Fiche d'exercices : Espaces vectoriels - PT-PTSI

PTSI
Fiche d’exercices : Espaces vectoriels
1 ◦ ) Déterminer les R-espaces vectoriels parmi les ensembles suivants :
a) {f : R → R/f(1) = 0}
b) {f : R → R/f(0) = 1}
c) {(u n ) ∈ R N /∀n ∈ N, u n+2 = 4u n+1 + 3u n }
d) {(u n ) ∈ R N /∀n ∈ N, u n+2 = 4u 2 n+1 + 3u n }
e) {(x, y, z) ∈ R 3 /5x + 3y − z = 0}
f) {(x, y, z) ∈ R 3 /5x + 3y − z = 2}
g) {(x, y, z) ∈ R 3 /5x 2 + 3y − z = 0}
h) {(x, y, z) ∈ R 3 /(3x − 2y)(5x − y + 2z) = 0}
i) {(x, y, z) ∈ R 3 /(3x−2y) 2 +(5x+2z) 2 = 0}
2 ◦ ) Soient A, B, C trois sous-espaces } vectoriels d’un K-espace vectoriel E.
A ∩ B = A + C
Montrer :
=⇒ A = B = C
A ∩ C = A + B
3 ◦ ) Soit, dans R 3 , V 1 (3, −1, 0), V 2 (1, −2, 3), V 3 = (−4, 5, −2).
Soit V = vect(V 1 ), V ′ = vect(V 2 , V 3 ).
Déterminer V ∪ V ′ , V ∩ V ′ , V + V ′ .
Préciser lesquels de ces ensembles sont des sous-espaces vectoriels. Lorsque ce n’est pas le cas
préciser le sous-espace vectoriel engendré.
V et V ′ sont-ils supplémentaires ?
4 ◦ ) Dans R 3 , soit V 1 = (−1, 1, −1), V 2 (1, 2, 4), V 3 (3, −1, a), V 4 (2, 3, b).
Déterminer les réels a et b pour que vect(V 1 , V 2 ) = vect(V 3 , V 4 )
5 ◦ ) Quelques méthodes pour étudier l’indépendance linéaire d’une famille de fonctions
a) Valeur en 1 point : Etudier la famille (cos, sin).
b) Etude asymptotique : Etudier (exp, ln, Id).
c) Dérivation : Etudier les familles (cos, sin) et (exp, ln, Id).
d) Utilisation d’un polynôme : Etudier (exp, exp 2 , exp 3 ).
6 ◦ ) Comparer pour n ∈ N, fixé, les sous-espaces vectoriels engendrés par (x ↦→ cos k x; 0 ≤ k ≤ n)
et (x ↦→ cos(kx); 0 ≤ k ≤ n)
7 ◦ ) Soit : F le sous-espace vectoriel de R 3 engendré par u = (3, −1, 2) et v = (−1, 2, 0)
F ′ le sous-espace vectoriel de R 3 engendré par u ′ = (7, −4, 4) et v ′ = (−6, 7, −2)
Montrer que F = F ′ .
.
8 ◦ ) Soit a = (1, 1, 0), b = (1, 0, 2), c = (0, 2, −3).
a) Montrer que (a, b, c) est une base de R 3 .
b) Trouver dans cette base les coordonnées des vecteurs (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1).
9 ◦ ) Soient u = (1, 2, 0, 1), v = (−1, 1, 0, 2), w = (2, , 1, 1, 0).
Compléter cette famille pour obtenir une base de R 4 .
10 ◦ ) Trouver λ et µ pour que les trois vecteurs (−3, −2, −1, 3), (1, 0, 2, 4) et (1, −3, λ, µ) soient liés.
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11 ◦ ) Donner une base du R-espace vectoriel : {(x, y, z) ∈ R 3 / x + y + z = 0}.
12 ◦ ) Soit E un K-espace vectoriel de dimension finie, F, G deux sous espaces vectoriels de E.
Montrer que F et G admettent un supplémentaire commun si et seulement si dimF = dimG.
13 ◦ ) Montrer que V ect R (x, y) = V ect R (u, v) où :
{ x = (2, 3, −1) y = (1, −1, −2)
u = (3, 7, 0) v = (5, 0, −7)
14 ◦ ) Dans R 4 , soient :
a = (1, 2, 3, 4), b = (1, 1, 1, 3), c = (2, 1, 1, 1), d = (−1, 0, −1, 2), e = (2, 3, , 0, 1)
Soient U = V ect(a, b, c) et V = vect(d, e).
Calculer la dimension de U, V, U ∩ V, U + V .
15 ◦ ) Soit (a, b, c) la famille de vecteurs de R 3 :
a = (1, 1, 0), b = (1, 0, 2), c = (0, 2, −3)
a) Démontrer que (a, b, c) est une base de R 3 .
b) Déterminer les coordonnées dans cette base de chacun des vecteurs de la base canonique.
16 ◦ ) Soit E 1 et E 2 deux sous-espaces vectoriels d’un K-espace vectoriel E de dimension finie.
Démontrer que les propositions suivantes sont équivalentes.
i) E = E 1 ⊕ E 2
ii) E = E 1 + E 2 et dim E = dim E 1 + dim E 2
iii) E 1 ∩ E 2 = {0 E } et dim E = dim E 1 + dim E 2
( ) ( )
1 0 1 1
17 ◦ ) Soient I = , J = , E = {M(x, y) = xI + yJ; (x, y) ∈ R
0 1 0 1
2 }.
Montrer que E est un R-espace vectoriel et en donner une base et la dimension.
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