Ordonnancement de l'évacuation d'une ville lors d'une catastrophe ...

Ordonnancement de l’évacuation d’une ville lors d’une
catastrophe naturelle
Kaouthar Deghdak, Vincent T’kindt, Jean-Louis Bouquard
Université François–Rabelais Tours, Laboratoire d’Informatique (EA 2101), Equipe
Ordonnancement et Conduite (ERL CNRS 6305),
64 Avenue Jean Portalis, 37200 Tours, France
{boukebab,tkindt,bouquard}@univ-tours.fr
Mots-clés : ordonnancement, évacuation.
1 Introduction
Les problèmes d’évacuation des personnes lors d’une catastrophe naturelle ont fait l’objet
de plusieurs travaux. Nous citons, par exemple, les travaux de Hamacher et Tjandra ([?]).
Dans ces problèmes, il est supposé un seul critère à optimiser : soit minimiser le temps total
d’évacuation des personnes, soit maximiser le nombre de personnes à évacuer. La méthode
de résolution est basée sur les flots. Le présent travail s’inscrit dans le cadre du projet
DSS_EVAC_LOGISTIQUE 1 . Nous étudions le problème d’évacuation de personnes lors d’un
séisme ou d’un séisme suivi par un tsunami pour la ville de Nice. Les personnes évacuées
doivent changer leurs lieux de vie vers des centres de secours pour une durée pouvant aller
d’une journée à plusieurs mois.
Une fois la décision d’évacuation prise par les autorités compétentes, la localisation des
sites d’évacuation faite et leur capacité ainsi que le réseau de transport reconfiguré connus,
il faut calculer un plan d’évacuation. Le but est donc de minimiser la durée d’évacuation de
ces personnes et les risques associés à leurs déplacements. Pour cela, nous avons modélisé ce
problème comme un problème d’ordonnancement bicritère à machines parallèles cumulatives
(les centres de secours). Les tâches (évacuations) possèdent des durées qui peuvent changer au
fil de la journée à cause des aléas naturels (répliques du séisme, ...).
2 Modélisation et état de l’art
Une des particularités du problème d’ordonnancement considéré est que les durées des tâches
dépendent de la date à laquelle elles commencent. Rappelons quelques modèles d’ordonnancement
(pour la date d’achèvement Cmax) de ce type existant dans la littérature (tableau ??).
Dans le tableau ??, les nombres réels aj, bj et tj désignent respectivement la durée opératoire
de base, le taux de détérioration et la date de début d’une tâche j. Enfin, pj représente
la durée réelle d’une tâche. Les modèles de ce tableau ont été étudiés par plusieurs auteurs,
cités dans [?]. Concernant les problèmes à machines parallèles notés P 2|pj = bjtj|Cmax et
P |pj = bjtj|Cmax, Kononov ([?], [?]) a montré que le premier problème est N P-complet et le
second est N P-complet au sens fort. Cheng et Sun ([?]) ont proposé pour le premier problème
une méthode heuristique en O(n). Ces résultats ont été étendus par Gawiejnowicz ([?]) aux
problèmes P 2|pj = aj + bjtj|Cmax et P |pj = aj + bjtj|Cmax. Pour plus de détails sur ces modèles,
le lecteur intéressé peut se référer à [?].
Dans ce qui suit, nous donnons une description de notre modèle d’ordonnancement :
1. Ce projet franco-allemand est financé par l’ANR et le BMBF, programme CSOSG (2012-2015)

Modèles Références
pj = aj ± bjtj
[?]
pj = max{aj, aj + bj(tj − di)} [?]
pj = aj ou aj + bj
[?]
pj = aj − bj min{tj, D} [?]
TAB. 1 – Modèles
– m machines parallèles cumulatives où chaque machine représente un centre de secours
noté CS j ;
– n points de rassemblement notés chacun PRi où chaque point de rassemblement correspond
à un travail ;
– L’évacuation des personnes d’un PRi vers un CS j se fait par des bus de même capacité.
– ∀i = 1..., n, ∀j = 1..., m, on définit la fonction noté pi,j qui est la durée d’évacuation de
PRi vers CS j de la façon suivante :
pi,j =
⎧
⎪⎨
⎪⎩
a 0 i,j si t ∈]0, d1]
a 1 i,j si t ∈]d1, d2]
.
a k i,j si t ∈]dk−1, dk]
où a X i,j, t désignent, respectivement, le temps d’évacuation d’un PRi vers un CS j et la date
de début de l’opération d’évacuation. Le nombre fini d’intervalles [dk−1, dk] est établi par
une analyse préliminaire de l’évolution du réseau de transport en fonction des conditions
environnementales.
– La capacité du réseau de transport reconfiguré après la catastrophe est suffisamment large.
Ceci permet de ne considérer que les durées de transport (durées d’évacuation).
– Les deux critères à optimiser sont la date de fin de l’évacuation Cmax et le risque encouru
lors de l’évacuation R.
Nous avons proposé deux modélisations de notre problème de type Time indexed. Dans la
première, un travail est décomposé en tâches, chacune correspondant à un bus : le nombre
de tâches est donc égal au nombre de bus nécessaires pour évacuer les personnes à ce point
de rassemblement. Dans la deuxième, chaque travail peut être ordonnancé par morceaux : on
autorise donc le spliting des travaux. Enfin, en utilisant le solveur ILOG Cplex nous obtenons
une solutions optimale pour ces deux modèles. Lors de la conférence nous présenterons des
résultats expérimentaux permettant d’évaluer la pertinence de chaque modèle.
Références
[1] M-B.Cheng, S-J Sun. A heuristic MBLS algorithm for the two semi-online parallel machine
scheduling with deterioration jobs, Journal Of Shanghai University 11(5) :451-456, 2007.
[2] H.W. Hamacher and S.A Tjandra. Mathematical modeling of evacuation problems : State
of the art.Pedestrian and Evacuation Dynamics, European Journal Of Operational Research
227-266, 2001.
[3] S. Gawiejnowicz. Time-dependent scheduling, Springer, 2008
[4] A. Kononov. Scheduling problems with linear increasing processing time, Springer,208-
212,1997.
[5] A. Kononov. Combinatorial complexity of scheduling jobs with simple linear deterioration,
Discrete Analysis and Opérations Research 3(2) :15-32,1996.