Analyse en Composantes Principales Suite

Université Paul Sabatier 2012-2013
L3 MMESI
TD5
Analyse en Composantes Principales Suite
Exercice 1 On étudie les consommations annuelles en 1972, exprimées en francs, de 8
denrées alimentaires (les variables), les individus étant 8 catégories socio-professionnelles.
Les données sont des moyennes par CSP, et sont stockées dans l'objet conso_alim de R.
Ci-dessous sont données les signications des codes utilisés, puis diverses sorties du logiciel
R lors du calcul d'une ACP.
AGRI : Exploitants agricoles
SAAG : Salariés agricoles
PRIN : Professions indépendantes
CSUP : Cadres supérieurs
CMOY : Cadres moyens
EMPL : Employés
OUVR : Ouvriers
INAC : Inactifs
PAO : Pain ordinaire
PAA : Autre pain
VIO : Vin ordinaire
VIA : Autre vin
POT : Pommes de terre
LEC : Légumes secs
RAI : Raisin de tables
PLP : Plats préparés
> conso_alim
PAO PAA VIO VIA POT LEC RAI PLP
AGRI 167 1 163 23 41 8 6 6
SAAG 162 2 141 12 40 12 4 15
PRIN 119 6 69 56 39 5 13 41
CSUP 87 11 63 111 27 3 18 39
CMOY 103 5 68 77 32 4 11 30
EMPL 111 4 72 66 34 6 10 28
OUVR 130 3 76 52 43 7 7 16
INAC 138 7 117 74 53 8 12 20
> E=eigen(cor(conso_alim))
> names(E$values)=colnames(E$vectors)=paste("Axe",1:8)
> round(E$values,4)
Axe 1 Axe 2 Axe 3 Axe 4 Axe 5 Axe 6 Axe 7 Axe 8
6.2079 0.8797 0.4160 0.3065 0.1684 0.0181 0.0034 0.0000
> round(E$vectors,4)
Axe 1 Axe 2 Axe 3 Axe 4 Axe 5 Axe 6 Axe 7 Axe 8
[1,] 0.3913 -0.1378 0.1617 0.1193 -0.2940 0.3977 -0.1069 0.7290
[2,] -0.3487 -0.4406 0.3199 0.2179 0.2654 0.5207 0.4231 -0.1178
[3,] 0.3492 -0.2017 0.6806 -0.0289 -0.2457 -0.4648 0.2539 -0.1801
[4,] -0.3736 -0.2603 0.0735 -0.3965 0.3456 -0.4229 0.0333 0.5750
[5,] 0.2464 -0.7438 -0.5577 -0.0740 -0.1757 -0.1077 0.0934 -0.1354
[6,] 0.3648 -0.1280 0.0324 0.5189 0.6692 -0.1849 -0.3131 0.0127
[7,] -0.3731 -0.3260 0.2542 0.0637 -0.2715 0.0163 -0.7659 -0.1590
[8,] -0.3617 0.0502 -0.1617 0.7081 -0.3329 -0.3602 0.2250 0.2189
> X=scale(conso_alim)*sqrt(8/7) # données centrées réduites
> PC=X %*% E$vectors;round(PC,4)
Axe 1 Axe 2 Axe 3 Axe 4 Axe 5 Axe 6 Axe 7 Axe 8
AGRI 3.3716 0.2458 0.8396 -0.6217 -0.5766 0.0218 -0.0223 0
1

SAAG 3.5217 0.4474 0.3515 0.9162 0.4937 0.0050 0.0316 0
PRIN -1.4720 -0.0585 -0.5530 0.8545 -0.7493 0.0586 -0.0046 0
CSUP -4.3588 -0.1761 1.0292 0.0152 0.2588 0.1265 -0.0159 0
CMOY -1.7181 0.8566 -0.1746 -0.4119 -0.0399 -0.1400 0.1170 0
EMPL -0.8065 0.8085 -0.3448 -0.0691 0.2059 -0.1957 -0.1095 0
OUVR 0.8991 0.1830 -0.9777 -0.5508 0.2932 0.2337 -0.0059 0
INAC 0.5630 -2.3068 -0.1702 -0.1323 0.1142 -0.1099 0.0097 0
> PC2=PC^2
> inertie_indiv=rowSums(PC2)
> round(PC2/inertie_indiv,4)
Axe 1 Axe 2 Axe 3 Axe 4 Axe 5 Axe 6 Axe 7 Axe 8
AGRI 0.8844 0.0047 0.0548 0.0301 0.0259 0.0000 0.0000 0
SAAG 0.8981 0.0145 0.0089 0.0608 0.0176 0.0000 0.0001 0
PRIN 0.5746 0.0009 0.0811 0.1936 0.1489 0.0009 0.0000 0
CSUP 0.9418 0.0015 0.0525 0.0000 0.0033 0.0008 0.0000 0
CMOY 0.7529 0.1872 0.0078 0.0433 0.0004 0.0050 0.0035 0
EMPL 0.4278 0.4299 0.0782 0.0031 0.0279 0.0252 0.0079 0
OUVR 0.3606 0.0149 0.4264 0.1353 0.0383 0.0244 0.0000 0
INAC 0.0555 0.9319 0.0051 0.0031 0.0023 0.0021 0.0000 0
> round(t(t(PC2)/colSums(PC2)),4)
Axe 1 Axe 2 Axe 3 Axe 4 Axe 5 Axe 6 Axe 7 Axe 8
AGRI 0.2289 0.0086 0.2118 0.1577 0.2467 0.0033 0.0181 0.0140
SAAG 0.2497 0.0284 0.0371 0.3424 0.1808 0.0002 0.0363 0.0034
PRIN 0.0436 0.0005 0.0919 0.2978 0.4167 0.0237 0.0008 0.0036
CSUP 0.3826 0.0044 0.3183 0.0001 0.0497 0.1107 0.0092 0.0287
CMOY 0.0594 0.1043 0.0092 0.0692 0.0012 0.1356 0.4961 0.4737
EMPL 0.0131 0.0929 0.0357 0.0019 0.0315 0.2650 0.4349 0.4389
OUVR 0.0163 0.0048 0.2872 0.1238 0.0638 0.3779 0.0013 0.0001
INAC 0.0064 0.7561 0.0087 0.0071 0.0097 0.0836 0.0034 0.0376
> Corr=cor(cbind(conso_alim,PC))[1:8,9:16];round(Corr,4)
Axe 1 Axe 2 Axe 3 Axe 4 Axe 5 Axe 6 Axe 7 Axe 8
PAO 0.9750 -0.1293 0.1043 0.0661 -0.1207 0.0535 -0.0063 -0.2437
PAA -0.8687 -0.4132 0.2064 0.1206 0.1089 0.0700 0.0248 0.1939
VIO 0.8700 -0.1892 0.4390 -0.0160 -0.1008 -0.0625 0.0149 -0.1966
VIA -0.9309 -0.2441 0.0474 -0.2195 0.1418 -0.0568 0.0020 0.1803
POT 0.6139 -0.6976 -0.3597 -0.0410 -0.0721 -0.0145 0.0055 -0.3068
LEC 0.9090 -0.1201 0.0209 0.2872 0.2746 -0.0249 -0.0184 -0.2969
RAI -0.9295 -0.3057 0.1640 0.0353 -0.1114 0.0022 -0.0450 0.1639
PLP -0.9011 0.0471 -0.1043 0.3920 -0.1366 -0.0484 0.0132 0.2268
1. A-t-on réalisé une ACP normée ou non-normée ?
2. Combien d'axes factoriels faut-il étudier ?
3. Réaliser des graphiques du nuages de points et des variables selon les axes factoriels
sélectionnés.
4. Faites un tableau (avec des signes) des variables qui contribuent le plus à l'axe 1.
Quelles variables sont bien expliquées par l'axe 1 ? Que signie l'axe 1 ?
5. Faites un tableau des individus qui contribuent le plus à l'axe 1. Ces individus sont-ils
bien représentés sur l'axe 1 ? Interprêter ces résultats.
6. Reprendre les deux questions précédentes pour les autres axes factoriels sélectionnés.
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