BAC BLANC DE MATHEMATIQUES

TERMINALE S NOVEMBRE 2004
BAC BLANC DE MATHEMATIQUES
Seules les calculatrices sont autorisées. Le barème est donné à titre indicatif.
Exercice 1( 4 points ) pour tous
QCM à faire sur la feuille annexe
(Cette feuille sera ramassée au début de la deuxième heure de l’épreuve)
Exercice 2( 2 points ) pour tous
Démontrer par récurrence que pour tout n IN,
si q ≠ 1
1 + q + q² + …….+ q n = 1 - qn+1
1 - q .
Exercice 3 ( 6 points) pour tous
Soit f la fonction définie sur l’intervalle ] 0 ; + [ par f ( x ) = ex – 1
x
1. a. Construire dans un repère orthonormal, la courbe représentative de la fonction x ex
b. Déterminer une équation de la tangente au point d’abscisse 0 et tracer cette tangente.
2. Résolution graphique d’une inéquation :
a) Justifier graphiquement l’inégalité suivante : pour tout réel u, e u u + 1.
b) En déduire que, pour tout réel x : e – x + x – l 0
puis que : 1 + (x – l ) e x 0.
3. Limites : a) Déterminer la limite de f en + .
b) Déterminer la limite de f en 0.
4. Sens de variation:
a) Montrer que, pour tout réel x appartenant à l’intervalle ] 0 ; + [ on a :
f ' ( x ) = ex (x – l ) + 1
x²
b) En déduire le sens de variation de f sur l’intervalle ] 0 ; + [
5. Justifier que l'équation f ( x ) = 2 admet une solution unique dans [ 0 ; 5 ]
Par balayage donner un encadrement de d'amplitude 10 -2 .
6. On appelle (C f ) la courbe représentative de f dans un repère orthonormal direct
(O , i , j ), unité graphique 2 cm. Tracer ( C f )

Exercice 4
On donne a =
(5 points) pour les non-spécialistes uniquement
3 + 1
4
+ i
3 - 1
4
On donne les points A n d'affixe z n = a n z 0
et z 0 = 6 + 6 i
1. Ecrire z 1 et a ² sous forme algébrique.
2. Ecrire z 1 sous forme exponentielle ; montrer que a ² = 1 2
i
e
6
3. Exprimer z 3 et z 7 en fonction de z 1 et a² .
En déduire les expressions de z 3 et z 7 sous forme exponentielle.
4. Placer les points A 0 , A 1 , A 3 , A 7
2
5. On pose r n = | z n | . Montrer que pour tout n de IN , r n = 12 (
2 ) n + 1
Exercice 4bis : (5 points) pour les spécialistes uniquement
Les 3 questions sont totalement indépendantes
1. On rappelle qu'un nombre entier naturel n est parfait lorsque la somme des diviseurs
est égale à 2n .
exemple: 6 est parfait car : 1 + 2 + 3 + 6 = 12 = 2 x 6
Soit p un nombre premier avec p > 2
4
On pose a 2 p .
a) Trouver tous les diviseurs de a .
b) En déduire les valeurs de p, pour lesquelles a est un nombre parfait .
2. Soit n un entier relatif
a) Déterminer les restes possibles dans la division euclidienne de n 3 par 9.
b) En déduire: n 3 0( mod 9)
si et seulement si n 0( mod3)
c) Montrer de même que:
n 3 1( mod9) si et seulement si n 1( mod3)
et
n 3 8( mod9) si et seulement si n 2(mod 3)
3. k étant un entier relatif, on pose : x 2 k 1
et y 9k 4 .
Vérifier que 2 y – 9 x = 17 .
En déduire que tout diviseur d commun à x et à y divise 17.
Quelles sont les valeurs possibles de d ?
Exercice 5 (3points) pour tous
- x²+ 3x – 2
1. f ( x ) =
x - 2
étudier la limite en 2.
e x
2. f ( x ) =
x - 1
étudier la limite en 1.

Annexe 1
Nom : classe :
Prénom :
Chaque réponse exacte apporte 0.5 pt, chaque réponse fausse retire 0.25 pt
L'absence de réponse n'ajoute ni ne retire aucun point. Mettre une croix dans la case choisie
Quel est le nombre de solutions des équations suivantes dans l'ensemble C des nombres
complexes ?
z 3 i
z 3
5
iz 2
z ² = _ 4
z z 3i
z
1 0
aucune solution
dans C
une seule solution
dans C
exactement deux
solutions dans C
au moins trois
solutions dans C
Etant donné un repère orthonormé direct du plan, donner la nature de l'ensemble des
point M d'affixe z présentés ci-dessous. ( éventuellement privés de points extrêmes )
Ensemble des points
M(z) tels que
Ensemble vide
Un point unique
Segment
Droite
demi-droite
Réunion de deux
demi-droites
Cercle
Demi-cercle
2 z42i
z 3i
2
3 2i z 5
zi
arg(
z 23i
z
z -2 ] – ; 0 [
) = 0 2