IÉtude d'une climatisation - s.o.s.Ryko

CorDSn o 9 Ve 28/05/10 Thermodynamique / Électrostatique / Structures cristallines ∣ PTSI
2) • Les symétries sont les mêmes qu’à la question
1) :
⇒ ∀M ∈ (Oz) −→ E (M) = E(M) −→ e z = E(z) −→ e z
• Composante du champ selon (Oz) :
E(z) = −→ E (M) ▪ −→ (∫
)
−→
e z = dE P (M) ▪ −→ e z
• Loi de Coulomb :
(∫
E(z) =
Soit ∀ z > 0,
en sachant que :
- tan α = r z
P ∈D
P ∈D
dq(P )
−→ ) e P →M
.
4πε 0 P M 2 ▪ −→ e z
— et donc : dr =
z
cos 2 α .dα ;
- et cos α = z
P M — et donc : 1
P M 2 = cos2 α
z 2 :
E(z) =
=
=
dS
dq
y
e r
P
θ
xxxx
xxxx
xxxx
xxxx
xxxx
xxxx
xxxx
xxxx
xxxx
e θ
R
x
O
σ=σ 0
e PM
α
z
ψ
∫
σ 0 .dS
−→ e P →M ▪ −→ e z
.
P ∈D 4πε 0 P M 2 = σ ∫
0
.
4πε 0 P ∈D
∫
( )
σ 0
. ( z.
4πε tan α).
z
0
cos 2 α .dα .dθ. cos α.
σ 0
4πε 0
.
P ∈D
∫ ψ
0
⇒ ∀ z > 0 :
sin α.dα.
∫ 2π
M
cos α
r.dr.dθ.
P M 2
dθ = σ 0
.(1 − cos ψ).2π
0 4πε 0
(
)
−→ σ 0
z
E (M) = . 1 − √ −→ez
2ε 0 R 2 + z 2
(0,0,z)
(
cos 2 ) α
z 2
E(M)
α
dE P (M)
z
• Puisque E(z) est une fonction impaire de z, on en déduit :
(
−→ σ 0
∀ z > 0 : E (M) = . 1 −
2ε 0
∀ z < 0 :
−→ E (M) = −
σ 0
2ε 0
.
(
1 +
z
√
R 2 + z 2 )
−→ez
z
√
R 2 + z 2 )
−→ez
3) Un disque se comporte comme un plan infini lorsqu’on fait tendre son rayon vers l’infini
(R → ∞). Des résultats précédents, on déduit
−→ σ 0
∀ z > 0 : E (M) =
−→ ez
2ε
le champ créé par un plan infini uniformément chargé est :
0
−→ σ 0
∀ z < 0 : E (M) = −
−→ ez
2ε 0
4.a) • La distribution de charges D (plan infini uniformément chargé) est :
- invariante par translation selon (Ox)
- invariante par translation selon (Oy)
−→ −→ −→
Donc : ∀ M ∈ E E (M) = E (x, y, z) = E (z) (★)
• Les plans (π 1 ) = (Mzx) et (π 2 ) = (Mzy) sont des plans de symétrie de D qui passent par M.
On en déduit : −→ E (M) ∈ ((π 1 ) ∩ (π 2 )) = (Mz)
⇒ ∀M ∈ E −→ E (M) = E(M) −→ e z
(★★)
• De (★) et (★★) on déduit : ∀M ∈ E :
−→ E (M) = E(z)
−→ ez
6 http ://atelierprepa.over-blog.com/ jpqadri@gmail.com