Fiche d'exercices : Espaces vectoriels - PT-PTSI

11 ◦ ) Donner une base du R-espace vectoriel : {(x, y, z) ∈ R 3 / x + y + z = 0}.
12 ◦ ) Soit E un K-espace vectoriel de dimension finie, F, G deux sous espaces vectoriels de E.
Montrer que F et G admettent un supplémentaire commun si et seulement si dimF = dimG.
13 ◦ ) Montrer que V ect R (x, y) = V ect R (u, v) où :
{ x = (2, 3, −1) y = (1, −1, −2)
u = (3, 7, 0) v = (5, 0, −7)
14 ◦ ) Dans R 4 , soient :
a = (1, 2, 3, 4), b = (1, 1, 1, 3), c = (2, 1, 1, 1), d = (−1, 0, −1, 2), e = (2, 3, , 0, 1)
Soient U = V ect(a, b, c) et V = vect(d, e).
Calculer la dimension de U, V, U ∩ V, U + V .
15 ◦ ) Soit (a, b, c) la famille de vecteurs de R 3 :
a = (1, 1, 0), b = (1, 0, 2), c = (0, 2, −3)
a) Démontrer que (a, b, c) est une base de R 3 .
b) Déterminer les coordonnées dans cette base de chacun des vecteurs de la base canonique.
16 ◦ ) Soit E 1 et E 2 deux sous-espaces vectoriels d’un K-espace vectoriel E de dimension finie.
Démontrer que les propositions suivantes sont équivalentes.
i) E = E 1 ⊕ E 2
ii) E = E 1 + E 2 et dim E = dim E 1 + dim E 2
iii) E 1 ∩ E 2 = {0 E } et dim E = dim E 1 + dim E 2
( ) ( )
1 0 1 1
17 ◦ ) Soient I = , J = , E = {M(x, y) = xI + yJ; (x, y) ∈ R
0 1 0 1
2 }.
Montrer que E est un R-espace vectoriel et en donner une base et la dimension.
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