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1 - STEP - École Polytechnique de Montréal

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--<br />

.ltÉCOlE<br />

POLYTECHNIQUE<br />

MONTRÉAL<br />

Le _ _<br />

genpe '.<br />

sans Jr.qntlcrq<br />

CAHIER D'EXAMEN FINAL<br />

COPIE<br />

AUTOMNE 2010<br />

Nom: _<br />

. (lettres moulées)<br />

Pr~no~ _<br />

(lettres moulées)<br />

No du cours: MTH1006 Section:<br />

Titre du .cours:<br />

DIRECTIVES:<br />

ALGÈBRE LINÉAIRE<br />

1. Remplissez la partie ci-haut et signez immédiatement le cahier.<br />

10<br />

2. Sauf indication contraire, donnez une réponse complète à chaque question et cette<br />

réponse doit être expliquée et justifiée.<br />

3. N'utilisez que le recto pour rédiger vos réponses; servez-vous du verso comme<br />

brouillon:<br />

4. Vérifiez que ce cahier compte 21 feuilles.<br />

5. Ne détachez aucune feuille <strong>de</strong> ce cahier. Rédigez vos solutions sur les pages<br />

i<strong>de</strong>ntifiées à cet effet.<br />

L'étudiant doit honorer l'engagement pris lors <strong>de</strong> la signature du co<strong>de</strong> <strong>de</strong><br />

nduite.<br />

~--<br />

Date: Dimanche, le 21 novembre 2010<br />

Heure: De13h30 à 16h00<br />

Matricule<br />

~I<br />

Réservé<br />

1. 1- /9<br />

2. ~. /9<br />

3. 6 ·/13<br />

4. I~. /13<br />

5. 6 /6<br />

6. ..:J . .f' /3<br />

TOTAL: /50<br />

41. ((


<strong>École</strong> <strong>Polytechnique</strong> <strong>de</strong> <strong>Montréal</strong> , page 2<br />

Département <strong>de</strong> mathématiques et <strong>de</strong> génie industriel<br />

Algèbre linéaire - MTH1006<br />

Examen Final- Automne 2010


<strong>École</strong> <strong>Polytechnique</strong> <strong>de</strong> <strong>Montréal</strong><br />

Département <strong>de</strong> mathématiques et <strong>de</strong> génie industriel<br />

Algèbre linéaire - MTH1006<br />

Examen Final- Automne 2010<br />

page 3


<strong>École</strong> <strong>Polytechnique</strong> <strong>de</strong> <strong>Montréal</strong><br />

Département <strong>de</strong> mathématiques et <strong>de</strong> génie industriel<br />

Algèbre linéaire - MTH1006<br />

Examen Final- Automne 2010<br />

QUESTION # 2 (9 points)<br />

~<br />

j(xILf 16) ~ ly-~)t + (2y - x. -:t)J -f- (y- X)k.<br />

O.) DonneV--[T J c<br />

" [TJc = [[TCt)Jc [TCj)} [TCKJ]C l<br />

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I(K)~ -L-5<br />

1 -1]<br />

2--1<br />

1 0<br />

page 5<br />

b) bëTev-min=r kerCT) ,<br />

~er{I)={iiEVI T(û,>=Ô}<br />

l"(Q) = -5 LrJ c U :=: Ô , . .<br />

fO' 1 -1J[')('J=[OJ ,{y-t=O '<br />

-1 '2. - --1 Y 0 \ ~ )G'7- 2y - ~ = 0<br />

,--110 ~ 0 -Ju+L(~O'<br />

Resd.u.-+\ ()Î\ ,[":"1 2 "\ ~1 0J L:3-L-1 01 2, - 1 g] Ls tL1<br />

, 0-1-40 01-1 0<br />

-1 1 0 0 0 -1 1<br />

[-~ ~=~~J (64= =t (3)-JG+ 2~ -~ '" 0<br />

, -x,-t~ ==-0<br />

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U~[~l:[lJ: [~J~I~ER .<br />

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~ST ~ne base<strong>de</strong> kev eT) ~ her-{T) ~ [1 11J~<br />

dim (~-erCl))=- 1 1 CQr- ~.I.,t~)lfQ_ quit tCl lrccJeu((


<strong>École</strong> <strong>Polytechnique</strong> <strong>de</strong> <strong>Montréal</strong><br />

Département <strong>de</strong> mathématiques et <strong>de</strong> génie industriel<br />

Algèbre linéaire - MTH1006<br />

Examen Final- Automne 2010<br />

QUESTION # 2 (suite)<br />

d) di()'l V~ = dim(K«(T))t Yg Cr)<br />

·3 - -1 +- rgLT)<br />

r-gCT) ,=2'<br />

c) comme\e rgCT) equiVQ..>..At-ù lodim (lm(,)) 1<br />

page 6<br />

.(\.. Im(T) coYî~e(\t 2 ~IÇ liocaire 1) en\-- ln ~\Xl'ÙJV\J.s1<br />

V tomme les co\o()(\es .~. eT] c eflgendreY\t \'i~ i<br />

-: ~_T 1 i \ suçç:(i- d-c eVlo)sÎr pOv1Y1"\ celk'j- C( 2..l.N=Cte-t-P15<br />

V Ilf)ea',femev1-t- \1)~pé?V\doY\+S) A-){\s\ J \-e.s 2 Prl(Y'fe-r-es<br />

. Co, 0 f)r'\e'$ 'PeU.\J-e. V'lt -fiJ f'fY)ev v'0e -\e\te bctS-c, .<br />

Im----r:-~-[[-D -1 -1J t [i 2 -1J t J<br />

Im T es+ ~()e(e ~v<br />

......- - -- ..


<strong>École</strong> <strong>Polytechnique</strong> <strong>de</strong> <strong>Montréal</strong><br />

Département <strong>de</strong> mathématiques et <strong>de</strong> génie industriel<br />

Algèbre' linéaire - MTH1006<br />

Examen Final- Automne 2010<br />

QUESTION # 3 (13 points)<br />

A == r-~J ~l<br />

. L3 -9 -5 J<br />

page 9


..<br />

,<br />

<strong>École</strong> <strong>Polytechnique</strong> <strong>de</strong> <strong>Montréal</strong><br />

. Département <strong>de</strong> mathématiques et <strong>de</strong> génie industriel<br />

Algèbre linéaire - MTHI006<br />

Examen Final- Automne 2010<br />

QUESTION # 3 (suite)<br />

page 10<br />

d) t:$t-


<strong>École</strong> <strong>Polytechnique</strong> <strong>de</strong> <strong>Montréal</strong><br />

Département <strong>de</strong> mathématiques et <strong>de</strong> génie industriel<br />

Algèbre linéaire - MTH1006<br />

Examen Final- Automne 2010<br />

page 11<br />

QUESTION # 3 (suite) .<br />

11'1Q(0):::~ 1- .'<br />

rhgl 0) z: 1 .(cor il n't{ CI qu~vV\ ~~3J(op(e<br />

f~·\rtJevec+ 2J - 3R) .<br />

') 2 = 1-,<br />

C\(


<strong>École</strong> <strong>Polytechnique</strong> <strong>de</strong> <strong>Montréal</strong><br />

Département <strong>de</strong> mathématiques et <strong>de</strong> génie industriel<br />

Algèbre linéaire - MTH 1006<br />

Examen Final- Automne 2010<br />

QUESTION # 4 (13 points)<br />

page 13<br />

'.<br />

4 )('2- b)( Li - 4L12 + 2J1O X 1-~JiO l( == 0 .-(*)<br />

b) Donner .\-ctL1lX -<strong>de</strong>conique' v<br />

Li=-b 2-4acv . '/JL/O--7h4PerbdE(oU-.- .<br />

+ -=: G'2-4(4)(-4) hv(pevbk:-~œre<br />

-= 3b +-b4 = 100 v<br />

c) La FOIZ.\1e ~.)(t Ax + kx + ç =- 0<br />

,. A=G.-Ll -3Jv '1C::=[2JTQ ~AoJf.OJ x --.~J<br />

. -- -3 -4 L l(<br />

À. .<br />

Lt> A·esT sLt rre1eJ~<br />

d)~l1Û1'J'SaY1:S\eVrr~-s mixtes<br />

CD lYOU~ valevt$ prcpres<br />

P(~)= <strong>de</strong>~(A-;n) 0= J!3~4-}Â 1<br />

~ (~-~)(-1~~-9<br />

~ ...:.)<br />

b - 4À +4::1 +r;, -2 - 9<br />

-<br />

-<br />

':')''2'<br />

i'l -2S;v<br />

.<br />

\-(Jlevtr. propre.-<br />

~ (~-S)(?\+S)v'<br />

/)i ~5<br />

::1z.::: - S v


· <strong>École</strong> <strong>Polytechnique</strong> <strong>de</strong> <strong>Montréal</strong><br />

Dép~rtem.en,t ~e mathématiques et <strong>de</strong> génie industriel<br />

Algebre linéaire - MTH1006<br />

Examen Final- Automne 2010<br />

QUESTION # 4 (suite)<br />

page 14


-=. . 0 X \ -+ 20 11 1<br />

-=t> roVATlDN :<br />

jY b<br />

<strong>École</strong> <strong>Polytechnique</strong> <strong>de</strong> <strong>Montréal</strong><br />

Département <strong>de</strong> mathématiques et <strong>de</strong> génie industriel<br />

Algèbre linéaire - MTH1006<br />

Examen Final- Automne 2010<br />

QUESTION # 4 (suite)<br />

D:::: ptA P == 15DJ .<br />

. LO- 5<br />

POSlll0n~<br />

(X·yIJ,<br />

œn\te (010)<br />

sorrmet- (!:1, 0)<br />

Gst{JÎ\~· y:.±-1 X<br />

\c-"- J 8 .<br />

ro.tbQS (±J8 1 0)<br />

page 15


<strong>École</strong> <strong>Polytechnique</strong> <strong>de</strong> <strong>Montréal</strong><br />

Département <strong>de</strong> mathématiques et <strong>de</strong> génie industriel<br />

Algèbre linéaire - MTH1006<br />

Examen Final- Automne 2010<br />

QUESTION # 4 (suite)<br />

page 16


<strong>École</strong> <strong>Polytechnique</strong> <strong>de</strong> <strong>Montréal</strong><br />

Département <strong>de</strong> mathématiques et <strong>de</strong> génie industriel<br />

Algèbre linéaire - MTH 1006<br />

Examen Final- Automne 2010<br />

QUESTION # 4 (suite)<br />

-<br />

,<br />

/<br />

V<br />

)<br />

"<br />

"1<br />

page 17<br />

il<br />

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<strong>École</strong> <strong>Polytechnique</strong> <strong>de</strong> <strong>Montréal</strong><br />

Département <strong>de</strong> mathématiques et <strong>de</strong> génie industriel<br />

Algèbre linéaire - MTH 1006<br />

Examen Final- Automne 2010<br />

QUESTION # 5 (6 points)<br />

b) dif)()cr une 'base d~ k-er(A)<br />

[~J=[~1+tt~1~t(R.<br />

t kœ(A)<br />

le \if\:\eutê [-1 -1 -1]t ofS\- ure bose ck" ~ CA)<br />

Car \\ eStr \0 SDw--"'\1C)'() ~_Sys~me' Ax -::0<br />

1~JX4ene <strong>de</strong> lt-eQU.,a1r'OVî qv\ ~eJ1te .<br />

page 18<br />

c) la relO1-ion en-h-c i~ cdoY\~S es\- cIorvbr ÇXJr l..t tJ(c.~<br />

di \~ ~vrf ~ Kcy( A) 1 Si C 1 ' (2 C'3 ~sC'"nte ~s lrec1e.ur5<br />

cO)O{)),)e' df> 1 ~ Vnafv1' ce 4<br />

=t;,. - Ci - C 2 +-(3 ~ 0


1"<br />

<strong>École</strong> <strong>Polytechnique</strong> <strong>de</strong> <strong>Montréal</strong> , .. .<br />

Département <strong>de</strong> mathématiques et <strong>de</strong> gente industriel<br />

Algèbre linéaire - MTH 1006<br />

Examen Final Automne 2010<br />

Xl .; (X-4)<br />

l{t= 4<br />

""l' -= ~-1<br />

page 20

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