1 - STEP

ÉCOLE
POLYTECHNIQUE
MONTRÉAL
No du cours:
MTH2302D Section:~'
Titre du cours: Probabilités et statistique
CAHIER D'EXAMEN
CONTRÔLE PÉRIODIQUE 2
Le plagiat, la participation au plagiat, la tentative de plagiat entraînent automatiquement
l'attribution de la note F dans tous les cours suivis par l'étudiant iurant le trimestre. L'École
est Ii '·mpo.§ertoute autre sanction jugée opportune fis l'exclusion.
1 Date..: l~n..di 14mar.>~2.011.•.
De:)12h45à:.14hx .
Matricule
••
Réservé
1.
2.
3.
4.
1 -
,-
0
DJr
5. 0
.
6. l
7.
8.
9.
,
O}~
10. 1
Total: ? /10
\

j MTH2302D
- 1 ~ontrôle périodique n" 2 - Hiver 2011
Question n? 1
Un point est pris au hasard dans l'intervalle [~1, 1]. Soit les événements
A: le point choisi est situé dans l'intervalle [-1/2,1], et B: le point choisi
;est situé dans l'intoc--vaHe-t-l,1/2]. Calculer P[B 1 A] .
.~ - .~
~X/V U fi) J 1_ A"" U [-{) fJ
~ G-JuI-/.kl
r[GI Al ~? [13 () Rl __
prA]
V'2 ~ ~ -C ~
3/1 G

jMTH2302D -
Question n? 2
Soit
r
Contrôle périodique nO 2 - Hiver 2011
-
fx(x) = {8X si,O < x < 1/2
o ailleurs
On définit Y = 1/ X, Quelle est la fonction de densité de Y?
Réponse: fy(y) =. g./~3
".
pour y E ]0 '1e-
J
2

MTH2302D - Contrôle périodique nO 2 Hiver 2011 3
Question n? 3
;J 0
Le vecteur aléatoire discret (X, Y) possède la fonction de probabilité
conjointe suivante: ------------') ;;?-'--'-"
y\ x
0
1
-1
1/6
1/6
0
1/6
0
1
0
1/6
/
'
/
)<
"
.~ v.,"A
-\
j
)/~
0
J' ~
\
Y)
2 0 1/6 1/6 ' ,/
/
Calculer la probabilité PlY = X + 1].
)
,-+
(Q.
0+ 1 G
Y' 3
Réponse: PlY = X + 1] =
»:
A :::.-6

MTH2302D Contrôle périodique nO 2 Hiver 2011 4
Question n? 4 OJr
Un point est pris au hasard dans le carré défini par -1 :s; x :s; 1 et
-1 :s; Y S; 1, de sorte que la fonction de densité conjointe du vecteur
aléatoire continu (X, Y), où (X, Y) désigne la position du point en coordonnées
cartésiennes, est donnée par
f ( ) = { 1/4 si -1 < x < 1,-1 :s; Y < 1
X,Y x, y 0 ailleurs
Calculer la probabilité P[X' + y2 > 11- ljV
Indication. L'équation x 2 + y2 = 1 définit le cercle de rayon 1, centré à
l'origine.
f
PL )(L.f y"L 7/] z: )_

MTH2302D - Contrôle périodique nO 2 - Hiver 2011 5
Question n? 5
o
Soit X une variable aléatoire qui présente une distribution de Bernoulli
de paramètre p = 1/2. On défi"{rfY = X2. )Quel est le coefficient de
corrélation de X et y?'

MTH2302D - Jontm,' le périodique nO2
Question n? 6
Hiver 2011 6
On a recueilli 100 observations d'une population X dont les valeurs possibles
sont les entiers 0, 1,2 et 3, puis on a construit
suivant:
le tableau d'effectifs
Valeur de X 0 1 2 3
Nombre d'obervations
Quelle est la médiane i de l'échantillon?
20 25 15 40
4Ç (p,v
YI::" /cn ~~'- p(jfo
A./
)L= Xo/z. + X [1.1' ( Xç01-XS-1 7.,..7.. Z/
"l" -
2.
1 Réponse x ~ 2
- -L..-
"2

MTH2302D Contrôle périodique nO 2 Hiver 2011
7
Question n? 7 t
Soit X une variable aléatoire qui présente une distribution de Laplace
de paramètre >-; c'est-à-dire que
>fx(x)
= _e-À1xl si x E IR
2 .
On dispose d'un échantillon aléatoire de taille n de X~ Quel est l'estimateur
À M dli paramètre--);-Obtenuerr utiiisantr ta-métlïoâe-aê~mints-?':>
Rappel.-OÏÏ-a:E1Xr::;-O--efVAR[X] =-2/>-2. -
. 1
-
YI
1 Réponse ÀM ~ ux:;
--' ·1
1

MTH2302D Contrôle périodique nO 2 Hiver 2011 8
Question n? 8 rJ
OJ\
Les variables aléatoires Xl, ... , X 25 sont indépendantes et présentent
toutes une distribution du khi-deux à 2 degrés de liberté. Utiliser le théorème
central limite pour calculer .lli...~~.:~J~;!lXi > 60] .
Rappel. Si X '" ;, alors E[X] = n et VAR[X] = 2n.
L~."u L~o-Z
'P~r~~l>
~0J -z:
'ly'l.
r-D lu0 (. ~
J( ,. ~ y( k'\ 50)'1-
. u..) ~J
~ NCOil)
Jd.21
y [/~~;~/

----'---..
-- -
MTH2302D Contrôle périodique nO 2 - Hiver 2011 9
Question n? 9
1
On a recueilli 9 observations particulières, Xl, ... ,Xg, d'une variable aléatoire
X rv N({.L, (72). On a calculé .
9
LXi = 2
9
es=:.L:xT = 20
i=l i=l
Obtenir un intervalle de confiance (bilatéral) à 95 % pour {.L.
. 2.
0-
1\.- \
8
S2::: \i' y/-= ~ ;l}
--
}'\-\
- ('doJ -- ;q.(~j Z
{3
,,~-----~
Réponse: Intervalle de confiance = ~± I{ 2Q /

MTH2302D Contrôle périodique nO 2 Hiver 2011
Question n? 10
1
Pour estimer le paramètre p d'une population X qui présente une distribution
de Bernoulli, on a recueilli un échantillon de taille n = 1000 de
cette population. Si la somme des observations est égale à 520, quelle est la
longueur 'de l'intervalle de confiance à 95 % pour p? '
~.:::-
1,9(Po
l
10,O?5"
5W ---- 520
/tvè
oS2.·û,~ 1
Iwo 'J'
[Ot4~i } 0,'551 .
-- 01 fol (j 1 4
~f
10
Réponse: Longueur de I'mtervalle c- 0t 0 ~2..-