Fiche d'exercices : Equations différentielles I Equations ... - PT-PTSI

9 ◦ ) Soit ω 0 > 0, Q > 0.
a) On considère l’équation différentielle :
(E 0 ) x” + ω 0
Q x′ + ω 2 0x = 0
où x est une fonction de R dans R.
ω 0 est appelée pulsation propre, et le réel Q facteur de qualité.
Résoudre (E 0 ) et tracer l’allure de la courbe représentative de la solution x de (E 0 )
sur [0; +∞[ telle que
x(0) = 1, x ′ (0) = 0
On séparera l’étude en trois cas :
★ oscillateur faiblement armorti :Q > 1/2.
On posera
Ω = ω 0
√
1 − 1
4Q 2 , τ = Q ω 0
★ oscillateur fortement armorti : Q < 1/2
★ relaxation critique : Q = 1/2.
b) On considère A > 0 et F : R → C
.
t ↦→ ω0A 2 exp(iωt)
Déterminer les solutions de l’équation :
10 ◦ ) Résoudre :
On posera y(x) = xz(x)
Résoudre ensuite :
11 ◦ ) Résoudre :
(E) x” + ω 0
Q x′ + ω 2 0x = F
1
2 (1 − x2 )y ′′ + xy ′ − y = 0
1
2 (1 − x2 )y ′′ + xy ′ − y = x 3 − 3x + 1
x 2 y ′′ − 5xy ′ + 9y = x + 1
On posera t = ln |x| et y(x) = z(t) = z(ln |x|)
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