Problème - Matrices semblables à leur inverse

⎛0 α β⎞
⎜
On pose N A I ⎜
⎟
3 0 0 γ
⎟
2
= − =⎜ ⎟
⎜ ⎟ et M = N − N .
⎜ ⎟
⎜⎝ 0 0 0⎟⎠
1.a Calculer
3
N et justifier que rgN ≤ 2 .
− 1
1.b Justifier que A est inversible et que A = I + M .
2. Dans cette question, on suppose que rgN = 2 .
⎛0 1 0⎞
⎜ ⎟
2.a En exploitant II.2., montrer que la matrice N est semblable à la matrice U =⎜
⎜0 0 1
⎟
⎜ ⎟ .
⎜ ⎟
⎜⎝ 0 0 0⎟⎠
2.b En exploitant II.2.c, dire à quelle matrice « simple » la matrice M est semblable.
3
En déduire M et rgM .
2.c Montrer que les matrices M et N sont semblables et conclure que A et
3. Dans cette question, on suppose que rgN ≤ 1.
Montrer que A et
3
1
A − le sont.
1
A − sont encore semblables.