Fiche d'exercices : Equations différentielles I Equations ... - PT-PTSI

PTSI
Fiche d’exercices : Equations différentielles
I
Equations différentielles linéaires du premier ordre
Résoudre les équations différentielles suivantes, sur tout intervalle I de R :
1 ◦ ) (1 + x 2 )y ′ − 2xy = 0
4 ◦ ) y ′ − y = e 3x + 2x
2 ◦ ) xy ′ − y − x = 0
3 ◦ ) y ′ − x
5 ◦ ) xy ′ + y − ln |x| = 0
1 + x y = 0 2 6 ◦ ) 2x(1 − x)y ′ + (1 − x)y = √ |x|.
7 ◦ ) Soit a, b : R → R deux fonctions continues. Donner une condition nécessaire et suffisante
pour que l’équation différentielle y ′ + ay = b admettent deux solutions y 1 , y 2 vérifiant :
∃(α 1 , α 2 ) ∈ R 2 α 1 y 1 + α 2 y 2 = 1
8 ◦ ) Trouver f : R → R dérivable telle que
{
∀x ∈ R, f ′ (x) = f(x) + ∫ 1
0 f(t)dt
f(0) = 1
9 ◦ ) trouver les fonctions de classe C 1 vérifiant :
∀x, y ∈ R f(x + y) = f(x)f(y)
II
Equations différentielles linéaires du deuxième ordre
Résoudre les équations différentielles suivantes, sur tout intervalle I de R :
1 ◦ )
{ y” − 3y ′ + 2y = exp x − x − 1
y(0) = y ′ (0) = 0
2 ◦ ) y” − 2y ′ − 3y = sin 2x − cos 3x
3 ◦ ) y” − 2y ′ + y = e x sin x + 4e x
4 ◦ ) y” − 2y ′ + 2y = sh x + sin x
5 ◦ ) y” + y = e −|x| .
6 ◦ ) Trouver les applications de R dans R C 2 telles que :
∀x ∈ R f”(x) + f(−x) = xe x
7 ◦ ) Déterminer ⎧ les fonctions dérivables x et y de R dans R, telles que :
∀t ∈ R x ⎪⎨
′ (t) = x(t) + y(t) + sin t
∀t ∈ R y ′ (t) = −x(t) + 3y(t)
x(0) = 0 ⎪⎩
y(0) = 0
8 ◦ ) Trouver toutes les applications f : R → R continues, vérifiant :
.
∀x, y ∈ R, f(x)f(y) =
∫ x+y
x−y
f(t) dt
1

9 ◦ ) Soit ω 0 > 0, Q > 0.
a) On considère l’équation différentielle :
(E 0 ) x” + ω 0
Q x′ + ω 2 0x = 0
où x est une fonction de R dans R.
ω 0 est appelée pulsation propre, et le réel Q facteur de qualité.
Résoudre (E 0 ) et tracer l’allure de la courbe représentative de la solution x de (E 0 )
sur [0; +∞[ telle que
x(0) = 1, x ′ (0) = 0
On séparera l’étude en trois cas :
★ oscillateur faiblement armorti :Q > 1/2.
On posera
Ω = ω 0
√
1 − 1
4Q 2 , τ = Q ω 0
★ oscillateur fortement armorti : Q < 1/2
★ relaxation critique : Q = 1/2.
b) On considère A > 0 et F : R → C
.
t ↦→ ω0A 2 exp(iωt)
Déterminer les solutions de l’équation :
10 ◦ ) Résoudre :
On posera y(x) = xz(x)
Résoudre ensuite :
11 ◦ ) Résoudre :
(E) x” + ω 0
Q x′ + ω 2 0x = F
1
2 (1 − x2 )y ′′ + xy ′ − y = 0
1
2 (1 − x2 )y ′′ + xy ′ − y = x 3 − 3x + 1
x 2 y ′′ − 5xy ′ + 9y = x + 1
On posera t = ln |x| et y(x) = z(t) = z(ln |x|)
2