5. Introduction à la couche limite turbulente De ... - wwwdfr - Ensta

5. Introduction à la couche limite turbulenteDe manière implicite, nous n'avons jusqu'à présent parlé que d'"écoulement laminaire"(Laminar Flow). Une définition de l'Écoulement Laminaire serait par exemple, dans le casde l'écoulement de Poiseuille (c.f. PC 3), de dire que le fluide s'écoule en "lamelles"concentriques (c'est la définition de Schlichting page 11), u ne dépend que de r, mais ils'agit plus d'une observation que d'une vraie définition. Une définition simplette seraitalors de dire que l'on appelle solution laminaire toute solution des équations de NavierStokes stationnaires. Par extension, on peut introduire le temps; une solution de NavierStokes instationnaire (avec le terme ∂/∂t) sera laminaire si elle ne varie pas trop vite enespace et en temps...Car c'est bien là une des caractéristiques visibles des écoulements turbulents: leursvariations brusques.Avant d'étudier les écoulements turbulents, que dans un premier temps nous définironscomme "rapidement" variables expliquons en deux mots comment un écoulementstationnaire est destabilisé puis comme il devient turbulent...Reprenons Landau & Lifshitz (1989) (§26) et citons le: il convient de remarquer que "toutproblème concernant l'écoulement de fluide visqueux dans des conditions stationnairesdonnées doit posséder, ne serait ce qu'en principe, une solution stationnaire exacte deséquations de l'hydrodynamique" (ce qui n'est pas encore prouvé mathématiquement en3D, c.f. le prix Clay). "Or certaines de ces solutions même si elles sont exactes, ne sontpas vérifiées dans la Nature" (N majuscule). "Les écoulements" (sous entendu,laminaires) "qui existent dans la Nature doivent être stables: de petites perturbations qui yprennent naissance doivent s'atténuer au cours du temps."- 5.1 -

5.1. Notions de "stabilité hydrodynamique"Avant donc d'en venir à un écoulement paraissant totalement désorganisé posonsquelques notions de stabilité. Partant d'un écoulement laminaire stationnaire donné, onconstruit des paramètres de contrôle (qui sont en fait des nombres sans dimensionscomme le nombre de Reynolds).Un exemple adapté à la thermique est celui de "Rayleigh Bénard" (dont nous avons déjàparlé): une certaine épaisseur de fluide au repos est chauffée à sa base et refroidie à lasurface. La solution "laminaire" (solution de "base") est la solution de conduction pure: latempérature varie linéairement, la vitesse est nulle!!! Cependantr, on observe l'apparitionde rouleaux qui détruisent cet état de base lorsque l'écart de température dépasse uncertain seuil. C'est ce que l'on appelle la perte de stabilité: les perturbations ne sont plusatténuées et ont modifié l'écoulement ce qui mène à une nouvelle solution.La première étape consiste donc, après avoir posé les équations (ici Navier Stokes avecapproximation de Boussinesq), à adimensionner les équations et trouver les paramètres decontrôle: dans le cas de "Rayleigh Bénard" ce sera le nombre de Rayleigh qui vientnaturellement:gα∆T L3R a = .νκLa méthode consiste à rechercher de petites perturbations sous la forme:u = u 0 + ε U(y) e ikx-iωt .C'est ce que l'on appelle la décomposition en modes propres. La forme exponentiellevient de l'invariance par translation du problème de base de solution u 0 (dans le cas de RBc'est 0). Les équations sont linéarisées autour de cette solution de base u 0 , ε est un petitparamètre arbitraire qui ne sert qu'à linéariser. On cherche la relation de dispersion k(R a )et ω(R a ), telle que U(y) puisse vérifier les conditions aux limites. On discute ensuite, à kréel fixé le signe de la partie imaginaire de ω tel qu'il y ait amplification en temps...Une fois que la valeur du paramètre critique a été obtenue (par une théorie oul'expérience), il y a encore des zones d'ombre! Au delà du seuil, les perturbations sontamplifiées, et de manière schématique (premières éditions du Landau §27, depuis lesrésultats portant sur les systèmes dynamiques ont clarifié cette intuition), on peut dire quede plus en plus de fréquences apparaissent, l'ordre de grandeur des distances surlesquelles varie l'écoulement devient de plus en plus petit. "Pour R>Rc, le flot devient deplus en plus compliqué et on le désigne sous le nom d'écoulement turbulent pour ledistinguer de l'écoulement laminaire qui est régulier dans ce sens que le fluide s'écoulepour ainsi dire par couches ayant des vitesses différentes". Le passage de l'état laminaire à- 5.2 -

l'état turbulent est ce que l'on appelle la "transition"... Ce champ de recherche est unediscipline à part entière de la mécanique des fluides.Cette première étape est en fait théorique (difficile à maîtriser, ou plutôt "contrôler"). Iln'est pas rare que la transition turbulente soit imposée (en mettant, par exemple, unebande rugueuse sur la paroi dès le bord d'attaque!), on est alors sûr d'être en régimeturbulent tout le long de l'aile (ce qui augmente le C f , en revanche on y gagne car ledécollement de la couche limite est plus difficile); on a volontairement dégradé le dispositifphysique pour se placer dans une configuration que l'on sait à peu près calculer!!! Detoutes façons les écoulements industriels sont en général turbulents.Il faut dire un mot sur la différence entre le Chaos et la Turbulence. Ici encore le motChaos n'a pas de définition simple, si ce n'est qu'il est employé pour les systèmesdynamiques (qui ont un nombre fini de degrés de liberté, en revanche NS a un nombreinfini de degrés de liberté).Au final, une définition précise de la turbulence est donc difficile à donner (Tennekes &Lumley (1978) page 1), on peut cependant faire un catalogue:-l'état turbulent est caractérisé par des variations rapides irrégulières et aléatoires de lavitesse-les mélanges sont importants et plus rapidement faits que par la diffusivité habituelle.-le nombre de Reynolds est grand-l'écoulement est 3D, il est rotationnel.-l'énergie est dégradée: les écoulements turbulents dissipent l'énergie.-les échelles mises en jeux ne sont pas celles des échanges moléculaire (le cadre de lamécanique des milieux continus reste valable)-les caractéristiques sont les mêmes pour tous les fluides (gaz ou liquides), la turbulencen'est pas une propriété du fluide mais seulement un régime particulier.- 5.3 -

5.2. Observations expérimentales:Ci dessous, on observe (Encyclopaedia Britannica) des images instantanées d'une couchelimite turbulente (le profil est obtenu par émission de fumée, les images sont des négatifs):elles sont très chahutées. Mais si on les superpose toutes, on obtient un profil moyen.figure quelques profils instantanés de vitesse.figure superposition: profil moyen.5.3. Équations de Reynolds5.3.0. L'impossibilité du calcul completLa puissance de calcul grandissante des ordinateurs nous laisse penser qu'il suffirait derésoudre les équations de Navier Stokes directement. Estimons donc ici l'ordre degrandeur du nombre de points à utiliser pour faire un calcul d'un écoulement 3D à lavitesse U 0 autour d'un objet de taille L.L'idée est d'imposer une énergie constante: U 0 2 /L qui sera constante à toutes les échelles(conservation de l'énergie) et dissipée aux échelles ultimes λ et u, telles que uλ/ν=1.U 0 2 /L = u 2 /λ, avec u = ν/λ, donc, avec R=U 0 L/ν:(λ/L) = R -3/4- 5.4 -

est le rapport entre la plus petite échelle et la plus grande pour capter les phénomènesturbulents. Le calcul 3D demande un nombre de mailles au moins égal à (R -3/4 ) -3En l'an 2000, 10 10 6 points font un mois de temps de calcul (en France au max on a 210 6 points, aux US 60 10 6 points pour un calcul plus raisonnable en temps de calcul),ça fait un Re=10 28/9 =1300 au maximum pour une simulation directe!!!On voit donc que l'on est encore loin du compte pour prédire l'écoulement autour d'unavion.en trichant en 2001 on est à 2 10 6 points et Re=15000Airbus Re=10 6 10 8 taille de maille 1µmprévu pour 2080, le calcul autour de l'avion complet!5.3.1. Le problème de la moyenneLe premier problème est la définition d'une moyenne, en effet les variations sont troprapides pour être décrites finement en temps et en espace: on va donc ne s'intéresser qu'àla moyenne de la vitesse. Les détails de la vitesse sont perdus; on ne va essayer de nedécrire que l'évolution du champ moyen. La moyenne d'ensemble est la plus satisfaisantethéoriquement; on fait n fois l'écoulement et on moyenne l'ensemble des réalisations: = 1 n Σ u i(r,t).Même si elle est indispensable théoriquement, dans certains cas on lui préférera uneformulation sur une réalisation qui met en jeux des moyennes spatiales et temporelles. Onpeut donc aussi en général écrire cette moyenne sous la forme d'un produit de convolutionavec une fonction de poids G positive de moyenne égale à 1 (condition de normalisation):+∞ = ∫ f(r-r',t-t')G(r',t')dr'dt'.-∞En pratique, il est plus judicieux, de faire une moyenne temporelle (G est une fonctionporte en temps): = 1 Tt+Tt∫ u(x,y,t)dt.Bien entendu, T (la largeur de la porte) ne sera ni trop grande ni trop petite! Ensuite, dèsque la défintion de la moyenne est fixée, on peut décomposer en une partie fluctuante etune valeur moyenne:u = +u' ...on posera souvent =U, et on remarquera que

= ∫dx< ∂f∂x > = ∂∂x , = ∂ etc.∂t = ≠ 5.3.2. Équations de ReynoldsClassiquement (Reynolds 1895), on moyenne les équations de Navier Stokes (écritesavec la convention d'Einstein):< ∂u i-=0> avec u i = +u i ' devient ∂+ ∂ = < ∂∂x j(u i u j ) >< ∂∂x j(+u j '+u i '+u j 'u i ')> = ∂∂x j() + 0 + 0 +∂∂x j()après manipulations on obtient l'équation moyenne (ou équations de Reynolds ou encore"RANS: Reynolds Average Navier Stokes)ρ ddt= - ∂ + ∂ (µ ∂- ρ).∂x i ∂x j ∂x jOn a fait apparaître le terme que l'on appelle terme de tension turbulente: -ρ.L'interprétation de ce tenseur est le transport de quantité de mouvement par lesfluctuations de vitesse.Le problème n'est pas résolu pour autant car , qui met en jeu des corrélationsdoubles, n'est pas connu, c'est un terme "supplémentaire" le terme de tension deReynolds. On peut envisager d'étudier les corrélations doubles: mais on fait apparaître descorrélations triples! On a en fait une hiérarchie infinie d'équations. Ce que l'on va faire- 5.6 -

(beaucoup plus loin) c'est une "fermeture" qui relie les corrélations doubles auxmoyennes simples.5.3.3. Ordres de grandeurs relatifsAuparavant interprétons ce nouveau terme : les échanges de quantité demouvement et de chaleur se font habituellement par convection et diffusion, grosso modo:par les termes classiques:(ρcu ∂T∂x et k ∂2 T) ou (ρc∂T∂x2 ∂t et k ∂2 T∂x 2 )le rapport des deux (diffusion/ convection) est l'inverse du nombre de Péclet (soit1/(PrR), avec R nombre de Reynolds, donc environ aussi 1/R pour un gaz dont le Prandtlest d'ordre un). En effet, le temps caractéristique associé au processus de diffusion estL 2 /ν, le temps associé au déplacement convectif est lui L/U (et (L/U)/(L 2 /ν)=1/R). Laturbulence permet un autre échange: par la fluctuation de vitesse u'. Le tempscaractéristique associé est L/u'. Le rapport de ces deux temps est (au Prandtl près d'ordreun):(L/u')(ν/L 2 ) = 1 R'Le nombre de Reynolds R' (construit sur u') d'un écoulement turbulent peut êtreinterprété comme le rapport du temps de la turbulence au temps construit avec la diffusionmoléculaire. Les temps caractéristiques de la turbulence sont très courts. Ce point de vueest plus judicieux que de considérer R comme le rapport des termes d'inertie et des termesvisqueux.Il y a donc deux nombres de Reynolds: le classique R construit avec la vitesse U 0 , et unnouveau R' construit avec la fluctuation de vitesse, bien entendu R>>1 et R'>>1.Continuant, l'ordre de grandeur du terme ρc divisé par ρcu ∂ est u'L (en∂xsupposant que les fluctuations de T ~ variations de T). u'L est homogène à une viscosité.C'est que l'on appelle l'"eddy viscosity" ou "viscosité turbulente". Le rapport de laviscosité laminaire à cette "viscosité turbulente" est en fait le nombre de Reynolds R'(construit sur u'):R' = u'Lν = u'U 0R.À la fin de ce paragraphe, on a l'ordre de grandeur de ,j . Il est R' fois plus grandque µu i,jj . La viscosité moléculaire est donc négligeable dans les écoulements turbulents,du moins, loin des parois.- 5.7 -

5.4. Couche limite turbulente5.4.1. Observations expérimentales:Par exemple, dans le cas d'une plaque plane, on mesure au fil chaud le profil de vitesse.A un nombre de Reynolds d'environ 10 5 , on est dans la région de "transition", on peutdonc avoir ou le régime laminaire (Blasius, si on veille à ne pas perturber l'écoulement),ou le régime turbulent (si on a perturbé assez fortement la couche limite). Comme déjàobservé plus haut, la vitesse varie beaucoup en fonction du temps, la moyenne a la formesuivante:u/U0laminaireturbulentfigure profil laminaire et turbulent en unités de couche limite (0.99).yOn a représenté ci dessus la vitesse moyenne /U 0 dans le cas turbulent comparée à lavitesse laminaire de Blasius au même Reynolds 10 5 . Pour y/δ=.05 on a encore /U 0environ égal à 0.5, on a l'impression que le fluide glisse sur la paroi, que le profil estmoins écarté du mur.Une autre caractéristique importante que l'on peut tracer est le frottement moyen à laparoi, on voit qu'il varie fortement lorsque l'on passe d'un écoulement laminaire à unécoulement turbulent. Le frottement diminue ensuite graduellement. Un écoulementturbulent frotte plus qu'un écoulement laminaire.- 5.8 -

CfTurbulentBlasius"transition"6 7log Refigure Le coefficient de frottement Cf (avec Cf =(µ∂u/∂y)/(ρ 0 U 0 2 /2)) de plaque plane, ilvarie fortement pour, le passage d'une courbe à l'autre dépend de la réalisation (Re entre10 5 et 10 7 ).On peut aussi tracer les moyennes des carrés des fluctuations (valeurs "r.m.s." à R~10 6 ).0.1- 1.5 10^-30yfigure allure typique des fluctuations.à gauche de haut en bas 1/2 /U 0 et 1/2 , 1/2 sont de même ordre de grandeur près dela paroi (environ 10% de U 0 2 ). On note aussi que -/k (où k= 1 2

5.4.2. ÉquationsMême s'il y a toujours un effet 3D, nous supposerons que l'écoulement reste plan.On cherche ici à caractériser l'évolution de la couche pariétale dans laquelle la vitesseévoule de U 0 à 0.U0u'U0lLfigure vue artistique d'une couche limite turbulente.Si une couche limite évolue sur une distance L, elle s'épaissit de l, inconnu; puisque lavitesse varie de 0 à U 0 , sur l'épaisseur de la couche limite, les termes ∂/∂y seront doncprépondérants. Nous effectuons donc une prise de moyenne des équations de NS avecl'optique "couche limite" (les dérivées transverses vont être importantes par rapport auxdérivées longitudinales).ρ ∂ = - ∂ + ∂ (µ ∂- ρ).∂x j ∂x i ∂x j ∂x jEn fait plusieurs couches vont apparaître, elles dépendent de l'ordre de grandeur relatif de:∂∂y (ν ∂ - )∂yPar définition on note u τ2 (ou u ∗ 2 ) l'ordre de grandeur de -. Les termes tels queµ∂ 2 /∂y 2 sont d'ordre R -1 ρU 0 2 /l 2 et sont donc à comparer à u τ 2 /l 2 .On voit donc tout de suite que la moindre dégénérescence hâtive ne marche pas du premiercoup! Il va falloir introduire plusieurs couches (plusieurs l) pour tenir compte de lacontribution relative de chacun de ces termes.- 5.10 -

De manière abusive nous gardons les dimensions dans les équations et nous écrivons lestermes que nous allons retenir:- incompressibilité:- quantité de mouvement :∂∂x + ∂∂ + ∂x ∂y = -0= -∂ = 0.∂y∂ρ∂x + ∂∂y ( ν ∂ - ) + etc.∂y∂ρ∂y + ∂∂y ( ν ∂∂y -

que c'est la viscosité qui contre la turbulence. La somme des deux termes du RHS reste àpeu près constante. Une manière empirique de le dire est que sinon on aurait uneaccélération importante dans la couche limite... Une manière plus asymptotique est dedire qu'il existe une échelle δ + telle que l'on puisse garder ces deux termes. On part doncdu principe que:ν ∂ - = constante.∂yAppelons cette constante τ p /ρ. Très près de la paroi est négligeable (peu defluctuations autour de 0: adhérence à la paroi), et on donc, pour y petit mesuré dansl'échelle δ + , elle même petite:τ p =µ ∂ => loi linéaire.∂yLe frottement conserve sa valeur à la paroi. (τ p /ρ) est homogène à [U 0 2 ], on définit u τ àpartir de (τ p /ρ). u τ est appelé l'intensité de la turbulence et définie par:u τ =√(τ p /ρ)=U 0 √(C f /2)où τ p est la valeur du fottement à la paroi, (1/2)C f u τ2 est une notation équivalente pourτ p . De même u + ou u * sont des notations équivalentes à u τ que l'on trouve dans lalittérature.Si on pose:u τ =√(τ p /ρ), U + =/u τ , y + =yu τ /ν=y/δ + ./u τ = u τ y/ν, ou U + = y +on constate que la vitesse (sans dimensions) est linéaire, avec les échelles choisies on aproportion simple: U + = y + , pour y + →0. L'épaisseur de cette couche est donc mesuréepar δ + = L/(Ru τ ):u τ= u τyνC'est ce que l'on appelle la "sous couche visqueuse".Plus loin de la paroi ν ∂ devient plus faible, et décroît. La zone linéaire du profil de∂yvitesse s'étend jusqu'à y + ~ 7. On note qu'en laminaire l'échelle conduisant à ladégénérescence du profil en droite est quelconque, mais plus petite que LR -1/2 .5.4.5. -> région logEnsuite, il existe une nouvelle région (toujours à l'échelle δ + ) qui va faire une premièretransition entre ce comportement linéaire et la valeur 1.- 5.12 -

10.11-y/δτµ∂/∂y10 20y+figure dessin de τ/τ p en fonction de la distance à la paroi.On a u τ y et ν comme paramètres. Loin de la paroi (mais toujours à l'échelle ν/u τ ) ν n'aplus d'influence: la turbulence écrase la viscosité laminaire. L'ordre de grandeur de∂/∂y par analyse dimensionnelle est simplement:∂∂y ~O()O(y)=κ −1 u τ /yavec κ coefficient ad hoc (constante de K'arm'an), donc si on intègre ∂∂y ~ κ−1 u τ /y ,il apparaît:/u τ = κ −1 Log(u τ y/ν) + C soit u + =κ −1 Log(y + ) + C.Expérimentalement les valeurs sont: C~5 κ=0.41:/u τ = 2.4 Log(u τ y/ν) + 5 ou /u τ = 5.6 log 10 (u τ y/ν) + 5.C'est la région de "Loi log de paroi". Elle est valable pour 20< y + couche de défautOn se place encore plus loin de la paroi. Soit δ l'épaisseur de la couche limite (encoreinconnue pour l'instant). De nombreuses expériences des années 50 (Clauser 56), onmontré que que l'on pouvait faire "tomber" toutes les courbes sur une seule en traçant:(-U 0 )/u τ = f(y/δ .99 ).gardons pour l'instant uniquement l'idée d'une forme "déficitaire", et posons: = U 0 + ε U 0 (-F(x,ȳ))dans cette couche la vitesse est une légère perturbation ε (inconnue, mais que l'on varetrouver égale à u τ /U 0 ) de la vitesse extérieure, et ȳ=y/δ. On va effectuer le raccord despentes pour ȳ au voisinage de 0 avec la couche précédente pour y+ grand:ε U 0 (-dF/dȳ δ-1 ) = κ −1 u τ y +−1 δ +-1ε U 0 (-dF/dȳ ) = κ−1 u τ ( ȳ−1 )ε est donc bien u τ /U 0 . On en déduit le comportement près de la paroi à l'échelle δ (ȳ→0): =U 0 + u τ (κ −1 Log( y/δ) + C')- 5.13 -

en pratique: - U 0u τ= 5.6 log 10 ( y/δ) -2.5Mais on a aussi une information supplémentaire: le raccord des vitesses avec la coucheLog (i.e. y + →∞): = κ −1 u τ Log(y/δ + ) + C,donc par différence (ou raccord dans une région intermédiaire) on a:u τ Log( δδ +) ~ U 0Le dernier ingrédient est le raccord de vitesse transverse entre la région extérieure etprincipale. Dans la région de couche limite la vitesse transverse est d'ordre δU 0 /L. Al'extérieur elle est d'ordre u τ (car à l'extérieur de la couche limite la turbulence est lamême dans toutes les directions). Donc, u τ /U 0 =δ/L d'où:u τ 1uU~ 0Log(( u ou puisque R>>1 : τ 1τU) 2 U~R)0 Log(R)0Ces dernières relation ont été écrites avec les ordres de grandeur, mais si on conserve lesconstantes empiriques C, C' et κ on en déduit la forme "pratique" liant le coefficient defrottement u τ /U 0 = √(C f /2), le nombre de Reynolds et l'épaisseur de couche limite:√ 2 C f= 5.6 log 10 (R δ L √C f2 ) +2.4Cette relation "marche bien" pour des valeurs aérodynamiques. Il en existe une versionplus simple dénomée formule de Blasius qui a l'avantage d'être explicite et de bienrecouper la précédente (c.f. PC "Poiseuille turbulent"):C f = 0.0456 Re δ -1/4 .C'est dans cette région que l'on écrit aussi une "loi de sillage" complètement empiriquetout simplement sous la forme: = u τκ Log(yu τν ) + C + Π κ W(y δ )avec les valeurs suivantes de Coles 56 et Clauser 56 tirées de nombreuses campagnes demesures et qui marchent bien:5.4.7. En résumé:C=4.9 κ=0.41 Π=0.51 et W(y/δ)=2sin 2 ( πy2δ )À nombre de Reynolds infini, le petit paramètre est ε=limite turbulente est:1log(R), et la forme de la couche- 5.14 -

y/LD.L.20L.L.D.L.1 / Log(R)10L.L.1/Log(R)W.L.5 20 100W.L.Log(R)/Ru/U 01 / Log(R)fig. Profil de vitesse turbulentefig. En abscisse u τ y/ν, en ordonnée u/u τ(échelles log).DL: defect layerLL log layerWL wall layerSur les images suivantes, extraites de Clauser 56, sont reportées différentes expériencesmontrant le profil universel déficitaire et les lois linéaire et logarithmique.figure profil universel déficitaire.- 5.15 -

figure Loi linéaire et loi Log obtenues par compilation de différentes expériences.On voit:i) la portion de loi de paroi laminaire (W.L.): /u τ = u τ y/ν,ii) la droite u/u τ =1/0.41 Log(u τ y/ν) + 5 de la région (L.L.),iii) région déficitaire (D.L.).Un écoulement turbulent au dessus d'une plaque plane se décompose donc en:- une couche de fluide parfait, y mesuré par L(External Potential flow)- une couche intérieure (Outer Layer or Defect Layer), elle est caractérisée par sa loi desillage (law of wake)u=U 0 +u τ F(y/δ,x/L) → U 0 + u τκavec u τ /U 0 ~1/log(R) et y mesuré par δ~L/log(R).Le 1515 de la couche limite turbulente est:Log(y/δ) pour y/δ→0√ 2 C f= 5.6 log 10 (Reδ √ C f2 ) +2.4- une couche de paroi (Wall Layer) sous couche visqueuse, avec sa loi de paroi (law ofthe wall)y mesuré par δ + ~L Log(R)/Ru=u τ U + (y/δ + ,x/L) → u τκ Log(y/δ+ ) pour y/δ + →∞la forme u τκ Log(y/δ+ ) + u τ C est valable pour 30

- valeurs typiques en aéronautiqueu + ~1/log(R)~0.05δ 1 ~ (1/5) δδ 2 ~1/50 δ5.4.8. Viscosité turbulente-Longueur de mélange5.4.8.1. Relation de fermeture de PrandtlNous venons de voir une description de la couche limite mais nous n'avons toujours pasvu comment la calculer explicitement: le terme de tension de Reynolds, dont l'ordre degrandeur u τ2 qui nous a servi de petit paramètre n'est toujours pas connu. Il faut pourl'estimer un modèle numérique. Le modèle le plus simple à envisager est fondé sur desidées de dimensions: on ferme les équations en faisant apparaître une viscosité turbulente(eddy viscosity)- = ν t ∂∂y .Cette forme est en fait directement inspirée des équations constitutives de la mécaniquedes fluides: en effet à une quantité dont on fait le bilan, on associe un flux proportionnelau gradient de cette quantité (par ex. pour un bilan d'énergie c p T, on associe la loi deFourier -k∇T). Comme pour la "vraie" viscosité (ou viscosité moléculaire) ν t esthomogène à une vitesse fois une longueur.Comment trouver l'expression de ν t ? Il faut trouver une vitesse et une longueurjudicieuses. Par exemple dans le cas d'un jet on va prendre la vitesse au centre du jet, et lalargeur du jet, le produit sera ν t !Ici, dans le cas de la couche limite, il est plus judicieux de prendre la distance à la paroicomme longueur (y! et on met un coefficient χ) et la vitesse sera y ∂∂y :ν t = l 2 ⎮ ∂∂y⎮ avec l = κ y.* près de la paroi, là où:∂∂y (ν ∂ - )=0∂yon substitue avec l'expression retenue et on a:∂∂y (ν ∂∂y - κ2 y 2 ( ∂∂y )2 ) =0qui devient∂ 2=0, donc la loi linéaire est retrouvée.∂y2 *loin de la paroi le frottement reste constant, le frottement laminaire est négligeable:- 5.17 -

ρκ 2 y y ∂∂y ∂∂y ~ - µ ∂∂y + τ p donc y ( ∂∂y ) ~ τ p 1/2ρ 1/2 κla loi logarithmique est récupérée par ce modèle simpliste.5.4.8.2. Relation de fermeture de type Cebeci SmithCette idée de Prandtl du début du siècle a ensuite été modifiée dans les années 60/70 demanière à saturer la longueur de mélange (Van Driest, Cebecci Smith...). On décomposela couche limite en deux régions, une région où:l = κ y (1- e -y+/A+ ); A + =26.κ=0.41, y + =u τ y/νavec pour u τ la valeur du frottement à la paroi (la relation est implicite) puis, dans uneseconde région, on sature complètement (bien entendu ν t est continue):ν t = l 2 ⎮ ∂∂y ⎮= 0.0168 U 0δ 1 .La quantité δ 1 est l'épaisseur de déplacement. Loin de la paroi, on utilise la vitesseextérieure et l'épaisseur de couche limite. Ce sont des modèles à "zéro équation". Ils sontbien adaptés à l'aérodynamique.- 5.18 -

5.5. Le modèle k ε (1972)5.5.1 Modèle à équations de transport: k epsilonLes modélisations précédentes sont locales (on dit aussi à zéro équations!!!), ici on raffinela description en tenant compte du transport de la viscosité tourbillonnaire: ν t va varier.On pourrait n'introduire qu'une équation de transport, il s'agit du "modèle k"(. Mais cemodèle est assez limité, c'est pour cela que l'on introduit deux équations de transport enplus des équations de Navier Stokes, il s'agit du "modèle k epsilon".Cela va permettre de traiter des écoulements paraboliques (de type mélange de jets) ou desproblèmes elliptiques (avec diffusion dans toutes les directions).Rappelons les équations de Navier Stokes moyennées On pose =U i ),∂U i∂x i= 0.∂ρU i U i = - ∂ + ∂ (µ ∂U i- ρ).∂x j ∂x i ∂x j ∂x jComme nous l'avons déjà dit, il faut "modéliser" le tenseur de Reynolds.Pour cela il faut introduire une quantité importante: l'énergie cinétique des fluctuations kdéfinie à partir de la trace du tenseur de Reynolds,k = 1 2 et du transport de la contrainte visqueuse - 2 ν . Ce sont des termes quiredistribuent l'énergie.Le terme P est un terme de production de turbulence (il apparaît avec un signe moins dansl'équation de transport de l'énergie cinétique moyenne U i 22, qui n'est pas écrite ici).C'estun transfert d'énergie entre l'écoulement moyen (terme S ij ) et l'écoulement fluctuant(terme ). Contrairement à ce que laisse penser la présence du signe "-", ce termeest positif dans le cadre choisi (voir remarque plus loin).- 5.19 -

Le terme -ε est le terme de (pseudo) dissipation visqueuse, il est toujours négatif. Il s'écritaussi:ε= ν< ∂u' i∂x j∂u'j∂x i>.Toujours par manipulations de Navier Stokes et prise de moyenne (on ne confondra pasles dérivées par rapport à l'indice k et k!!!), on peut obtenir l'équation exacte de transportpour ε:ρU i∂ε∂x i= - 2µU i,k ( + )- 2 µ- 2 ν∂ i - 2 ρ ν 2 -2 µ U i,kj + µ ε ,jj .L'idée du modèle k-ε est que l'on peut construire à partir de ces quantités une "viscositéturbulente" (on reste toujours avec les idées de la longueur de mélange):ν t = c µ k2ε .En effet il faut construire une longueur et une vitesse, k 1/2 est le choix évident de vitesse,et ε est homogène à une vitesse au cube par une longueur, l'échelle de longueur est donck 3/2 /ε. Un peu par analogie avec la loi de comportement Newtonienne, on écrira que leterme à modéliser, qui intervient dans un flux d'une loi de bilan, est proportionnel aupremier gradient de la quantité dont on fait le bilan:- ( - 2 3 δ ij k ) = ν t ( ∂U i∂x+ ∂U jj ∂x- 2 i 3 δ ∂U jij∂x ) jOn consultera la littérature pour avoir tous les détails. Par exemple pour l'équation detransport de k, on garde -ε on garde P = -S ij = - ∂U i∂x k(on vérifie alorsque P est bien positif); mais on modélise la partie du flux 1 ρ + 1 2

Les constantes sont obtenues en étudiant des "cas simples" et en vérifiant que l'onretrouve certaines lois expérimentales.5.5.2 conditions aux limites.Près de la paroi, les hypothèses introduites ne sont plus convenables. Physiquement ondevrait retrouver les lois log. Pour les réintroduire on engraisse le profil sur lequel on faitle calcul d'une épaisseur y p . On dit que sous cette épaisseur la vitesse suit la loi log tandisqu'au dessus de cette frontière artificielle, la vitesse est solution des équations du systèmek ε. On raboutte les deux en disant que pour le système k ε:- la vitesse normale (notée U n ) est nulle sur le profil engraissé,- la vitesse tangentielle (notée U t ) est donnée par la relation (issue de la loi logarithmiquede paroi: √ 2 C= 5.6 log 10 (R δ f L √C f2) +2.4) et où est n est la coordonnée normale à la paroi:U t(ν ∂U t /∂n) 1/2 = κ-1 yLog( p+ 2.4.(ν∂U t /∂n) 1/2)Cette relation est implicite en ∂ n U t , d'où un certain ralentissement dans les calculs. Il fautdeplus vérifier que l'on est bien dans la région log (où 20

avec sur les parois engraissées d'une épaisseur y p limitant le fluide:U tU n = 0,(ν ∂U t /∂n) 1/2 = κ-1 yLog( p(ν∂U t /∂n) 1/2) + 2.4 où 20 < y p√(ν ∂U t /∂n)

5.6. Autres exemples classiques:Couette, le tuyau, le sillage, le jet, le panache, les couches limites d'équilibre, la couchede mélange...figure la forme du jet est a peu près indépendante du nombre de Reynolds.figure L'ouverture (y/x) du jet est constante.- 5.23 -

5.7. Application à la thermique.5.7.1 lois de paroiNous seront assez brefs, et nous n'examinons ici que le cas de la plaque plane dans unécoulement uniforme incompressible, à coefficients constants. Le problème dynamiqueest donc découplé du problème thermique, et nous l'avons étudié plus haut. L'équation dela chaleur devient: ∂∂ + ∂x ∂y = ∂∂y ( k ∂ - ) + etc.ρc p ∂yBien entendu, par analogie avec les fermetures visqueuses, on définira un nombre dePrandt turbulent tel que:- = ν tP rt∂∂y .Une approximation usuelle est de prendre P rt =0.85. On peut définir une température defriction:T τ = - /(ρc p u τ ) et définir θ + = -T wT τ.On peut mettre en évidence un profil de température universel:- avec une région linéaire (pour y +

avec:puis en s'éloignantavec P t le nombre de Prandtl turbulent:qui est vite égal à 0.91.A + =26, B + =35, κ=0.41, κ Τ =0.44 y + =u τ y/να t = 0.0168 U 0 δ 1 P t -1 .P t = κ κ Τ(1- e -y+/A+ )(1- e -y+/B+ )7.7.3.4 Modèle k εCette loi logarithmique précédente servira de loi de paroi dans le cadre de la résolution parles équations de transport k- ε. L'équation supplémentaire est écrite sous la forme (avec henthalpie du fluide, k f est ici la constante de la loi de Fourier):∂(ρh)U i = ∂ ((k f (1 + Pr t -1 ) ∂h ∂p) + U i - - ρ ∂U i.∂x i ∂x j ∂x j ∂x i ∂x j- 5.25 -

5.8. RésuméPour R>10 5 l'écoulement est turbulent sur une plaque plane. On retiendra l'allure duprofil de vitesse et ses trois couches (linéaire/ logarithmique/ de défaut).La résolution passe ensuite par un processus de moyenne et une modélisation pour lafermeture du système:- modélisation à zéro équation: longueur de mélange- modélisations intégrales: utilisation de profils expérimentaux (chapitre suivant et PC 6)- méthode k-ε (la plus utilisée en pratique)- méthode Large Eddy Simulation.5.9. BibliographieJ. Cousteix (1989): "Turbulence et couche limite", ed Cepadues.T. Cebeci & J. Cousteix (1999) "Modeling and computation of boundary layer flows",Springer.H. Gersten & H. Herwig (1992) "Strömungsmechanik" Ed. Viewig.Ha Minh Hieu (1991) "Physique et modélisation de la turbulence en écoulement de fluides",école de printemps de MFN, Aussois 91.L. Landau & E. Lifshitz (1989) "Mécanique des fluides" ed MIR.Mohammadi & O. Pironneau (1994)"Analysis of the k-ε turbulence model", Wiley & Masson.J. Piquet (1983): "La turbulence et sa modélisation" ENSTA.R. Schistel (1993) "Modélisation et simulation des écoulements turbulents".Schlichting (1987) "Boundary layer theory" Mac Graw Hill.H.Tennekes & J.L Lumley (1978): "A first course in turbulence" MIT Press."Turbulence" Encyclopaedia Britannica (cassette vidéo).C5urb 6 décembre 2004-- 5.26 -