)
L : longueur de chargement linéique (mm)
E * : Module d’élasticité longitudinal équivalent (MPa)
Ei : Module d’élasticité longitudinal de la pièce i (MPa)
νi : Coefficient de poisson de la pièce i
Dans notre cas, on s’intéresse au contact de la pièce assemblée avec le coin arrondi de son
support sous un chargement de compression FE donné, (Figure 5.11).
Figure 5.11 : Rapprochement des pièces au contact coin suivant un angle θB
Nous cherchons à formuler le rapprochement δ entre deux points éloignés de la zone de
contact, chacun appartenant à un solide, suivant une direction normale au plan tangent de
contact. Par analogie aux travaux réalisés sur les formulations du rapprochement des
roulements cylindriques, nous proposons une relation qui est en accord avec notre
environnement d’étude. Cette expression respecte les règles suivantes :
___________________________________________________________________________
74
N
- Le contact est linéique, donc δ est proportionnel à 1/E * . Pour l’étude expérimentale qui a
été menée, nous avons deux couples de matériaux (acier-acier et aluminium-aluminium).
2
1−
ν
Pour ces configurations, δ est proportionnel à ;
E
θB
N

Chapitre V Modélisation numérique simplifié d’un assemblage à deux boulons
__________________________________________________________________________________________
- Le contact est cylindre/plan, comme pour les formulations sur les roulements, on propose
0.9
N
que δ soit proportionnel à 0.8
L .
Ce qui permet de formuler δ comme suit :
2
0.9
1−
δ = α
ν N
(5-29)
E 0.8
L
Le coefficient α peut être déterminé par calage du modèle expérimentalement ou avec une
approche numérique. On trouve expérimentalement α proche de 2, ce résultat est présenté
dans le chapitre VI, au Tableau 6.1.
RB
La projection de N sur la verticale est la réaction RB : N =
cosθB
(5-30)
L est la largeur des pièces assemblées : L = 2a (5-31)
Pour un même couple de matériaux, le déplacement vertical δ2 du nœud B qui est dû à la
déformation élastique du contact est donné en fonction de δ et de l’angle θB tel que :
D’où :
δ2 = −δ
cosθB
(5-32)
δ
1−
2 0.9
2 −α
ν N
cosθB
0.8
= (5-33)
E L
Expression du déplacement vertical (Delta) du nœud B sous une charge FE :
Le déplacement vertical (Delta) du nœud B sous une charge FE est la somme du
déplacement δ1 associé à la forme arrondie du coin de la pièce support et du déplacement δ2
dû à la déformation élastique du contact :
Delta +
= δ1
δ2
(5-34)
Finalement, le déplacement vertical du nœud B sous un chargement de compression est :
1 − 2 0.9
Delta = −r[(1-
cosθ
ν N
B) + (1-
θB)sinθB]
− α cos θB
(5-35)
E 0.8
L
L’angle θB est faible, ce qui permet de simplifier la formule de Delta, relation (5-36).
Avec :
Remarque :
1− ν
=− −
R
(5-36)
2 0.9
B
Delta r(1-θ B)θB α 0.8
E p (2a)
v+3w+4vw
R= F
v(v+4w)
2 2
B E
vw
θ = F
2E I (v+4w)
2
B E
p p
___________________________________________________________________________
75

Chapitre V Modélisation numérique simplifié d’un assemblage à deux boulons
__________________________________________________________________________________________
Dans la formule (5-36) les expressions de RB et θB ne sont valables que pour un
assemblage où il y a une condition de blocage de rotation au point A d’application des
charges (cas du montage expérimental). Pour d’autres conditions aux limites il convient
d’adapter les formules. Dans le cas de l’extrémité libre en A, on trouve :
2v + 3w
R B= ( )FE
et
2v
5.3 RESOLUTION NUMERIQUE
2 2
1 v v
θ B= [ R B− ( + vw)F E]
(5-37)
EI p p 2 2
La résolution numérique du problème s’apparente à une méthode numérique itérative. Elle
consiste à chaque itération à déterminer l’état de la zone de contact et à résoudre un système
de dimension finie d’équations linéaires. Pour déterminer les déplacements nodaux de la
poutre et des boulons, les flèches, les rotations et les déplacements horizontaux sont calculés à
l’aide du schéma d’identification numérique de contact (Organigramme 5.1), dans lequel on
ajoute une condition de serrage sur la base inférieure de chaque boulon.
Pour les éléments de la structure, le schéma numérique simplifié s’écrit :
n −1
⎡ δ − δ
⎢Tant
que n
⎢
δ
⎢
⎢ Résoudre
⎢
n − 1 ← n
⎢
⎢
⎢⎣
n
≥seuil
n −1
n
( [ Rg ] + [ R ] ) { δ } = {} F
Organigramme 5.1 : Schéma d’identification numérique de contact
Où
rotations et les déplacements horizontaux aux nœuds du maillage à la n ème itération. La
matrice de rigidité globale [ Rg ] est déterminée par assemblage des matrices des raideurs
élémentaires des éléments poutres à deux nœuds, des poutres verticales et des boulons. La
___________________________________________________________________________
76
c
n
δ désigne la norme euclidienne du vecteur déplacement, définie par les flèches, les
n 1
matrice de rigidité de contact [ c ]
i n−1
matrices de raideur [ R ( ) ]
R − de la couche élastique est obtenue par assemblage des
c δ i de chaque élément ressort connaissant les déplacements à
l’itération (n-1) et en effectuant le test de pénétration. Les matrices de rigidité élémentaires
dépendent des sollicitations appliquées aux éléments et des degrés de liberté des nœuds ([52],
[53], et [68]).
5.4 STRUCTURE DU PROGRAMME DE CALCUL
Un programme de calcul, développé en langage C, permet la définition des nœuds et des
éléments finis et ensuite calcule les matrices de rigidité des différents éléments constitutifs.
L’assemblage de ces matrices donne la rigidité globale de la structure ajoutée à la rigidité des
éléments de contact. Les calculs des suppléments d’effort et de moment de flexion dans les
vis se font en deux étapes suivant la démarche décrite dans l’organigramme 5.2.
A l'installation des précontraintes, on détermine le déplacement sur la partie inférieure de
chaque vis, ainsi que les suppléments d'effort ( Δ FBi( Qi)
) et de moment ( Δ MFBi( Qi)
) dans les
deux boulons.

Chapitre V Modélisation numérique simplifié d’un assemblage à deux boulons
__________________________________________________________________________________________
A l'état de chargement extérieur, une fois que les déplacements dus au serrage sont
imposés (ces déplacements jouent le rôle des efforts de serrage), on détermine les
suppléments d'effort et de moment dans chaque boulon. On calcule les contraintes et on
vérifie le dimensionnement des éléments filetés de l’assemblage étudié.
Données générales d’un assemblage à 2 boulons
- Dimensions des pièces
assemblées : u, v, w, t, Lar, Lp,
Dt , Dapp , …
- Matériau pièces E p, νp
- Chargement : F Emax
Début
- Dimensions des éléments
filetés : d, d s, p, Da, l 0, l 1, l i
- Matériau et classe de qualité :
E b, ν
- Serrage : Q 1 , Q 2
- Calcul des raideurs des zones en compression, sous les têtes des vis par
la méthodes de Rasmussen : K p1 et K p2
- Calcul des diamètres équivalents des zones comprimées : D p1 et D p2
- Calcul des raideurs équivalentes des vis
Raideur équivalent des deux zones comprimées sous têtes
des vis : K péq = K p1 +K p2
Raideur totale des ressorts modélisant la couche élastique du contact
entre pièces : Kt
Hypothèse (vérifiée expérimentalement) : Kt/K péq=REP
REP=0.75 : coefficient de répartition de raideurs
Maillage de la structure en éléments 1D :
- Définition des nœuds
- Définition des éléments finis
Raideur Ki d’un ressort i , position Xi remplaçant une portion de
couche de surface Si de largeur 2a .S est la surface totale de
Si
Xi−1
−Xi
+ 1
contact : Ki = . Kt et Si=
. 2a
S
2
- Calcul de la matrice de rigidité globale de la structure libre : R g
- Ajout des rigidités des éléments ressorts : R c
Matrice de rigidité globale : R T
Conditions de blocage
Lecture des forces de serrages
Q 1 et Q 2
Identification numérique du contact
Calcul des suppléments de forces et de
moments et des déplacements des bases
inférieures des deux vis : disp01, disp02
Déplacements imposés aux pieds des vis
disp01, disp02
Lecture des forces de chargement
F E , M E
Identification numérique du contact
Réactualiser la matrice Rc
___________________________________________________________________________
77
non
Calcul de Delta
Tension
Calcul des suppléments de forces et de moments,
des contraintes normales et des contraintes
alternées dans les vis
oui FE < F non
Emax
Fin
oui
Pré-contraintes
Chargement
Fichier de résultats
Organigramme 5.2 : Algorithme de calcul des suppléments d'effort et de moment
5.5 CONCLUSION
Le modèle pour lequel nous venons de présenter les hypothèses, la formulation, la méthode
et les techniques de résolution, fait intervenir deux facteurs de calage notés REP et α. Ces
facteurs ont été utilisés pour trouver les raideurs des zones de contact entre pièces assemblées.
Il est donc évident qu’un seul cas d’étude ne suffit pas pour montrer le comportement général
du modèle développé et pour valider ses résultats.
La validation des résultats du modèle numérique simplifié ne peut donc être justifiée que
par une étude expérimentale ou par des simulations éléments finis tridimensionnels,

Chapitre V Modélisation numérique simplifié d’un assemblage à deux boulons
__________________________________________________________________________________________
effectuées sur plusieurs cas où l’on fait varier les différents paramètres de l’assemblage. Ces
deux moyens de validation ne permettent pas de définir quels cas il est judicieux d’étudier. Il
fallait donc chercher un outil qui permette de minimiser le nombre d’essais qui caractérisent
le mieux le phénomène étudié. Cet outil ne peut être que la méthode des plans d’expériences.
Le chapitre suivant présente les différents cas étudiés et les résultats de validation du modèle
établi.
___________________________________________________________________________
78

Chapitre VI :
VALIDATION DU MODELE NUMERIQUE SIMPLIFIE
6.1 VALIDATION DES RESULTATS DU MODELE
Le modèle programmé fait intervenir les coefficients de calage REP et α définis
précédemment. Les valeurs de ces paramètres seront déterminées en recherchant la
« meilleure » valeur telle que les résultats expérimentaux, les résultats issus d’un calcul
éléments finis tridimensionnels et ceux du modèle simplifié coïncident le mieux possible et
que le comportement soit bien reproduit. Nous présentons dans la suite les résultats de quatre
exemples d’assemblages à deux boulons en Tandem et nous les comparons à ceux issus du
modèle simplifié.
Sur les Figures de 6.1 à 6.8, nous présentons les résultats pour quatre assemblages
sollicités par un effort théorique FE en compression de 40000 N et dont les données
numériques sont récapitulées dans le Tableau 6.1. Pour une précontrainte de 200 MPa, nous
avons réalisé un calcul de comportement en fatigue. Pour chaque incrément d’effort, la
contrainte alternée est déterminée à partir de la relation (5-11). Les simulations numériques
permettent aisément d’aller au-delà des capacités réelles des vis. Ce choix est intentionnel
pour mieux faire apparaître l’évolution du comportement sous de très fortes charges. Pour
l’expérimental, nous avons été au maximum des capacités des vis employées soit une
contrainte alternée effective de 70 MPa.
Données Assemblage 1 Assemblage 2 Assemblage 3 Assemblage 4
(E18) (E12)
(E03)
(E13)
hp (mm) 13 20 20 20
2a (mm) 30 40 40 30
L (mm) 290 250 250 270
u (mm) 45 25 25 35
v (mm) 25 25 25 10
Matériau pièce
Précharge vis 1 mesurée
Acier C35 Acier C35 Aluminium 2017A Acier C35
Cas tension : σ01 (MPa)
Précharge vis 2 mesurée
206.379 207.878 203.786
204.655
Cas tension : σ02 (MPa)
Précharge vis 1 mesurée
210.116 207.204 204.627
201.942
Cas compression : σ01 MPa)
Précharge vis 2 mesurée
201,912 202,156 202,477
205,343
Cas compression : σ02 MPa) 207,963 200,751 203,067
203.210
REP (Tension) 0.75 0.75 0.75 0.75
REP (Compression) 0.75 0.75 0.75 0.75
Coefficient de correction α 2.05 2 2 2.1
Rapprochement Delta (mm) -0.020 -0.015 -0.042 -0.042
Angle maxi θB (en degrés°) 0.306 0.063 0.179 0.046
Tableau 6.1 : Paramètres d’assemblage.
Exemple 1 : Sur la Figure 6.1 et la Figure 6.2, nous présentons les résultats en tension et en
compression de l’assemblage 1. Dans les deux cas de sollicitations, les courbes, entre
l’expérimental et les modèles numériques coïncident bien. On constate que la convergence est
___________________________________________________________________________
79

Chapitre VI Validation du modèle numérique simplifié
__________________________________________________________________________________________
plus significative pour le cas en traction (FE > 0). En tension la vis 2 n’est quasiment pas
sollicitée en contrainte alternée, les contraintes sont négatives et cette vis joue seulement un
rôle dans la stabilité de l’assemblage. Dans l’étude en compression (FE < 0), la vis 2 n’est
sollicitée qu’à partir de charges importantes (plus que 25000 N).
Les vis H M10-60 de qualité 8.8 ont une limite admissible en fatigue de (σS = 50 MPa),
[25]. En tension cette valeur est atteinte pour la vis 1 à un effort extérieur de 4500 N. En
compression la contrainte alternée admissible est obtenue aussi avec la vis 1, mais à une
charge plus importante 15000 N. Donc le dimensionnement en Fatigue doit être fait par
rapport à la vis 1 et en tension (FE > 0).
200
15 0
10 0
50
0
-50
250
200
σa (MPa)
0 2000 4000 6000 8000 10000 12000
Vis 2-Experimental Vis 1-Experimental Vis 2-M odèle Simplifié
Vis 1-M odèle Simplifié Vis 2-EF 3D Vis 1-EF 3D
Figure 6.1 : Comparaison des résultats, pour FE > 0, Assemblage 1.
15 0
10 0
50
0
-50
σa (MPa)
___________________________________________________________________________
80
F E (N)
F E (N)
0 5000 10000 15000 20000 25000 30000 35000 40000 45000
Vis 2-Experimental Vis 1-Experimental Vis 2-M odèle simplifié
Vis 1-M odèle simplifié Vis 2-EF 3D Vis 1-EF 3D
Figure 6.2 : Comparaison des résultats, pour FE < 0, Assemblage 1.
Exemple 2 : La Figure 6.3 et la Figure 6.4 représentent les résultats en tension et en
compression pour un deuxième assemblage en Acier de caractéristiques mécaniques
(E = 210000 MPa et ν = 0.3). Comme pour le premier assemblage, les courbes entre l’étude
expérimentale et les modèles numériques sont assez proches. La convergence est moins
significative pour des charges importantes. Dans ce cas la vis 2 est sollicitée même en tension
(à partir de 10000 N). En compression, elle participe au maintien des pièces également
comme la vis 1.

Chapitre VI Validation du modèle numérique simplifié
__________________________________________________________________________________________
Les contraintes alternées considérables supportées par la deuxième vis s’expliquent par le
fait que les pièces assemblées sont de section importante (hp = 20 mm) et donc qu’elles ont
une grande rigidité à la flexion.
16 0
14 0
12 0
10 0
80
60
40
20
0
-20
45
35
25
15
-5
σ a (MPa)
0 2000 4000 6000 8000 10000 12000 14000 16000
Vis 2-Experimental Vis 1-Experimental Vis 2-M odèle Simplifié
Vis 1-M odèle Simplifié Vis 1-EF 3D Vis 2-EF 3D
Figure 6.3 : Comparaison des résultats, pour FE > 0, Assemblage 2.
5
σa (MPa)
___________________________________________________________________________
81
F E (N)
F E (N)
0 5000 10000 15000 20000 25000 30000 35000 40000 45000
Vis 2-Experimental Vis 1-Experimental Vis 2-M odèle simplifié
Vis 1-M odèle simplifié Vis 1-EF 3D Vis 2-EF 3D
Figure 6.4 : Comparaison des résultats, pour FE < 0, Assemblage2.
Exemple 3 : La Figure 6.5 et la Figure 6.6 présentent les résultats pour un assemblage de
mêmes dimensions que l’assemblage 2. Dans ce cas les pièces sont réalisées en Aluminium
2017A de caractéristiques mécaniques (E = 74000 MPa et ν = 0.33). Les résultats de
l’assemblage 3 montrent que les courbes, entre l’expérimental, le calcul tridimensionnel et le
modèle simplifié, ont le même comportement et coïncident convenablement. Les courbes
expérimentales sont limitées car pour des charges plus importantes il y aura déformation
plastique des pièces fabriquées en alliage d’aluminium.

Chapitre VI Validation du modèle numérique simplifié
__________________________________________________________________________________________
230
18 0
13 0
80
30
-20
σa (MPa)
0 2000 4000 6000 8000 10000 12000 14000 16000
Vis 2-Experimental Vis 1-Experimental Vis 2-M odèle Simplifié
vis 1-M odèle Simplifié Vis 1-EF 3D Vis 2-EF 3D
Figure 6.5 : Comparaison des résultats, pour FE > 0, Assemblage 3.
75
60
45
30
15
0
σa (MPa)
___________________________________________________________________________
82
F E (N)
F E (N)
0 5000 10000 15000 20000 25000 30000 35000 40000 45000
Vis 2-Experimental Vis 1-Experimental Vis 2-M odèle simplifié
Vis 1-M odèle simplifié Vis 1-EF 3D Vis 2-EF 3D
Figure 6.6 : Comparaison des résultats, pour FE < 0. Courbes expérimentales limitées à
20000 N pour éviter la déformation plastique des pièces, Assemblage 3
Exemple 4 : La Figure 6.7 et la Figure 6.8 représentent les résultats en tension et en
compression pour un quatrième assemblage, les pièces sont en Acier. Les résultats coïncident
et le comportement du modèle développé est validé. En tension la vis 2 est faiblement
sollicitée en fatigue, elle stabilise l’assemblage.
En compression, les deux vis sont sollicitées par des contraintes alternées importantes. On
remarque que maintenant c’est la vis 2 qui est plus sollicitée que la vis 1. Ce comportement
s’explique par l’importance de la rigidité en flexion de la pièce assemblée par rapport à celle
des vis (Section importante hp=20 mm et 2a=30 mm) et la faible distance de la vis 1 par
rapport au coin du support (v=10 mm). Cette dimension joue un rôle essentiel.

Chapitre VI Validation du modèle numérique simplifié
__________________________________________________________________________________________
250
200
15 0
10 0
50
0
-50
Conclusions :
σ a (MPa)
0 5000 10000 15000 20000 25000
Vis 2-Experimental Vis 1-Experimental Vis 2-M odèle Simplifié
Vis 1-M odèle Simplifié Vis 1-EF 3D Vis 2-EF 3D
___________________________________________________________________________
83
F E (N)
Figure 6.7 : Comparaison des résultats, pour FE > 0, Assemblage 4.
12 0
10 0
80
60
40
20
0
-20
σa (MPa)
F E (N)
0 5000 10000 15000 20000 25000 30000 35000 40000 45000
Vis 2-Experimental Vis 1-Experimental Vis 2-M odèle simplifié
Vis 1-Modèle simplifié Vis 1-EF 3D Vis 2-EF 3D
Figure 6.8 : Comparaison des résultats, pour FE < 0. Assemblage 4
Le coefficient de répartition de raideurs REP a la même valeur pour les quatre
assemblages : REP = 0.75, en tension et en compression. Cette valeur est retrouvée pour tous
les essais du plan d’expériences. Ce constat montre que le modèle représente bien le
comportement physique réel.
Le coefficient de calage α, défini dans la formulation de la déformation élastique au
contact entre pièces et le coin du support, vaut α = 2. Avec cette valeur on trouve de bons
résultats pour tous les cas. Pour optimiser le comportement du modèle simplifié et se
rapprocher au maximum des résultats, il a été nécessaire d’aborder une étude de sensibilité du
coefficient α aux différents paramètres géométriques de l’assemblage.
Dans tous les cas, le rapprochement Delta est faible (< 0.1mm). Delta est plus important
pour les assemblages dont la vis 1 est plus proche du coin (0.042 mm pour l’exemple 4). Avec
des pièces en alliage d’aluminium, Delta est plus significatif (0.039 mm pour l’exemple 3).
Le comportement en fatigue des deux vis d’assemblage dépend fortement de la rigidité de
flexion de la pièce assemblée, des matériaux et des positions des vis. Ces interprétations
seront plus détaillées dans la section suivante de ce chapitre, en appliquant les techniques des
plans d’expériences.

Chapitre VI Validation du modèle numérique simplifié
__________________________________________________________________________________________
6.2 ETUDE DES EFFETS PAR PLAN D’EXPERIENCES
6.2.1 Etapes du plan d’expériences réalisé
La méthode des plans d’expériences est appliquée dans cette étape afin d’étudier
l’influence des différents paramètres de l’assemblage sur le comportement des vis en fatigue.
Les différentes étapes suivies sont :
Définition des objectifs :
Les objectifs d’application du plan d’expériences doivent permettre de :
- Connaître l’influence des différents paramètres de l’assemblage a deux boulons sur le
comportement de chaque vis (effet sur la contrainte alternée).
- Déterminer une formulation du coefficient de calage α introduit dans la formule du
rapprochement vertical Delta dû aux déformations du contact entre la pièce assemblée
et le coin de son support sous une charge de compression.
Synthèse du « savoir faire » :
Dans cette étape du plan d’expériences, on définit les facteurs et leurs niveaux,
(Tableau 4.1). On a défini un plan d’expériences à 5 facteurs (Ep, u, v, b, hP) et 3 niveaux.
Domaine d’étude :
Le Tableau 4.1 sert de plan d’étude pour appliquer le plan d’expériences.
Eléments de sortie :
1- Contraintes alternées dans la vis 1 : (σa1)
2- Contraintes alternées dans la vis 2 : (σa2)
3- Coefficient de calage du rapprochement Delta au coin : (α)
Construction du plan :
Comme nous l’avons dit et justifié au chapitre IV (Etude expérimentale), le plan choisi est
un plan mixte qui comprend seulement 18 combinaisons (Figure AIII-3 de l’Annexe III). La
troisième sortie est traitée indépendamment des deux premières (α est indépendant de EP). On
a aussi créé et on a construit un plan factoriel mixte de 18 sites à l’aide du logiciel BPEW [8].
Conduite des essais :
Les résultats proviennent du modèle numérique simplifié. Ils ont été validés par un calcul
éléments finis tridimensionnels (sur le logiciel I-DEAS version 11) et une étude
expérimentale. Les courbes des contraintes alternées pour chaque cas sont corrélées par les
trois études. La limite admissible pour les contraintes alternées des vis est atteinte en premier
lieu pour des sollicitations de tension, il suffit donc de considérer les résultats en tension pour
l’étude des effets. Les résultats de tous les cas sont résumés dans le Tableau 6.2.
Dépouillement et interprétation des résultats :
Cette étape est réalisée à l’aide des logiciels de plan d’expériences et fait l’objet du
prochain paragraphe.
___________________________________________________________________________
84

Chapitre VI Validation du modèle numérique simplifié
__________________________________________________________________________________________
N° d’essai
Ep
(MPa)
u
(mm)
v
(mm)
b
(mm)
hp
(mm)
σa1
(MPa)
σa2
(MPa)
1 74000 25 10 20 13 142.63 -3,67
2 74000 25 20 30 16 71.78 -8,22
3 74000 25 25 40 20 31.87 -6,81
4 74000 35 10 30 20 46.53 -3,68
5 74000 35 20 40 13 78.88 -1,98
6 74000 35 25 20 16 92.67 -1,12
7 74000 45 10 40 16 53.73 -0,63
8 74000 45 20 20 20 57.27 -0,60
9 74000 45 25 30 13 94.63 0,76
10 210000 25 10 20 13 94.69 -3,67
11 210000 25 20 30 16 35.89 -4,50
12 210000 25 25 40 20 14.49 -2,69
13 210000 35 10 30 20 22.01 -2,19
14 210000 35 20 40 13 40.34 -1,50
15 210000 35 25 20 16 48.53 -1,55
16 210000 45 10 40 16 27.21 -0,61
17 210000 45 20 20 20 29.44 -0,75
18 210000 45 25 30 13 50.64 0,10
Tableau 6.2 : Valeurs des contraintes alternées appliquées aux vis pour les 18 cas du plan
d’expériences mixte avec Q1 = Q2 = 200 MPa. Etude en tension avec FE = 4500 N.
6.2.2 Dépouillement et interprétation des résultats
Cette étape est réalisée à l’aide de deux logiciels différents : BPEW [8] et JMP [30].
6.2.2.1 Utilisation du logiciel BPEW
Saisie des résultats du plan sur le logiciel BPEW :
Les résultats sont introduits dans BPEW pour les sorties σa1 et σa2 (Figure AIII-4 de
l’Annexe III).
Calcul de l’analyse de variance :
Pour chaque facteur, nous effectuerons une analyse de variance avec un risque inférieur à
5 % dans le cas le plus défavorable. Cette procédure permet de mettre en évidence les facteurs
les plus déterminants. On note A = Ep ; B = u ; C = v ; D = b et E = hP. Les paramètres EP, hP
et v sont les facteurs les plus influents (% les plus importants), pour la contrainte alternée σa1
de la vis 1 (Figure AIII-5 de l’Annexe III).
Ep, v, b et hp ont tous la même grandeur d’effet (moins de 5 %) sur σa2 de la vis 2.
l’entraxe u est le facteur le plus influent (65.36 % d’effet) pour la contrainte alternée de la vis
2 (Figure AIII-6 de l’Annexe III).
Vérification du test de normalité :
Le test de normalité des résidus permet de dire que les estimateurs des coefficients sont
normalement distribués. Ce test est vérifié pour les deux sorties du plan (Figure AIII-7 et
Figure AIII-8 de l’Annexe III).
Représentation graphique des effets :
Cette étape permet de comparer les effets entre différents facteurs et de visualiser les effets
dans l’étude d’interaction. A l’aide de ces graphes, on peut voir les effets des différents
facteurs sur l’évolution des contraintes dans les vis. On peut aussi voir les effets des
___________________________________________________________________________
85

Chapitre VI Validation du modèle numérique simplifié
__________________________________________________________________________________________
interactions des facteurs. Mais on a quelques difficultés pour généraliser nos conclusions.
Pour cela on a utilisé dans la suite de cette analyse un autre logiciel plus sophistiqué pour le
dépouillement des résultats.
6.2.2.2 Utilisation du logiciel JMP
Le logiciel JMP est plus pratique et exploitable pour l’interprétation des résultats d’un plan
d’expériences. Il est utilisé après la définition du plan d’expériences par BPEW. Toutes les
données sont introduites dans un seul tableau (Figure AIII-9 de l’Annexe III). Le
dépouillement consiste à évaluer et analyser les effets afin de produire les graphes des effets.
A l’aide du logiciel JMP nous avons déterminé l’effet de chaque paramètre sur les contraintes
alternées sollicitant les vis de fixation lorsque l’assemblage est sollicité en tension (en tension
les contraintes sont plus importantes qu’en compression).
6.2.3 Effets des paramètres de l’assemblage sur la fatigue des vis
6.2.3.1 Effet du module d’élasticité des pièces assemblées
On déduit que les contraintes alternées, en valeur absolu, appliquée aux vis 1 et 2,
diminuent si le module d’élasticité des pièces assemblées augmente (Figure 6.9 et 6.10).
6.2.3.2 Effets des paramètres définissant la géométrie des pièces
- Effet des paramètres géométriques sur les contraintes alternées appliquées à la vis 1
L’influence des différents paramètres de l’assemblage sur la contrainte alternée dans la vis
1, est représentée par les courbes de la Figure 6.9 correspondant aux cinq paramètres d’étude.
Sig_a1 [MPa]
90
80
70
60
50
40
30
20
10
0
Ep1
Ep2
Graphique des effets moyens
sur la contrainte alternée Sig_a1
hp1
hp2
hp3
b1
b2
b3
v1
v2
v3
u1
u2
u3
Sig_a1
Moyenne
Figure 6.9 : Effet de chaque paramètre d’assemblage sur la contrainte alternée dans la vis 1
Pour des précontraintes de serrage et un chargement extérieur fixe, la contrainte alternée
σa1 de la vis1 diminue avec l’augmentation des paramètres b et hp. Elle est moins influencée
par les facteurs de géométrie u et v. La contrainte σa1 dépend fortement des paramètres b et
hp. Autrement dit, σa1 est très influencée par la grandeur de la section de la pièce fléchie
(importance du moment quadratique de cette section).
- Effet des paramètres géométriques sur les contraintes alternées appliquées à la vis 2
Les courbes de la Figure 6.10 représentent l’influence des différents paramètres de
l’assemblage sur la contrainte alternée dans la vis 2. Ces courbes correspondent aux cinq
paramètres d’étude.
___________________________________________________________________________
86

Chapitre VI Validation du modèle numérique simplifié
__________________________________________________________________________________________
Sig_a2 [MPa]
6
5
4
3
2
1
0
Ep1
Ep2
Graphique des effets moyens
sur la contrainte alternée Sig_a2
hp1
hp2
hp3
b1
b2
b3
___________________________________________________________________________
87
v1
v2
v3
u1
u2
u3
Sig_a2
Moyenne
Figure 6.10 : Effet de chaque paramètre d’assemblage sur la contrainte alternée dans la vis 2.
Pour des précontraintes de serrage et un chargement extérieur fixe, la contrainte alternée
σa2 de la vis 2 varie légèrement avec les paramètres v, b et hp. Elle est influencée
essentiellement par l’entraxe u.
6.2.3.3. Effets du serrage des vis
Nous appliquons sur un même assemblage deux serrages différents et nous mesurons les
contraintes appliquées aux vis en fonction de l’évolution du chargement de tension ou de
compression. Nous prenons l’assemblage 2, sous deux précontraintes σ01 = σ02 = 200 MPa
puis 300 MPa. Les résultats sont présentés sur la Figure 6.11. Nous constatons que si le
serrage est plus important, les vis sont moins sollicitées aux contraintes alternées en tension et
en compression de l’assemblage.
Effet du serrage sur les contraintes alternées des vis
Precontraintes σ01 =σ02 =Sig0
-40000 -30000 -20000 -10000 0 10000 20000
-20
160
140
120
100
80
60
40
20
0
σ a (MPa)
vis2_Sig0=200M Pa vis1_Sig0=200MPa
vis1_Sig0=300M Pa vis2_Sig0=300MPa
Sig0
F E (N)
Figure 6.11 : Comparaison des résultats, pour deux serrages différents, Assemblage 2
6.2.3.4 Effets du rapprochement Delta au coin
Pour deux configurations d’hypothèse, nous calculons les contraintes alternées dans les
deux vis d’un même assemblage. Dans un premier calcul, nous considérons toutes les
hypothèses du modèle simplifié et nous prenons en compte la déformation Delta au coin.
Dans un deuxième calcul, nous négligeons la déformation au coin : Delta = 0. La Figure 6.12

Chapitre VI Validation du modèle numérique simplifié
__________________________________________________________________________________________
montre la comparaison des résultats. Nous remarquons la grande sensibilité des valeurs des
contraintes alternées à la déformation du coin du support. Cette remarque justifie le fait que
nous nous sommes intéressés à ce problème particulier, qui à première vue pouvait paraître
négligeable. Nous remarquons ici que la fatigue des vis diminue si la déformation des pièces
en contact au coin est plus grande.
95
75
55
35
15
-5
σa (MPa)
0 5000 10000 15000 20000 25000 30000 35000 40000 45000
Vis 2-M NS-Delta#0 Vis 1-M NS-Delta#0
Vis 1-M NS-Delta=0 Vis 2-M NS-Delta=0
___________________________________________________________________________
88
F E (N)
Figure 6.12 : Variation des contraintes alternées dans les vis, entre un coin déformable
(Delta = 0.039mm) et un coin rigide (Delta = 0), Assemblage du cas 3 du plan mixte,
Q1 = Q2 = 200 MPa.
6.2.4 Formulation du coefficient α à l’aide du logiciel BPEW
Dans le cadre d’une étude de sensibilité aux différents paramètres de l’assemblage, on
cherche une formulation du coefficient de calage α introduit dans la formule du
rapprochement vertical Delta dû aux déformations de contact entre la pièce assemblée et le
coin de son support sous une charge de compression. Pour une valeur moyenne α = 2.03, on a
trouvé des résultats satisfaisants donnés par le modèle simplifié en compression. On a refait
les calculs avec le modèle programmé, en cherchant α tel que les courbes coïncident le mieux
possible. Les valeurs obtenues sont regroupées dans le Tableau 6.3 suivant.
On vérifie toute la démarche puis on introduit les données sur le logiciel BPEW. Ce
dernier permet de formuler α à partir du calcul des prédicteurs. Comme α est indépendant du
module d’élasticité du matériau des pièces, on définit dans ce cas un plan factoriel
fractionnaire de 4 facteurs à 3 modalités. On fait l’analyse de variance et on vérifie le test de
normalité des résidus, Figure 6.13.

Chapitre VI Validation du modèle numérique simplifié
__________________________________________________________________________________________
N° d’essai
Ep
(MPa)
u
(mm)
v
(mm)
b
(mm)
hp
(mm)
1 74000 25 10 20 13 2.2
2 74000 25 20 30 16 2.05
3 74000 25 25 40 20 2
4 74000 35 10 30 20 2.1
5 74000 35 20 40 13 1.92
6 74000 35 25 20 16 1.95
7 74000 45 10 40 16 1.8
8 74000 45 20 20 20 2.2
9 74000 45 25 30 13 2.05
10 210000 25 10 20 13 2.2
11 210000 25 20 30 16 2.05
12 210000 25 25 40 20 2
13 210000 35 10 30 20 2.1
14 210000 35 20 40 13 1.92
15 210000 35 25 20 16 1.95
16 210000 45 10 40 16 1.8
17 210000 45 20 20 20 2.2
18 210000 45 25 30 13 2.05
Tableau 6.3 : Valeurs du coefficient de calage α pour les 18 cas du plan
d’expériences mixte avec Q1 = Q2 = 200 MPa.
On en déduit un Prédicteur continu de α :
Figure 6.13 : Test de normalité des résidus.
α = 4.9075 + 0.0225 b – 0.00055 b 2 – 0.38405 hp + 0.011825 hp 2 (6-1)
Cette expression n’est valable que dans le domaine d’étude du plan d’expériences. Il faut
alors la tester pour d’autres cas d’étude pour vérifier la linéarité du plan.
6.2.5 Application à des cas tests
Pour vérifier la linéarité des réponses dans le domaine d’étude, on construit un modèle EF
tridimensionnel conforme à ceux du plan d’expériences avec les données suivantes :
- Vis: même caractéristiques (d = 10 mm)
___________________________________________________________________________
89
α

Chapitre VI Validation du modèle numérique simplifié
__________________________________________________________________________________________
- Précontrainte Q = 200MPa
- Force (machine) maximale : 80 kN
- Matériaux : Acier et Alliage d’aluminium
Les résultats des simulations éléments finis sur le logiciel I-DEAS version 11, sont
comparés à ceux issus d’un calcul à l’aide du modèle simplifié programmé. Les calculs sont
faits avec REP = 0.75. On donne à α son expression trouvée avec le prédicteur continu (6-1),
à l’aide de la méthode des plans d’expériences.
Les données pour chaque cas test de validation sont résumées dans le Tableau 6.4.
Cas u v b=2a hp Matériaux α
1 30 18 35 18 Alu 1.939
2 40 15 25 14 Alu 2.067
3 26 12 32 19 Alu 2.036
4 20 9 18 10 Alu 2.476
5 60 30 50 25 Alu 2.446
6 30 18 35 18 Acier 1.939
7 40 15 25 14 Acier 2.067
8 26 12 32 19 Acier 2.036
9 20 9 18 10 Acier 2.476
10 60 30 50 25 Acier 2.446
Tableau 6.4 : Valeurs des paramètres de l’assemblage pour les cas tests.
Pour les cas (1, 2, 3, 6, 7 et 8), les valeurs de α sont voisines de 2.03 et les résultats sont
validés. Par contre, pour les cas (4, 5, 9 et 10), les valeurs de α sont loin de 2.03. Dans tous
les cas la sensibilité de α est inférieure à 25 % et les résultats sont meilleurs à l’intérieur du
domaine d’étude expérimentale.
On peut se satisfaire de travailler avec la valeur moyenne de α (α = 2.03), avec laquelle le
modèle en compression donne de bons résultats aussi bien à l’intérieur qu’à l’extérieur du
domaine d’étude et ce quelles que soient les valeurs des paramètres de l’assemblage. Mais,
pour un calcul plus précis, on retiendra pour α l’expression polynomiale déduite de l’analyse
du plan d’expériences et fonction des grandeurs de la section b et hP de la poutre fléchie.
6.3 CONCLUSION
Les résultats du modèle numérique établi sont confrontés et validés par les résultats
expérimentaux et par ceux issus des simulations éléments finis tridimensionnels. Le modèle
validé est développé pour un assemblage de base de deux pièces prismatiques fixées par deux
vis ou deux boulons identiques. Dans la suite, cet outil est appliqué et étendu à d’autres
configurations d’assemblages que l’on peut ramener au modèle de base.
___________________________________________________________________________
90

Chapitre VII :
APPLICATION DU MODELE NUMERIQUE SIMPLIFIE
ET CONCEPTION D’UNE INTERFACE GRAPHIQUE SUR VBA6
7.1 ETUDE D’UNE STRUCTURE PROFILEE EN « U »
7.1.1 Application du modèle numérique simplifié
Dans l’objectif d’appliquer la modélisation développée à des structures plus complexes, on
cherche dans ce travail à ramener un assemblage réel à un modèle poutre dont les
comportements en statique et en fatigue seraient similaires. Pour cette étude, la pièce est
constituée d’une section ouverte en forme de « U ». La fixation est réalisée par quatre vis de
mêmes caractéristiques géométriques et mécaniques. Pour cette approche, nous étudierons en
particulier les deux cas de structure présentés sur les Figures 7.1 (cas 1 et cas 2).
Cette étape consiste essentiellement à rechercher un moment quadratique équivalent de la
section du profilé et à trouver la force équivalente appliquée sur le tandem le plus chargé.
Ceci permet de ramener l’étude réelle à celle d’une poutre fléchie fixée par deux vis. La
démarche proposée basée sur la résistance des matériaux est approchée, mais elle est souvent
tout à fait suffisante en pré-dimensionnement. Elle permet l’utilisation du modèle à deux
boulons, évitant ainsi d’avoir recours aux simulations en éléments finis 3D.
Cas 1
v2
v3
v1
± FE
___________________________________________________________________________
91
v2
Cas 2
Figure 7.1 : Structures profilées en U, dissymétriques, assemblées par quatre boulons
7.1.1.1 Structure symétrique et position de la force variable (cas 1)
Dans cette approche, la position de l’effort FE sera variable. Les dimensions géométriques du
profilé sont variables, mais on conserve la symétrie géométrique du U par rapport au plan
médian des quatre vis (Figure 7.2).
e e
v1
v3
l
± FE
b
h

Chapitre VII Application du modèle et conception d’interface graphique
__________________________________________________________________________________________
Z
v3
v2
FE1
Y
O
*G
b
___________________________________________________________________________
92
e
v1
FE2
Figure 7.2 : Charges équivalentes sur les deux rangées de boulons
FE hors du plan de symétrie.
Coordonnées du barycentre de la section du profilé :
On détermine la position du centre de gravité G du profilé en U à partir de l’expression du
barycentre. De par la symétrie du profil dans le plan yOz, ZG est nul et seul YG doit être
calculé à partir de la relation (7-1). L’expression de la section du profilé S est obtenue par
différence entre la partie rectangulaire pleine S1 et la partie vide S2.
Calcul de YG :
S: section du profilé ; S1 : section pleine ; S2 : section vide
S1 = b.h ; S2 = (b-2v2)(h-v3) ; S = S1 - S2
Y1 = 0 ; Y2 = v3/2
Formule du barycentre : SYG = S1Y1 - S2Y2
S = bv3+2v2(h-v3) et
v3(
b − 2v3)(
h − v3)
YG
= −
2bv
+ 4v
( h − v )
(7-1)
3
2
Moment quadratique IGz de la section du profilé en G :
Des informations précédentes, on détermine le moment quadratique IGz de la section
rapportée au centre de gravité de la section.
I
Oz
3 ⎡
3
bh ( b − 2v2
)( h − v3)
= − ⎢
+ S2Y
12 ⎢⎣
12
2
2
⎤
⎥
⎥⎦
3 ⎡ 3
2
bh ( b − 2v
− − − ⎤
2)(
h v3)
( b 2v2
)( h v3)
v3
IOz
= − ⎢
+
⎥ et IGz = IOz+SYG
12 ⎢⎣
12
4 ⎥⎦
2 (7-2)
Effort équivalent appliqué sur le Tandem le plus chargé :
A partir du chargement réel, on détermine l’effort FEi associé à chaque ligne de fixation.
On admet que le comportement de la structure sous la sollicitation de FE reste dans le domaine
élastique. A partir des relations d’équilibre relatif à la position de l’effort résultant, on calcule
les expressions des charges discrétisées FEi satisfaisant une distribution proportionnelle de FE.
3
FE
h

Chapitre VII Application du modèle et conception d’interface graphique
__________________________________________________________________________________________
Equations d’équilibre :
d’où
FE = FE2-FE1
v1FE1 = (v1-e)FE2
e-v
1
F E1= F E.
2e
et
v+e
1
F E2 = F E.
2e
(7-3)
On remarque que le Tandem le plus chargé est naturellement celui du côté où la charge est
concentrée. Il supporte une charge équivalente : FE éq = FE2 d’où :
v1
+ e
FEéq
= FE
(7-4)
2e
On se place dans un cas conservatif où l’on considère que chaque rangée de vis supporte
un effort FEéq. Dans cette hypothèse, la structure réelle est sollicitée par 2 FEéq et la flexion
transversale, autour de l’axe X, est considérée comme suffisamment faible pour être négligée.
On ramène le calcul de la pièce réelle à l’étude d’une poutre à deux boulons, chargée par FE2,
dont le moment quadratique équivalent, par rapport à l’axe Z, est égal à la moitié du profilé
réel (IGZ_réel = 2 . IGZ_modèle).
7.1.1.2 Structure non symétrique et position de la force centrée (cas 2)
La démarche de travail est identique au cas précédent. Lorsque la forme de la pièce est
dissymétrique (Figure 7.3), le moment quadratique détermine le comportement en flexion de
l’assemblage et donc le chargement de chaque ligne de fixations.
v3
v2
Y
Z
FE
*G
O
b
Figure 7.3 : Section non symétrique et FE sur le plan de symétrie des fixations.
Coordonnées du barycentre G de la section du profilé :
S: section du profilé ; S1 : section pleine ; S2 : section vide
Y1 = 0 ; Z1 = 0 Y2 = v3/2 Z2 = (v1-v1)/2
S1 = b.h ; S2 = (b-v1-v2)(h-v3) ; S = bv3+(v1+v2)(h-v3)
Formule du barycentre : SYG = S1Y1-S2Y2 et SZG = S1Z1-S2Z2
Y
G
v3(
b − v1
− v2
)( h − v3)
= et
2
[ bv + ( v + v )( h − v ) ]
3
1
2
3
Z
G
___________________________________________________________________________
93
v1
( v2
− v1)(
b − v1
− v2
)( h − v3)
= (7-5)
2
[ bv + ( v + v )( h − v ) ]
3
1
2
3
h

Chapitre VII Application du modèle et conception d’interface graphique
__________________________________________________________________________________________
Moment quadratique IGz de la section du profilé en G :
3
⎡ 3
bh ( b − v − − − ⎤
1 v2
)( h v3)
( h v3)
2
I Oz = −
⎢ + v3
⎥ et IGz = IOz+SYG
12
4 ⎢⎣
3 ⎥⎦
2 (7-6)
Effort équivalent appliqué sur le Tandem le plus chargé :
Pour le cas particulier où la charge est concentrée au milieu des deux Tandems, chaque
ligne est sollicitée par une charge équivalente qui vaut :
FE
Feq
= (7-7)
2
La démarche est similaire au cas précédent. On applique ce chargement à une poutre dont
le moment quadratique est IGZ_modèle = IGZ_réel / 2.
7.1.1.3 Cas particulier d’une plaque avec la position de la force variable (cas 3)
On considère l’assemblage d’une pièce prismatique plaque, par quatre vis identiques. La
plaque est sollicitée par une force hors du plan de symétrie de l’assemblage, (Figure 7.4).
Y
Z O
e
b
Figure 7.4 :Section rectangulaire et FE hors plan de symétrie.
Ce problème est un cas particulier du cas 1. il suffit de considérer que le paramètre b = v3.
Dans ces conditions, le barycentre G est confondu avec O. Le moment quadratique IGz de la
section du profilé en G se limite à l’expression (7-8) et la relation (7-9) représente la charge
équivalente.
3
bh
IGz
=
12
(7-8)
v+e 1
F Eéq= FE
2e
(7-9)
7.1.1.4 Comment appliquer le modèle numérique simplifié
On cherche à appliquer le modèle de base (modèle numérique simplifié), au calcul des
fixations de profilés en U par quatre boulons. Ce travail est restreint au trois cas d’études
détaillés dans la section précédente. Pour utiliser le modèle numérique simplifié, nous devons
adopter une stratégie de passage à partir des hypothèses suivantes :
___________________________________________________________________________
94
v1
FE
h

Chapitre VII Application du modèle et conception d’interface graphique
__________________________________________________________________________________________
- La force extérieure peut être localisée à différents niveaux du profilé en U : au point
O, au barycentre G ou répartie sur toute la section. Comme on traite de cas de
sollicitation fortement excentrée, le comportement de l’assemblage aux droits des vis
sera quasi indépendant de la localisation du niveau d’application du chargement à
l’extrémité du profilé.
- Les déplacements des têtes des vis sont associés à la déformée de l’âme du profilé
(partie centrale), qui est de hauteur v3. Pour appliquer le modèle de référence on doit
donner aux éléments finis poutres (représentant la pièce supérieure) un moment
quadratique calculé à un axe passant à la moitié de la hauteur d’appui fixée par les vis
(soit v3/2).
- On dimensionne les vis par rapport au tandem le plus chargé à partir du calcul de la
force équivalente (FEéq). On néglige le gauchissement de la poutre qui peut être obtenu
lors de l’application des forces extérieures décalées latéralement ou si la section n’est
pas symétrique. On admet également que les tandems ont les mêmes déplacements.
- Pour tenir compte de la présence de deux boulons identiques transversalement, on
associe, à chaque élément poutre (boulon) du modèle de référence, une section
équivalente à 2Sb et un moment quadratique équivalent égal à 2Ib tout en conservant la
hauteur d’appui réelle v3. Le modèle numérique sera calculé avec un effort
d’application équivalent à Fapp = 2.FEéq.
Les résultats obtenus correspondent aux vis du Tandem le plus chargé. Ce qui suffit pour le
dimensionnement des éléments de fixation de la structure profilée en U.
7.1.2 Simulation éléments finis 3D des assemblages profilés à quatre vis
La stratégie d’application du modèle numérique simplifié aux assemblages de profilés en
« U » ne pose pas de problème pour des cas simples de structures, quand on a une symétrie de
géométrie de section et de chargement. Si le problème est dissymétrique, on a un
gauchissement de la section de la pièce assemblée, ce qui génère une flexion transversale qui
n’est pas la même sur les deux rangées de vis. Si cette flexion est négligeable devant la
flexion des vis dans le plan de leur Tandem, on peut admettre d’appliquer la stratégie
présentée. Si non, il faut chercher un autre modèle plus réaliste. Pour montrer les limites de
notre stratégie on a construit un modèle élément finis tridimensionnel permettant de simuler le
comportement d’un assemblage en U à quatre vis. Dans ce cadre d’étude, on s’intéresse, à la
modélisation d’un assemblage d’un profilé afin d’évaluer le comportement sous l’action d’un
chargement vertical dans le but d’analyser l’incidence sur le comportement des tenues des
fixations. Le chargement est placé dans le plan de symétrie longitudinal de la structure, mais
aussi décalé par rapport à ce plan. Ce travail permettra de vérifier les différentes hypothèses
émises pour l’application du modèle générique à un cas d’étude réel.
Modèle Eléments Finis 3D :
On cherche l’effet de la géométrie de la section et la position du chargement sur le
comportement de l’assemblage. Il n’est donc pas nécessaire de modifier les dimensions de
l’assemblage suivant l’axe des X. On prend les valeurs du Tableau 7.1.
t u v w L
20 50 30 60 160
Tableau 7.1 : Dimensions suivant X des assemblages étudiés.
___________________________________________________________________________
95

Chapitre VII Application du modèle et conception d’interface graphique
__________________________________________________________________________________________
Figure 7.5 : Maillage d’un assemblage à 4 vis d’un profilé en U symétrique sur un support
prismatique. Le chargement est situé dans le plan de symétrie, à l’extrémité de la structure.
Pour l’ensemble de l’étude on conserve un effort de chargement FE = 10 kN. Pour étudier
le comportement de l’assemblage, on fait varier les dimensions de la section et la position du
point d’application de la force à l’extrémité de la poutre en U. Le modèle en éléments finis 3D
de la Figure 7.5 représente, le comportement d’un assemblage d’un profilé en U fixé par
quatre éléments filetés disposés symétriquement par rapport au plan moyen. Les notations (v1,
v2, v3, e, b et h) des paramètres de la section sont les mêmes que pour les cas étudiés de la
partie (7.1.1). Les deux rangées de vis sont distantes de 2e.
Assemblage d’un profilé symétrique en U, force dans le plan de symétrie longitudinal :
La Figure 7.6 représente la répartition des déplacements suivant Y. On remarque la
symétrie des déplacements, les deux Tandems se comportent alors de la même manière. Le
déplacement maximal au point d’application de la charge est de 4.27 mm. Le Tableau 7.2
regroupe les dimensions retenues pour l’exemple de la Figure 7.6.
2e v1 v2 v3 b h
25 0 5 5 60 15
Tableau 7.2 : Dimensions de la section en U (Figures 7.6 et 7.7).
Figure 7.6 : Déplacement suivant Y. Assemblage en tension sous une force FE =10 kN
dans le plan de symétrie. Section symétrique en U.
___________________________________________________________________________
96
FE

Chapitre VII Application du modèle et conception d’interface graphique
__________________________________________________________________________________________
Figure 7.7 : Energie de déformation. Section symétrique et FE sur le plan de symétrie
(FE =10 kN). La déformation est encaissée par les cotés du profilé.
La Figure 7.7 représente la répartition de l’énergie de déformation sur la structure de
l’assemblage. La déformation est encaissée par les cotés du profilé, lesquels donnent un
important moment quadratique à la section du profilé.
Assemblage d’un profilé symétrique en U, force hors plan de symétrie :
La Figure 7.8 représente la répartition des déplacements suivant Y. On remarque la non
symétrie des déplacements, les deux Tandems sont sollicités différemment. Le déplacement
maximal est de 2,2 mm.
2e v1 v2 v3 b h
42.5 12.5 7.5 5 100 30
Tableau 7.3 : Dimensions de la section symétrique en U
et position de la force appliquée. (Figure 7.8).
Figure 7.8 : Déplacement suivant Y. Assemblage en tension sous une force FE
hors plan de symétrie (FE =10 kN). Section symétrique en U.
___________________________________________________________________________
97

Chapitre VII Application du modèle et conception d’interface graphique
__________________________________________________________________________________________
Assemblage d’un profilé symétrique en U, force dans le plan du Tandem :
La Figure 7.9 représente la répartition des déplacements suivant Y. On remarque la non
symétrie des déplacements, les deux Tandems sont sollicités différemment. Le tandem dans le
plan duquel est appliqué le chargement, est bien plus sollicité.
Conclusion :
2e v1 v2 v3 b h
25 e =12.5 12.5 5 75 20
Tableau 7.4 : Dimensions de la section symétrique en U
et position de la force sur un Tandem (Figure 7.9).
Figure 7.9 : Déplacement suivant Y. Assemblage en tension sous une force FE
sur un Tandem (FE =10 kN). Section symétrique en U.
Les deux Tandem de vis ou de boulons se comportent différemment si la section du profilé
n’a pas une géométrie symétrique par rapport au plan médian des deux rangées de fixations,
ou bien, si la force est appliquée en dehors de ce plan. On remarque un gauchissement de
section induit par un moment de torsion lié à l’excentration de la force. Le gauchissement
existe même si la force est dans le plan médian, quand la section est dissymétrique. Nous
concluons que l’application du modèle numérique simplifié, par un calcul équivalent
approché, ne donnera pas de résultats cohérents, si les efforts deviennent importants.
L’approche proposée en début de chapitre semble difficilement exploitable pour des
configurations de structures complexes. Il est préférable de s’orienter vers une modélisation
numérique plus fine et qui puisse mieux représenter le comportement spatial de la structure
sollicitée.
7.1.3 Proposition d’un modèle spatial construit avec des éléments finis 1D
Il s’avère d’après les résultats des simulations du comportement d’un assemblage à quatre
boulons, pour différents cas de charges et de sections, que les deux rangées de boulons ne sont
pas sollicitées de la même manière. L’application du modèle numérique développé
précédemment ne permet que d’approcher le comportement du Tandem le plus chargé.
___________________________________________________________________________
98

Chapitre VII Application du modèle et conception d’interface graphique
__________________________________________________________________________________________
Nous proposons dans cette partie un modèle dont le comportement est plus proche de celui
des assemblages à quatre boulons disposés suivant deux rangées. Nous cherchons à identifier
le comportement de chaque élément fileté de l’assemblage. Il s’agit d’un modèle spatial à
quatre éléments filetés construit à partir d’éléments unidimensionnels qui permettent
d’installer des rigidités équivalentes à celles de la pièce, dans les directions de déformations
prépondérantes, pour le comportement des éléments d’assemblage.
Hypothèses :
- La poutre est constituée d’une section prismatique ou une section ouverte en forme de
« U ». La fixation est réalisée par quatre vis de mêmes caractéristiques géométriques
et mécaniques.
- Les quatre vis sont précontraintes.
- Les têtes des vis suivent la déformation de la pièce assemblée.
- Les efforts appliqués sont excentrés par rapport aux vis d’assemblage.
Modélisation :
Le modèle est construit par des éléments de type poutre 1D sur la base de la Figure 10. Le
niveau d’introduction de charge est γ = 0,5. Il est possible d’introduire des efforts appliqués
hors du plan médian des deux Tandem.
Nous avons introduit des éléments rigides (poutres en bleu), ce choix vient de l’hypothèse
de conservation de la forme et des dimensions de la section du profilé assemblé, sous un
chargement extérieur raisonnable.
B21
E21
D
C21
Q21
C2
B11
E11
C11
Q11
C22
E22
Q22
Profilé
Zones en compression
B22
C1
Vis d’assemblage
Eléments poutres rigides
Elément ressort
Nœud principal
___________________________________________________________________________
99
C12
B12
E12
Q12
B
A
Support Rigide
± FE
Figure 7.10 : Modèle spatial d’un assemblage à 4 éléments filetés.
AO

Chapitre VII Application du modèle et conception d’interface graphique
__________________________________________________________________________________________
Résolution numérique :
La méthode de résolution utilise la même démarche que celle développée pour la
résolution du modèle numérique simplifié d’un assemblage à 2 éléments filetés. Dans ce cas
on ajoute des éléments poutres rigides (module de Young très grand). Pour modéliser le
profilé assemblé, nous considérons des éléments poutres à deux nœuds. Ces éléments sont en
plus sollicités à la torsion, ce qui leur donne des matrices de rigidité comportant des termes
relatifs à la raideur en torsion des éléments. La raideur en torsion d’un élément profilé est
fonction de la géométrie de l’élément et de son module d’élasticité transversale G.
7.2 CONCEPTION D’UNE INTERFACE GRAPHIQUE POUR LE LOGICIEL
D’APPLICATION DU MODELE NUMERIQUE SIMPLIFIE
La création d’une interface graphique s’inscrit dans le cadre du développement d’un outil
de dimensionnement spécialisé (« outil métier »), qui soit à la fois peu coûteux (a contrario
d’un modèle éléments finis 3D), sûr et précis tout en étant rapide et facile d’utilisation.
L'objectif premier est la recherche appliquée au monde industriel. Il s'agit de mettre à
disposition des concepteurs, dans un cadre d'étude préliminaire, des outils d'agencement et de
pré-dimensionnement évolués pour rechercher des solutions techniques d'assemblage de
pièces.
Dans l’industrie mécanique, les concepteurs sont très intéressés par ce type d'outil d'aide à
la décision. Ces logiciels évitent de lancer des modélisations complexes coûteuses en temps
de mise en oeuvre et de calcul. Grâce à ce type d'outil, on peut générer plusieurs scénarii
d'implantation et de disposition de pièces pour, ensuite, les comparer.
L’interface graphique permet de créer le lien entre le programme et l’utilisateur, et par la
même occasion, d’exploiter une méthode récurrente de calcul. Après le lancement du calcul et
l’exécution du code développé en langage C, nous obtenons les résultats dans des tableaux et
des graphiques (les efforts et les moments de flexion appliqués sur les vis, les suppléments de
charges, les contraintes normales, alternées et de Von Mises). Toutes ces informations vont
aider le concepteur à valider ou non la solution choisie en fonction des options et des données
de départ.
Ainsi, le travail consistera à introduire des données d’entrée et à exploiter les résultats par
l’intermédiaire d’une interface graphique.
7.2.1 Synoptique de l’interface graphique
Nous disposons d’un programme de calcul de fixation des pièces prismatiques ou des
profilés en U. Le programme est écrit en langage « C ». Afin de le rendre le plus évolutif
possible nous avons choisi d’élaborer deux programmes distincts pour étudier :
- le cas tension : « MS_2B_tensQ1Q2.exe ».
- le cas compression : « MS_2B_compQ1Q2.exe ».
Les deux exécutables utilisent comme source de données un fichier texte
(Input_MS_2b_CHAKHARI.txt) précisant ligne par ligne les paramètres nécessaires à la
résolution du problème. Quel que soit le cas d’étude (tension ou compression), les données à
fournir sont organisées en cinq points :
___________________________________________________________________________
100

Chapitre VII Application du modèle et conception d’interface graphique
__________________________________________________________________________________________
- le type d’assemblage : cinq configurations d’assemblages sont proposées (modèles un
deux boulons ; montage symétrique où non ; assemblages avec une pièce prismatique ou
un profilé) ;
- le type de fixation : utilisation de vis pour un support taraudé, de boulons pour un
support ou un montage symétrique ;
- les paramètres géométriques : énumération de toutes les dimensions des pièces de
l’assemblage et des vis ;
- les paramètres mécaniques : liste des modules d’élasticité et des coefficients de poisson,
des coefficients d’adhérence des différentes pièces ;
- les paramètres de chargement : efforts de précharge des fixations, les efforts maximaux
de chargement ainsi que le nombre de pas de charge.
De même, une fois le programme de calculs exécuté, un fichier texte de résultats
(Output_MS2b_CHAKHARI.txt) est fourni par le code. Une première partie rappelle toutes les
données d’entrées et une seconde partie présente tous les résultats. Au final, on récupère, pour
chaque pas de chargement un tableau contenant :
- les paramètres de calcul : les valeurs de souplesse des pièces et des vis, pour un serrage
au couple, les valeurs des couples ainsi que la contrainte de torsion ;
- un tableau récapitulatif des résultats : contenant les efforts et les moments de flexion
pour chaque fixation, les suppléments d’effort et de moment de flexion, les contraintes
maximale, alternée et équivalente de Von Mises.
L’outil de calcul doit permettre l’acquisition des paramètres d’entrée, générer
automatiquement l’écriture de ces données dans un fichier texte et lancer le code de calcul
approprié (cas Tension ou Compression). Une fois les calculs effectués, les résultats seront
extraits d’un fichier texte et affichés ensuite sous la forme de tableaux.
Afin de rendre l’acquisition des données plus performante, il est nécessaire de réaliser une
interface de dialogue conviviale et interactive grâce à l’utilisation de fenêtres de dialogue. La
Figure 7.11 présente l’organisation de l’outil de calcul.
___________________________________________________________________________
101

Chapitre VII Application du modèle et conception d’interface graphique
__________________________________________________________________________________________
Lancement du programme
Choix d’une configuration d’assemblage
(Introduire un numéro de 1 à 5)
Introduction des données
pour vis ou boulons
(Géométrie et matériau)
Introduction des données
pour les pièces assemblées
(Géométrie, matériau coefficients de frottement)
Exécutable de calcul en tension :
MS_2B_tensQ1Q2.exe
Précontraintes de serrage des vis
Chargement extérieur : forces et moments
Déplacement imposés et blocages
Création du fichier d’entrées :
Input_MS_2b_CHAKHARI.txt
Choix d’un programme
de calcul
Création d’un fichier sorties :
Output_MS2b_CHAKHARI.txt
Extraction des résultats :
Tableaux, courbes, …
Fin
Exécutable de calcul en compression :
MS_2B_compQ1Q2.exe
Figure 7.11 : Synoptique de l’outil de calcul
Interface
graphique pour
l’acquisition des
données
Interface
graphique pour
la lecture des
résultats
7.2.2 Environnement et outils de développement
Afin de répondre aux différentes caractéristiques énoncées précédemment, le choix du
logiciel s’est rapidement porté sur Visual Basic for Applications 6 (VBA6). Le choix du
langage de programmation pour l’interface est un compromis entre portabilité, simplicité de
mise en oeuvre, flexibilité relative à son langage orienté objet. D’autre part, la très grande
diffusion de cet outil de programmation et de développement d’interfaces est très largement
répandue dans le milieu de la création de progiciels. Cette remarque nous apporte une certaine
garantie sur la pérennité du support informatique dans le temps.
Ce logiciel de développement d’interfaces graphiques est intégré dans de nombreux outils
de bureautique sous le système d’exploitation Windows. Il permet de créer des applications
___________________________________________________________________________
102

Chapitre VII Application du modèle et conception d’interface graphique
__________________________________________________________________________________________
fenêtrées et de pratiquer de la programmation événementielle. Il remplace et étend les
capacités des langages de type macro-commande et inclut la possibilité de manipuler les
fonctionnalités de l'interface utilisateur comme les menus, les barres d'outils. Il offre la
possibilité de pouvoir personnaliser les boîtes de dialogue et les formulaires utilisateurs. Il
peut cependant être utilisé pour contrôler une application à partir d'une autre (par exemple,
créer automatiquement un document à partir de données issues d’une application comme un
tableur ou d’un fichier texte).
Visual Basic for Applications est un outil de développement extrêmement puissant et est
d’une grande simplicité d'utilisation. Il présente un avantage manifeste : la simplicité de
l'élaboration d’une interface graphique. Pour toutes ces qualités nous avons fait le choix
d’utiliser ce logiciel pour élaborer notre environnement d’interface. Ce logiciel permet de
programmer en langage orienté objet ; c'est-à-dire que les instructions ne sont pas rassemblées
sur un seul et unique listing. Elles sont, au contraire, attachées aux objets dans les feuilles qui
composent une application. Lorsqu'un objet, par exemple une touche de commande ou une
zone de texte, est activé par la souris ou une touche du clavier, le programme recherche la
partie de code spécifique qui y correspond et l'exécute. Dans le cas contraire, c'est-à-dire en
l'absence de code, aucune action n'en découle.
Avec ce langage de programmation, les feuilles (Form) sont les pages qui s'affichent à
l'écran lors de l'exécution du programme. Elles contiennent des boutons de commande, des
zones de texte et des images auxquelles sont attribuées des lignes de commande.
En résumé, nous pouvons dire qu'une application développée sous VBA6 peut regrouper
plusieurs feuilles qui contiennent divers objets auxquels sont rattachés de petits programmes
indépendants appelés procédures, eux-mêmes activés lorsque certains événements se
présentent.
7.2.3 Elaboration d’une maquette d’interface
Au cours de la réalisation de cette interface, une très grande attention a été portée sur
l’ergonomie et la convivialité de l’utilisation du logiciel. L’apparition en quasi-permanence de
notes explicatives et d’images descriptives quand la souris navigue sur l’écran renforce la
volonté d’atteindre cet objectif.
En vue de modifications futures, dans le but d’ajouter des options, il a fallu se soucier de
garder une forte flexibilité concernant l’évolution de l’interface des boites de dialogue. Il faut
faire interagir le langage de programmation avec d’autres fichiers tels que des fichiers textes
ou exécutables, afin de permettre une meilleure exploitation des informations et assurer une
interactivité dans l’utilisation de l’outil.
L’idée directrice lors de la conception de l’interface était de limiter la complexité et le
nombre de manipulations pour l’utilisateur. Il faut être le plus attractif possible dans
l’interface, pour que l’utilisateur perçoive cet outil de calcul comme un logiciel d’assistance
pour la recherche de solutions. Afin qu’il soit très simple et rapide d’utilisation, une maquette
a été développée à partir d’un diaporama. Plusieurs scénarii ont été simulés pour évaluer la
pertinence des fenêtres de dialogue (Figure 7.12). Nous avons pu ainsi tester l’aspect de
l’interface en optimisant l’ergonomie et en rationalisant les informations à introduire. Ce
travail préliminaire est indispensable pour être sûr d’offrir au concepteur un outil en
adéquation avec son besoin.
___________________________________________________________________________
103

Chapitre VII Application du modèle et conception d’interface graphique
__________________________________________________________________________________________
Figure 7.12 : Exemple d’une première maquette sur diaporama
Pour compléter l’ergonomie de l’outil d’assistance, on a inclus un certain nombre
d’avertissements afin d’éviter les erreurs de saisie. Cela rend le programme plus fiable vis-àvis
des résultats qui sont attendus. D’autre part, un ensemble de messages furtifs, sous la
forme d’infos bulles, permettent d’afficher des informations pour identifier la variable
sélectionnée et pour guider l’utilisateur. Ces messages doivent cependant être restreints et
concis pour ne pas pénaliser l’environnement de la fenêtre de dialogue en cours d’utilisation.
Ce travail requiert pour qualité principale la rigueur. Dans la gestion des noms donnés aux
variables ou aux informations recueillies lors de la lecture ou l’écriture des fichiers. Il faut,
par exemple, veiller à ce qu’il n’y ait ni espace, ni accent. De même, il faut respecter, durant
tout le programme, les notations retenues initialement lors de l’acquisition des informations
au travers de l’interface, et surveiller qu’elles correspondent bien entre les fichiers d’entrée et
de sortie, sans quoi le programme de calcul ne pourrait s’exécuter correctement.
7.2.4 Aperçu du logiciel
Les Figures de 7.13 à 7.18 montrent la maquette que nous avons conçue pour l’interface
graphique du modèle numérique simplifié. La saisie des données se fait sur plusieurs fenêtres
et dans chaque fenêtre on accède à des groupes de champs de saisie. L’interface s’ouvre
directement sur le choix d’une configuration d’assemblage à calculer. Il suffit de sélectionner
le numéro de la configuration pour identifier le cas d’étude, (Figure 7.13). Ce travail de
recherche s’est principalement intéressé à l’assemblage de fixations en tandem. Il peut, aussi
répondre au cas d’étude à une fixation. Il suffit pour ce cas de considérer une précontrainte
nulle pour désactiver l’influence de l’élément fileté.
La Figure 7.14 présente la fenêtre de saisie des données pour les vis et les boulons de
fixation (dimensions et caractéristiques du matériau de la vis). Dans le cadre de ce
démonstrateur, on n’a pas intégré de base de données de visserie. Dans les perspectives
d’évolution, il sera nécessaire de le faire afin de limiter les erreurs de saisies incohérentes.
Dans la fenêtre de la Figure 7.15 on s’intéresse à la saisie des données concernant les
pièces de la configuration choisie (la figure correspond à l’assemblage à deux boulons). Outre
le choix des dimensions géométriques et des caractéristiques des matériaux des deux pièces,
___________________________________________________________________________
104

Chapitre VII Application du modèle et conception d’interface graphique
__________________________________________________________________________________________
on sélectionne le type de fixation et les coefficients de frottement existant aux différents
niveaux d’interface de contact.
Les conditions de chargements et de précontraintes sont introduites, en dernier lieu, sur une
autre fenêtre (Figure 7.16). On remarquera l’existence d’une case « Nombre de cas de
charges » à remplir. Cette information permet de discrétiser le calcul en fonction du pas
choisi. Le principal intérêt de cette discrétisation est d’assurer un meilleur comportement dans
la résolution du contact. Grâce à cette procédure les conditions de contact évoluent
progressivement. Cela permet d’évaluer plus finement le comportement à l’interface de
contact des pièces, notamment, d’analyser l’évolution du décollement de la structure, pour
chaque pas de calcul. D’autre part, la localisation de la zone de contact active permet
d’évaluer la pression locale et de comparer ce résultat par rapport à une pression limite de
matage que peut se fixer le concepteur.
Figure 7.13 : Interface graphique : sélection d’une configuration d’assemblage.
Figure 7.14 : Interface graphique : saisie des données pour vis.
___________________________________________________________________________
105

Chapitre VII Application du modèle et conception d’interface graphique
__________________________________________________________________________________________
Figure 7.15 : Interface graphique : saisie des données pour l’assemblage.
Figure 7.16 : Interface graphique : saisie des précontraintes et des chargements.
Figure 7.17 : Interface graphique : lancement du calcul.
___________________________________________________________________________
106

Chapitre VII Application du modèle et conception d’interface graphique
__________________________________________________________________________________________
Après avoir quitté la dernière fenêtre de saisie de toutes les données, ces informations
d’entrée sont enregistrées dans le fichier texte « Input_MS_2b_CHAKHARI.txt ». Ensuite,
l’interface bascule vers une autre fenêtre relative au calcul et aux résultats. La sélection d’un
des boutons de calcul de la Figure 7.17 lance, en arrière plan, l’exécutable du code de calcul
soit en tension, soit en compression. Le temps d’exécution est immédiat (moins de 2 secondes
sur un PC Pentium 4, CPU 2.4 GHz). L’interface graphique récupère les résultats du fichier
de sortie du programme de calcul.
Figure 7.18 : Interface graphique : affichage des résultats.
La fenêtre de la Figure 7.18 synthétise différents résultats qui sont relatifs à un cas d’étude.
L’utilisateur peut choisir de visualiser entre plusieurs résultats élémentaires comme les
diamètres équivalents des zones comprimées au droit de chaque vis, les couples de serrages,
la flèche de la pièce à son extrémité. Les résultats sont regroupés par catégorie et des tableaux
présentent les valeurs pour chaque pas de chargement. Par exemple, la Figure 7.18, le tableau
supérieur rassemble les valeurs des suppléments d’effort et de moment de flexion, pour le cas
tension. Le tableau inférieur présente, pour chaque vis, les résultats en contrainte alternée et
en contrainte normale maximale. Ces informations serviront à orienter le concepteur vers un
choix de qualité de vis ou bien de relancer un autre calcul, mais avec d’autres dimensions
géométriques de fixations. D’autres informations sont aussi accessibles comme la contrainte
équivalente de Von Mises. Les résultats choisis peuvent être tracés en courbes en fonction du
chargement sur une feuille Excel.
Pour faciliter la navigation entre la partie acquisition des données et analyse des résultats,
il existe des fonctionnalités accessibles sur chaque fenêtre et qui sont :
- le passage à la page suivante ou le retour aux pages précédentes de saisie des données ou
de sélection de la configuration ;
- l’arrêt du programme à n’importe quel moment pour sortir de l’interface.
___________________________________________________________________________
107

Chapitre VII Application du modèle et conception d’interface graphique
__________________________________________________________________________________________
Cette maquette peut être améliorée en ajoutant d’autres fonctionnalités pour sauvegarder et
récupérer dans l’environnement de travail, le dernier résultat afin d’éviter de relancer toutes
les étapes d’acquisition et de calcul. Pour conserver un document papier, il faudra intégrer une
procédure d’impression qui permettrait d’imprimer un récapitulatif des résultats.
Actuellement, les fichiers d’entrée et de sortie du programme de calcul assurent ce rôle.
7.2.5 Evolutions futures de l’environnement de l’outil de calcul
Afin d’améliorer la convivialité de l’interface, plusieurs perspectives de poursuite du
travail sont envisageables :
- Il faudrait intégrer plus de procédures de contrôle qui vérifient les erreurs de saisie de
données comme, par exemple, les éventuelles incohérences dimensionnelles (d > Da, ...).
Cette perspective a pour but de fiabiliser les données d’entrée du logiciel. De même, il
faudrait un code qui vérifie que toutes les valeurs ont bien été rentrées. Si ce n’est pas le cas
faire apparaître une fenêtre d’avertissement. Elle spécifierait l’anomalie, avec un message
d’erreur qui informerait l’utilisateur qu’il manque tel ou tel paramètre ou bien l’avertissant
que l’ordre de grandeur n’est pas correct.
- Une évolution rapide consisterait à rajouter des options dans l’environnement de
l’interface graphique. Actuellement l’habillage de cette interface reste assez basique, mais le
développement pour le réaliser étant relativement flexible, on peut aisément le compléter par
des barres de menus (menu pour une édition, une copie, un enregistrement des résultats,…) et
d’autres fonctionnalités similaires à des logiciels du commerce.
- Une autre évolution majeure serait de mieux exploiter des informations inutilisées dans
l’interface de l’outil, mais existant dans le fichier texte des résultats. En effet, les résultats en
chaque nœud de l’interface de contact sont des indications précieuses pour la tenue globale de
l’assemblage (zone de contact, décollement, pression locale,...). Ces informations sont
pertinentes dans une phase préliminaire de conception. Elles vont orienter le choix des
solutions finales de l’assemblage étudié. D’autre part, certaines valeurs sont rentrées dans
l’interface, mais ne sont pas utilisées par le programme de calcul. Afin de les rendre
disponibles en prévision d’une utilisation future il faudrait les identifier dans le fichier texte
par l’intermédiaire d’un symbole commentaire.
- Comme nous l’avons déjà évoqué précédemment, un couplage avec des bases de données
(visserie, rondelles, matériaux, …) sera nécessaire et indispensable pour améliorer les
performances de l’outil d’assistance.
Enfin, l’élaboration même de ce programme de calcul permet aussi de s’implanter dans des
progiciels existants. Par exemple, il pourrait parfaitement être intégré dans l’outil de calcul
industriel CETIM-COBRA qui est dédié au dimensionnement des assemblages par éléments
filetés.
7.3 CONCLUSION
Ce chapitre a abordé la problématique de la généralisation d’un modèle générique à
l’assemblage multi-fixations d’une structure. Le modèle numérique développé a été appliqué
à des structures profilées assemblées par quatre éléments filetés. La stratégie de calcul
consiste à trouver l’effort équivalent appliqué sur le Tandem le plus chargé ainsi que les
caractéristiques équivalentes de la section. Ces données seront les entrées du programme de
calcul associé au modèle de base.
___________________________________________________________________________
108

Chapitre VII Application du modèle et conception d’interface graphique
__________________________________________________________________________________________
A partir des simulations numériques tridimensionnelles sur des exemples d’assemblages de
profilées de section ouverte, on a remarqué que dans le cas de dissymétrie de section ou de
position de force et pour des charges importantes il y a gauchissement du profilé. Ce qui
génère de la flexion des vis hors du plan de leur Tandem. Pour des charges acceptables on
peut négliger cette flexion transversale et on peut appliquer le modèle numérique simplifié de
base. Pour des charges importantes on propose de faire évoluer le modèle de base en un
modèle spatial à quatre éléments filetés construit avec des éléments unidimensionnels. Il
permettra de calculer les contraintes pour chacune des quatre vis.
Une interface graphique a été développée pour permettre une utilisation plus ergonomique
du programme de calcul. Cette interface est conçue pour faciliter l’introduction des données,
pour plusieurs configurations d’assemblages. En fonction du choix du cas d’étude (Tension
ou compression), Cette interface récupère automatiquement les différents résultats issus du
code de calcul. Notre première maquette d’interface graphique doit évoluer et être améliorée
pour devenir un outil d’aide au dimensionnement performant dans le cadre d’une utilisation
en bureau d’études.
___________________________________________________________________________
109

Chapitre VIII :
EXTENSION D’ETUDE :
MODELE NUMERIQUE SIMPLIFIE GENERAL
Cas d’un assemblage à deux boulons, sollicité en plus par une force transversale.
L’étude présentée au chapitre V a montré qu’en compression le comportement du coin a un
effet de levier. Il génère un effort de réaction normal important, mais aussi induit un effort
tangentiel qui peut initier un glissement de la poutre. Ce glissement est favorisé par de la
déformation de la poutre qui réduit la zone d’adhérence et la déporte vers la fixation 2. La
prise en compte d’un effort transversal à l’extrémité de la poutre permet de rechercher la
limite d’adhérence pour cette configuration de chargement. En ajoutant un effort tangentiel, il
est possible de généraliser le modèle développé à d’autres cas d’assemblages industriels.
Cette extension d’étude à un Modèle Numérique Simplifié Généralisé (MNSG) nécessite
d’intégrer le comportement de l’adhérence dans la zone de contact, à l’interface de la poutre
sur son support. Cet effort transversal peut agir en poussant ou en tirant sur la structure, soit
dans les deux configurations de sollicitation (Tension ou Compression), mais aussi seul (FE =
ME = 0).
8.1. MODELISATION
Dans cette partie, on cherche à étendre le modèle numérique simplifié déjà présenté au cas
où il existerait une force transversale appliquée sur l’extrémité de l’assemblage à deux
éléments filetés, au même point que les autres sollicitations.
Les hypothèses principales consistent à admettre que la rigidité en flexion ainsi que la
raideur de compression des pièces assemblées, restent constantes et que tous les efforts sont
situés dans le plan de symétrie de l’assemblage comme sur la Figure 8.1.
± FT
± ME
± FE
Figure 8.1 : Assemblage à deux boulons en « Tandem »
Les chargements sont réalisés par une force verticale FE, un effort transversal noté FT et
par un éventuel moment ME. Le principe du modèle est similaire à celui présenté pour le cas
du chargement vertical seul (Figure 8.2). Dans ce cas, on ajoute la possibilité de prendre en
compte le phénomène du glissement à l’interface de contact. Il s’agit de vérifier la condition
d’adhérence ou de non glissement. Les éléments de contact sont composés d'éléments ressorts
qui simulent la raideur de contact de la pièce et permettent le décollement. Leurs raideurs sont
distribuées proportionnellement à la surface théorique de contact représentée par l'élément. Le
comportement local de ces éléments est aussi associé aux conditions de contact, sur la base de
la loi de Coulomb, afin de prendre en compte la zone d'adhérence.
___________________________________________________________________________
111

Chapitre VIII Extension d’étude - Modèle Numérique Simplifié Général
__________________________________________________________________________________________
y
Elément de contact
k
C’
C L2
x
f
E2
B2
Q2
Eléments poutres
Corps rigide
L1
E1
Eléments poutres
___________________________________________________________________________
112
B1
Q1
B
D’
± FE
Nœud principal
A
(± ME)
Nœud intermédiaire
Figure 8.2 : Modèle numérique simplifié avec effort transversal
La contrainte normale à l’interface de contact au niveau d’un ressort actif de numéro i est
calculée à partir du déplacement vertical du nœud correspondant de l’interface de contact :
k .u
± FT
i ni
σ ni =
(8-1)
Si
La contrainte tangentielle au niveau de l’élément de contact i est déterminée par la relation
Eq. (8-2) qui correspond à la condition d’équilibre à l’adhérence. L’angle tgϕi représente le
coefficient d’adhérence de l’élément de contact i, à l’interface de contact, pour un ressort
actif.
σti = tgϕi . σni
(8-2)
uni , uti : déplacements normal et tangentiel à l’interface au niveau de l’élément de contact i.
σni , σti : contrainte normale et contrainte tangentielle à l’interface de l’élément de contact i.
ki : raideur du ressort i.
f : coefficient limite d’adhérence à l’interface.
Si : aire de la surface de contact modélisée par le ressort i.
8.2. CONDITIONS DE NON GLISSEMENT A L’INTERFACE DE CONTACT
Pour vérifier la condition de non glissement à l’interface de contact, il faut trouver les
efforts normal NS et tangentiel TS résultants sous les chargements extérieurs FE, FT et ME,
pour les deux configurations d’assemblages des Figures 8.3 et 8.4.
Y
X
E2
Ts
FB2
ϕ
Ns
F[X, E2]
E1
F[X, E1]
Figure 8.3 : Structure en état de chargement pour le cas Tension (FE > 0).
FB1
FE
ME
FT

Chapitre VIII Extension d’étude - Modèle Numérique Simplifié Général
__________________________________________________________________________________________
Y
X
E2
FB2
Ts
ϕ
Ns
F[X, E2]
E1
FB1
F[X, E1]
Figure 8.4 : Structure en état de chargement pour le cas Compression (FE < 0).
Le coefficient d’adhérence tgϕ en comportement global du contact entre la poutre et son
support est défini par la relation de Coulomb Eq. 8-3.
T s
s ≤ N Tgϕ
(8-3)
En précharge :
L’effort normal à l’interface de contact est égal à la somme des forces de serrages (Q1+Q2).
L’effort tangentiel maximal Ts Max à l’interface de contact est donné par la loi de Coulomb :
Ts Max = f (Q1 + Q2) (8-4)
Sous un chargement extérieur :
On suppose, dans ce cas, qu’il y a q ressorts parmi N qui travaillent en compression.
L’effort normal résultant Ns à l’interface de contact est égal à la somme des efforts normaux
des ressorts actifs :
N
N= s ∑ k.u j nj
j=1
; Si u nj>0 on prend u nj=0
(8-5)
L’effort tangentiel résultant à l’interface de contact est donné par la relation (8-6).
N
T= s ∑ tg ϕj.k.u
j nj
j=1
; Si u nj>0 on prend u nj=0
(8-6)
L’effort tangentiel Ts correspond à la somme des efforts tangentiels des ressorts actifs. Cet
effort sera maximal lorsque les coefficients d’adhérence de tous les ressorts actifs sont à la
limite de l’adhérence (tgϕj = f) :
N
Ts Max f ∑
j=
1
= k . u
(8-7)
j
nj
Pour vérifier la condition de non glissement à l’interface de contact, il faut trouver les
efforts normaux et tangentiels résultants sous un chargement extérieur.
Si l’assemblage n’est sollicité que par un effort transversal extérieur FT, il n y a pas de
glissement tant que FT ≤ Ts Max d’où la condition suivante :
F
T f
Q+Q 1 2
≤ (8-8)
___________________________________________________________________________
113
RB
θB
ME
NB
FE
FT

Chapitre VIII Extension d’étude - Modèle Numérique Simplifié Général
__________________________________________________________________________________________
Si l’assemblage est sollicité par une combinaison d’efforts extérieurs (FE et FT), nous
appliquons les lois d’équilibre avec la loi de contact à l’assemblage. Nous isolons la structure
constituée par la pièce supérieure (poutre) et les deux boulons B1 et B2. (S), en appuie sur le
support. La poutre est soumise aux efforts suivants : FE, FT, et éventuellement à la réaction RB
du coin en cas de compression. Les réactions aux nœuds d’ancrage E1 et E2 (Figure 8.3 et
Figure 8.4), dépendent des conditions limites initialement choisies. Pour le cas particulier de
l’assemblage expérimental, les vis sont sollicitées en flexion pure, et dans ce cas, il faudrait
considérer que la réaction suivant l’axe X est nulle (F(X,Ei) = 0).
Dans la résolution numérique du modèle on fait des itérations de calcul sur le chargement
vertical FE, (Figure 8.5). A chaque itération k on analyse le risque de glissement à l’interface
de contact en calculant un coefficient d’adhérence (tgϕ) (k) . Les résultantes Ts et Ns appliquées
par le support sur la poutre, à travers l’interface de contact, sont calculées à partir des données
de l’itération de calcul k et des résultats de l’itération (k-1) :
En tension (Figure 8.3) :
(k-1) (k-1)
T=F s + F [X,E ] + F [X,E ] (8-9)
T 1 2
(k-1) (k-1)
N= s F - F B1 - F B2
(8-10)
E
En compression (Figure 8.4) :
(k-1) (k-1)
T=F s + R B.tgθ B + F [X,E ] + F [X,E ] (8-11)
T 1 2
(k-1) (k-1)
− (8-12)
N= F R + F + F
(k-1)
F [X,E ]et
s
E
B B1 B2
1
(k-1)
F [X,E ]sont respectivement les forces appliquées suivant la direction X
2
aux nœuds E1 et E2 calculées dans l’itération (k-1). Ces forces sont nulles si les nœuds
d’ancrage E1 et E2 sont libre en déplacement suivant X, comme pour les assemblages
expérimentaux.
(k-1)
FB1 et
(k-1)
FB1 sont les efforts axiaux appliqués aux boulons aux nœuds d’ancrage E1 et
E2 , calculés à l’itération (k-1).
(k)
(tg ϕ) en comportement global à une itération de calcul k est :
Le coefficient d’adhérence
(k-1) (k-1)
(k) F
En tension :
T+ F [X,E 1] + F [X,E 2]
(tg ϕ ) =
(8-13)
(k-1) (k-1)
F- FB1 - FB2
E
(k-1) (k-1)
(k) F+ B B
En compression :
T R.tgθ + F [X,E 1] + F [X,E 2]
(tg ϕ)
=
(k-1) (k-1)
F −R
B + F B1 + FB2
E
(8-14)
Il n y a pas de glissement à l’itération k si :
(k)
(tg ϕ) ≤ f
(8-15)
En cas de glissement :
L’existence d’un glissement va générer un desserrage. Afin d’éviter ce risque, il sera
nécessaire de changer, dans la limite des dispositions géométriques de l’assemblage, les
précontraintes de serrage ou de passer à un diamètre de vis supérieur. Sinon, on ne devra pas
solliciter l’assemblage par des efforts qui dépassent les charges limites donnant le glissement
et l’instabilité du montage.
___________________________________________________________________________
114

Chapitre VIII Extension d’étude - Modèle Numérique Simplifié Général
__________________________________________________________________________________________
8.3. ALGORITHME DE RESOLUTION ET PROGRAMMATION DU MODELE
Calcul de l’itération k
Efforts tangentiels imposés aux éléments actifs
Lecture des données
Q1, Q2 , FT , FE max, ME max
Calcul du coefficient d’adhérence en
FT
précharge et sous FT : tg ϕ =
Q+Q
tgϕ≤f oui
___________________________________________________________________________
115
1 2
Calcul du coefficient d’adhérence
( k )
en comportement global : ( tgϕ)
En tension : Eq. (8-13)
En compression: Eq. (8-14)
Pas de glissement
à l’interface de contact
Résultats du calcul : Forces et
déplacements aux noeuds
Test de pénétration
Réactualiser la matrice de contact
K-1

Chapitre VIII Extension d’étude - Modèle Numérique Simplifié Général
__________________________________________________________________________________________
Calcul des itérations :
On suppose qu’il y a adhérence en précharge et sous un effort transversal FT appliqué à
FT
l’extrémité de la poutre. C'est-à-dire que l’on a : f
Q+Q ≤
Notations :
1 2
Tj (k) : Effort tangentiel appliqué au nœud j (entre la zone BC de la Figure 8.2) à l’itération k.
C’est l’effort tangentiel équivalent appliqué par le support sur la poutre, au niveau de la zone
de contact, modélisé par le ressort j.
Lc : longueur totale de la zone de contact entre les pièces assemblées (BC)
Lj : Longueur de la zone de contact j (Lj ≤ Lc)
Pour un effort transversal donné FT, on calcule les itérations en faisant varier l’effort
extérieur. Pour FT une valeur donnée, on choisit de faire varier la force FE parce qu’elle
sollicite plus les vis de fixation en flexion. On peut aussi ajouter une boucle dans le code de
calcul pour faire varier FT mais il suffit de faire varier sa valeur d’entrée pour étudier son effet
sur les contraintes dans les vis.
Itération (0) :
Sous la précharge et sous un chargement transversal FT les pièces adhèrent et l’on suppose
que l’adhérence est uniforme sur toute la zone de contact, d’où l’effort tangentiel au contact j :
L
(0)
j
T =F (8-16)
j T
L C
C’est un calcul approché permettant d’initialiser les valeurs des efforts tangentiels.
Itération (k) :
Etant donné tous les résultats du calcul à l’itération (k-1), on procède au calcul de
l’itération k comme suit :
- Test de pénétration et réactualisation de la zone de contact (matrice de rigidité de
contact, zones en contact, zones en décollement).
- On calcule le coefficient d’adhérence global (tg ϕ) à l’itération (k), relations (8-13)
ou (8-14) en se servant des résultats de l’itération (k-1) et des données de l’itération k.
- On prend le coefficient d’adhérence uniforme sur toute la zone de contact active
(interfaces en contact) pour le calcul des efforts tangentiels appliqués à l’itération k.
- Pour chaque élément de contact actif j, on impose comme condition aux limites à
l’itération k un effort tangentiel Tj (k) tel qu’il est donné par la relation (8-17).
- On lance le calcul pour l’itération k.
(k-1) (k)
(k)
T =N .(tg ϕ )
(8-17)
j j
Avec :
(k-1)
j
(k-1) (k-1)
{ [ ] [ ] }
N =k . X j;v -X (j+N);v (8-18)
j
___________________________________________________________________________
116
(k)

Chapitre VIII Extension d’étude - Modèle Numérique Simplifié Général
__________________________________________________________________________________________
(k-1)
j
L
j
k=K. (8-19)
j T
L C
N : Effort normal appliqué au ressort j à l’itération (k-1).
k j : Raideur du ressort j.
(k-1)
X [ j;v ] : Déplacement du nœud j suivant l’axe des Y à l’itération (k-1).
Le test de glissement dépend de l’adhérence globale laquelle résulte de l’adhérence locale.
On calcule pour chaque itération un coefficient d’adhérence caractérisant le comportement
local et global du contact. On fait donc un modèle approché pour modéliser le contact à
l’interface et calculer les efforts tangentiels à chaque itération.
8.4. VALIDATION DU MODELE PAR DES SIMULATIONS EF 3D
Nous reprenons l’exemple d’un assemblage à deux vis dont les dimensions sont données
dans le Tableau 8.1. Les deux vis sont M10 8.8. Les pièces assemblées sont en aciers. Le
coefficient de frottement à l’interface de contact est f = 0.14.
t (mm) u (mm) v (mm) w (mm) hp (mm) 2a (mm)
20 25 25 55 20 40
Tableau 8.1 : Dimensions de l’exemple d’assemblage à 2 vis.
Le modèle en éléments finis tridimensionnels est représenté sur la Figure 8.6. On a imposé
les mêmes conditions aux limites que pour les modèles précédents sauf pour l’extrémité de la
pièce assemblée où l’on n’impose pas une rotation nulle ni un arrêt en déplacement suivant X.
Les pieds des vis sont libre en déplacement suivant X. On a appliqué en plus de l’effort
vertical un effort transversal FT. Les précontraintes appliquées aux vis sont identiques et sont
σ01 = σ02 = 200 MPa. Elles correspondent à des efforts de serrage Q1 = Q2 = 11600 N.
Figure 8.6 : Modèle Eléments Finis tridimensionnels avec effort transversal FT.
8.4.1 Simulations EF 3D du comportement de l’assemblage
Comportement en tension : Les simulations en EF tridimensionnels montrent que la pièce
fléchit et qu’un glissement global se produit à l’interface pour FT =6000 N et FE = 15000N,
___________________________________________________________________________
117

Chapitre VIII Extension d’étude - Modèle Numérique Simplifié Général
__________________________________________________________________________________________
(Figure 8.7). Ce glissement s’explique par le fait que le chargement transversal FT dépasse le
chargement limite d’adhérence à et que le bas des vis est libre en déplacement suivant la
direction X. Le déplacement maximal suivant X est lu à l’extrémité de la pièce assemblée et
vaut 1.22 mm.
Figure 8.7 : Déplacement suivant X de l’assemblage en tension sous un chargement
FE = 15000 N et FT = 6000 N.
Comportement en compression : Les simulations montrent aussi qu’un glissement à
l’interface se produit pour FT = 10000 N et FE = -40000 N, (Figure 8.8). Le déplacement
maximal suivant X, lu à l’extrémité de la pièce assemblée, est de 1.21 mm.
Figure 8.8 : Déplacement suivant X de l’assemblage en compression sous un chargement
FE= -40000 N et FT = 10000 N.
8.4.2 Distribution de la pression à l’interface de contact
Comme dans le cas d’un chargement FE seul, la configuration en tension est la plus
pénalisante pour la tenue de l’assemblage. Afin de valider le comportement du Modèle
Numérique Simplifié Général, nous avons étudié l’assemblage avec uniquement un
chargement transversal (FE = 0 et FT ≠ 0). Ce cas d’étude permet d’évaluer et de vérifier l’état
du contact par rapport au chargement limite d’adhérence à l’interface
(FT = Ts Max = f (Q1 + Q2) = 3248 N).
a : FE = FT = 0
(état précontraint)
b : FE = 0 et FT = 3240 N
(limite d’adhérence)
c : FE = 0 et FT = 3250 N
(état de glissement)
Figure 8.9 : Evolution de la zone du contact avec FE = 0 et FT > 0
___________________________________________________________________________
118

Chapitre VIII Extension d’étude - Modèle Numérique Simplifié Général
__________________________________________________________________________________________
La distribution de pression au niveau de l’interface de contact de la Figure 8.9, présente
une pression plus élevée entre les deux vis de l’assemblage. L’évolution de cette distribution
ne varie pas beaucoup entre l’état précontraint (Figure 8.9a) et la position limite de
l’adhérence (Figure 8.9b et Figure 8.10). Le rôle des précontraintes, au niveau des vis, est
primordiale pour maintenir cette pression de contact à proximité des vis. Suivant la largeur
(axe Z), le modèle en éléments finis présente une variation décroissante de la pression. Le
programme de calcul ne peut pas prendre en compte ce phénomène. Par contre, le programme
calcule une valeur moyenne de la pression associée à une position X de l’interface de contact.
La Figure 8.10 tient compte de cette remarque. On constate une bonne corrélation entre les
résultats du programme et ceux qui sont obtenus par le calcul éléments finis.
Figure 8.10 : Distribution de la pression à l’interface du contact
Une étude similaire à la précédente est réalisée en tenant en compte de l’existence d’un
chargement vertical (FE = 15000 N). Le choix de cette valeur sollicite l’assemblage en flexion
prépondérante et fait apparaître un décollement au niveau de l’interface du contact. La
sollicitation en flexion augmente la pression à l’interface de la pièce sur son support et
contribue, dans un premier temps à l’adhérence de l’assemblage. Par contre, cette zone s’est
considérablement réduite par rapport à l’état de précharge seule (Figure 8.9a) et s’est déplacée
au-delà de la deuxième vis (Figure 8.11).
a : FE = 15000 N et FT = 0
(état 1)
b : FE = 15000 N et FT = 5000 N
(limite d’adhérence)
c : FE = 15000 N et FT = 5200 N
(état de glissement)
Figure 8.11 : Evolution de la zone du contact avec FE > 0 et FT > 0
La Figure 8.12 présente la distribution de la pression entre le modèle numérique et les
simulations éléments finis. Les courbes sont relatives à l’état 1 (Figure 8.11a) et l’état limite
d’adhérence (Figure 8.11b). Le glissement apparaît plus tôt pour le modèle numérique, mais
___________________________________________________________________________
119

Chapitre VIII Extension d’étude - Modèle Numérique Simplifié Général
__________________________________________________________________________________________
reste proche du comportement obtenu en éléments finis. L’allure des courbes est similaire et
le seuil du décollement se situe autour de 20 mm, dans les deux cas.
On constate une légère dispersion sur la valeur maximale de la pression, à l’extrémité de la
pièce. Toutefois, cette pression est localisée sur le bord de la poutre et il peut exister des
singularités numériques liées à un maillage mal conditionné localement et qui nécessiterait
d’être plus raffiné. De ces remarques, il ne faut retenir que l’ordre de grandeur de la pression
extrême, qui doit être proche de 80 MPa. D’autre part, les courbes associées aux résultats des
simulations éléments finis ne décroissent pas de la même façon, ce qui n’est pas le cas pour
les courbes du modèles numériques. Les premiers nœuds, situés à l’extrémité des courbes
éléments finis, se déchargent lorsque que l’on augmente l’effort FT. Ce comportement n’est
pas observé pour le modèle numérique. L’ajout de l’effort transversal a diminuée la pression,
donc l’effort normal de réaction, au détriment de l’effort transversal qui voit son intensité
augmenter (augmentation de l’angle de contact). La procédure de calcul mis en œuvre pour le
modèle numérique ne permet pas d’obtenir ce degré de finesse. Toutefois, dans le cadre d’un
outil de pré-dimensionnement, on considère que les résultats obtenus en première approche
sont tout à fait satisfaisants.
Figure 8.12 : Distribution de la pression à l’interface du contact
8.4.3 Comparaison des résultats en contrainte alternée
Les résultats du modèle numérique simplifié général sont comparés à ceux issus des
simulations EF tridimensionnels. Les courbes des contraintes alternées en fonction du
chargement vertical FE sont représentées sur les Figures de 8.13 à 8.16 pour deux cas de
chargement transversal (positif : FT = 3000 N et négatif : FT = -3000 N). Ce choix vérifie la
condition de non glissement sous l’effort transversal seul : FT ≤ f (Q1 + Q2) en considérant un
coefficient de frottement f = 0.14, pour l’interface de contact des pièces choisies.
En tension (FE > 0), on trouve une bonne corrélation entre les résultats des deux modèles
numériques pour les deux sens de l’effort transversal et pour chaque vis, (Figures 8.13 et
8.14). Les calculs sont faits au-delà des capacités réelles des vis (la contrainte limite
admissible pour des vis standard M10 8.8 est σD =50 MPa). Ce n’est que pour étudier le
comportement du modèle numérique simplifié général pour des charges plus sévères. La
___________________________________________________________________________
120

Chapitre VIII Extension d’étude - Modèle Numérique Simplifié Général
__________________________________________________________________________________________
deuxième vis de l’assemblage n’est sollicitée qu’à partir des charges (FE = 7000 N pour
FT = 3000 N) et (FE = 10000 N pour FT = -3000 N).
400
350
300
250
200
150
100
50
0
-50
400
350
300
250
200
150
100
50
0
-50
σ a (MPa)
Comparaison de résultats - MNSG / EF 3D
Cas tension et F T = 3000 N
0 2000 4000 6000 8000 10000 12000 14000 16000
Vis 2 EF 3D Vis 1 EF 3D Vis 1 M NSG Vis 2 M NSG
Figure 8.13 : Assemblage en tension et soumis à FT = 3000 N.
σ a (MPa)
Comparaison de résultats - MNSG / EF 3D
Cas tension et F T = - 3000 N
___________________________________________________________________________
121
F E (N)
F E (N)
0 2000 4000 6000 8000 10000 12000 14000 16000
Vis 2 EF 3D Vis 1 EF 3D Vis 1 M NSG Vis 2 M NSG
Figure 8.14 : Assemblage en tension et soumis à FT = -3000 N.
En compression (FE < 0), les deux modèles numériques donnent des résultats proches pour les
deux sens de l’effort transversal et pour chaque vis, (Figures 8.15 et 8.16). Le comportement
de l’assemblage n’est pas justement représenté comme les simulations EF tridimensionnels.
Pour le cas (FT > 0) on remarque pour le modèle une diminution des contraintes alternées à
partir de (FE = 8000 N), Figure 8.15, puis les courbes reprennent leur évolution normale en
augmentant l’effort vertical FE. Cette variation s’explique par un glissement relatif entre les
pièces assemblées suite à une diminution de la surface de la zone en contact, ce qui soulage
légèrement les vis et particulièrement la vis 2. Après glissement, un nouvel état d’équilibre
apparaît et les pièces adhèrent de nouveau.
En compression, l’écart important entre les résultats des deux modèles peut être justifié par le
fait que dans le modèle EF tridimensionnel le contact au niveau du coin du support est
considéré sur une surface très limitée, par contre dans notre modèle, on représente le contact
avec le coin par des déplacements imposés équivalents. Dans tous les cas le modèle
développé dimensionne les fixations par rapport à la vis 1 en toute sécurité.

Chapitre VIII Extension d’étude - Modèle Numérique Simplifié Général
__________________________________________________________________________________________
100
90
80
70
60
50
40
30
20
10
80
70
60
50
40
30
20
10
-10
0
σ a (MPa)
Comparaison de résultats - MNSG / EF 3D
Cas compression et F T = 3000 N
0 5000 10000 15000 20000
Vis 2 EF 3D Vis 1 EF 3D Vis 1 M NSG Vis 2 M NSG
Figure 8.15 : Assemblage en compression et soumis à FT =3000 N.
0
σa (MPa)
Comparaison de résultats - MNSG / EF 3D
Cas compression et F T = - 3000 N
___________________________________________________________________________
122
F E (N)
F E (N)
0 5000 10000 15000 20000
Vis 2 EF 3D Vis 1 EF 3D Vis 2 M NSG Vis 1 M NSG
Figure 8.16 : Assemblage en compression et soumis à FT = -3000 N.
En appliquant le modèle développé au même exemple mais pour des charges transversales
plus importantes (FT > f (Q1 + Q2)). Les courbes des contraintes alternées obtenues présentent
des variations autour de leurs valeurs moyennes, (Figures de 8.17 à 8.20). Ceci est remarqué
en tension (FE > 0) et en compression (FE < 0). Ces fluctuations sont associées à des
glissements successifs à l’interface de contact en augmentant progressivement le chargement
vertical FE. Si on augmente FE Progressivement les efforts normaux diminuent ce qui favorise
le glissement. D’autre part, l’étendu de la surface de contact s’éloigne de FE, pour diminuer et
se restreindre sur l’extrémité opposée à FE.

Chapitre VIII Extension d’étude - Modèle Numérique Simplifié Général
__________________________________________________________________________________________
400
350
300
250
200
150
100
50
0
-50
120
100
80
60
40
20
-20
400
350
300
250
200
150
100
50
-50
0
σ a (MPa)
Comparaison de résultats - MNSG / EF 3D
Cas tension et F T = 5000 N
0 2000 4000 6000 8000 10000 12000 14000 16000
Vis 2 EF 3D Vis 1 EF 3D Vis 1 MNSG Vis 2 MNSG
Figure 8.17 : Assemblage en tension et soumis à FT = 5000 N.
σ a (MPa)
Comparaison de résultats - MNSG / EF 3D
Cas compression et F T = 10000 N
0 4000 8000 12000 16000 20000
Vis 2 EF 3D Vis 1 EF 3D
Vis 1 MNSG Vis 2 MNSG
Polynomial (Vis 2 MNSG) Polynomial (Vis 1 MNSG)
Figure 8.18 : Assemblage en compression et soumis à FT = 10000 N.
0
σ a (MPa)
Comparaison de résultats - MNSG / EF 3D
Cas tension et F T = - 5000 N
___________________________________________________________________________
123
F E (N)
F E (N)
F E (N)
0 2000 4000 6000 8000 10000 12000 14000 16000
Vis 2 EF 3D Vis 1 EF 3D Vis 1 MNSG Vis 2 MNSG
Figure 8.19 : Assemblage en tension et soumis à FT =-5000 N.

Chapitre VIII Extension d’étude - Modèle Numérique Simplifié Général
__________________________________________________________________________________________
80
70
60
50
40
30
20
10
0
-10
σ a (MPa)
Comparaison de résultats - MNSG / EF 3D
Cas compression et F T = - 10000 N
0 5000 10000 15000 20000 25000
Vis 2 EF 3D Vis 1 EF 3D
Vis 2 MNSG Vis 1 MNSG
Polynomial (Vis 1 MNSG) Polynomial (Vis 2 MNSG)
Figure 8.20 : Assemblage en compression et soumis à FT = -10000 N.
8.5. EFFET DE L’EFFORT TRANSVERSAL SUR LES CONTRAINTES
ALTERNEES DES VIS
On fait varier l’effort transversal FT pour chaque calcul. On remarque que pour un
assemblage sollicité par une force de tension verticale donnée, l’augmentation de la force
transversale FT ne fait qu’augmenter légèrement les contraintes alternées des deux vis
d’assemblage, (Figure 8.20). En compression, l’augmentation de la force transversale FT,
augmente considérablement les contraintes alternées sur les deux vis d’assemblage,
(Figure 8.21).
16 0
14 0
12 0
10 0
80
60
40
20
σa (MPa)
Etude en tension (F E >0)
Variation de l'effort transversal
___________________________________________________________________________
124
F E (N)
F E (N)
0
0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000
-20
vis2-EF 3D-Ft0 vis1-EF 3D-Ft0 vis1-EF 3D-Ft1000 vis2-EF 3D-Ft1000
vis1-EF 3D-Ft5000 vis2-EF 3D-Ft5000 vis1-EF 3D-Ft10000 vis2-EF 3D-Ft10000
Figure 8.21 : Variation des contraintes alternées des vis en fonction de l’effort FT pour un
assemblage en tension.

Chapitre VIII Extension d’étude - Modèle Numérique Simplifié Général
__________________________________________________________________________________________
10 0
75
50
25
-25
σa (MPa)
Etude en compression (F E

Chapitre VIII Extension d’étude - Modèle Numérique Simplifié Général
__________________________________________________________________________________________
8.6. INTERET DES ESSAIS EXPERIMENTAUX
Il est intéressant de réaliser des essais qui serviront à vérifier les résultats des modèles
numériques pour un assemblage sollicité à la fois par un effort vertical et un effort transversal.
Dans cette extension d’étude, nous nous limitons à une validation numérique du modèle
simplifié étendu au cas transversal. On propose une configuration du dispositif expérimental,
(Figure 8.24). Au moyen de deux vérins hydrauliques à double effet, on peut appliquer
simultanément ou indépendamment à l’extrémité de l’assemblage une force transversale FT et
une force verticale FE. Ce qui permet d’appliquer à l’assemblage une force dans toute
direction et tout sens dans le plan. Les deux vérins sont articulés à leurs extrémités, les
déplacements verticaux donnés par le vérin V sont petits et la longueur L entre les deux
articulations du vérin H est choisie suffisamment grande.
Assemblage à deux boulons
Vis 2
Pièce support
Vis 1
Bâti Système de fixation du support
Vérin H
Figure 8.24 : Schéma de principe du dispositif expérimental pour un assemblage à deux
boulons sous chargements dans le plan (transversal FT et vertical FE).
8.7. CONCLUSION
Le modèle numérique développé est étendu et validé pour tout chargement appliqué à l’extrémité
de l’assemblage dans son plan, cas des problèmes réels où la force appliquée est quelconque. Pour des
composantes transversales importantes l’assemblage prend un nouvel état d’équilibre, soit que les
pièces adhèrent de nouveau soit que les vis sont sollicitées en cisaillement sous la force transversale.
Dans ce cas, il faut penser à modifier les conditions de serrage, de chargement ou de géométrie de
l’assemblage. Pour mieux étudier le comportement de l’assemblage sous des charges importantes, il
vaut mieux réaliser des essais permettant de suivre l’évolution du contact en fonction des charges
verticales et transversales, et de déterminer le début de glissement à l’interface de contact des pièces
assemblées pour différentes configurations de géométrie et de serrage des vis.
___________________________________________________________________________
126
Vérin V

CONCLUSION GENERALE
En pré-dimensionnement des assemblages filetés, on peut souvent considérer que seule la
première vis travaille réellement, comme dans le modèle analytique à un boulon. Cette
hypothèse n’est pas toujours acceptable. Il fallait donc prendre en compte la deuxième vis afin
d'affiner l'étude. Pour cela nous avons développé un modèle analytique à deux boulons. Ce
modèle est bien validé en tension, en comparaison avec une modélisation en éléments finis
tridimensionnels. La deuxième vis est beaucoup moins sollicitée en flexion, mais sa
contribution améliore la tenue et la stabilité du montage sous un chargement d’intensité
variable. Elle participe à la rigidité globale de l’assemblage et diminue le niveau de la
contrainte alternée de la première vis. Ce constat est d’autant plus vrai que l’entraxe (u), des
boulons, est faible.
Pour des vis de M10 à M16 et pour des conditions d’endurance supérieures à 2.10 6 cycles,
la limite de fatigue est de l’ordre de 50 MPa pour des vis standard. Dans tous les cas de
montage, la sollicitation en tension reste la plus contraignante pour l’étude en fatigue. C’est ce
type de sollicitation qui atteint rapidement la valeur de la contrainte alternée admissible (σad).
En compression les résultats permettent de constater que le modèle analytique ne
représente pas correctement le comportement réel de l’assemblage, c’est pourquoi nous avons
envisagé une nouvelle modélisation numérique simplifiée. Ce modèle intègre des éléments
poutres pour caractériser la pièce et les vis tandis que le comportement du contact entre la
pièce et son support est réalisé avec des ressorts dont la particularité est de ne travailler qu’en
compression. Ce dernier modèle permet de calculer les déplacements et les efforts dans tous
les nœuds de la structure. Il peut non seulement servir au dimensionnement des éléments de
fixation en toute sécurité, en statique ou en dynamique, mais aussi évaluer la zone de contact
ainsi que le décollement, pour un état de chargement donné.
L’étude expérimentale valide le comportement du modèle simplifié développé. La méthode
des plans d’expériences (plan mixte), a permis d’étudier l’influence des différents paramètres
de l’assemblage sur la contrainte alternée dans les vis. L’influence du serrage des vis et l’effet
des déformations au coin support, sur la fatigue des vis, ont été mis en évidence.
Le modèle programmé a l’avantage de traiter le calcul des assemblages dans un temps très
faible, en comparaison à un calcul en éléments finis tridimensionnels. Il est exploitable pour
des applications industrielles. Afin de rendre le code de calcul opérationnel dans un
environnement de bureaux d’études, un habillage a été développé pour aboutir à un d’outil
d’assistance au dimensionnement des fixations. Ce démonstrateur a été développé pour
plusieurs configurations d’assemblages boulonnés couramment rencontrés dans le domaine
industriel.
L’angle au coin est faible, le glissement à l’interface de contact des pièces assemblées ne
peut avoir lieu que localement. Par contre, si l’assemblage est sollicité en plus par des forces
transversales, on doit intégrer les composantes tangentielles des efforts de contact à l’interface
dans les itérations de résolution numérique du modèle. Pour cela, une extension d’étude a été
développée pour le cas des assemblages sollicités en plus par des charges transversales. La
validation du modèle est faite par comparaison aux calculs Eléments Finis tridimensionnels.
Ce dernier modèle permet de dimensionner l’assemblage pour un chargement quelconque
appliqué à son extrémité.
___________________________________________________________________________
127

Conclusions et perspectives
__________________________________________________________________________________________
PERSPECTIVES
Pour des contraintes de temps et de matériels, les essais expérimentaux pour le cas d’un
assemblage sollicité en plus par un effort transversal n’ont pas pu être réalisés. De tels essais
permettraient de valider expérimentalement les résultats du modèle numérique, dans ce
dernier cas. La réalisation de ces essais est possible sur une machine permettant d’appliquer à
l’assemblage simultanément un chargement vertical et transversal.
Nous pensons qu’il existe trois axes possibles comme développements futurs et qui
représentent une continuité de notre travail :
1) Un modèle numérique simplifié à n lignes et p colonnes de boulons fixant une pièce
prismatique sur un support et à chargement excentré peut être développé. La pièce
fixée peut être une poutre ou une plaque rectangulaire.
2) Dans la plupart des assemblages filetés, le chargement extérieur réel peut aussi
comporter un moment de flexion transversal. Un tel moment provoque le
gauchissement de la pièce assemblée, et génère donc d’autres contraintes dans les
éléments filetés (flexion des vis hors du plan de l’assemblage). Le modèle numérique
présenté comme modèle de base dans cette thèse peut être étendu pour associer la
sollicitation de flexion aux autres efforts et simuler le comportement réel de la
structure assemblée. Dans ce cas, on doit introduire les raideurs transversales des
éléments concernés dans leurs matrices de rigidité. Ce qui implique d’ajouter un degré
de liberté par nœud, qui est la rotation autour de l’axe x ou l’axe y.
3) Le code de calcul du modèle simplifié développé a été exploité à travers une interface
graphique conçue sous le logiciel Visual Basic for Applications (VBA6). Cette
interface permet d’introduire les données relatives à cinq configurations
d’assemblages à un, deux ou quatre boulons. On peut ensuite lancer le calcul et lire les
résultats. Cette première ébauche de logiciel peut être améliorée et étendue à d’autres
configurations d’assemblages filetés. Elle peut être aussi associée à une bibliothèque
d’éléments standard et à des bases de données de matériaux.
Au final, si toutes ces suggestions de développement aboutissent, nous pouvons penser que
nous disposerions d’un outil numérique d’assistance capable de calculer diverses
configurations d’assemblages filetés de pièces prismatiques et de traiter beaucoup de cas
industriels.
___________________________________________________________________________
128

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[2] J. Chakhari, A. Daidié, J. Guillot, A. Zghal, « Study of a threaded elements assembly
under fatigue loading with strong offset » ICAME’2004, 2 nd International Conference on
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Proceedings CD-ROM.
[3] J. Chakhari, A. Daidié, J. Guillot, A. Zghal, « Modélisation d’un assemblage par deux
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soumise à des sollicitations en fatigue » CMSM’2005, 1 er Congrès International
Conception et Modélisation des Systèmes Mécaniques, Hammamet 23-25 Mars 2005,
Tunisie, pp 1-12, Actes CD-ROM.
[4] J. Chakhari, A. Daidié, J. Guillot, A. Zghal, « Modélisation numérique simplifiée et étude
expérimentale d’un assemblage à deux éléments filetés en Tandem » 9 ème Colloque
National AIP-PRIMECA, Méthodes et modèles innovants pour la conception de systèmes
industriels, La Plagne 5-8 Avril 2005, France, pp1-10, Actes CD-ROM.
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June 20, 2007, pp 343-361.
___________________________________________________________________________
135

ANNEXES
I - Dispositifs expérimentaux ................................................................................................. 139
II - Traitement des mesures des jauges de déformations ....................................................... 144
III - Etapes du plan d’expériences mixte - Application des logiciels BPEW et JMP ............ 147
IV - Formulation analytique du problème de coin d’angle 90°.............................................. 155
V - Modèles existants de calcul des raideurs d’un assemblage fileté .................................... 161
___________________________________________________________________________
137

1. Machine d’essai
Annexe I
DISPOSITIFS EXPERIMENTAUX
Une machine hydraulique Schenck Hydropuls PSB 100 est utilisée pour réaliser des essais
de traction et de compression sur les assemblages boulonnés. La machine peut être pilotée en
déplacement ou en force. Dans notre cas, on applique une rampe de force qui varie de 0 à la
valeur maximale supportée par l’assemblage avec une vitesse de 0.5 KN/s.
L’effort machine Fmax à appliquer sur un assemblage dépend de la géométrie et des
matériaux utilisés. Cet effort ne doit provoquer aucune déformation plastique des éléments de
l’assemblage. Fmax est estimée par le programme développé suite à la modélisation en
éléments finis 3D.
L’asservissement de la machine devra fournir l’effort nécessaire pour respecter au plus
juste la consigne de position, sous réserve de ne pas dépasser la capacité de la machine (effort
maximum +/- 100kN). L’interface informatique de la machine permet de définir quelques
paramètres de sécurité pour le bon fonctionnement, comme des limites de surveillance du
déplacement ou de la force.
Figure A1.1 : Machine d’essais de traction – compression
___________________________________________________________________________
139

Annexe I Dispositifs expérimentaux
__________________________________________________________________________________________
2. Emplacement des rotules
Figure A1.2 : Emplacement des rotules
Pour assurer le guidage du montage au cours des essais de compression, on a conçu trois
pièces cylindriques intercalées entre les deux rotules tout en permettant la déformation
élastique des pièces. Il y a trois pièces car la hauteur hP prend trois valeurs selon le plan
d’expériences à suivre.
Figure A1.3 : Pièces intermédiaires pour guidage et stabilité du montage en compression
3. Dispositif d’installation de la précontrainte sur l’assemblage
Les quatre boulons sont positionnés par rapport aux jauges et doivent être serrés de la
même façon. On coince les têtes des boulons entre les mors d’un étau de fraiseuse, (Figure
A1.4). On monte les écrous jusqu’à effleurer la pièce, sans faire de serrage, puis on tare à zéro
toutes les données sorties du logiciel d’acquisition CATMAN.
Quand on serre les écrous, on doit avoir la même somme de déformation des jauges située
à gauche et à droite d’une vis (Δg + Δd), pour les quatre boulons. Cette somme doit
correspondre à la valeur de précontrainte souhaitée.
Figure A1.4 : Dispositif de serrage des boulons
4. Dispositifs de mesure et d’acquisition des données
La traduction des déformations des jauges est assurée par des boîtiers électroniques
SPIDER 08. Les fils des jauges sont reliés aux canaux physiques des boîtiers par des
connecteurs appropriés, Figure AI.5.
___________________________________________________________________________
140

Annexe I Dispositifs expérimentaux
__________________________________________________________________________________________
Figure AI.5 : Boîtiers Spider 8 et connecteurs des fils issus des jauges de déformations
La mise en œuvre des mesures extensométriques issues des vis instrumentées présente
certaines difficultés :
- du côté de la tête, l’extrémité de la vis est encombrée par les fils de liaison des jauges
et leurs plaquettes-relais ;
- la tête doit être coincée entre les mors pour installer la précontrainte ce qui provoque
parfois l’arrachement des fils ;
- Il faut respecter la position des jauges gauche et droite de chaque vis par rapport aux
entrées physiques des boîtiers Spider 8.
Les mesures ont été prises par un système d'acquisition informatisé. On branche les
boîtiers Spider 8 à un ordinateur équipé du logiciel CATMAN qui permet de lire et de traiter
les différentes mesures.
La Figure AI.6 montre comment les jauges sont intégrées dans leur pont de mesure (pont
de Wheatstone). Les jauges de déformation longitudinale sont montées en ¼ de pont ; elles
forment un demi-pont avec leur résistance compensatrice.
tension
de mesure
Um
jauge
résistance de
compensation
tension
d’alimentation
Figure AI.6 : Montage en ¼ pont (jauges longitudinales)
L’allongement d’une jauge de déformation induit une variation de sa résistance et donc de
la tension de mesure. La résistance compensatrice et les résistances de complément du pont
(intégrées dans le boîtier d'acquisition Spider 8) sont d’une précision élevée et d'une grande
stabilité, la variation de la tension de sortie ne dépend donc que de l’état de la jauge. On
enregistre le rapport Um/Ual entre la tension de sortie du pont et sa tension d’alimentation, qui
est très sensiblement proportionnel à la déformation subie par la jauge.
Au cours des essais les données sont acquises à l’aide d’un boîtier d’acquisition Spider 8
de la société Hottinger Baldwin Messtechnik Gmbh (HBM). La Figure AI.7 montre un
schéma d’ensemble du matériel d’acquisition.
___________________________________________________________________________
141
Ual

Annexe I Dispositifs expérimentaux
__________________________________________________________________________________________
Adaptateurs
Liaison parallèle
Boîtier d'acquisition
Spider 8
Figure AI.7 : Schéma d’ensemble du matériel d’acquisition
Capteur de force
machine
Vis instrumentée
Ce boîtier offre la possibilité d’acquérir simultanément les données sur 8 canaux
analogiques (nous avons utilisé deux boîtiers car nous avions besoin de 13 entrées). Ces
données sont numérisées et transmises par blocs, sur le port parallèle d’un PC. La
configuration du Spider 8 ainsi que l’affichage des signaux de données et leur enregistrement
sont assurés par le logiciel CATMAN spécifique à Spider 8.
La configuration de ce logiciel comprend, entre autres, la désignation des canaux utilisés et
leurs noms, le type et la connexion des capteurs, les fréquences d’acquisition et de
transmission des données (Figure AI.8).
période d’échantillonnage
transmission des données au PC
par blocs de 10 échantillons
Figure AI.8 : Ecran de définition de l’échantillonnage
Au cours des manipulations, on s'est intéressé à l'évolution progressive des grandeurs au
cours du temps. On a donc retenu un échantillonnage des grandeurs en 10 points par seconde.
Le système d’acquisition enregistre les signaux des jauges de déformation de chacune des
quatre vis, ceux des capteurs de force et de déplacement sur la machine SCHENCK ainsi que
la mesure du temps. Le suivi des mesures en temps réel est assuré par le logiciel CATMAN,
comme le montre les Figures AI.9 et AI.10.
___________________________________________________________________________
142

Annexe I Dispositifs expérimentaux
__________________________________________________________________________________________
Figure AI.9 : Lecture des mesures des jauges et des capteurs (Essai16, tension
un cycle de charge-décharge)
Figure AI.10 : Lecture des mesures des jauges et des capteurs (Essai16,
compression un cycle de charge-décharge)
___________________________________________________________________________
143

Annexe I Dispositifs expérimentaux
__________________________________________________________________________________________
A la fin de l’essai on enregistre les résultats dans un fichier en format ASCII pour avoir un
fichier de données (.dat). Ce fichier texte sera récupéré sur un tableur, Figure AI.11. Sur la
nouvelle version du logiciel, on récupère directement les données en format du tableur.
Figure AI.11 : Enregistrement des données des essais.
___________________________________________________________________________
144

Annexe II
TRAITEMENT DES MESURES DES JAUGES DE DEFORMATIONS
Quand une jauge de déformation, de résistance électrique au repos R, subit un allongement
relatif ε, la variation relative de sa résistance peut s’écrire :
ΔR
=K. ε ou
R
ΔR ΔL
=K.
R L (AII-1)
Où K est le facteur de jauge (sans unité) donné par le fabriquant, qui dépend du matériau
constituant la jauge et des détails de sa fabrication.
Le pont de Wheatstone équipant la jauge fournit une mesure Δ(Um/Ual) proportionnelle à
ΔR/R . Pour les trois jauges de déformations longitudinales : g, m et d, les déformations sont :
- Pour un montage en ¼ de pont :
1 4 ⎛ U mi ⎞
ε i = Δ ⎜ ⎟
1000 K i ⎝ U al ⎠
- Pour un montage en ½ pont :
(AII-2)
1 2 ⎛Umi ⎞
ε i = Δ⎜
⎟
1000 Ki ⎝ Ual
⎠ (AII-3)
Ki est le facteur de jauge (sans unité), Um/Ual est exprimé en mV/V, et ε est sans unité.
Section de la vis au niveau des jauges
r Mx
y
Jauge d
Jauge g
___________________________________________________________________________
145
x r
Jauge m
Figure AII.1 : Décomposition du moment de flexion selon deux directions
orthogonales
My
Mf

Annexe II Traitement des mesures des jauges de déformations
__________________________________________________________________________________________
Les jauges gauche « g » et droite « d » sont diamétralement opposées, (Figure AII.1). On
calcule donc la déformation εQ moyenne due à la seule tension de la vis en prenant la
moyenne des déformations mesurées par ces deux jauges :
ε g+εd ε Q =
(AII-4)
2
Le calcul du moment de flexion est un peu plus compliqué : il faut d’abord calculer ses
composantes selon deux directions orthogonales, puis en déduire le moment de flexion total.
Les deux directions sont celles de deux diamètres de la vis passant l'un par les jauges « g » et
« d », l'autre par la jauge milieu « m ». On nomme X et Y les axes portant ces 2 diamètres.
Les déformations dues aux moments de flexion Mx et My sont données respectivement par :
ε +ε
ε Mx =εm -
2
ε -ε
g d
g d
ε My =
2
(AII-5)
(AII-6)
La déformation due au moment de torsion (couple de serrage) peut être directement
mesurée par une rosette « r ». Nous n’avons pas collé de rosettes sur les vis puisque le
moment de torsion ne change pas au cours du chargement de l’assemblage et nous savons
calculer sa valeur initiale :
ε Mt =ε r
(AII-7)
Nous en déduisons les contraintes normales et tangentielles à la surface de la vis, où Eb et
G sont respectivement les modules d’élasticité longitudinal et transversal de la pièce (vis) :
σ Q=E b.ε Q et σ Mx,My=E b.ε Mx,My
(AII-8)
τ=2G.ε Mt
(AII-9)
L’application des formules de la résistance des matériaux nous permet facilement d’en
déduire la tension et les moments de flexion et de torsion dans la tige de vis :
Q=σ Q.S
(AII-10)
σ I
Mx x M=2 x
(AII-11)
D v
σ I
My y
M y =2 (AII-12)
D v
τ I
z M=2 t
(AIII-13)
D v
Dans ces expressions :
σ et τ sont les contraintes normales et de cisaillement correspondantes aux déformations
εQ, εMx, εMy ou εMt selon le cas,
S est l’aire de la section de la vis au niveau de l’implantation des jauges. Ix, Iy, et Iz sont les
moments quadratiques de la section définis par :
___________________________________________________________________________
146

Annexe II Traitement des mesures des jauges de déformations
__________________________________________________________________________________________
π D
4
v I=I= x y
64
π D
4
v I= z
32
Dv est le diamètre de la tige de la vis au niveau de l’amincissement (Dv = ds = 8.593 mm :
diamètre résistant des vis utilisées). Donc S=As = 58 mm 2 pour un filetage M10.
Le moment total de flexion Mf est porté par un axe orthogonal à la direction du
déplacement de la pièce serrée ou de la tête de la vis. Il est donné par :
2 2
M= f M+M x y
(AII-14)
Le plan vertical passant par les jauges g et d est un plan de symétrie de l’assemblage
(symétrie de géométrie, de conditions aux limites et de chargement). Donc on prend pour le
calcul Mx=0 et Mf =My. Dans ces conditions on a :
σ =E .ε et Mf b Mf
Q b Q
σ =E .ε (AII-15)
On désigne par Δi = Δ(Umi/Ual) en (mV/V), la mesure de la variation du rapport de tension
relative a la jauge i. Le facteur de jauge est le même et est noté K.
Pour un montage en ¼ pont (une jauge représente ¼ pont) :
4
ε i = .Δ
1000.K
Expressions des contraintes normales des vis :
4E Δ +Δ
1000.K 2
b
g d
σ Q = ( )
i
et
4E Δ -Δ
1000.K 2
b
g d
σ M = ( )
f
Expressions des efforts intérieurs des vis au niveau des jauges :
4E .A Δ +Δ
1000.K 2
b
s g d
Q= ( )
Contraintes alternées dans les vis d’assemblage :
et
4E .A Δ -Δ
1000.K 2
b
s g d
M= f ( )
(AII-16)
(AII-17)
(AII-18)
Au cours du chargement de l’assemblage les contraintes normales σQ et σMf varient. La
contrainte alternée σa dans la vis correspond à ½ de la somme des variations de σQ et σMf par
rapport à l’état initial de précontrainte.
___________________________________________________________________________
147

Annexe III
ETAPES DU PLAN D’EXPERIENCES MIXTE
APPLICATION DES LOGICIELS BPEW ET JMP
Les différentes étapes suivies pour réaliser un plan d’expériences sont les suivantes :
1. Définition des objectifs et des moyens
L’objectif d’application du plan d’expériences est de connaître l’influence des différents
paramètres de l’assemblage à deux boulons sur le comportement de chaque vis (effet sur la
contrainte alternée).
2. Synthèse du « savoir-faire »
Dans cette étape du plan d’expériences, on définit les facteurs et leurs niveaux. On a
profité des essais réalisés (18 essais donnés par un plan mixte défini dans la suite). Les
valeurs des contraintes alternées dans les deux vis sont données par le modèle numérique
simplifié. Elles sont déterminées tel que les trois courbes de contraintes coïncident le mieux
possible pour chaque cas d’étude.
Domaine d’étude :
Eléments de sortie :
Facteurs Description Niveau 1 Niveau 2 Niveau 3
A Ep 74000 21000 ---------
B u 25 35 45
C v 10 20 25
D b(=2a) 20 30 40
E hp 13 16 20
Tableau AIII.1: Choix des facteurs et des niveaux
1- Contraintes alternées dans la vis 1 : (Sig_a1)
2- Contraintes alternées dans la vis 2 : (Sig_a2)
Figure AIII.1 : Création d’un plan factoriel mixte de 18 sites avec le logiciel BPEW
___________________________________________________________________________
149

Annexe III Etapes du plan d’expériences mixte
__________________________________________________________________________________________
Figure AIII.2 : Description du plan d’expériences avec le logiciel BPEW
3. Construction du plan
Cette étape définit les différentes combinaisons du plan à retenir. Pour notre cas, il s’agit
de 2x3x3x3x3 = 162 combinaisons pour un plan complet. BPEW propose pour un plan mixte
seulement 18 combinaisons, dans un tableau comme le montre la Figure AIII.3.
4. Conduite des essais
Figure AIII.3 : Extrait des combinaisons du plan d’expériences
Les valeurs des contraintes alternées dans les deux vis sont données par le modèle
numérique simplifié. Elles sont déterminées tel que les trois courbes de contraintes coïncident
le mieux possible pour chaque cas d’étude. Les résultats de tous les cas sont résumés dans le
Tableau AIII.2.
___________________________________________________________________________
150

Annexe III Etapes du plan d’expériences mixte
__________________________________________________________________________________________
N° d’essai
Ep
(MPa)
u
(mm)
v
(mm)
b
(mm)
hp
(mm)
Sig_a1
(MPa)
Sig_a2
(MPa)
1 74000 25 10 20 13 142,63 -8,66
2 74000 25 20 30 16 71,78 -8,58
3 74000 25 25 40 20 31,87 -6,55
4 74000 35 10 30 20 46,53 -4,88
5 74000 35 20 40 13 78,88 -3,51
6 74000 35 25 20 16 92,67 -3,42
7 74000 45 10 40 16 53,73 -0,18
8 74000 45 20 20 20 57,27 -2,29
9 74000 45 25 30 13 94,63 0,2
10 210000 25 10 20 13 94,69 -6,44
11 210000 25 20 30 16 35,89 -4,76
12 210000 25 25 40 20 14,49 -2
13 210000 35 10 30 20 22,01 -2,77
14 210000 35 20 40 13 40,34 -1,72
15 210000 35 25 20 16 48,53 -3,14
16 210000 45 10 40 16 27,21 -1,2
17 210000 45 20 20 20 29,44 -2,18
18 210000 45 25 30 13 50,64 -0,42
Tableau AIII.2 : Valeurs des contraintes alternées appliquées aux vis pour les 18 cas du
plan d’expériences mixte et avec Q1=Q2=200 MPa et FE=4500 N
5. Dépouillement et interprétation des résultats
Cette étape est réalisée par deux logiciels différents : BPEW (Boite à Plans d’expériences
version 3) et JMP (version 5.1).
5.1. Utilisation du logiciel BPEW
5.1.1 Saisie des résultats du plan sur le logiciel BPEW
Les résultats sont introduits dans BPEW comme le montre la Figure AIII.4.
Figure AIII.4 : Saisie des sorties Sig_a1 et Sig_a2 sur le logiciel BPEW.
___________________________________________________________________________
151

Annexe III Etapes du plan d’expériences mixte
__________________________________________________________________________________________
5.1.2. Calcul de l’analyse de variance
Pour chaque facteur nous effectuons une analyse de variance avec un risque inférieur à 5 %
dans le cas le plus défavorable. Cette procédure permet de mettre en évidence les facteurs les
plus déterminants. On note A=Ep ; B=u ; C=v , D=b et E=hp.
Figure AIII.5 : Analyse de variance avec BPEW à un risque 5 % pour la sortie Sig_a1
Ep, hp et v sont les facteurs les plus influents (% les plus importants) pour la contrainte
alternée Sig_a1 de la vis 1.
Figure AIII.6 : Analyse de variance avec BPEW à un risque 5 % pour la sortie Sig_a2.
Ep, v, b et hp ont tous la même grandeur d’effet (moins de 5 %) sur Sig_a2 de la vis 2.
L’entraxe u est le facteur le plus influent (65.36 % d’effet) sur la contrainte alternée de la
vis 2.
___________________________________________________________________________
152

Annexe III Etapes du plan d’expériences mixte
__________________________________________________________________________________________
5.1.3. Vérification du test de normalité
Le test de normalité des résidus permet de dire que les estimateurs des coefficients sont
normalement distribués. Ce test est vérifié pour les deux sorties du plan.
Figure AIII.7 : Rapport du test de normalité par BPEW pour Sig_a1
Figure AIII.8 : Rapport du test de normalité par BPEW pour Sig_a2
5.1.4. Représentation graphique des effets
Cette étape permet de comparer les effets entre différents facteurs et de visualiser les effets
dans l’étude d’interaction. A l’aide de ces graphes, on peut voir les effets des différents
facteurs sur l’évolution des contraintes dans les vis. On peut aussi voir les effets des
interactions des facteurs. Mais ces résultats ne nous ont pas permis de généraliser nos
conclusions. Pour cela on a été amené à utiliser un autre logiciel plus sophistiqué pour le
dépouillement des résultats.
___________________________________________________________________________
153

Annexe III Etapes du plan d’expériences mixte
__________________________________________________________________________________________
5.2. Utilisation du logiciel JMP
Le logiciel JMP est exploité pour mieux dépouiller et interpréter les résultats du plan
d’expériences déjà défini à l’aide du logiciel BPEW. Toutes les données sont introduites dans
un seul tableau, Figure AIII.9.
Figure AIII.9 : Tableau de données entrées dans JMP.
Le dépouillement consiste à évaluer et analyser les effets afin de produire les graphes des
effets. A l’aide du logiciel JMP nous avons déterminé l’effet de chaque paramètre sur les
contraintes appliquées aux vis de fixation. Par exemple, l’effet du module d’élasticité EP
(Figure AIII.10). On déduit que les contraintes alternées, en valeur absolue, appliquées aux
vis 1 et 2, diminuent si le module d’élasticité des pièces assemblées augmente.
a. Effet sur vis 1 b. Effet sur vis 2
Figure AIII.10 : Effet du module d’élasticité longitudinal Ep sur les contraintes alternées
dans les vis. On représente la densité non paramétrée des valeurs de contraintes.
___________________________________________________________________________
154

Annexe IV
FORMULATION ANALYTIQUE DU PROBLEME DE COIN D’ANGLE 90°
1. Modélisation du coin du support et des actions de contact :
Considérons une plaque semi infinie ayant la forme d’un coin d’angle qui modélise le coin
du support de l’assemblage boulonné étudié. On prend le cas d’un angle droit. La plaque
reçoit au coin une force extérieure c Fr dans le repère (C, 1 xr , 2 xr ), (Figure AIV.1).
Figure AIV.1 : Modélisation des actions de contact sur le coin du support.
Nous cherchons à formuler le champ de déplacements dans le domaine continu de la
plaque et en déduire le déplacement résultant au point C suivant la direction verticale x1 r .
2. Fonction d’Airy
Nous prenons la fonction d’Airy de la forme :
2
ϕ (r,θ)=Cr cos2θ
(AIV-1)
Nous considérons l’élasticité plane en coordonnées polaires. On vérifie la compatibilité des
déplacements :
ΔΔ ϕ = 0
(AIV-2)
En coordonnées polaires :
2 2
2 2
∂ ϕ 1 ∂ ϕ 1 ∂ ϕ
∂ 1 ∂ 1 ∂
Δ ϕ = + + et Δ Δ ϕ = ( + + ) Δϕ
2 2 2
2 2 2
∂ r r ∂r r ∂θ
∂r r ∂r r ∂θ
∂ ϕ
=2Crcos2θ
∂
r
___________________________________________________________________________
155

Annexe IV Formulation analytique du problème de coin d’angle 90°
__________________________________________________________________________________________
2
2 =2Ccos2θ
∂ ϕ
∂ r
∂ ϕ
2
=-2Cr sin2θ et
∂ θ
2
∂ ϕ
2
=-4Cr cos2θ
2 ∂ θ
Ce qui donne Δ ϕ = 0 et donc ΔΔ ϕ = 0
Nous exprimons les contraintes avec la fonction d’Airy :
1 1
σ rr = ϕ 2 ,θθ ϕ ,r
r r
+ (AIV-3)
σ = ϕ (AIV-4)
θθ ,rr
1
σ rθ =-[ ϕ ,θ ] ,r
r
(AIV-5)
En remplaçant ces fonctions par ses expressions, on trouve :
σ rr =-2Ccos2θ (AIV-6)
σ θθ =2Ccos2θ (AIV-7)
σ rθ =2Csin2θ (AIV-8)
Tr(σ)=0 ⇔
3. Equations d’équilibre :
σ rr + σ θθ + σ zz =0 D’où
σ zz =0 (AIV-9)
On admet que l’axe X r
r est lié au point M de calcul.
On pose R=CA=CB, rayon du coin (ABC) et b largeur de la plaque.
L’équation d’équilibre locale s’écrit :
σ n =F ou r r
σ . n = F
(AIV-10)
ij j i
⎛ σ rr
⎜
σ =
⎜
σ θ r
⎜
⎝ 0
On pose :
σ rθ
σ θθ
0
0 ⎞
⎟
0
⎟
0 ⎟
⎠
CA=CB=R
b: la largeur de la pièce.
Sur tout point M du coin (ABC) on a :
⎛ cosθ ⎞
r r ⎜ ⎟
n=X r=
⎜
-sinθ
⎟
⎜ 0 ⎟
⎝ ⎠
⎛ FC
⎞
r ⎜ ⎟
F=
⎜
0
⎟
⎜ 0 ⎟
⎝ ⎠
(x 1 ,x 2 ,z)
(x 1 ,x 2 ,z)
L’équilibre du coin suivant la verticale s’écrit :
π
2
(AIV-11)
(AIV-12)
(AIV-13)
(AIV-14)
∫ (σrrcosθ-σrθsinθ)bRdθ+F =0
(AIV-15)
C
0
___________________________________________________________________________
156

Annexe IV Formulation analytique du problème de coin d’angle 90°
__________________________________________________________________________________________
En remplaçant les contraintes par ses expressions, on écrit :
π
2
∫
0
(-2Ccos2θcosθ-2Csin2θsinθ)bRdθ=-F
ce qui donne :
Fc
C=
2bR
(AIV-16)
D’où les expressions des contraintes en fonction de la force appliquée :
Fc
σ rr =- cos2θ
bR
Fc
σ θθ = cos2θ
bR
Fc
σ rθ = sin2θ
bR
4. Interprétations sur les contraintes
Pour θ=0 on a :
F
c
c
σ rr =- ; σ θθ = et rθ
bR b R
σ rr =σ θθ
F
___________________________________________________________________________
157
C
σ =0
R
(AIV-17)
(AIV-18)
(AIV-19)
Figure AIV.2. Variation des contraintes en fonction de la position par rapport au coin.
Quand on s’approche du coin (R tend vers 0) la contrainte tend vers l’infini, ce qui
explique la présence des déformations plastiques dès le premier chargement.
Quand on s’éloigne du coin (R tend vers + ∞) la contrainte devient très faible.
D’après l’expression (AIV-16), quand R tend vers 0, C tend vers l’infini. La fonction
d’Airy n’est plus définie. L’hypothèse de supposer que les déformations sont élastiques n’est
plus satisfaite lorsque l’on est très proche du coin.
Dès que l’on applique la première force sur le coin, il se forme une zone de contact entre
les deux pièces suite à une plasticité locale du coin d’angle.

Annexe IV Formulation analytique du problème de coin d’angle 90°
__________________________________________________________________________________________
5. Etude des déformations
Au voisinage du coin d’angle les déformations sont élastiques. En élasticité plane, les
composants du tenseur de déformation s’expriment comme suit :
1
∂U
r
ε rr = (σrr-νσ θθ )=
E ∂r
(AIV-20)
1 Ur1∂Uθ ε θθ = (σθθ -νσ rr )= +
E r r ∂θ
(AIV-21)
1+ν 1 1 ∂U
r ∂U
θ U θ
ε rθ = σ rθ = ( + - )
E 2 r ∂θ∂r r
En remplaçant les contraintes par ses expressions, on écrit :
(AIV-22)
2C
∂U
r
ε rr =- (1+ν)cos2θ=
E ∂r
(AIV-23)
2C Ur
1 ∂Uθ
ε θθ = (1+ν)cos2θ= +
E r r ∂θ
(AIV-24)
2C 1 1 ∂U
r ∂Uθ
Uθ
ε rθ = (1+ν)sin2θ= ( + - )
E 2 r ∂θ∂r r
(AIV-25)
L’intégration de ε rr donne l’expression de r U :
EU r =-r(1+ν)cos2θ+h(θ)
2C
Nous reportons r U dans l’expression de θθ
∂U
θ
=rεθθ -U r
D’où :
∂θ
∂Uθ
2C
= 2r(1+ν)cos2θ-h(θ)
∂θ
E
[ ]
θ
EU θ
=r(1+ν)sin2θ- h(v)dv+H(r)
θ0
ε :
(AIV-26)
2C ∫ (AIV-27)
Où h(θ) et H(r) sont des fonctions arbitraires qui seront déterminées par la vérification de
l’équation différentielle liant, ε rθ , r
U et U θ :
1 1 ∂U
r ∂Uθ
Uθ
ε rθ = ( + - )
2 r ∂θ∂r r
En dérivant r U et U θ , on écrit :
E ∂U
r
=2r(1+ν)sin2θ+h'(θ)
2C ∂θ
E ∂Uθ
=(1+ν)sin2θ+H'(r)
2C ∂r
2C
Or ε rθ = (1+ν)sin2θ
E
simplification :
θ
θ
0
, l’équation différentielle liant ε rθ , r
(AIV-28)
(AIV-29)
(AIV-30)
U et U θ s’écrit donc après
h'(θ) 1 1
+ h(v)dv+H'(r)- H(r)=0
r r∫ ∀ (r,θ )
(AIV-31)
r
___________________________________________________________________________
158

Annexe IV Formulation analytique du problème de coin d’angle 90°
__________________________________________________________________________________________
D’où :
θ
h'(θ )+ ∫ h(v)dv=H (r)-rH '(r)=B ∀ (r,θ )
(AIV-32)
θ 0
B est une constante puisque le 1 er membre dépend uniquement de θ et le second de r. On
peut donc mettre :
θ
∫
h'(θ)+ h(v)dv=B-A
Avec
0
0
∫
A= h(v)dv
θ 0
(AIV-33)
et B=H(r)-rH'(r) (AIV-34)
Les solutions de ces équations différentielles sont :
H(r)=B+Dr
h(θ)=h(0)cosθ+(B-A)sinθ
(AIV-35)
(AIV-36)
Avec D une constante réelle. La forme générale des déplacements est alors connue, il suffit
d’exprimer les conditions aux limites du problème pour déterminer les constantes.
6. Conditions aux limites de déplacements
Dans le cas d’un assemblage symétrique par rapport au plan médian du support on a :
U r (R,0)=0 d’où h(0)=R(1+ν )
(AIV-37)
Sur la face supérieure du support et loin du coin la déformation est négligeable, d’où :
D’où
Or
π
U r (R , ) →
2
0 quand R → ∞
h(0)*0+(B-A)+R(1+ν ) → 0 quand R → ∞ ce qui donne :
(B -A )= -R (1+ ν )
(AIV-38)
h(θ)=R(1+ν)(cosθ-sinθ) (AIV-39)
EU r
=-r(1+ν)cos2θ+h(θ) en déduire :
2C
2C
U r = (1+ν) [ R(cosθ-sinθ)-rcos2θ ]
E
D’où l’expression finale du déplacement U r :
F
; r ≤ Ret
[ ]
c
U r = (1+ν) R(cosθ-sinθ)-rcos2θ
bRE
Fc
C=
2bR
(AIV-40)
(AIV-41)
Le déplacement vertical vers le bas du coin C (r = 0 et θ = 0) est :
1+ν Fc
Delta90 = (AIV-42)
E b
___________________________________________________________________________
159

Annexe IV Formulation analytique du problème de coin d’angle 90°
__________________________________________________________________________________________
7. Conclusion et application au modèle de calcul
Pour un chargement concentré FC donné, sur une zone de rayon r du coin, la contrainte
peut dépasser la contrainte limite admissible du matériau du coin support. Cette zone subit
donc des déformations plastiques. La force FC ne reste pas concentrée sur l’arête vive du coin,
il se forme une surface de contact entre les deux pièces, suite à une plasticité locale du coin
d’angle. Après un certain nombre de cycles de chargement alterné, il ne reste plus de coin vif.
Il se forme un coin arrondi dont le rayon se stabilise dès les premiers cycles de chargement.
Un coin anguleux reste vif seulement si la limite élastique de son matériau est élevée ou
s’il est sollicité par des forces faibles. Ces conditions ne sont pas généralement celles d’un
assemblage fileté présentant un coin comme celui que nous modélisons. Il ne sera donc pas
utile d’appliquer la formule du déplacement élastique (AV-42) que nous avons montrée.
D’autre part nous cherchons un modèle pour dimensionner les éléments filetés en statique,
mais aussi en fatigue. Or, après quelques cycles de chargement il se forme forcément un coin
arrondi, il fallait alors chercher une expression de l’enfoncement qui caractérise bien cette
géométrie de contact.
___________________________________________________________________________
160

Annexe V
MODELES EXISTANTS DE CALCUL DES RAIDEURS D’UN
ASSEMBLAGE FILETE
On présente dans cette annexe les modèles qui peuvent être utilisés pour la détermination
des raideurs des éléments filetés et des pièces assemblées.
1. Raideur d’un élément fileté (boulon ou vis)
La raideur d’un élément fileté a fait l’objet de plusieurs études. Les modèles couramment
utilisés, (Figure AV.1) sont : le modèle VDI 2230 ([65], [67], [66]) et celui préconisé par
Guillot [23] au LGMT. Le calcul de la raideur s'appuie sur un modèle équivalent soumis à une
tension uniforme.
A0
Ai
AS
L 0
L 1
L 2
LGMT
ξ d
0,4d
___________________________________________________________________________
161
L
L 1
L 2
0,4d
δ GM
L p
VDI 2230
Figure AV.1 : Modèles de calcul des raideurs équivalentes d’un boulon ou d’une vis.
Modèle VDI 2230
La méthode VDI donne la souplesse équivalente :
δ s= δK+
δ1+
... + δGM
Soit d’une façon générale :
(AV-1)
1
δs
=
KB 1 ⎡l1+ 0,4d li
= ⎢ + ∑ Eb⎣A0 Ai l3
0,5d 0, 4d ⎤
+ + + ⎥
Ad3 Ad3 A0⎦
(AV-2)
Avec :
δK=0,4d/(Eb⋅A0):la raideur de la tête du boulon
A0: section de la tige de diamètre d (A0= πd²/4)
δGM=δG+δM = 0,5d/(Eb⋅Ad3)+ 0,4d/(Eb⋅A0): raideur de la partie filetée engagée de la vis
δ1=l1/(Eb⋅A0): raideur de la tige non filetée de diamètre d
δi=li/(Eb⋅Ai): raideur des sections lisses intermédiaires de diamètres di
δ3=l3/(Eb⋅Ad3): raideur de la partie filetée non engagée de diamètre d3
Soit en regroupant les termes :
1
δs
=
KB 1
=
Eb ⎡l1+ 0,8d li
⎢ + ∑
⎣ A0 Ai l3+ 0,5d⎤
+ ⎥
Ad3
⎦
(AV-3)

Annexe V Modèles existants de calcul des raideurs d’un assemblage fileté
__________________________________________________________________________________________
Modèle LGMT
La raideur équivalente KB d'un boulon qui assemble des pièces de longueur totale Lp est
prise égale à celle d'un modèle équivalent considéré comme soumis à une tension uniforme.
Nous avons donc :
1 1 ⎡l 0 + 0,4d li l + ξ ⋅ ⎤
1 d
= ⎢ + ∑ +
(AV-4)
⎥
K B E b ⎣ A0
Ai
As
⎦
Avec :
A0 section de la tige de diamètre d
AS section équivalente de la partie filetée (section résistante)
Eb module d'élasticité du matériau
Ai différentes sections de la tige entre les sections A0 et As
Les résultats obtenus sont tout à fait satisfaisants et le principe de la modélisation peut être
li
utilisé pour des vis et des boulons de formes spéciales avec le terme : ∑
A i
ξ : Coefficient dépendant des dimensions de l’écrou
ξ = 1,1 pour un écrou
ξ = 0,8 pour une pièce taraudée
2. Raideur des pièces assemblées
Pour le calcul de la raideur des pièces de nombreux modèles ont été proposés (VDI 2230
[67], N’Guyen [48], Wileman [69], Rasmussen [51], Massol [45]). Dans tous les cas, ce
calcul s’effectue à partir d’une section équivalente Ap (Figure AV.2) qui correspond au
cylindre qui chargé uniformément aurait la même raideur que la pièce considérée, d’où :
1 lp
= (AV-5)
K P Ap ⋅ Ep
Dans le cas d’assemblage de matériaux différents, nous considérons le modèle équivalent
de section Ap soumis à une compression uniforme de longueur lp1, lp2..... et de module
d'élasticité Ep1, Ep2.... On écrit:
1 1 ⎡ l
⎤
p1 lp2
1 lpi
= ⎢ + + .... ⎥ =
(AV-6)
∑
K P Ap ⎢⎣
E p1 E p2 ⎥⎦
Ap E pi
La plupart des travaux sont basés sur la notion de cône de déformation de même raideur
que celle des pièces ([65], [39]). Cette description permet par une approche purement
géométrique le traitement des empilages de pièces de diamètres différents. Toutefois, cela
oblige à introduire l’angle du cône comme un paramètre géométrique supplémentaire, qui est
lié par des relations empiriques diverses aux différentes caractéristiques de l’assemblage
([38], [42], [41]). Ils considèrent tous les pièces cylindriques et utilisent soit des essais soit
des simulations en éléments finis. Massol [45] a effectué des mesures pour valider sa
modélisation. Celles-ci, compte tenu de la difficulté à caractériser la variation de longueur des
pièces mesurées sur l’axe de l’assemblage donnent des résultats médiocres.
___________________________________________________________________________
162

Annexe V Modèles existants de calcul des raideurs d’un assemblage fileté
__________________________________________________________________________________________
LP
y
LP1
LP2
d
D t
x
DP
Da
E P1
E P2
3Da
LP2
___________________________________________________________________________
163
LP1
y
x
AP
Définition de DP pour des pièces prismatiques :
DP = (x+y)/2 avec x, y < 3Da
Figure AV.2 : Raideur des pièces assemblées.
Modèle VDI 2230 - 1983
Ce modèle a été mis au point expérimentalement. Une première expression a été donnée en
1977 puis modifiée en 1983. L’ensemble des travaux qui a amené à cette dernière expression
est décrit dans [67]. L’ensemble des paramètres définissant l’assemblage est pris en compte,
et à partir de l’hypothèse que la raideur est inversement proportionnelle au module d’élasticité
on peut l’exprimer comme la raideur d’une pièce de même longueur et de même module
d’élasticité que la pièce réelle et de section équivalente Ap chargée uniformément
(Figure AV.2). On a donc :
p
K p1=
E
A
p1
(AV-7)
L p1
A p
Kp2 = Ep2 (AV-8)
L p2
Ces travaux qui se sont déroulés sur une dizaine d’années ont donné lieu à plusieurs
formulations VDI 2230 1977, 1983, 1986 [67], [66]. Cette dernière formulation est souvent
celle donnée par les manuels spécialisés et a servi à de très nombreux calculs industriels. Elle
est synthétisée dans le tableau récapitulatif en fin d’annexe (Tableau AV.1) et se présente sous
la forme suivante :
π 2 2
1° cas : DP ≤ D a A P= (Da -D t )
(AV-9)
4
π 2 2 π
2
2° cas : Da ≤ DP ≤ D a+L P A P= (Da -D t )+ D a(Dp-D a)
⎡( + 1) −1)
⎤
4 8 ⎣
x (AV-10)
⎦
3° cas : Dp>(Da + Lp) (AV-11)
3Da

Annexe V Modèles existants de calcul des raideurs d’un assemblage fileté
__________________________________________________________________________________________
Pour le cas 3 Eq. (AV-11), la raideur des pièces assemblées reste constante même pour des
diamètres de pièce croissants. Le calcul de la section équivalente sera effectué en prenant
Dp=Da+Lp dans l’équation précédente.
Modèle VDI 2230 – 2003
Conscient de la médiocrité du modèle VDI 83, l’association des ingénieurs mécaniciens
allemands a piloté un grand nombre de travaux réalisés dans des laboratoires d’universités
allemandes et qui ont amené à la publication de nouvelles recommandations VDI 2230 en
2003 [65]. Ces travaux ont abouti à un ensemble cohérent qui permet de calculer la raideur de
pièces cylindriques et de leurs empilages.
La VDI 2230 s’appuie sur l’idée de Rotscher [54] qui consiste à assimiler la zone de
compression de la pièce à un cône dans chaque section duquel la contrainte est uniforme. Il
est alors facile de calculer la somme des déformations pour obtenir le déplacement total et de
calculer la souplesse de l’assemblage. Rotscher considérait un cône d’angle au sommet
constant de 45° et dans la VDI 2230 on considère un cône d’angle variable en fonction de la
géométrie des pièces et du type de fixation (boulon ou vis), Figure AV.3 et AV.4.
L p
Dp
Da
dt
Figure AV.3 : Assemblage boulonné, présence d’un cône et un cylindre de déformation.
Au LGMT, Massol [45] avait proposé une approche de même nature pour traiter les
empilages de pièces.
Lp
___________________________________________________________________________
164
ϕ
L cône
L cylindre
a) Cône de déformation équivalent b) Modèle de calcul
Lc
Figure AV.4 : Assemblage serré par vis.
ϕ Cône
Cylindre

Annexe V Modèles existants de calcul des raideurs d’un assemblage fileté
__________________________________________________________________________________________
La méthode utilise un paramètre W pour distinguer les deux types d’assemblage :
W = 1 assemblages par boulons ; W = 2 assemblages par vis.
Elle s’appuie sur le calcul de l’angle du cône ϕ déduit de simulations en éléments finis et
P
exprimé en fonction des paramètres adimensionnels : P
a
*
D L
P
L = et P
a
*
D = D
D
Pour un assemblage par boulon : tan ϕ = 0,362 + 0,032 ln Lp*/2+0,153 ln Dp*
Pour un assemblage par vis : tan ϕ = 0,348 + 0,013 ln Lp*+0,193 ln Dp*
Une autre donnée de base de cette modélisation est la limitation de la dimension de la base
du cône : Dp limite = Da + W.Lp.tan(ϕ)
- Pour Dp = Dp limite, on va se trouver dans la situation décrite (figure AV.4 a), la zone de
compression étant constituée de deux cônes équivalents :
W.E P.π.d t.tanϕ
K P =
(AV-12)
⎡ (D a+d t)(D a+W.L P.tanϕ-d t)
⎤
2ln ⎢ ⎥
⎣(Da-d t)(D a+W.L P.tanϕ+ d t)
⎦
- Quand on a: Da < D p < Dp limite alors la zone de compression équivalente est constituée de
cône(s) et de cylindre (figure AV.3 et AV.4 b) :
E.π P E.π P
K P =
+
(AV-13)
2 ⎡(D a+d t)(DP-d t)
⎤ 4 ⎡ (DP-D a)
⎤
.ln ⎢ ⎥ . L
2 2 P −
W.d D t.tan (Da-d t)(D P+d t)
a -d
⎢
t W.tanϕ
⎥
ϕ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
L’ensemble de la méthode est détaillé dans [65]. Son principal avantage est de donner une
expression pouvant être appliquée à de nombreux cas de figures dans le cas d’un chargement
symétrique, et notamment aux empilages de pièces. Cette nouvelle proposition VDI est
intéressante et donne de bons résultats. Elle est facile à pratiquer en calcul manuel, un peu
plus compliquée à programmer à cause de la description géométrique de la zone équivalente
comprimée.
Modèle de Rasmussen
Rasmussen [51] a effectué un calcul du déplacement de la surface supérieure de la pièce
mesuré sur le cercle moyen de contact, en modélisant par éléments finis la pièce et le boulon.
La modélisation est plus proche de la réalité, mais comme la déformation n'est évidemment
pas plane alors caractériser la raideur à partir du déplacement moyen est tout à fait arbitraire.
Rasmussen propose une expression unique pour le calcul de la section équivalente à partir des
grandeurs sans dimensions caractéristiques de la géométrie de la pièce, ce qui permet une
représentation graphique plus synthétique des nombreux cas de calcul.
Le modèle proposé par Rasmussen est basé sur une étude en éléments finis (Figure AV.5).
Bien que la discrétisation du modèle EF soit assez grossière, il prend en compte la
déformation au contact, ce qui présente deux avantages :
- il considère à la fois la pièce et la vis et est tout à fait représentatif de la réalité, même si
les dimensions retenues pour la tête de vis (1,5d) ne sont pas totalement conformes à la
norme.
- à partir d’un nombre suffisant de simulations couvrant un large domaine d’utilisation,
l’auteur propose une seule formule de calcul à partir de paramètres géométriques
adimensionnés par rapport au diamètre d’appui de la tête de la vis Da.
___________________________________________________________________________
165

Annexe V Modèles existants de calcul des raideurs d’un assemblage fileté
__________________________________________________________________________________________
Figure AV.5 : Modèle E.F de Rasmussen
Les vis étudiées sont hexagonales standard (ISO) de diamètre nominal d (figure AV.6).
K
Dp
Da
d
Dt
Figure AV.6 : Définition des paramètres de l’assemblage.
Les paramètres adimensionnels sont définis par :
D
D
= ;
D
* P
P
a
t
t
a
*
D = ;
p
p
a
*
L = ; *
K = ; *
*
d = et P
AP
2
D Da
Da
a
D D
L
K
___________________________________________________________________________
166
d
Lp
A
= (AV-14)
D
Le domaine étudié est large et défini par Dp * =1 à 10 et Lp * =0.5 à 10 et pour des boulons
6

Annexe V Modèles existants de calcul des raideurs d’un assemblage fileté
__________________________________________________________________________________________
réelle à l’interface. Ainsi, on peut déduire la raideur de la pièce si l’on connaît avec précision
la raideur du boulon. Pour s’affranchir de la raideur du boulon dont on ne maîtrise pas la
valeur exacte, Massol utilise la technique de double simulation avec deux matériaux différents
des pièces assemblées. Il obtient alors directement la raideur de la pièce. Il a calculé toutes les
sections équivalentes réduites des pièces, Eq. (AV-17) en fonction des trois paramètres
géométriques adimensionnels déjà utilisés par Rasmussen, Eq. (AV-16).
t
t
a
*
*
D = ; P *
DP
= ; P
P
a
a
D D
A
D
D
D
L
L
= (AV-16)
D
a 2
p
p *
A = (AV-17)
Le choix de Da comme paramètre privilégié se justifie par le fait que la norme le fixe
sensiblement proportionnel au diamètre nominal et que c’est lui qui détermine la zone
d’introduction des efforts dans la pièce. La plage explorée est définie par :
0.62 Dt
0.71 * ≤ ≤ ; 1 Dp
5
* ≤ ≤ et 1.6 Lp
2.
5
* ≤ ≤
MASSOL a finalement proposé une nouvelle formule donnant la section équivalente
réduite, en modifiant la formule donnée par Rasmussen :
⎡ 0.35 + −1⎤
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎣ ⎦
* *2
* π *2
*2 −1 LP 1+ 2LP
P = (1 − Dt
) + 0.61( P −1).
*2 *2
4 2.04( D P − Dt
)
A D tg
(AV-18)
Cette expression qui a été validée expérimentalement en mesurant les déplacements
moyens sous tête donne de très bons résultats, dans le domaine étudié. Le remplacement du
coefficient 0,5 par 0,61 dans le deuxième terme n’est pas convenable. En effet lorsque
DP * = Dt * on doit avoir AP * = 0 ce qui implique un coefficient de 0,5.
On récapitule les trois modèles de calcul de raideurs de pièces (Tableau AV.1) et on
constate d’après les études de comparaison des modèles cités précédemment, menées au
laboratoire LGMT ([23], [3], [45]) que :
- Les méthodes de VDI (83) et de Rasmussen ont une précision équivalente, mais que celle
de Rasmussen minimise la raideur ce qui va dans le sens de la sécurité.
- La méthode Rasmussen modifié proposé par le LGMT offre une meilleure précision que
celle de Rasmussen.
- La méthode Rasmussen modifié doit être appliquée avec précaution dans le cas des
assemblages par vis et goujons, étant donné que cette formulation a été établie pour des
assemblages boulonnés.
Enfin Les modèles de calcul des raideurs des éléments filetés et des pièces assemblées servent
à faire des calculs en statique et en fatigue des éléments filetés. Ils permettent de réaliser des
modélisations en EF équivalentes plus simples en modélisant le filetage en assemblage
continu ou en créant un super-élément boulon à deux nœuds intégrable dans un modèle de
calcul de structure.
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167

Référence
Modèle VDI 1983
Modèle
Rasmussen
Modèle LGMT :
Rasmussen modifié
Annexe V Modèles existants de calcul des raideurs d’un assemblage fileté
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Tableau récapitulatif pour le calcul des raideurs des pièces (ou la section Ap) :
LP
Cas 1 Cas 2 Cas 3
d
Dt
DP
Da
L P
d
D t
D P
D a
DP ≤ Da Da < DP < Da + LP DP ≥ Da + LP
π 2 2
= ⋅ ( D D ) π 2 2 π
π 2 2 π
= ⋅ ( D − D ) + ⋅ D ⋅ ( D − D ) ⋅ ( X + 2)
⋅ X = ⋅ ( D − D ) + ⋅ D ⋅ L ⋅ ( X + 2)
⋅ X
AP p −
4
t
AP a t a p a
4
8
4
8
Serrage par écrou Serrage dans un trou borgne Serrage par écrou Serrage dans un trou borgne
X =
3
L
⋅ D
p a
2
Dp
P
2
a
⎛ L
X =
⎜
⎝ D
___________________________________________________________________________
168
a
p
P
⎞
⎟
⎠
0,
2
a
L P
d
D t
D P
D a
AP a t a p
X =
* A * DP
* LP
* D
A P=
DP
= LP
= Dt
=
D D D D
* π * 2 1
AP
= ( 1−D
t ) + ( D
4 2
P
2
a
* 2
P
−1)
tan
a
−1
3
L
⎡ *
0.
35 L + +
⎢ P 1 2L
* 2 * 2
⎢ 2(
D −D
)
⎣ P t
* A * DP
* LP
* D
A P=
DP
= LP
= Dt
=
D D D D
* π * 2
AP
= ( 1−D
t ) + 0,
61(
D
4
* 2
P
−1)
tan
−1
a
a
2
a
( L + D )
t
a
t
a
p
p
* 2
P
⋅ D
−1⎤
⎥
⎥
⎦
⎡ * * 2
0.
35 L + + − ⎤
⎢ P 1 2LP
1
⎥
* 2 * 2
⎢ 2,
04(
D −D
) ⎥
⎣
P t ⎦
⎛ L ⎞ p
X = ⎜ ⎟
⎜ Lp
D ⎟
⎝ + P ⎠
Tableau AV.1 : Calcul des raideurs des pièces (Détermination de la section AP).
0,
2

Titre : Modélisation d’une fixation par éléments filetés d’une structure à forte excentration de
chargement et soumise à des sollicitations en fatigue.
Résumé: Dans ce mémoire, un outil numérique de dimensionnement d’une fixation par
éléments filetés d’une structure à forte excentration de chargement est présenté. Il s’agit du
développement d’un modèle numérique pour un assemblage type d’une pièce prismatique
fixée sur son support par deux vis ou deux boulons. Les axes des vis et celui de la force
appliquée à l’assemblage sont parallèles et situés dans le même plan. Le modèle proposé est
construit à partir d’éléments finis unidimensionnels, représentant les pièces, et d’éléments
ressorts modélisant le contact élastique entre les deux pièces assemblées. La particularité du
modèle est la prise en compte de l’évolution de la zone de contact en fonction du chargement
extérieur. La déformation locale du au contact de la pièce assemblée avec le coin de son
support est formulée. Un algorithme qui réactualise la matrice de rigidité de contact est
développé. La résolution numérique est associée à un programme développé en Langage C,
donnant les contraintes sollicitant les vis d’assemblage en statique et en dynamique. Des
simulations éléments finis tri- dimensionnels et une étude expérimentale ont été réalisées. Le
comportement et les résultats du modèle développé sont validés. La méthode de plan
d’expériences est appliquée pour l’analyse des effets des paramètres de l’assemblage sur le
comportement en fatigue des vis de fixation. Le modèle est ensuite étendu et appliqué à
d’autres configurations d’assemblages multi- boulonnés.
Spécialité : Génie Mécanique
Mots-clés : Assemblages boulonnés, Dimensionnement, Modélisation de structures, Eléments
Finis, Non linéarité de contact, Fatigue.
___________________________________________________________________________
Title: Modeling of a threaded elements joint of a structure subjected to high eccentric fatigue
loading.
Abstract: This PhD thesis presents a numerical tool for dimensioning threaded elements
joint of a structure subjected to high eccentric fatigue loading. The model is relative to a basic
joint prismatic part fixed on its supporting structure by two fasteners (screws or bolts) whose
axes are parallel and coplanar with external loading. This model is established from
unidirectional finite elements to represent the subassemblies and the screws. The elastic
contact between subassemblies is modelled by linear springs. The main advantage of the
model is considering the evolution of the contact zone with external loading. Moreover, Local
deformation due to the contact between the lower part angle and the upper connected
subassembly is formulated. An algorithm which updates the contact stiffness matrix and sets
out forces and displacements at each node of the structure is developed and coded under C.
The main contribution of this program is the evaluation of the stresses in both static and
fatigue. 3D Finite Elements calculations and experimental tests were conducted to validate the
behavior of the model and results. A statistical software method is applied to set out joint
parameters effects on fasteners fatigue. The numerical dimensioning model is finally extended
to others configurations of multi bolted joints.
Speciality: Mechanical Engineering
Keywords: Bolted joints, Dimensioning, Structures modelling, Finite elements, Contact nonlinearity,
Fatigue.
Laboratoire de Génie Mécanique de Toulouse, 135 avenue de Rangueil 31077 Toulouse Cedex 04 France.
Laboratoire de mécanique des solides, de structures et de développement technologique, ESST de Tunis Tunisie.