Les mod`eles de Black & Scholes et Merton : Analyse de leurs ...

Les modèles de Black & Scholes et Merton :
Analyse de leurs Moments et Généralisation Bivariable
Jean-Pierre Masson & Martial Phélippé-Guinvarc’h
Agrocampus-Rennes, 65 rue de St Brieuc, CS 84215, 35042 Rennes Cedex
Abstract
In this paper we present the moments and the crossed moments of the geometric
brownian motion (Black & Scholes), of the geometric brownian motion with jumps
(R. C. Merton) and of the two dimensional case where we introduce an instantaneous
correlation between both brownian motions. This models are very used to describe
the financial claims processes. Each results is then commented and interpreted in
this frame.
Résumé
Ce papier explicite les moments d’un mouvement Brownien géométrique (Black
& Scholes), d’un mouvement Brownien géométrique avec sauts (Merton) et de deux
processus Browniens géométriques avec sauts couplés par une corrélation instantanée
sur les Browniens qui donnent naissance aux processus. Elle présente notamment
les quatre premiers moments et les moments croisés d’ordre 2. Ces modèles
sont largement utilisés pour décrire l’évolution des prix d’actifs financiers. Chacun
des résultats obtenus est discuté et interprété dans ce cadre. Il montre la richesse
du modèle de R. C. Merton à l’aide d’une corrélation instantanée sur les Browniens.
Dans la littérature des mathématiques appliquées à la finance de marché, les Browniens
géométriques, avec une volatilité déterministe ou stochastique, avec ou sans sauts, sont
largement utilisés (Black et Scholes, 1973 ; Merton, 1976). L’analyse des moments et des
moments croisés permet de réaliser une description simple et quasi-complète de chaque
modèle. Comme le montre Bates (1996), l’analyse des moments constitue une base de
comparaison utile avec les résultats empiriques et avec les autres modèles.
Notre étude permet une comparaison simple entre les résultats théoriques des modèles
de Black & Scholes et de Merton et les résultats empiriques. Elle met en évidence les
avantages et les limites majeurs de ces deux modèles et s’inscrit dans la problématique
actuelle du risque de modélisation (Cont, 2004).
1

1 Les modèles
L’ Équation Différentielle Stochastique du modèle de Black & Scholes est :
dFt = (µF − λF .k (1)
F ).Ft.dt + σF .Ft.dW F
t
où Ft est le prix à l’instant t ∈ [0, +∞). 1 µF est le paramètre constant (appelé aussi dérive).
σF est le paramètre de volatilité. W F
t est un mouvement Brownien standard. L’ Équation
Différentielle Stochastique du modèle de R. C. Merton est :
dFt = (µF − λF .kF ).Ft.dt + σF .Ft.dW F
t + (S F − 1).Ft.dπ F
où nous avons en sus : λF l’intensité du processus de Poisson π F des sauts S F , et kF =
E[S F − 1].
On notera N F t le nombre aléatoire de sauts sur Ft entre 0 et t. En l’absence des
2 derniers termes de l’équation 2, la dynamique est déterministe et exponentielle. En
l’absence du dernier terme la dynamique est stochastique et le processus est le Brownien
géométrique du modèle de Black & Scholes. Dans le modèle complet le dernier terme
décrit le saut additif. Les instants de saut sont gouvernés par le processus Poissonnien de
paramètre λF . La fonction d’impulsion S F − 1 produit un saut fini sur F (de F à S F .F )
et le saut, aléatoire par S F et F , est égal à (S F − 1).F .
Précisons le choix de modélisation fait par R. C. Merton ; le processus de saut est centré
sur sa moyenne. Le processus S F − 1 .dπ F − λF .kF .dt est centré ; c’est une martingale
purement discontinue à variation finie. Nous supposons que les variables aléatoires S F sont
indépendantes et identiquement distribuées de distribution log-normale de paramètres mF
et v 2 F (ln SF ∼ N (mF , v 2 F )). L’espérance et la variance des sauts SF sont respectivement
égales à kF + 1 et τ 2
où : kF + 1 = exp mF + v2
F et τ 2
2 = (kF + 1) 2 . [exp(v2 F ) − 1] .
La résolution de l’ Équation Différentielle Stochastique du modèle de R. C. Merton
donne :
Ft = F0. exp µF − λF .kF − 1
2 σ2
F .t + σF .W F
t .
N F t
S F j
Nous en déduisons simplement la résolution de l’ Équation Différentielle Stochastique du
modèle de Black & Scholes (λ = 0) :
Ft = F0. exp µF − 1
2 σ2
F .t + σF .W F
t
1 Nous ajoutons dores et déjà l’indice F à chaque paramètre de Ft en vu de la généralisation multidi-
mensionnelle de l’analyse des moments.
2
j=1
(1)
(2)
(3)
(4)

Nous noterons kF = k (1)
F ≡ E[SF −1] ; puis k (2)
S F
F ≡ E
2
− 1 , . . . , k (n)
F ≡ E SF n
− 1 .
Les résultats préliminaires de l’annexe A permettent d’expliciter les moments des deux
modèles. Nous nous limitons, dans cette courte présentation, aux quatre premiers moments
et aux liaisons entre t et t + h.
2 Les moments des modèles de Merton et de Black
& Scholes
2.1 La moyenne
La moyenne est la même dans les deux modèles :
E [Ft] = F0. exp {µF .t} (5)
2.2 Les variances, les covariances et les corrélations
2.2.1 Variances
Nous notons que k (2)
F
var(Ft) = F 2 0 . exp (2.µF .t) .
exp σ 2
F + λF k (2)
F
− 2k(1)
F
− 2.k(1)
F = E[(SF ) 2 ] − 2. E[S F ] + 1 = E
.t
S F − 1 2
− 1
(6)
≥ 0. Ainsi,
la variance du modèle de R. C. Merton est plus élevé que celle du modèle de Black and
Scholes (nous utilisons l’indice BS), où nous avons :
varBS(Ft) = F 2 0 . exp (2.µF .t) . exp σ 2 F .t − 1
(7)
2.2.2 Covariances
cov (Ft, Ft+h) =F 2 0 . exp (µF .(2t + h))
× exp σ 2 (2) (1)
F + λF k − 2.k .t (8)
− 1
covBS (Ft, Ft+h) =F 2 0 . exp (µF .(2t + h)) × exp σ 2 F .t − 1
(9)
2.2.3 Corrélations
ρ(FtFt+h) = exp
σ2 F + λF
exp σ2
F + λF k (2)
F
ρBS(FtFt+h) =
k (2)
F
exp (σ 2 F
exp (σ 2 F
3
− 2.k(1)
F
− 2.k(1)
F
.t) − 1
.(t + h)) − 1
.t
− 1
. (t + h) − 1
(10)
(11)

2.3 L’asymétrie
L’asymétrie est calculée par √ β1(t):
β1(t) =
⎧
⎨ exp 3.σ
⎩
2
F + λF .
−3. exp σ 2 F + λF
exp σ2
F + λF k (2)
F
k (3)
F
k (2)
F
− 3.k(1)
F
− 2.k(1)
F
− 2k(1)
F
.t
.t
.t
βBS 1 (t) = exp (3.σ2 F .t) − 3. exp (σ2 F .t) + 2
3
.t) − 1] 2
[exp (σ 2 F
⎫
⎬
+ 2
⎭
3
2
− 1
Dans le modèle de Black & Scholes, un développement limité d’ordre 3 montre que
l’asymétrie est toujours positive. De plus, les sauts augmentent fortement l’asymétrie
quand m est supérieur à zéro. Mais quelques soient les paramètres λ, m et v, le modèle de
R. C. Merton ne permet pas d’inverser le signe de l’asymétrie. Ainsi, les modèles de Black
& Scholes et de Merton sont impropres pour modéliser des actifs qui ont une asymétrie
négative. De plus, si l’asymétrie est positive, seul le modèle de R. C. Merton permet
d’ajuster l’asymétrie aux observations empiriques.
2.4 L’aplatissement
Le coefficient d’aplatissement, souvent noté β2(t) dans la littérature est :
⎡
exp
(6.σ 2 F + λF (k (4)
F
⎢
⎢ − 4. exp
⎣
+ 6. exp (σ
β2(t) =
2 F + λF (k (2)
F
exp
− 4k(1)
F )).t
(3.σ 2 F + λF (k (3)
F − 3.k(1)
− 2.k(1)
(σ2 F + λF (k (2)
F − 2.k(1)
F )).t
⎤
F )).t
F )).t
⎥
⎦
− 3
2 − 1
β BS
2 (t) = [exp {6.σ2 F .t} − 4. exp {3.σ2 F .t} + 6. exp {σ2 F .t} − 3]
[exp {σ2 (15)
F .t} − 1]2
Les sauts augmentent sensiblement l’aplatissement du modèle. Comme pour l’asymétrie,
le paramètre v influe différemment selon que m est positif ou négatif. Notons
également que les sauts modifient la structure temporelle de l’aplatissement (β2(t)). Dans
le cas de Black & Scholes β2(t) est strictement croissante sur [0, +∞] et admet une limite
en 0. Par contre, dans le cas de R. C. Merton, β2(t) tend vers l’infini en 0.
4
(12)
(13)
(14)

3 Les moments des modèles bivariables
Nous utilisons la lettre F pour la première variable et la lettre Y pour la seconde. Le
modèle bivariable de R. C. Merton peut donc s’écrire :
dFt = (µF − λF .kF ).Ft.dt + σF .Ft.dW F
t + (SF − 1).Ft.dπF dYt = (µY − λY .kY ).Yt.dt + σY .Yt.dW Y
t + (S Y − 1).Yt.dπ Y
Avec la corrélation instantanée ρ(W F
t , W Y
t ) = δ, la corrélation entre Ft and Yt+h
devient :
ρ(Ft, Yt+h) =
exp(λY kY h). exp (δ.σF σY t) − 1
exp σ
2
F + λF k (2)
F − 2.k(1)
F .t − 1
× exp σ 2
Y + λY k (2)
Y − 2.k(1)
Y .(t + h)
− 1
Nous notons que la corrélation ne dépend pas de la dérive µF ou µY . Nous déduisons,
dans le cas de Black & Scholes :
ρBS(Ft, Yt+h) =
exp (δ.σF σY t) − 1
2 [exp (σF .t) − 1] × [exp (σ2 Y .(t + h)) − 1]
Quelque soit le signe du δ, cette corrélation tend vers 0 à l’infini et est plus lente si
δ ≥ 0. Cette corrélation tend vers δ en 0 dans le cas de Black & Scholes. Enfin, on peut
montrer si les corrélations instantanées égales, la corrélation entre Ft et Yt converge plus
rapidement en utilisant le modèle de Merton (car les sauts sont indépendants).
Cette analyse des premiers moments, à laquelle nous venons de procéder,
permet une meilleure perception des modèles de Black & Scholes et de R. C.
Merton. Elle présente clairement le rôle des sauts dans les processus.
References
[1] David S. Bates, Jumps and stochastic volatility: Exchange rate processes implicit in
deutsche mark options, The Review of Financial Studies 9 (1996), no. 1, 69–107.
[2] Fischer Black and Myron Scholes, The pricing of option and corporate liabilities, Journal
of Political Economy 81 (1973), 637–659.
[3] Rama Cont, Model uncertainty and its impact on the pricing of derivative instruments,
CNRS – Ecole Polytechnique, Europlace Institute of Finance, June 2004, p. 34.
[4] Robert C. Merton, Option pricing when underlying stock returns are discontinuous,
Journal of Financial Economics 3 (1976), no. 1, 125–144.
5
(16)
(17)
(18)

A Quelques résultats préliminaires
A.1 Moments croisés généralisés du mouvement Brownien géométrique
sans dérive
E exp σF W F p
t × exp σF W F q t+h = exp
1
2 (p + q)2σ 2
1
F .t . exp
2 q2σ 2
F .h
A.2 Moments croisés généralisés du mouvement Brownien géométrique
de dimension 2 sans dérive
E exp σF W F p
t × exp σY W Y
1
exp
2
t+h
q =
p 2 σ 2 F + 2pqδσF σY + q 2 σ 2 Y
A.3 Moments non centré des sauts
⎡
E ⎣
N F t
(S F j ) n
j=1
⎤
⎦ = exp
λF .t.k (n)
F
1
.t . exp
2 q2σ 2
Y .h
A.4 Moments croisés généralisés du mouvement Brownien géométrique
avec sauts
A.4.1 Le cas unidimensionnel
E F p
t F q
t+h
= F p+q
0
× exp
. exp µF − λF kF − 1
1
2 q2 σ 2 F h
A.4.2 Le cas bidimensionnel
1
. exp
2
2 σ2 F
.((p + q).t + q.h)
2 2
p σF + 2pqδσF σF + q 2 σ 2
F .t
× exp λF k (p+q)
F .t + k (q)
F .h
E F p
t Y q p
t+h = F0 Y q
0 . exp p µF − λF kF − 1
2σ2
F .t + q µY − λY kY − 1
2σ2
Y .(t + h)
× exp 1
2q2σ 2 Y h . exp 1
. exp . exp
λF t.k (p)
F
6
2 (p2 σ 2 F + 2pqδσF σY + q 2 σ 2 Y
λY (t + h).k (q)
Y
) .t
(19)
(20)
(21)
(22)
(23)