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<strong>EPFL</strong> - Section de Mathématiques Année 2011-2012<br />
Bachelor deuxième année<br />
Algèbre <strong>II</strong><br />
<strong>Test</strong> 2<br />
Mercredi 18 avril 2012<br />
14h15-16h15<br />
Nom : .................................................................................<br />
Prénom : ...........................................................................<br />
Prof. Eva Bayer Fluckiger<br />
Aucun document n’est autorisé. Les calculatrices sont interdites.<br />
Ne pas défaire l’agrafe du document. Utiliser les feuilles de couleur comme brouillons.<br />
Tous les calculs et raisonnements doivent figurer dans le dossier rendu.<br />
La qualité de la rédaction sera prise en compte dans l’évaluation.<br />
Exercice 1 Exercice 2 Exercice 3 Exercice 4 Exercice 5<br />
/ 20 points / 25 points / 15 points / 20 points / 20 points<br />
Total / 100 points
Exercice 1. (20 points)<br />
Soient G un groupe d’ordre 35 et E un ensemble de cardinal 19 muni d’une action<br />
φ : G × E −→ E qui ne fixe aucun élément de E. Quel est le nombre d’orbites<br />
pour l’action φ ?
Exercice 2. (25 points)<br />
Soit G un groupe d’ordre 60 n’ayant aucun sous-groupe normal autre que {1G} et G.<br />
1. Calculer le nombre de 5-sous-groupes de Sylow de G.<br />
2. Montrer que G est isomorphe à un sous-groupe de S6
Exercice 3. (15 points)<br />
Montrer que tout groupe d’ordre 56 a au moins un sous-groupe normal non trivial.
Exercice 4. (20 points)<br />
Soient A un anneau et I un idéal bilatère de A. On note M2(I) l’ensemble des matrices<br />
M ∈ M2(A) dont les coefficients appartiennent à I.<br />
1. Montrer que M2(I) est un idéal bilatère de M2(A).<br />
2. On suppose maintenant que K est un corps. Montrer que tout idéal bilatère de M2(K)<br />
0 0<br />
est soit<br />
soit M2(K).<br />
0 0
Exercice 5. (20 points)<br />
Soit A un anneau commutatif factoriel.<br />
1. Pour tout a, b ∈ A montrer l’existence de pgcd(a, b).<br />
2. Plus généralement, pour tout idéal I non nul de A, montrer l’existence de pgcd(I) i.e.<br />
d’un élément d ∈ A tel que<br />
• d divise tous les éléments x ∈ I de I, et<br />
• si δ divise tous les éléments x ∈ I de I, alors δ divise d.<br />
3. On suppose maintenant que pour tous x1, · · · , xn ∈ A il existe u1, · · · , un ∈ A tel que<br />
pgcd(x1, · · · , xn) = u1x1 + · · · + unxn. Montrer que A est principal.
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