Produit élémentaire signé - EPFL

EPFL 2009-2010
LE DÉTERMINANT
D’UNE MATRICE CARRÉE
Algèbre Linéaire
Génie Civil, Environnement
Dr Lara Thomas

DÉTERMINANT
Le déterminant d’une matrice carrée A d’ordre n>0
est la somme des produits élémentaires signés de A
associés aux permutations de Sn :
Dr Lara Thomas

On note :
Produit élémentaire signé de A associé à une permutation :
Dr Lara Thomas

Exemple pour n=5 :
Dr Lara Thomas

Exemple pour n=5 :
un terme sur chaque ligne et
un terme sur chaque colonne
Dr Lara Thomas

La définition du déterminant coïncide bien avec les
méthodes de calcul pour les déterminants d’ordre 2
et ceux d’ordre 3 :
Dr Lara Thomas

PROPRIÉTÉS DU
DÉTERMINANT
Prop. 1 Si A possède une ligne de 0, det(A)=0.
Prop. 2 Si A possède deux lignes égales, det(A)=0.
Prop. 3 Si A est triangulaire supérieure, det(A) est le
produit de ses coefficients diagonaux.
Dr Lara Thomas

DÉTERMINANT DES
MATRICES ÉLÉMENTAIRES
Prop. 4 Le déterminant des matrices élémentaires est :
Li Lj
Li cLi
Li Li +cLj
avec
Dr Lara Thomas

Pour une matrice quelconque, on a besoin d’une
méthode efficace pour calculer son déterminant...
Si A est de taille n, alors det(A) est la somme de n!
produits élémentaires signés qui contiennent n termes
chacun...
Par exemple, pour n=10 , il faut effectuer plus de 32.106
opérations !!
Heureusement, l’algorithme de Gauss permet de réduire
drastiquement le nombre de calculs à une centaine
d’opérations seulement...
Dr Lara Thomas

Pour une matrice quelconque, on a besoin d’une
méthode efficace pour calculer son déterminant...
Si A est de taille n, alors det(A) est la somme de n!
produits élémentaires signés qui contiennent n termes
chacun...
Par exemple, pour n=10 , il faut effectuer plus de 32.106
opérations !!
Heureusement, l’algorithme de Gauss permet de réduire
drastiquement le nombre de calculs à une centaine
d’opérations seulement...
Dr Lara Thomas

Pour une matrice quelconque, on a besoin d’une
méthode efficace pour calculer son déterminant...
Si A est de taille n, alors det(A) est la somme de n!
produits élémentaires signés qui contiennent n termes
chacun...
Par exemple, pour n=10 , il faut effectuer plus de 32.106
opérations !!
Heureusement, l’algorithme de Gauss permet de réduire
drastiquement le nombre de calculs à quelques centaines
d’opérations seulement (environ 400 au pire pour n=10 !!)...
Dr Lara Thomas

MÉTHODE DE CALCUL
Algorithme de Gauss
Matrices élémentaires
Carl Friedrich Gauss
1777 - 1885
Dr Lara Thomas

PROPRIÉTÉ CLEF
Prop. 5 Si A est une matrice quelconque et si E est
une matrice élémentaire de même taille, alors :
det(EA)=det(E)det(A)
Dr Lara Thomas

Algorithme :
Soit A une matrice carrée de taille n > 0.
Réduire A sous forme échelonnée.
- Si la forme échelonnée contient une ligne de 0 : det(A)=0.
- Sinon, poursuivre la réduction sous forme échelonnée
réduite, puis :
Ecrire A comme produit de matrices élémentaires Ei.
det(A) = le produit des det(Ei).
Dr Lara Thomas

A non inversible
et
det A = 0
A = matrice carrée de taille n
A’ contient
une ligne de 0
A’ = forme échelonnée
Algorithme de Gauss
A’ possède un 1 directeur
sur chaque ligne
Algorithme de Gauss
A = E1 E2 ... Er
Matrices élémentaires
A inversible
et
det(A)=det(E1)det(E2)...det(Er)
Dr Lara Thomas

A non inversible
et
det A = 0
A = matrice carrée de taille n
A’ contient
une ligne de 0
A’ = forme échelonnée
Algorithme de Gauss
A’ possède un 1 directeur
sur chaque ligne
Algorithme de Gauss
A = E1 E2 ... Er
Matrices élémentaires
A inversible
et
det(A)=det(E1)det(E2)...det(Er)
Dr Lara Thomas

A non inversible
et
det A = 0
A = matrice carrée de taille n
A’ contient
une ligne de 0
A’ = forme échelonnée
Algorithme de Gauss
A’ possède un 1 directeur
sur chaque ligne
Algorithme de Gauss
A = E1 E2 ... Er
Matrices élémentaires
A inversible
et
det(A)=det(E1)det(E2)...det(Er)
Dr Lara Thomas

A = matrice carrée de taille n
A’ contient
une ligne de 0
A non inversible
et
det A = 0
A’ = forme échelonnée
A’ possède un 1 directeur
sur chaque ligne
A = E1 E2 ... Er
A inversible
et
det(A)=det(E1)det(E2)...det(Er)
Dr Lara Thomas

Exemple :
A l’aide de l’algorithme d’élimination de Gauss,
calculer det(A), pour :
Dr Lara Thomas

L3 L3 -2L1
L3 L3 /(-55)
L1 L2 L1 L1/3
E12
L3 L3-10L2
E31(-2) E32(-10)
L2 L2-5L3
E3(-55) E23(-5)
L1 L1-3L3 L1 L1+2L2
E1(1/3)
E13(-3) E12(2) Dr Lara Thomas

L3 L3 -2L1
L3 L3 /(-55)
L1 L2 L1 L1/3
E12
L3 L3-10L2
E31(-2) E32(-10)
L2 L2-5L3
E3(-55) E23(-5)
L1 L1-3L3 L1 L1+2L2
E1(1/3)
E13(-3) E12(2) Dr Lara Thomas

L3 L3 -2L1
L3 L3 /(-55)
L1 L2 L1 L1/3
E12
L3 L3-10L2
E31(-2) E32(-10)
L2 L2-5L3
E3(-55) E23(-5)
L1 L1-3L3 L1 L1+2L2
E1(1/3)
E13(-3) E12(2) Dr Lara Thomas

L3 L3 -2L1
L3 L3 /(-55)
L1 L2 L1 L1/3
E12
L3 L3-10L2
E31(-2) E32(-10)
L2 L2-5L3
E3(-55) E23(-5)
L1 L1-3L3 L1 L1+2L2
E1(1/3)
E13(-3) E12(2) Dr Lara Thomas

L3 L3 -2L1
L3 L3 /(-55)
L1 L2 L1 L1/3
E12
L3 L3-10L2
E31(-2) E32(-10)
L2 L2-5L3
E3(-55) E23(-5)
L1 L1-3L3 L1 L1+2L2
E1(1/3)
E13(-3) E12(2) Dr Lara Thomas

L3 L3 -2L1
L3 L3 /(-55)
L1 L2 L1 L1/3
E12
L3 L3-10L2
E31(-2) E32(-10)
L2 L2-5L3
E3(-55) E23(-5)
L1 L1-3L3 L1 L1+2L2
E1(1/3)
E13(-3) E12(2) Dr Lara Thomas

L3 L3 -2L1
L3 L3 /(-55)
L1 L2 L1 L1/3
E12
L3 L3-10L2
E31(-2) E32(-10)
L2 L2-5L3
E3(-55) E23(-5)
L1 L1-3L3 L1 L1+2L2
E1(1/3)
E13(-3) E12(2) Dr Lara Thomas

L3 L3 -2L1
L3 L3 /(-55)
L1 L2 L1 L1/3
E12
L3 L3-10L2
E31(-2) E32(-10)
L2 L2-5L3
E3(1/-55) E23(-5)
L1 L1-3L3 L1 L1+2L2
E1(1/3)
E13(-3) E12(2) Dr Lara Thomas
Dr Lara Thomas

det(A)=165
Dr Lara Thomas

det(A)=165
Dr Lara Thomas

det(A)=165
Dr Lara Thomas

Remarque : on peut s’arrêter à la forme échelonnée
de A, puisque son déterminant est connu.
En effet, s’agissant d’une matrice triangulaire
supérieure, son déterminant est égal au produit de
ses coefficients diagonaux.
Prop. 3 Si M est triangulaire supérieure, det(M) est le
produit de ses coefficients diagonaux.
Prop. 5 Si E est une matrice élémentaire :
det(EM)=det(E)det(M)
Dr Lara Thomas

Remarque : on peut s’arrêter à la forme échelonnée
de A, puisque son déterminant est connu.
En effet, s’agissant d’une matrice triangulaire
supérieure, son déterminant est égal au produit de
ses coefficients diagonaux (donc 1 ici).
Prop. 3 Si M est triangulaire supérieure, det(M) est le
produit de ses coefficients diagonaux.
Prop. 5 Si E est une matrice élémentaire :
det(EM)=det(E)det(M)
Dr Lara Thomas

L3 L3 -2L1
L3 L3 /(-55)
L1 L2 L1 L1/3
E12
E1(1/3)
L3 L3-10L2
E31(-2) E32(-10)
E3(1/-55)
= M
Dr Lara Thomas

L3 L3 -2L1
L3 L3 /(-55)
L1 L2 L1 L1/3
E12
E1(1/3)
L3 L3-10L2
E31(-2) E32(-10)
E3(1/-55)
= M
E3(1/-55) E32(-10) E31(-2) E1(1/3) E12 A = M
A = E12 E1(3) E31(2) E32(10) E3(-55) M
Dr Lara Thomas

L3 L3 -2L1
L3 L3 /(-55)
L1 L2 L1 L1/3
E12
E1(1/3)
L3 L3-10L2
E31(-2) E32(-10)
E3(1/-55)
= M
E3(1/-55) E32(-10) E31(-2) E1(1/3) E12 A = M
A = E12 E1(3) E31(2) E32(10) E3(-55) M
Dr Lara Thomas

A = E12 E1(3) E31(2) E32(10) E3(-55) M
det(A) =
det(E12) det(E1(3)) det(E31(2)) det(E32(10)) det(E3(-55)) det(M)
det(A)= (-1)x3x1x1x(-55)xdet(M)
Prop.3
det(A)= 165 x 1=165
det(EM)=det(E)det(M)
Dr Lara Thomas

A = E12 E1(3) E31(2) E32(10) E3(-55) M
det(A) =
det(E12) det(E1(3)) det(E31(2)) det(E32(10)) det(E3(-55)) det(M)
det(A)= (-1)x3x1x1x(-55)xdet(M)
Prop.3 det d’une matrice triangulaire
det(A)= 165 x 1=165
Dr Lara Thomas

CONSÉQUENCES
Csq 1 Une matrice carrée A est inversible si et
seulement si det(A)=0 . Et alors
Csq. 2 Si A et B sont des matrices carrées de même
taille, alors
Csq. 3 Si A est une matrice carrée, alors
Dr Lara Thomas

UNE AUTRE MÉTHODE
Méthode des cofacteurs
Pour une matrice de taille n, cette
méthode génère au pire (n-1)!(n-1)!
opérations.
Elle n’est intéressante que si A possède
plusieurs coefficients nuls...
Dr Lara Thomas

1. Mineurs
A=(aij)ij
On a supprimé la ième ligne et la jème colonne de A.
Dr Lara Thomas

2. Cofacteurs
Définition :
Définition :
Exemple :
Dr Lara Thomas

2. Cofacteurs
Définition :
Définition :
Exemple :
Dr Lara Thomas

Développement par rapport à la i-ème ligne :
Développement par rapport à la j-ème colonne :
Choisir une ligne ou une colonne
qui contient beaucoup de 0 !
Dr Lara Thomas

Développement par rapport à la i-ème ligne :
Développement par rapport à la j-ème colonne :
Choisir une ligne ou une colonne
qui contient beaucoup de 0 !
Dr Lara Thomas

Développement par rapport à la i-ème ligne :
Développement par rapport à la j-ème colonne :
Choisir une ligne ou une colonne
qui contient beaucoup de 0 !
Dr Lara Thomas

Cette formule, dite
formule de
Laplace, permet
ainsi de ramener le
calcul d’un
déterminant de
taille n à n calculs
de déterminants de
taille (n-1).
Pierre-Simon Laplace
mathématicien, astronome
et physicien français
1749 - 1827
Dr Lara Thomas

Exemple :
En utilisant la méthode des cofacteurs,
calculer det(A), pour :
Dr Lara Thomas

Développement par rapport à la première ligne :
Dr Lara Thomas

Développement par rapport à la première ligne :
+ ...
Dr Lara Thomas

Développement par rapport à la première ligne :
+ ...
Dr Lara Thomas

Développement par rapport à la première ligne :
Dr Lara Thomas

Développement par rapport à la première ligne :
Dr Lara Thomas

CALCUL DE L’INVERSE
D’UNE MATRICE
Adjointe d’une matrice :
C’est la transposée de la comatrice de A :
Dr Lara Thomas

CALCUL DE L’INVERSE
D’UNE MATRICE
Adjointe d’une matrice :
C’est la transposée de la comatrice de A :
Dr Lara Thomas

CALCUL DE L’INVERSE
D’UNE MATRICE
Si det(A) = 0 :
Dr Lara Thomas

Exemple :
En utilisant la méthode des cofacteurs,
calculer l’inverse de A, avec :
Dr Lara Thomas

On a vu : det(A)=165.
Puis on calcule les cofacteurs de A :
= -60
= 15
= 30 ...
Dr Lara Thomas

On trouve :
det(A)
C12
C13
C11
adj(A)
Dr Lara Thomas

RÉSOLUTION
DES SYSTÈMES LINÉAIRES
Méthode de Cramer
Cette méthode ne fonctionne que pour
les systèmes linéaires :
- qui ont autant d’équations que
d’inconnues,
- qui admettent une unique solution.
Dr Lara Thomas

RÉSOLUTION
DES SYSTÈMES LINÉAIRES
Méthode de Cramer
Cette méthode ne fonctionne que pour
les systèmes linéaires de la forme AX=B,
avec :
- A matrice carrée,
- A inversible.
En calcul, elle est généralement inefficace et donc peu utilisée en
applications pratiques.
Elle est plus intéressante d’un point de vue théorique, car elle donne
une expression explicite pour la solution du système.
Dr Lara Thomas

RÉSOLUTION
DES SYSTÈMES LINÉAIRES
Méthode de Cramer
Cette méthode ne fonctionne que pour
les systèmes linéaires de la forme AX=B,
avec :
- A matrice carrée
- A inversible.
En calcul, elle est généralement inefficace et donc peu utilisée pour des
applications pratiques.
En revanche, elle est plus intéressante d’un point de vue théorique, car
elle donne une expression explicite pour la solution du système.
Dr Lara Thomas

film américain sorti en 1979
Gabriel Cramer
mathématicien suisse
1704 - 1752
Dr Lara Thomas

Gabriel Cramer
mathématicien suisse
1704 - 1752
Dr Lara Thomas

Exemple :
En utilisant la méthode de Cramer,
résoudre le système AX=B, avec :
et
Dr Lara Thomas

La méthode de Cramer s’applique
car A est inversible.
En effet, on a vu : det(A)=165=0.
Dr Lara Thomas

L’unique solution est avec :
et
Dr Lara Thomas

L’unique solution est avec :
et
Dr Lara Thomas

det(A1)= -138
det(A2)= -15
det(A3)=36
Donc l’unique solution du système AX=B est
=
=
=
Dr Lara Thomas

det(A1)= -138
det(A2)= -15
det(A3)=36
Donc l’unique solution du système AX=B est
=
=
=
Dr Lara Thomas

det(A1)= -138
det(A2)= -15
det(A3)=36
Donc l’unique solution du système AX=B est
=
=
=
Dr Lara Thomas

det(A1)= -138
det(A2)= -15
det(A3)=36
Donc l’unique solution du système AX=B est
=
=
=
.
Dr Lara Thomas

Dr Lara Thomas