1 - STEP - École Polytechnique de Montréal
1 - STEP - École Polytechnique de Montréal
1 - STEP - École Polytechnique de Montréal
Create successful ePaper yourself
Turn your PDF publications into a flip-book with our unique Google optimized e-Paper software.
--<br />
.ltÉCOlE<br />
POLYTECHNIQUE<br />
MONTRÉAL<br />
Le _ _<br />
genpe '.<br />
sans Jr.qntlcrq<br />
CAHIER D'EXAMEN FINAL<br />
COPIE<br />
AUTOMNE 2010<br />
Nom: _<br />
. (lettres moulées)<br />
Pr~no~ _<br />
(lettres moulées)<br />
No du cours: MTH1006 Section:<br />
Titre du .cours:<br />
DIRECTIVES:<br />
ALGÈBRE LINÉAIRE<br />
1. Remplissez la partie ci-haut et signez immédiatement le cahier.<br />
10<br />
2. Sauf indication contraire, donnez une réponse complète à chaque question et cette<br />
réponse doit être expliquée et justifiée.<br />
3. N'utilisez que le recto pour rédiger vos réponses; servez-vous du verso comme<br />
brouillon:<br />
4. Vérifiez que ce cahier compte 21 feuilles.<br />
5. Ne détachez aucune feuille <strong>de</strong> ce cahier. Rédigez vos solutions sur les pages<br />
i<strong>de</strong>ntifiées à cet effet.<br />
L'étudiant doit honorer l'engagement pris lors <strong>de</strong> la signature du co<strong>de</strong> <strong>de</strong><br />
nduite.<br />
~--<br />
Date: Dimanche, le 21 novembre 2010<br />
Heure: De13h30 à 16h00<br />
Matricule<br />
~I<br />
Réservé<br />
1. 1- /9<br />
2. ~. /9<br />
3. 6 ·/13<br />
4. I~. /13<br />
5. 6 /6<br />
6. ..:J . .f' /3<br />
TOTAL: /50<br />
41. ((
<strong>École</strong> <strong>Polytechnique</strong> <strong>de</strong> <strong>Montréal</strong> , page 2<br />
Département <strong>de</strong> mathématiques et <strong>de</strong> génie industriel<br />
Algèbre linéaire - MTH1006<br />
Examen Final- Automne 2010
<strong>École</strong> <strong>Polytechnique</strong> <strong>de</strong> <strong>Montréal</strong><br />
Département <strong>de</strong> mathématiques et <strong>de</strong> génie industriel<br />
Algèbre linéaire - MTH1006<br />
Examen Final- Automne 2010<br />
page 3
<strong>École</strong> <strong>Polytechnique</strong> <strong>de</strong> <strong>Montréal</strong><br />
Département <strong>de</strong> mathématiques et <strong>de</strong> génie industriel<br />
Algèbre linéaire - MTH1006<br />
Examen Final- Automne 2010<br />
QUESTION # 2 (9 points)<br />
~<br />
j(xILf 16) ~ ly-~)t + (2y - x. -:t)J -f- (y- X)k.<br />
O.) DonneV--[T J c<br />
" [TJc = [[TCt)Jc [TCj)} [TCKJ]C l<br />
nt):: -j- k [1] .~={O<br />
I(j) = L + 25 -l- gr.. -=-11<br />
I(K)~ -L-5<br />
1 -1]<br />
2--1<br />
1 0<br />
page 5<br />
b) bëTev-min=r kerCT) ,<br />
~er{I)={iiEVI T(û,>=Ô}<br />
l"(Q) = -5 LrJ c U :=: Ô , . .<br />
fO' 1 -1J[')('J=[OJ ,{y-t=O '<br />
-1 '2. - --1 Y 0 \ ~ )G'7- 2y - ~ = 0<br />
,--110 ~ 0 -Ju+L(~O'<br />
Resd.u.-+\ ()Î\ ,[":"1 2 "\ ~1 0J L:3-L-1 01 2, - 1 g] Ls tL1<br />
, 0-1-40 01-1 0<br />
-1 1 0 0 0 -1 1<br />
[-~ ~=~~J (64= =t (3)-JG+ 2~ -~ '" 0<br />
, -x,-t~ ==-0<br />
"-E::::-~<br />
U~[~l:[lJ: [~J~I~ER .<br />
-ET PUIS&J.E t-+J+~:/=:5 on ~+aÇH~ C\Vf·ce IJeC-tev\v2.<br />
~ST ~ne base<strong>de</strong> kev eT) ~ her-{T) ~ [1 11J~<br />
dim (~-erCl))=- 1 1 CQr- ~.I.,t~)lfQ_ quit tCl lrccJeu((
<strong>École</strong> <strong>Polytechnique</strong> <strong>de</strong> <strong>Montréal</strong><br />
Département <strong>de</strong> mathématiques et <strong>de</strong> génie industriel<br />
Algèbre linéaire - MTH1006<br />
Examen Final- Automne 2010<br />
QUESTION # 2 (suite)<br />
d) di()'l V~ = dim(K«(T))t Yg Cr)<br />
·3 - -1 +- rgLT)<br />
r-gCT) ,=2'<br />
c) comme\e rgCT) equiVQ..>..At-ù lodim (lm(,)) 1<br />
page 6<br />
.(\.. Im(T) coYî~e(\t 2 ~IÇ liocaire 1) en\-- ln ~\Xl'ÙJV\J.s1<br />
V tomme les co\o()(\es .~. eT] c eflgendreY\t \'i~ i<br />
-: ~_T 1 i \ suçç:(i- d-c eVlo)sÎr pOv1Y1"\ celk'j- C( 2..l.N=Cte-t-P15<br />
V Ilf)ea',femev1-t- \1)~pé?V\doY\+S) A-){\s\ J \-e.s 2 Prl(Y'fe-r-es<br />
. Co, 0 f)r'\e'$ 'PeU.\J-e. V'lt -fiJ f'fY)ev v'0e -\e\te bctS-c, .<br />
Im----r:-~-[[-D -1 -1J t [i 2 -1J t J<br />
Im T es+ ~()e(e ~v<br />
......- - -- ..
<strong>École</strong> <strong>Polytechnique</strong> <strong>de</strong> <strong>Montréal</strong><br />
Département <strong>de</strong> mathématiques et <strong>de</strong> génie industriel<br />
Algèbre' linéaire - MTH1006<br />
Examen Final- Automne 2010<br />
QUESTION # 3 (13 points)<br />
A == r-~J ~l<br />
. L3 -9 -5 J<br />
page 9
..<br />
,<br />
<strong>École</strong> <strong>Polytechnique</strong> <strong>de</strong> <strong>Montréal</strong><br />
. Département <strong>de</strong> mathématiques et <strong>de</strong> génie industriel<br />
Algèbre linéaire - MTHI006<br />
Examen Final- Automne 2010<br />
QUESTION # 3 (suite)<br />
page 10<br />
d) t:$t-
<strong>École</strong> <strong>Polytechnique</strong> <strong>de</strong> <strong>Montréal</strong><br />
Département <strong>de</strong> mathématiques et <strong>de</strong> génie industriel<br />
Algèbre linéaire - MTH1006<br />
Examen Final- Automne 2010<br />
page 11<br />
QUESTION # 3 (suite) .<br />
11'1Q(0):::~ 1- .'<br />
rhgl 0) z: 1 .(cor il n't{ CI qu~vV\ ~~3J(op(e<br />
f~·\rtJevec+ 2J - 3R) .<br />
') 2 = 1-,<br />
C\(
<strong>École</strong> <strong>Polytechnique</strong> <strong>de</strong> <strong>Montréal</strong><br />
Département <strong>de</strong> mathématiques et <strong>de</strong> génie industriel<br />
Algèbre linéaire - MTH 1006<br />
Examen Final- Automne 2010<br />
QUESTION # 4 (13 points)<br />
page 13<br />
'.<br />
4 )('2- b)( Li - 4L12 + 2J1O X 1-~JiO l( == 0 .-(*)<br />
b) Donner .\-ctL1lX -<strong>de</strong>conique' v<br />
Li=-b 2-4acv . '/JL/O--7h4PerbdE(oU-.- .<br />
+ -=: G'2-4(4)(-4) hv(pevbk:-~œre<br />
-= 3b +-b4 = 100 v<br />
c) La FOIZ.\1e ~.)(t Ax + kx + ç =- 0<br />
,. A=G.-Ll -3Jv '1C::=[2JTQ ~AoJf.OJ x --.~J<br />
. -- -3 -4 L l(<br />
À. .<br />
Lt> A·esT sLt rre1eJ~<br />
d)~l1Û1'J'SaY1:S\eVrr~-s mixtes<br />
CD lYOU~ valevt$ prcpres<br />
P(~)= <strong>de</strong>~(A-;n) 0= J!3~4-}Â 1<br />
~ (~-~)(-1~~-9<br />
~ ...:.)<br />
b - 4À +4::1 +r;, -2 - 9<br />
-<br />
-<br />
':')''2'<br />
i'l -2S;v<br />
.<br />
\-(Jlevtr. propre.-<br />
~ (~-S)(?\+S)v'<br />
/)i ~5<br />
::1z.::: - S v
· <strong>École</strong> <strong>Polytechnique</strong> <strong>de</strong> <strong>Montréal</strong><br />
Dép~rtem.en,t ~e mathématiques et <strong>de</strong> génie industriel<br />
Algebre linéaire - MTH1006<br />
Examen Final- Automne 2010<br />
QUESTION # 4 (suite)<br />
page 14
-=. . 0 X \ -+ 20 11 1<br />
-=t> roVATlDN :<br />
jY b<br />
<strong>École</strong> <strong>Polytechnique</strong> <strong>de</strong> <strong>Montréal</strong><br />
Département <strong>de</strong> mathématiques et <strong>de</strong> génie industriel<br />
Algèbre linéaire - MTH1006<br />
Examen Final- Automne 2010<br />
QUESTION # 4 (suite)<br />
D:::: ptA P == 15DJ .<br />
. LO- 5<br />
POSlll0n~<br />
(X·yIJ,<br />
œn\te (010)<br />
sorrmet- (!:1, 0)<br />
Gst{JÎ\~· y:.±-1 X<br />
\c-"- J 8 .<br />
ro.tbQS (±J8 1 0)<br />
page 15
<strong>École</strong> <strong>Polytechnique</strong> <strong>de</strong> <strong>Montréal</strong><br />
Département <strong>de</strong> mathématiques et <strong>de</strong> génie industriel<br />
Algèbre linéaire - MTH1006<br />
Examen Final- Automne 2010<br />
QUESTION # 4 (suite)<br />
page 16
<strong>École</strong> <strong>Polytechnique</strong> <strong>de</strong> <strong>Montréal</strong><br />
Département <strong>de</strong> mathématiques et <strong>de</strong> génie industriel<br />
Algèbre linéaire - MTH 1006<br />
Examen Final- Automne 2010<br />
QUESTION # 4 (suite)<br />
-<br />
,<br />
/<br />
V<br />
)<br />
"<br />
"1<br />
page 17<br />
il<br />
; j<br />
<strong>École</strong> <strong>Polytechnique</strong> <strong>de</strong> <strong>Montréal</strong><br />
Département <strong>de</strong> mathématiques et <strong>de</strong> génie industriel<br />
Algèbre linéaire - MTH 1006<br />
Examen Final- Automne 2010<br />
QUESTION # 5 (6 points)<br />
b) dif)()cr une 'base d~ k-er(A)<br />
[~J=[~1+tt~1~t(R.<br />
t kœ(A)<br />
le \if\:\eutê [-1 -1 -1]t ofS\- ure bose ck" ~ CA)<br />
Car \\ eStr \0 SDw--"'\1C)'() ~_Sys~me' Ax -::0<br />
1~JX4ene <strong>de</strong> lt-eQU.,a1r'OVî qv\ ~eJ1te .<br />
page 18<br />
c) la relO1-ion en-h-c i~ cdoY\~S es\- cIorvbr ÇXJr l..t tJ(c.~<br />
di \~ ~vrf ~ Kcy( A) 1 Si C 1 ' (2 C'3 ~sC'"nte ~s lrec1e.ur5<br />
cO)O{)),)e' df> 1 ~ Vnafv1' ce 4<br />
=t;,. - Ci - C 2 +-(3 ~ 0
1"<br />
<strong>École</strong> <strong>Polytechnique</strong> <strong>de</strong> <strong>Montréal</strong> , .. .<br />
Département <strong>de</strong> mathématiques et <strong>de</strong> gente industriel<br />
Algèbre linéaire - MTH 1006<br />
Examen Final Automne 2010<br />
Xl .; (X-4)<br />
l{t= 4<br />
""l' -= ~-1<br />
page 20