Correction exercices

CORRECTION EXERCICES INTRODUCTION ASSERVISSEMENT
Exercice1 : Exercice Plate-forme mobile
1.
Temporel
C
m
( t) Fr( t)
D
. . kr
= J
2
dωm
.
dt
( t)
Laplace
− ( ) ( ) )
éq
C p − Fr p . . k = J . p.
Ωm(
p
m
r éq
u(t) = e(t) + R. i(t) + L. (di(t))
dt
c m (t) = k c . i(t)
e(t) = k e . ωm(t)
D
2
U(p) = E(p) + R. I(p) + L. p. I(p)
Cm(p)=kc.I(p)
E(p)=ke. Ωm(p)
2.
U(p)
+
-
I(p)
1
(R + L. p)
kc
C m (p)
E(p) U e (p)
ke
Ω m (p)
U(p) − E(p) = (R + L. p). I(p)
I(p)
U(p) − E(p) = 1
(R + L. p)
Cm(p) = kc. I(p)
E(p)=ke. Ωm(p)
Cm(p)
I(p) = kk E(p)
Ωm(p) = kk
3.
Ωm(p) = E(p)
kk
U(p) − (R + L. p)I(p)
=
kk
= U(p)
kk
− (R + L. p). CC(p)
kk. kk
Ωm(p) = U(p) (R + L. p). (JJJ. p. Ωm(p) + FF(p). D
kk
− 2 . kk)
kk. kk
Ωm(p) = U(p)
kk
− (R + L. p). JJJ. p. Ωm(p)
kk. kk
(R + L. p)(JJJ. p)
Ωm(p) 1 + = U(p)
kk. kk kk
(R + L. p). (FF(p). D
−
2 . kk)
kk. kk
−
(R + L. p). (FF(p). D 2 . kk)
kk. kk
kk
Ωm(p) = U(p)
kk. kk + (R + L. p)(JJJ. p) − FF(p)
(R + L. p). ( D 2 . kk)
kk. kk + (R + L. p)(JJJ. p)
kk
GG(p) =
(R + L. p). ( D kk. kk + (R + L. p)(JJJ. p) GG(p) =
2 . kk)
kk. kk + (R + L. p)(JJJ. p)
Fondamental : Forme canonique
1°ordre : H(p) =
K
1+T.p
2°ordre : H(p) =
K
1+ 2.z p²
.p+
ω0 ω0²
1
D. kk. R
GG(p) =
kk
GG(p) =
2. kk. kk (1 + L R . p)
R. JJJ L. JJJ
1 + . p +
kk. kk KK. kk . p² R. JJJ L. JJJ
1 + . p +
kk. kk KK. kk . p²

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4.
Fr(p)
Gr(p)
Ω ref (p) ε 1 (p) U(p)
Ω m (p)
B
+ A Gu(p) + -
-
G T
5.
Ωm(p) = Gu(p). A[Ωrrr(p). B − Ωm(p). G T ] − FF(p). GG(p)
Ωm(p). [1 + Gu(p). A. G T ] = Gu(p). A. Ωrrr(p). B − FF(p). GG(p)
Ωm(p). =
ΔΩm(p). =
ΔΩm(p). =
Gu(p). A. Ωrrr(p). B − FF(p). GG(p)
[1 + Gu(p). A. G T ]
FF(p). GG(p) KK. (1 + T. p)
=
[1 + Gu(p). A. G T ] 1 + a. p + b. p 2 . 1
. FF(p)
KK. A. G
1 +
T
1 + a. p + b. p 2
FF(p). GG(p)
[1 + Gu(p). A. G T ] = KK. (1 + T. p)
(1 + KK. A. G T ) + a. p + b. p 2 . FF(p)
Exercice 2: Résolution d'équation différentielle
1.
2. ( (d2 s(t))
dt 2 ) + 14( (ds(t)) ) + 12s(t) = 8e(t)
dt
2. p 2 . S(p) + 14. p. S(p) + 12. S(p) = 8. E(p)
S(p)[2. p 2 + 14. p + 12] = 8. E(p)
S(p)
E(p) = 1
p 2 + 7. p + 6
Forme canonique fonction second ordre
H(p) = S(p)
2
E(p) = 3
1 + 7 6 . p + 1 6 . p²
2. Ordre 2
Forme canonique d’une fonction du second ordre
K
F(p) =
2. z p²
1 +
ww
. p +
ww²
2. z
ww = 7 6
1
= 1
ww² 6
3. Réponse à un échelon unitaire
ww = √6
7. √2
z =
12 = 1.42
Régime apériodique

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4.
Réponse temporelle du système soumis à une rampe e(t)=t
S(p) =
2
3
1 + 7 6 . p + 1 6 . p² . 1 p²
Calcul des racines du dénominateur : D(p)= 1 + 7 . p + 1 . p²
6 6
Δ = 7 2
6 − 4. 1 6 = 25
36
p1 = − 7 6 + 25/36
2
p2 = − 7 6 − 25/36
2
1 + 7 6 . p + 1 6 . p² = (p − p1)(p − p2) = (p + 1 )(p + 1)
6
Décomposition de la fonction en éléments simples :
2
S(p) =
3
(p + 1 . 1
6 )(p + 1) p² = A p² + B p + C
p + 1 6
+ D
p + 1
Par identification on recherche les coefficients A, B, C et D
A. p + 1 6 . (p + 1) + B. p. p + 1 6 . (p + 1) + C. p2 . (p + 1) + D. p 2 . p + 1 6 = 2 3
On trouve le système suivant :
⎧
⎪
C + D − 28 = 0
A
6 = 2 3
⎨ A + A 6 + B 6 = 0
⎪−172
⎩
+ C + D 6 6 = 0
D = − 4 5
C = 144
5
A = 4
B = −28
Passage en temporel
s(t) = 4. t − 28 + 144
5 . e−1 6 t − 4 5 . e−t