Devoir libre N1 - PT-PTSI

PTSI1 – 2013/2014
Lycée La Martinière-Monplaisir – Lyon
Devoir maison 1.
A rendre le lundi 16 septembre 2013
Les DM sont à faire en binôme. Vous devez réfléchir et travailler ensemble pour la résolution
de toutes les questions.
Chaque binôme rédigera une seule copie portant le nom des étudiants, qui seront donc tous
deux responsables de la totalité du contenu. Chaque étudiant rédigera une ou plusieurs
questions constituant approximativement la moitié du devoir. Chaque changement de rédacteur
doit être indiqué dans la marge.
Suggestion de répartition de la rédaction :
I.1 élève A ; I.2) élève B ; I.3) de a) à c) élève A ; I.3).c) et II élève B.
Exercice
On effectuera toutes les représentations graphiques sur la même figure dans un plan rapporté
à un repère orthonormé.
Partie 1 :
On considère la fonction f définie sur [0, +∞[ par :
⎧ ( )
⎨
x + 2
f(x) = x ln
x
⎩
f(0) = 0
si x > 0
On note C sa courbe représentative.
1 ◦ ) a) Montrer que f est continue en 0.
b) f est-elle dérivable en 0 ?
c) En posant h = 2 pour x > 0, déterminer la limite de f(x) lorsque x tend vers +∞.
x
2 ◦ ) a) Justifier que f est deux fois dérivable sur ]0, +∞[ et vérifier que, pour tout x > 0 :
f ′′ 4
(x) = −
x(x + 2) 2
b) Étudier le sens de variations de f ′ (x) et calculer la limite de f ′ (x) lorsque x tend
vers +∞.
En déduire le signe de f ′ (x).
c) Dresser le tableau de variations de f.
3 ◦ ) Soit u la fonction définie sur [0, +∞[ par :
On note H sa courbe représentative.
u(x) =
1
2x
x + 2

a) Dresser le tableau de variations de u.
b) Vérifier que, pour x > 0, on a : f(x) − u(x) = xf ′ (x).
En déduire la position relative de C et H.
Tracer H en indiquant le point A d’abscisse 2.
c) λ étant un réel strictement positif, montrer que la tangente à C au point d’abscisse
λ rencontre l’axe des ordonnées au point I d’ordonnée u(λ).
En déduire, à l’aide du tracé de H la détermination de la tangente à C au point
d’abscisse λ.
d) Tracer la courbe représentative de f. On précisera la tangente au point d’abscisse 0
et au point B d’abscisse 2 (en utilisant la question précédente).
Partie 2 :
On se propose de déterminer l’ensemble E des fonctions g, définies et dérivables sur ]0, +∞[ et
possédant la propriété P suivante :
Pour tout x > 0, g(x) − xg ′ (x) =
2x
x + 2 .
Soit alors g une fonction définie et dérivable sur ]0, +∞[. On pose, pour tout x > 0, G(x) = g(x)
x .
1 ◦ ) Montrer que g possède la propriété P si et seulement si, pour tout x > 0 :
2 ◦ ) En déduire l’ensemble E.
G ′ (x) = 1
x + 2 − 1 x .
2