Vocabulaire, logique, raisonnement, majorer-minorer - Lama ...

Université de Savoie
Licence ST-1
2003–04
Mathématiques
Série 1 : Vocabulaire, logique, raisonnement, majorer-minorer (3 séances).
Exercice 1.
Le Procureur dit : « Si l’accusé est coupable, alors il a des complices. »
L’Avocat : « C’est faux. »
Que pensez-vous de la défense de l’Avocat ?
Exercice 2.
Soit A, B et C des ensembles. Montrer que (A ⊂ B et B ⊂ C) =⇒ A ⊂ C.
Exercice 3.
Étant donné un ensemble E, montrer que pour toutes parties A, B ⊂ E on a :
A ⊂ B ⇐⇒ E \ B ⊂ E \ A ⇐⇒ A ∪ B = B ⇐⇒ A ∩ B = A.
Exercice 4.
Soit f : R → R une fonction. Réécrire les phrases suivantes, avec des notations entièrement
symboliques. Écrire ensuite la négation de ces assertions.
1. f est décroissante sur R.
2. f est bornée sur R.
Exercice 5.
Soit f : {0, . . . , 9} → {0, . . . , 9} définie par f(0) = 7, f(1) = 4, f(2) = 3, f(3) = 4, f(4) = 7,
f(5) = 8, f(6) = 1, f(7) = 1, f(8) = 5, f(9) = 3.
Déterminer f({0, . . . , 9}), f({0, 5, 9}), f (−1) ({3, 4, 6, 8}) ainsi que le graphe de f.
Exercice 6.
On considère l’application f : R → R définie par f(x) = x 2 + 1. Déterminer :
f([5, 10[), f (−1) ([5, 10[), f(]−3, 2[), f (−1) (]−3, 2[), f (−1) (f(]−3, 2[)), f(f (−1) (]−3, 2[)).
Exercice 7.
Soient E, F deux ensembles et f : E → F une application. Pour chacune des assertions suivantes,
dire si elle est vraie ou fausse (en justifiant) :
1. ∀ A, B ∈ P(E), A ⊂ B =⇒ f(A) ⊂ f(B) ;
2. ∀ A, B ∈ P(E), f(A ∪ B) = f(A) ∪ f(B) ;
3. ∀ C, D ∈ P(F ), C ⊂ D =⇒ f (−1) (C) ⊂ f (−1) (D) ;
4. ∀ C, D ∈ P(F ), f (−1) (C ∪ D) = f (−1) (C) ∪ f (−1) (D) ;
5. ∀ A ∈ P(E), f (−1) (f(A)) = A ;
6. ∀ C ∈ P(F ), f(f (−1) (C)) = C.
Exercice 8. Démontrer par récurrence : ∀n ∈ N ∗ , 1.1! + 2.2! + 3.3! + · · · + n.n! = (n + 1)! − 1.

Exercice 9.
1. Démontrer par récurrence :
n∑
∀ n ∈ N ∗ , k 2 n(n + 1)(2n + 1)
= .
6
k=1
2. En déduire la valeur de la somme suivante pour n ∈ N ∗ :
Exercice 10.
1. Démontrer par récurrence la formule du binôme :
n∑
∀ n ∈ N, (a + b) n = C k na k b n−k .
k=0
2. En déduire la valeur de la somme suivante pour n ∈ N :
n∑
k(k + 1).
k=1
n∑
C k n.
Exercice 11.
Encadrer x + y, x − y, xy, x , sachant que x ∈ [3, 6] et y ∈ [−4, −2].
y
k=0
Exercice 12.
On rappelle que : ∀x ∈ R ∗ +, ln x ≤ x − 1. Déterminer un encadrement de x + ln x sur l’intervalle
1 + x2 [1, 2], puis sur [1, +∞[.
Exercice 13.
Majorer sur R + la fonction définie par f(x) = ex cos 2 x
2(x + e x ) .
Exercice 14.
Soit f(x) = x sin(x3 + 1) + 3 √ x cos x
x 4 . Montrer que ∀x ∈ [2, +∞[, |f(x)| ≤ 1
+ 2x − 3
2 .
Exercice 15.
Donner l’ensemble de définition des fonctions suivantes :
√
x + 1
g(x) =
x 3 − x 2 + x , h(x) = √ | − 5x 2 − 7x| − 6.
Exercice 16.
Représentez graphiquement la fonction f(x) = |x| + |x − 1| + |x + 1|.
Exercice 17.
Pour x donné, E(x) désigne la partie entière de x, c’est-à-dire : E(x) ∈ Z et E(x) ≤ x < E(x)+1.
Représentez graphiquement les fonctions suivantes définies sur l’intervalle [−2, 3] :
f(x) = E(x),
g(x) = x − E(x).