fonction d'utilitÃ©

Analyse Microéconomique 

Francesco Quatraro 

L1 AES – 2010/2011 


Francesco Quatraro – 2010/2011 

1

L’utilité 

• En origine, les économistes parlaient de l’utilité 

comme d’un indicateur du bien-être général 

d’un individu 

• Il était une mesure numérique du bonheur 

individuel 

• Il semblait naturel d’imaginer que les 

consommateurs effectuaient leur choix de 

façon à maximiser leur utilité 

• Toutefois, ces économistes n’ont jamais 

réellement expliqué comment mesurer l’utilité 



2

L’utilité 

• Les économistes ont ensuite abandonné le 

concept d’une utilité correspondant à une 

mesure de bonheur 

• La théorie du comportent du consommateur a 

été reformulée entièrement en termes de 

préférences du consommateur 

• L’utilité est désormais conçue comme une façon 

de décrire le préférences 



3

L’utilité 

• Dans la théorie économique actuelle la seule chose 

qui compte c’est qu’un panier procure une utilité 

supérieure à une autre 

• Auparavant, dire qu’un panier (x 1 ,x 2 ) était préféré à 

un panier (y 1 ,y 2 ) signifiait que le panier X procurait 

un niveau d’utilité supérieur au panier Y 

• Maintenant on inverse la relation: les préférences du 

consommateur sont la base fondamentale de 

l’analyse de choix, et la théorie de l’utilité n’est 

qu’une manière de représenter les préférences 



4

L’utilité 

• Une fonction d’utilité est une façon d’attribuer 

une valeur aux différents paniers de 

consommation 

• Le paniers plus désirables reçoivent des valeurs 

supérieurs à ceux qui le sont moins 

• En d’autre termes, un panier (x 1 ,x 2 ) est préféré à 

un panier (y 1 ,y 2 )si et seulement si le niveau 

d’utilité de (x 1 ,x 2 ) est supérieur a celui de (y 1 ,y 2 ) 

• (x 1 ,x 2 ) ≻ (y 1 , y 2 ) iff u(x 1 ,x 2 ) u(y 1 , y 2 ) 



5

L’utilité 

• La seul chose qu’importe est le classement des 

paniers de biens 

• La valeur de la fonction d’utilité n’est pas 

intéressante que dans la mesure où elle classe le 

différents paniers 

• La grandeur de l’écart entre les niveaux d’utilité 

de deux paniers n’a aucune importance 

• L’utilité est un concept ordinal 



6

L’utilité 

• Une transformation monotone d’une fonction 

d’utilité quelconque modifie un ensemble de 

nombres en un autre ensemble de nombres tout 

en respectant leur classement 

• Une transformation monotone est représentée 

habituellement par une fonction f(u) qui 

transforme chaque nombre u en une autre 

nombre f(u). 

• u 1 u 2 f(u 1 ) f(u 2 ) 



7

L’utilité 

• Comme exemple d’une transformation 

monotone citons la multiplication par un 

nombre positif, ou l’addition d’un nombre 

quelconque 

– f(u)=3u; f(u)=u+15 

• Le taux de variation de f(u) suite à une variation 

de u peut être mesuré par la variation de f divisée 

par la variation de u 



8

L’utilité 

• Si f(u) est une transformation monotone 

quelconque d’une fonction d’utilité, alors 

f(u(x 1 ,x 2 )) est une fonction d’utilité qui 

représente les mêmes préférences que la 

fonction u. 

• Toute transformation monotone d’une fonction 

d’utilité représente les mêmes préférences que la 

fonction d’utilité initiale 



9

L’utilité 

• Toute les types de préférences ne peuvent pas 

être représentés par une fonction d’utilité 

• C’est le cas par exemple des préférences non 

transitives 

• Mais si nous éliminons le cas anormaux, nous 

pouvons généralement trouver une fonction 

d’utilité qui représente les préférences 

• On peut partir d’une ensemble de courbes 

d’indifférence 



10

L’utilité 

x 2 

x 1 

Distance mesurée à 

Partir de l’origine 



11

L’utilité 

• Une fonction d’utilité permet d’attribuer des valeurs aux 

courbes d’indifférences de telle sorte que les courbes 

d’indifférence supérieures correspondent à des valeurs 

plus élevées 

• On peut tracer la ligne diagonale à partir de l’origine des 

axes et attribuer à chaque courbe d’indifférence une 

valeur égale à la distance mesurée le long de cette ligne 

• Si le préférences sont monotones, chaque courbe 

d’indifférence n’est coupée qu’une seule fois par la 

diagonale 

• Les paniers situés sur des courbes d’indifférences 

supérieures se voient attribuer des valeurs plus élevée 



12

L’utilité 

• À partir d’une fonction d’utilité u(x 1 ,x 2 ), il est 

relativement facile de tracer les courbes 

d’indifférence 

• Il suffit d’indiquer tous le points (x 1 ,x 2 ) tels que 

u(x 1 ,x 2 ) est égal à une constante 

• Cette ensemble des points s’appelle courbe de 

niveau 

• Pour des valeurs différentes de la constante, on 

obtient des courbes d’indifférence différentes 



13

L’utilité 

• On peut déterminer les courbes d’indifférence à 

partir d’une fonction d’utilité 

• Considérons le cas: 

• La courbe d’indifférence est représentée par 

l’eu(x 1 ,x 2 )= x 1 x 2 nsemble des valeurs x 1 et x 2 tels 

que u(.) est égale à la constante k = x 1 x 2 

• En exprimant x 2 en fonction de x 1 on obtient la 

relation suivante: x 2 = k / x 1 



14

L’utilité 

x 2 

x 1 

k=3 

k=1 

k=2 



15

L’utilité 

• On peut maintenant représenter les différentes 

types des courbes d’indifférences en utilisant des 

fonctions d’utilités 

• Les courbes d’indifférences pour des biens 

substituts parfaits sont représentées par des droits 

avec pente négative 

• Nous pouvons proposer à titre provisoire la 

fonction: u(x 1 ,x 2 )= ax 1 +bx 2 

• Les paramètres a et b mesurent la valeur que le 

consommateur attribue aux biens 1 et 2. 

• x 2 = u – (a/b)x 1 



16

L’utilité 

• Le cas des compléments parfaits concernes deux biens 

qui sont utilisés dans proportions fixes (mais pas 

nécessairement dans la même proportion). 

• u(x 1 ,x 2 )=min{x 1 ,x 2 } 

• Naturellement, les agents économiques peuvent décider 

de consommer les biens dans des rapports différents de 1 

pour 1: min{2x 1 ,x 2 } 

• Evidemment, toute transformation monotone cette 

fonction d’utilité décrira les mêmes préférences 

• En général: u(x 1 ,x 2 )=min{ax 1 ,bx 2 },où a et b indiquent le 

proportions dans lesquelles les biens sont consommés 



17

L’utilité 

• Préférences quasi-linéaires 

• u(x 1 ,x 2 )=k= v(x 1 )+x 2 

• Il s’agit du déplacement parallèle d’une seule 

courbe d’indifférence 

• Ces courbes d’indifférence ne sont pas très 

réalistes, mais elles sont faciles à utiliser 



18

L’utilité 

• Une fonction d’utilité couramment employée est 

la fonction Cobb-Douglas: 

• u(x 1 ,x 2 ) = x 1 

c 

x 2 

d 

• Où c et d sont des nombres positifs qui 

décrivent les préférences du consommateur 

• c> 0, d > 0, c + d = 1. 

• c et d représentent l’élasticité de l’utilité par 

rapport à la variation soit du bien x 1 soit du bien 

x 2 



19

L’utilité 

x2 

x2 

x1 

c=1/2 

d= 1/2 

c=1/5 

d= 4/5 



20

L’utilité 

• Le courbes Cobb-Douglas correspondent 

exactement aux courbes d’indifférences 

monotones et convexes que nous avons déjà vu 

et qualifiées de ‘normales’ 

• Une transformation monotone de la fonction 

Cobb-Douglas représente les mêmes préférences 

• Deux cas de transformation monotone sont 

particulièrement intéressants 



21

L’utilité 

• v(x 1 ,x 2 ) = ln(x 1 

c 

x 2 d )=c ln x 1 + d ln x 2 

• Les courbes pour cette fonction d’utilité sont 

totalement identiques à celles correspondants à 

la fonction Cobb-Douglas 

• Cette transformation est utile pour simplifier la 

solution du problème de choix optimal du 

consommateur 



22

L’utilité 

• Comme second exemple on prende 

• u(x 1 ,x 2 ) = x 1 

c 

x 2 

d 

• Et porte cette fonction à la puissance 1/(c+d) 

• u(x 1 ,x 2 ) = x 1 

c/(c+d) 

x 2 

d/(c+d) 

• En définissant a = c / (c + d), nous pouvons écrire la 

fonction d’utilité comme suit: 

• u(x 1 ,x 2 ) = x 1 

a 

x 2 

(1-a) 

• Cela signifie que nous pouvons toujours prendre une 

transformation monotone de la fonction d’utilité qui 

rende la somme des exposant égale à l’unité 



23

L’utilité 

• Considérons un individu qui consomme un panier 

de biens (x 1 ,x 2 ). On peut définir l’utilité marginale 

du bien 1 comme la variation d’utilité de cet 

individu lorsque il reçoit un peu plus du bien 1 

• Cette définition implique que on peut calculer la 

variation d’utilité consécutive à une petit variation 

de la consommation du bien 1: 

• U = Um 1 x 1 



24

L’utilité 

• L’utilité marginale du bien 2 et donc définie de 

façon suivante: 

• Encore, on peut évaluer la variation de l’utilité 

totale qui suit un changement de la 

consommation du bien 2: 

• U = Um 2 x 2 

• La valeur de l’utilité marginale dépend de l’unité 

de mesure 



25

L’utilité 

• L’utilité marginale n’a aucun contenu 

comportemental 

• Les comportements des consommateur fournissent 

des informations seulement sur le classement de 

différent biens 

• L’utilité marginale dépend de la forme de la 

fonction adoptée pour traduire le classement des 

préférences 

• L’utilité marginale peut être toutefois utilisée pour 

calculer une grandeur qui a un contenu 

comportemental 



26

L’utilité 

• La fonction d’utilité peut être utilisée pour mesurer 

le taux marginal de substitution qu’on a déjà défini 

• Le TmS est la pente d’une courbe d’indifférence en 

un panier donné 

• C’est le taux auquel le consommateur est disposé à 

substituer une petite quantité du bien 2 au bien 1 

• Ça nous donne un façon simple pour calculer le 

TmS à partir de la fonction d’utilité 



27

L’utilité 

• Considérons une variation de la consommation 

de chaque bien ( x 1 , x 2 ) qui maintienne l’utilité 

constante, c.à.d. un changement dans la 

consommation qui corresponde à un 

déplacement le long de la courbe d’indifférence: 

• Um 1 x 1 +Um 2 x 2 = U =0 

• La solution de cette expression pour la pente de 

la courbe est: 



28

Le choix optimal 

x1 

x*1 

u3 

• A 

x*2 r’ 

u2 

u1 

x2 



29


• La figure précédente présente un exemple classique 

• Sur une même figure il y a l’ensemble budgétaire et 

plusieurs courbes d’indifférence d’un 

consommateur 

• Nous désirons identifier dans l’ensemble 

budgétaire, le panier situé sur la courbe 

d’indifférence la plus élevée 

• Avec des preférences normales, nous pouvons 

limiter notre attention à les paniers situés sur la 

droite de budget 



30


• Partons du coin inferieur de la droite de budget 

et déplaçons-nous vers la gauche 

• Nous atteignons des courbes d’indifférence de 

plus en plus élevées 

• Nous nous arrêtons quand nous atteignons la 

courbe d’indifférence la plus élevée, qui ne fait 

que toucher la droite 

• Sur notre figure ce panier est noté (x 1 *,x 2 *) 



31


• Le panier (x 1 *,x 2 *) constitue le choix optimal 

du consommateur 

• L’ensemble des paniers qu’il préfère à (x 1 *,x 2 *), 

n’a pas intersections avec l’ensemble des paniers 

qui lui sont accessibles (les paniers en dessous de 

la droite de budget) 

• Le panier (x 1 *,x 2 *) est donc le meilleur panier 

que le consommateur puisse acquérir 



32


• Le panier optimal se situe au point de tangence 

entre la courbe d’indifférence et la droite de budget 

• Toutefois, cette condition ne s’applique pas à tout 

choix optimal 

• Il y a des situations où la solution optimale ne peut 

pas être identifié au travers de la condition de 

tangence 

• Par contre, la courbe d’indifférence ne peut jamais 

couper la droite de budget 



33


x2 

r’ 

• Dans le cas des biens substituts parfaits on a une solution 

de coin 

A • 

x1 



34


x2 

C 

u3 

B 

• 

u2 

A 

u1 

• Si deux biens sont des compléments parfaits, les quantités 

demandées se situeront toujours sur la diagonale 

x1 



35


x2 

r’ 

B 

• 

• A C 

• 

u2 

u1 

u3 

• La condition de tangence n’est pas suffisante 

• Dans la figure on a plusieurs points de tangence 

• Il faut que les courbes d’indifférence soient strictement convexes 

x1 



36


x 1 

u 1 

u 2 

u 3 

x* 1 

A • • C 

x* 2 

x 2 

• Le choix optimal est en correspondance du point de tangence 

• Le choix optimal de x 1 et x 2 , pour des prix donnés p 1 et p 2 , est le panier demandé par 

le consommateur 

• La fonction de demande mette en relation le choix optimal, les prix et le revenu 



37


x1 

x*1 

• B 

u3 

• A 

u2 

u1 

x*2 

r” 

• Lorsque les prix ou le revenu changent (c’est le cas dans la figure), le 

choix optimal changera aussi, c.à.d. les quantités demandées de deux 

biens 

x2 



38


x1 

B 

• 

• A 

x’2 x2 

• Lorsque les prix change, la pente de la droite de budget se modifiera 

• Dans la figure, c’est le prix du bien 2 qui est augmenté 

r’ 

u1 

u2 

r 

u3 

x2 



39


• On peut maintenant considérer les effets de 

l’introduction de deux types de taxes 

• La taxe à l’unité est une taxe sur la quantité 

consommée d’un bien 

• Un impôt sur le revenu est simplement une taxe 

sur le revenu 

• On peut utiliser les rudiments de la théorie du 

consommateur pour identifier la meilleur 

stratégie pour le gouvernement 



40


x1 

Choix avec 

taxe à l’unité 

• 

• 

• 

Choix intial 

Choix avec impôt 

sur le revenu 

u3 

u2 

r’ 

u1 

r 

x2 



41


• Le choix optimal avec des preférences Cobb- 

Douglas est un exemple intéressante 

• On peut calculer les quantités demandés des 

biens 

• Il sera partie de l’examen 



42

fonction d'utilitÃ©

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