La trigonométrie- Die Trigonometrie
La trigonométrie- Die Trigonometrie
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Théorie: <strong>trigonométrie</strong> dans les triangles rectangles 1<br />
<strong>La</strong> <strong>trigonométrie</strong><br />
Mot grec : trigonon = le triangle metria = mesure<br />
Le but c’est le calcul de la longueur des côtés (Seiten, le côté) et la grandeur des angles<br />
(Winkel) d’un triangle quelconque (beliebiges Dreieck)<br />
Idées de base<br />
Si la construction d’un triangle est bien définie, on peut calculer tous les angles et tous les<br />
côtés (le côté= Seite). Si la construction géométrique permet deux solutions il y en a aussi<br />
deux solutions algébriques.<br />
Pour un triangle quelconque il faut avoir au moins 3 informations. Pour un triangle<br />
rectangle 2 informations (+l’angle droit = rechter Winkel) sont suffisantes.<br />
Il y a plusieurs cas spécifiques (Spezialfälle) de triangles<br />
triangle rectangle isocèle équilatéral<br />
<strong>trigonométrie</strong> : quelle est l’utilité ? quelles sont les applications ?<br />
géométrie élémentaire : Presque toutes les figures de la géométrie (un carré<br />
(Quadrat) ou un polygone régulier =regelmässiges Vieleck etc.) peuvent être divisées<br />
en triangles<br />
<strong>La</strong> triangulation: fabrication d’une carte géographique<br />
en astronomie : calculer la distance entre la terre et les planètes<br />
mesurer des distances
Théorie: <strong>trigonométrie</strong> dans les triangles rectangles 2<br />
Notions dans le triangle (Bezeichnungen)<br />
la bissectrice<br />
la médiane<br />
la médiatrice<br />
la hauteur<br />
le sommet<br />
divise l’angle en deux parties égales. L’intersection des bissectrices<br />
donne le centre du cercle inscrit. (inscrire)<br />
divise le côté opposé en deux segments identiques. L’intersection donne<br />
le centre de gravité.<br />
est verticale sur le point milieu du côté<br />
segment vertical du sommet au côté opposé<br />
A, B, C du triangle<br />
le triangle rectangle (avec un angle droit)<br />
<strong>La</strong> somme des trois angles intérieurs d'un triangle est égale à 180°. On parle d’un angle<br />
droit (rechter Winkel) , d’un angle optus (stumpf) et d’un angle aigu (spitz).<br />
Si l'angle aigu (spitz) d’un triangle rectangle est connu la forme du triangle est<br />
déterminée, mais cependant pas sa taille.<br />
Pour les triangles semblables (ähnlich) le rapport de côtés (Seitenverhältnis) reste fixe.<br />
On peut appliquer la proportionnalité (Strahlensatz)
Théorie: <strong>trigonométrie</strong> dans les triangles rectangles 3<br />
Notions (Bezeichnungen) dans un triangle rectangle: En vue de l’angle 30˚<br />
H : l’hypoténuse (opposé à l’angle droit, le côté plus long)<br />
O : côté opposé (à l’angle ; Gegenkathete)<br />
A : côté adjacent (Ankathete)<br />
A cause de la proportionnalité le rapport<br />
de 2 cotés est toujours identique.<br />
Le rapport des côtés dépend du choix de<br />
l’angle aigu α<br />
l'angle <br />
rapport de côtés Verhältniszahl<br />
<br />
<br />
Pour un angle 30 , le rapport entre le côté opposé et l’hypoténuse est bien déterminé.<br />
On appelle ce rapport le sinus.<br />
côté opposé<br />
sin( 30 O<br />
) .<br />
hypoténuse H<br />
0 5<br />
cos(30) A<br />
O<br />
0.86 tan(30) 0.57<br />
H<br />
A<br />
Définition des fonctions trigonométriques dans le triangle rectangle<br />
Si on fixe dans un triangle rectangle un angle aigu, alors les rapports des côtés sont bien<br />
déterminés. Ces rapports sont appelés les fonctions trigonométriques, désignés par sinus,<br />
cosinus, tangente, abrégées sin, cos, tan.<br />
Le sinus mesure le rapport entre le côté opposé (O) et l’hypoténuse (H).<br />
sin<br />
<br />
cos<br />
<br />
tan<br />
<br />
O<br />
H<br />
A<br />
H<br />
O<br />
A<br />
Pour l’instant les angles sont mesurés en degrés, indiqué sur la calculatrice par DEG.
Théorie: <strong>trigonométrie</strong> dans les triangles rectangles 4<br />
En connaissant l’angle on calcule le rapport des côtés. On utilise les fonctions<br />
trigonométriques sin(..), cos(..), tan(..) .<br />
En connaissant le rapport des côtés on peut calculer l’angle (fonction réciproques,<br />
<br />
Arcusfunktionen sin 1 <br />
(..),cos 1 <br />
(..),tan 1 (..)<br />
Exercice: On aimerait bien déterminer l’angle ?<br />
Comment trouver l’angle en connaissant le côté opposé BC et l’hypoténuse?<br />
3 1<br />
3<br />
sin( ) sin 36.<br />
87<br />
5 5<br />
Déterminer l’angle en connaissant le côté adjacent AC et l’hypoténuse?<br />
4 1<br />
4<br />
cos( ) cos <br />
36.<br />
87<br />
5 5<br />
Calculer l’angle en connaissant le côté adjacent AC et le côté opposé ?<br />
3 1<br />
3<br />
tan( ) tan 36.<br />
87<br />
4 4
Théorie: <strong>trigonométrie</strong> dans les triangles rectangles 5<br />
Exemple 1<br />
Détermine le côté x et le côté y. Regarde le chemin de solution, surtout<br />
l’écriture de la solution.<br />
x<br />
tan( 25. 4)<br />
<br />
10<br />
x 10 tan( 25. 4) 4.<br />
75 cm<br />
10<br />
cos( 25. 4)<br />
<br />
y<br />
y cos( 25. 4)<br />
10<br />
10<br />
y 11.<br />
07cm<br />
cos( 25. 4)<br />
Exemple 2 Détermine le côté z.<br />
74 .<br />
sin( 31. 3)<br />
<br />
z<br />
z<br />
sin( 31. 3) 7.<br />
4<br />
74 .<br />
z 14.<br />
24 cm<br />
sin( 31. 3)<br />
Exemple 3<br />
Détermine le côté x. ( x 3.85cm)
Théorie: <strong>trigonométrie</strong> dans les triangles rectangles 6<br />
exemple 4<br />
Un bateau navigue du point A au point B (la direction est indiquée dans<br />
l’esquisse). Calcule la distance AB et l’angle ? (69.9 / 47.62 km)<br />
exemple 5<br />
Un avion vole 400 km avec une direction de N25˚E du point A au point B, après 700 km du<br />
point B jusqu’au point C avec une direction de N80˚E.<br />
a) Calcule le déplacement total en direction nord de l’avion. (484 km)<br />
b) Calcule le déplacement total en direction est. (858.4 km)
Théorie: <strong>trigonométrie</strong> dans les triangles rectangles 7<br />
Exemple 6<br />
Voici la représentation d’une coupe verticale de la sphère<br />
(Kugel) terrestre. Le rayon est de 6366 km et la latitude<br />
géographique (geographische Breite) de Thoune est de<br />
α=47˚N.<br />
a) Quelle est la vitesse avec laquelle<br />
les habitants de Thoune tournent<br />
autour de la terre ?<br />
chemin=vitesse * temps<br />
b) Applique la formule b) pour<br />
calculer la vitesse d’une<br />
personne qui se trouve sur<br />
l’équateur et au pôle.<br />
c) Un traversant l’atlantique en avion (800 km/h) on remarque souvent un<br />
phénomène stupéfiant: le soleil semble rester tout le temps à la même position sur<br />
l’horizon. Ca veut dire que la vitesse de l’avion est identique à la vitesse de rotation de la<br />
terre. A quelle latitude se passe ce phénomène ?<br />
Définition de la pente (Steigung) On peut définir la pente de 3 manières différentes :<br />
<br />
<br />
L’angle d’inclinaison (Neigungswinkel)<br />
En pour cent : Si on a un dénivellement de 40 mètres sur 100 m horizontales on<br />
dit que la pente est de 40%. Alors un angle de 45º correspond à une pente de 100%.<br />
distance verticale<br />
<strong>La</strong> pente (Steigung) =<br />
distance horizontale = tan( )<br />
46.6<br />
Alors = 25. Alors la pente tan(25) 0.466 46.6% .<br />
100<br />
119.2<br />
Alors = 50. Alors la pente tan(50) 1.192 119.2% .<br />
100
Théorie: <strong>trigonométrie</strong> dans les triangles rectangles 8<br />
Application de la <strong>trigonométrie</strong> pour calculer des forces<br />
Un tonneau avec un poids de 100 kg est sur un plan incliné. L’angle d’inclinaison du plan est <br />
=30º. <strong>La</strong> force de gravité dépend de la masse (100kg) et de l’accélération à cause de la gravité<br />
terrestre 10 m<br />
s2<br />
m<br />
. Ainsi G 100 10 kg 1000 N (Newton)<br />
2<br />
s<br />
On veut déterminer la force verticale qui tient le tonneau sur le plan et la force T mettant le<br />
tonneau en mouvement.<br />
a) On fait une construction de la solution à l’échelle 1:200 et on mesure les résultats.<br />
Ainsi 1000 N correspond à 5 cm sur notre esquisse (Skizze)<br />
b) Calcule la force verticale au plan (Normalkraft) et la force T (Hangabtrieb).
Théorie: <strong>trigonométrie</strong> dans les triangles rectangles 9<br />
Voici un scooter (poids G m g )<br />
roulant à une vitesse v. Les passagers<br />
sur le scooter doivent se pencher en<br />
prenant le virage d’un angle pour<br />
ne pas tomber à cause de la force<br />
centrifuge F (Zentrifugalkraft,<br />
Fliehkraft).<br />
<strong>La</strong> force centrifuge<br />
virage.<br />
F<br />
2<br />
m<br />
v<br />
dépend de la masse de la moto, de la vitesse v et du rayon r du<br />
r<br />
a) Exprime avec m, v et r.<br />
b) Calcule l’angle concrètement pour une vitesse v=72<br />
km/h et un virage avec un rayon de 70 mètres.<br />
c) r= 10 m, =10º Indique la vitesse.
Théorie: <strong>trigonométrie</strong> dans les triangles rectangles 10<br />
Deux inconnues, système d’équations à 2 variables (méthode d’insertion)<br />
Exemple A:<br />
D’un bateau on mesure deux angles d’élévations 2.6˚ et 3.7˚ jusqu’à<br />
un phare. (=Leuchtturm). Calcule la hauteur et la distance du phare.<br />
Exemple B:<br />
On veut déterminer la hauteur d’une tour. Pour ça on mesure un angle<br />
d’élévation de 27˚, puis on se rapproche en ligne droite vers la tour de 15 m et<br />
on mesure de nouveau l’angle qui est maintenant 38˚.