Chapitre 3 : Filtrage morphologique – analyse granulométrique - Ensta
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<strong>Chapitre</strong> 3 : <strong>Filtrage</strong> <strong>morphologique</strong> <strong>–</strong> <strong>analyse</strong> <strong>granulométrique</strong><br />
• Filtres <strong>morphologique</strong>s.<br />
• Ouvertures et fermetures algébriques.<br />
• Analyse <strong>granulométrique</strong>.<br />
• Filtres alternés séquentiels.<br />
• Pyramides et espaces d’échelles <strong>morphologique</strong>s.<br />
Cours de Morphologie Mathématique Antoine MANZANERA <strong>–</strong> ENSTA/LEI<br />
63
L’approche <strong>morphologique</strong> du filtrage<br />
En traitement linéaire des<br />
images, filtrer, c’est<br />
éliminer certaines<br />
composantes fréquentielles<br />
des images.<br />
<strong>Filtrage</strong> = Convolution<br />
En morphologie mathématique, filtrer, c’est simplifier<br />
l’image en supprimant certaines structures<br />
géométriques (en général implicitement définies par<br />
un ou plusieurs éléments structurants).<br />
Le filtre <strong>morphologique</strong> simplifie l’image en<br />
préservant la structure, mais il perd en général de<br />
l’information (→ Croissance).<br />
Le filtre <strong>morphologique</strong> est stable et possède une<br />
classe d’invariance connue (→ Idempotence).<br />
Cours de Morphologie Mathématique Antoine MANZANERA <strong>–</strong> ENSTA/LEI<br />
64
Rappel : ouvertures et fermetures <strong>morphologique</strong>s<br />
l’ouverture <strong>morphologique</strong> de X par B.<br />
γ ( ) = X o B = δ ( ε X =<br />
(<br />
X ⊗ B ⊕<br />
x<br />
B<br />
X B B<br />
CROISSANCE<br />
≤ y<br />
B<br />
⇒<br />
( ( ) ) ( ) B<br />
γ ( ) ≤ γ ( y)<br />
B<br />
x B<br />
ϕ ( ) ≤ ϕ ( y)<br />
B<br />
x B<br />
IDEMPOTENCE<br />
Cours de Morphologie Mathématique Antoine MANZANERA <strong>–</strong> ENSTA/LEI<br />
B<br />
B<br />
la fermeture <strong>morphologique</strong> de X par B.<br />
ϕ ( ) = X • B = ε ( δ X =<br />
(<br />
X ⊕ B ⊗<br />
( γ B ( x) ) γ B ( x)<br />
( ϕ ( ) ) ϕ ( x)<br />
B<br />
B<br />
γ =<br />
ϕ =<br />
x B<br />
X B B<br />
( ( ) ) ( ) B<br />
X γ ( X )<br />
ϕ<br />
( X )<br />
B<br />
EXTENSIVITE<br />
L’ouverture est<br />
anti-extensive :<br />
La fermeture est<br />
extensive :<br />
B<br />
γ ( x)<br />
≤<br />
B<br />
x ≤ ϕ B<br />
x<br />
(x)<br />
65
x y ⇒ψ<br />
( x)<br />
≤ψ<br />
( y)<br />
Filtres <strong>morphologique</strong>s<br />
≤ ψ ( ψ ( x) ) = ψ ( x)<br />
ouv / ferm<br />
<strong>morphologique</strong>s<br />
Un filtre <strong>morphologique</strong> est un opérateur ψ croissant et idempotent :<br />
On peut construire différentes familles de filtres <strong>morphologique</strong>s à partir<br />
des filtres de base, l’ouverture et la fermeture <strong>morphologique</strong>s :<br />
Combinaisons<br />
sup/inf<br />
sup d’ouv /<br />
inf de ferm<br />
filtres alternés<br />
séquentiels<br />
Cours de Morphologie Mathématique Antoine MANZANERA <strong>–</strong> ENSTA/LEI<br />
Opérateurs<br />
géodésiques<br />
ouv / ferm par<br />
reconstruction<br />
nivellements<br />
Filtres<br />
<strong>morphologique</strong>s<br />
Ouv /Ferm<br />
algébriques<br />
Granulométries<br />
66
ex :<br />
Ouvertures et fermetures algébriques<br />
PROPRIETE<br />
Les ouvertures et fermetures algébriques généralisent<br />
les ouvertures et fermetures <strong>morphologique</strong>s.<br />
•Uneouverture algébrique est un filtre <strong>morphologique</strong> anti-extensif.<br />
•Unefermeture algébrique est un filtre <strong>morphologique</strong> extensif.<br />
Image originale Ouverture morpholoqique<br />
par un segment vertical<br />
Cours de Morphologie Mathématique Antoine MANZANERA <strong>–</strong> ENSTA/LEI<br />
• Un sup d’ouvertures <strong>morphologique</strong>s est une ouverture algébrique<br />
• Un inf de fermetures <strong>morphologique</strong>s est une fermeture algébrique<br />
Ouverture morpholoqique<br />
par un segment horizontal<br />
Ouverture algébrique par<br />
union des deux ensembles<br />
67
Granulométries<br />
L’<strong>analyse</strong> <strong>granulométrique</strong> est l’étude de la taille des objets fondée sur le principe du<br />
tamisage : sélection des objets par un ensemble de tamis de différentes tailles.<br />
ex1 :<br />
Formellement, une granulométrie peut être définie par une famille d’ouvertures :<br />
( γ ) +<br />
λ<br />
λ∈R<br />
( ) λ λ≥0<br />
Ouvertures par des boules euclidiennes de rayon λ<br />
γ telle que :<br />
0 ≤<br />
λ ≤ λ'<br />
⇒ γ λγ<br />
λ'<br />
= γ λ'γ<br />
λ = γ λ'<br />
Cours de Morphologie Mathématique Antoine MANZANERA <strong>–</strong> ENSTA/LEI<br />
( γ ) λ λ∈N<br />
ex2 : Ouvertures par une<br />
suite croissante de<br />
boules discrètes<br />
68
Granulométrie et anti-granulométrie<br />
La famille des opérateurs duaux (fermetures de taille croissante) est une anti-granulométrie :<br />
granulométrie<br />
anti-granulométrie<br />
Cours de Morphologie Mathématique Antoine MANZANERA <strong>–</strong> ENSTA/LEI<br />
69
anti-granulométrie<br />
Fonction de distribution <strong>granulométrique</strong><br />
Soit µ une mesure bornée sur un treillis E (aire, intégrale…)<br />
Pour x∈E, on note xλ (resp. x-λ ) l’image de x par l’opérateur de granulométrie<br />
(resp.d’anti-granulométrie) d’indice λ.<br />
F x<br />
µ ( xλ<br />
)<br />
( λ)<br />
= 1−<br />
la fonction de distribution sur x de la granulométrie<br />
µ ( x )<br />
On note ( λ ) λ<br />
Cours de Morphologie Mathématique Antoine MANZANERA <strong>–</strong> ENSTA/LEI<br />
0<br />
Fx<br />
(λ)<br />
original granulométrie<br />
γ<br />
λ<br />
70
anti-granulométrie<br />
Spectre <strong>granulométrique</strong><br />
Le spectre <strong>granulométrique</strong> est la dérivée de la fonction de distribution <strong>granulométrique</strong> :<br />
f ( ) = F'<br />
( λ)<br />
λ x<br />
Cours de Morphologie Mathématique Antoine MANZANERA <strong>–</strong> ENSTA/LEI<br />
x<br />
f x(λ<br />
)<br />
original granulométrie<br />
λ<br />
71
L’<strong>analyse</strong> <strong>granulométrique</strong><br />
Etude quantitative des images par la mesure de la<br />
contribution de chaque composante à l’image globale :<br />
Traitement linéaire :<br />
Transformée de Fourier<br />
Composantes = sinusoïdes complexes<br />
v<br />
Ln(||F(u,v)||)<br />
Cours de Morphologie Mathématique Antoine MANZANERA <strong>–</strong> ENSTA/LEI<br />
u<br />
Morphologie mathématique :<br />
Analyse <strong>granulométrique</strong><br />
Composantes = famille de boules<br />
f x(λ<br />
)<br />
Historiquement : une des premières<br />
application de la morphologie mathématique<br />
était l’étude quantitative des sols poreux par<br />
<strong>analyse</strong> <strong>granulométrique</strong> de coupes<br />
microscopiques.<br />
λ<br />
72
Théorème<br />
Matheron 1988<br />
Construction des filtres alternés<br />
L’ensemble des filtres sur un treillis complet E forme un treillis ℑ<br />
ξ , ψ ∈ ℑ<br />
Soient tels que<br />
• De plus, on a l’équivalence :<br />
Cours de Morphologie Mathématique Antoine MANZANERA <strong>–</strong> ENSTA/LEI<br />
ξ ≤ψ<br />
ψξ ≤ ξψ ⇔ψξψ<br />
= ξψ ⇔ ξψξ = ψξ<br />
ξψ<br />
dem : (1) filtres (idempotence) : ξψ = ξξξψ ≤ ξψξψ ≤ ξψψψ = ξψ<br />
(2) ordres :<br />
• L’ensemble ci-contre est un sous-treillis de ℑ<br />
:<br />
ψ<br />
ξψξ = ξξξξψξ ≤ ξψξξψξ ≤ ξψψψψξ =<br />
ξ<br />
ψξψ<br />
ψξ<br />
ξψξ<br />
ψψξ = ψξ = ψξξ<br />
ξ = ξξξ ≤ ξψξ ≤<br />
≤ ψξψ ≤ ψψψ = ψ<br />
ξψψ = ξψ = ξξψ<br />
(3) plus petit majorant :<br />
soit ζ un filtre tel que et alors<br />
ξψξ<br />
ζ ≥ ξψ ζ ≥ ψξ ζ = ζζ ≥ ψξξψ = ψξψ<br />
(4) équivalence : ξψ = ψξψ ⇒ ξψ ≥ ψξξ = ψξ<br />
et<br />
ψξ ≤ ξψ ⇒ ψξψ ≤ ξψψ = ξψ = ξξψ ≤ ψξψ<br />
73
On prend : ξ = γ<br />
élément<br />
structurant<br />
ϕγϕ<br />
Exemple de filtres alternés<br />
I γ ϕ<br />
Cours de Morphologie Mathématique Antoine MANZANERA <strong>–</strong> ENSTA/LEI<br />
ψ = ϕ<br />
(ouverture <strong>morphologique</strong>) (fermeture <strong>morphologique</strong>)<br />
ϕγ γϕ γϕγ<br />
74
Filtres alternés séquentiels<br />
( γ ) λ λ≥0<br />
( ) Soit une granulométrie, et<br />
λ λ ≥0<br />
Alors les opérateurs suivants :<br />
Θλ<br />
= ϕλ λ<br />
Ξλ<br />
=<br />
Cours de Morphologie Mathématique Antoine MANZANERA <strong>–</strong> ENSTA/LEI<br />
2<br />
2<br />
γ<br />
γ ... ϕ γ ϕ γ<br />
γ λ λ<br />
2<br />
2<br />
*<br />
= ϕ λ<br />
l’anti-granulométrie associée<br />
1<br />
ϕ ... γ ϕ γ ϕ<br />
( ) sont des filtres, dits filtres alternés séquentiels associés à la granulométrie λ λ≥0<br />
Propriétés d’absorption :<br />
λ ≤ λ'<br />
⇒<br />
Θ<br />
Ξ<br />
Θ<br />
=<br />
Θ<br />
λ ' λ λ '<br />
Ξ<br />
=<br />
Ξ<br />
λ ' λ λ '<br />
mais<br />
mais<br />
1<br />
1<br />
1<br />
Θ<br />
Ξ<br />
λ<br />
λ<br />
Θ<br />
Ξ<br />
≤<br />
Θ<br />
λ ' λ '<br />
≤<br />
Ξ<br />
λ ' λ '<br />
γ<br />
Serra 1988<br />
75
et<br />
et<br />
d’où<br />
Filtres alternés séquentiels : démonstration des propriétés<br />
Filtre <strong>morphologique</strong> (idempotence) :<br />
λ ≤ λ'⇒<br />
γ λ ' ≤ γ λ ≤ ϕλ<br />
≤ ϕλ<br />
'<br />
donc<br />
Propriétés d’absorption :<br />
Cours de Morphologie Mathématique Antoine MANZANERA <strong>–</strong> ENSTA/LEI<br />
( ∗)<br />
(*) ⇒ ϕ λγ<br />
λ ≥ γ λγ<br />
λ = γ λ ≥ γ λ ' ⇒ ϕλ<br />
'γ<br />
λ 'ϕλγ<br />
λ ≥ ϕλ<br />
'γ<br />
λ 'γ<br />
λ ' = ϕλ<br />
'γ<br />
λ '<br />
(*) ⇒ ϕ λγ<br />
λ ≤ ϕλϕλ<br />
= ϕλ<br />
≤ ϕλ<br />
' ⇒ ϕλγ<br />
λϕλ<br />
'γ<br />
λ ' ≤ ϕλ<br />
'ϕλ<br />
'γ<br />
λ ' = ϕλ<br />
'γ<br />
λ '<br />
λ ≤ λ'<br />
⇒ ϕλγ<br />
λϕλ<br />
'γ<br />
λ ' ≤ ϕλ<br />
'γ<br />
λ ' ≤ ϕλ<br />
'γ<br />
λ '<br />
ϕλ γ λ ϕ2<br />
γ 2ϕ1γ<br />
1ϕλγ<br />
λ...<br />
ϕ2γ<br />
2ϕ1γ<br />
1 ≥ ϕλγ<br />
λϕλγ<br />
λ...<br />
ϕ2γ<br />
2ϕ1γ<br />
1 = ϕλγ<br />
λ<br />
... ... ϕ γ ϕ γ<br />
ϕλ γ λ ϕ2<br />
γ 2ϕ1γ<br />
1ϕλγ<br />
λ...<br />
ϕ2γ<br />
2ϕ1γ<br />
1 ≤ ϕλγ<br />
λϕλγ<br />
λ...<br />
ϕ2γ<br />
2ϕ1γ<br />
1 = ϕλγ<br />
λ<br />
... ... ϕ γ ϕ γ<br />
Θ<br />
λ '<br />
Θ<br />
λ<br />
=<br />
=<br />
( ϕλ<br />
'γ<br />
λ '...<br />
ϕλ<br />
+ 1γ<br />
λ+<br />
1)(<br />
ϕλγ<br />
λ...<br />
ϕ2γ<br />
2ϕ1γ<br />
1)(<br />
ϕλγ<br />
λ...<br />
ϕ2γ<br />
2ϕ1γ<br />
1)<br />
( ϕλ<br />
'γ<br />
λ '...<br />
ϕλ<br />
+ 1γ<br />
λ+<br />
1)(<br />
ϕλγ<br />
λ...<br />
ϕ2γ<br />
2ϕ1γ<br />
1)<br />
= Θλ<br />
'<br />
( ϕ γ ... ϕ γ ϕ γ )( ϕ γ ... ϕ γ )( ϕ γ ... ϕ γ ϕ γ )<br />
Θ λΘ<br />
λ ' = λ λ 2 2 1 1 λ ' λ ' λ+<br />
1 λ+<br />
1<br />
≤<br />
Θ<br />
λ '<br />
λ<br />
ϕ<br />
λ<br />
λ<br />
γ<br />
λ<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
1<br />
2<br />
2<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
76
Application à la réduction du bruit<br />
Les filtres alternés séquentiels conduisent à<br />
une bonne réduction du bruit grâce à une<br />
élimination progressive des pics et des creux<br />
de faible surface.<br />
Original Application directe<br />
du filtre alterné γ 4 φ 4<br />
Ξ 1 Ξ 2 Ξ 5 Ξ 8<br />
Cours de Morphologie Mathématique Antoine MANZANERA <strong>–</strong> ENSTA/LEI<br />
77
Original f(x)<br />
Bruit ε(x)<br />
Application à la réduction du bruit<br />
Somme f(x)+ε(x)<br />
…en 1d :<br />
Cours de Morphologie Mathématique Antoine MANZANERA <strong>–</strong> ENSTA/LEI<br />
Application directe<br />
du filtre alterné φ 5 γ 5<br />
Θ 2 Θ 3 Θ 4 Θ 5<br />
78
Espace d’échelle <strong>morphologique</strong><br />
Une granulométrie induit un espace d’échelle (scale-space), qui fournit<br />
une représentation des images à différents niveaux de détail.<br />
Cours de Morphologie Mathématique Antoine MANZANERA <strong>–</strong> ENSTA/LEI<br />
79
1<br />
curv<br />
Espace d’échelle, EDP et filtrage <strong>morphologique</strong><br />
Le filtrage <strong>morphologique</strong> peut être exprimé<br />
dans le formalisme des Equations aux Dérivées<br />
Partielles (EDP). Ici la simplification<br />
progressive de l’image se traduit par un<br />
phénomène de diffusion. Le respect du principe<br />
d’invariance par changement de contraste<br />
implique la contrainte suivante sur la forme de<br />
l’équation :<br />
( I ) ( z)<br />
∂I<br />
∂t<br />
=<br />
∇I<br />
G(curv( I),<br />
t)<br />
avec G(x,y) continue et croissante par rapport à x.<br />
z<br />
courbe isophote<br />
de valeur I(z)<br />
Cours de Morphologie Mathématique Antoine MANZANERA <strong>–</strong> ENSTA/LEI<br />
L’une des équations de diffusion invariante par changement<br />
de contraste la plus simple dans le formalisme EDP est la<br />
diffusion par courbure moyenne (G(x,y) = x) :<br />
t = 0 t = 5<br />
t = 20 t = 100<br />
diffusion par courbure moyenne<br />
∂I<br />
=<br />
∂t<br />
∇I<br />
curv( I)<br />
80
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