M8 – CHANGEMENT DE RÉFÉRENTIELS - s.o.s.Ryko

OBJECTIFS
M8 – CHANGEMENT
DE RÉFÉRENTIELS
(d
• Par définition, le vecteur vitesse −−−→
−−→ )
OM
v M/R =
dt
R
, O étant un point fixe du référentiel R,
dépend du référentiel dans lequel on l’évalue. De même pour l’accélération −−−→ a M/R =
( d
−−−→ )
v M/R
dt
Dans ce chapitre, on se limite aux aspects cinématiques et on cherche à établir le liens entre les
vitesses et les accélérations exprimées dans deux référentiels différents.
Nouveautés de cette leçon :
• Loi de composition des vitesses.
• Loi de composition des accélérations.
• Notion de point coïncidant pour savoir retrouver la vitesse d’entraînement −→ v e (M) et
l’accélération d’entraînement −→ a e (M)
• Expression générale de l’accélération de Coriolis −→ a C (M).
.
R
I
Mouvement relatif de deux référentiels
I.1 Position du problème
⎧
⎧
⎨ la trajectoire de M dans R a
Q : Si on connaît la vitesse −−−−→
⎨ la traj. de M dans R e
v
⎩
M/Ra (t)
l’accélération −−−−→
, quelle sont la vitesse v −−−→
⎩
M/Re (t)
a M/Ra (t)
l’accélération −−−−→ a M/Re (t)
Pour répondre à cette question, il faut connaître le mouvement de R e par rapport à R a :
?
♦ Définition : Le mouvement de R e par rapport à R a
s’appelle le mouvement d’entraînement.
R a = R s’appelle le référentiel fixe ou référentiel absolu.
R e = R 1 s’appelle le référentiel mobile ou référentiel
relatif.
Notation : ( −→ e x , −→ e y , −→ e z ) et ( −→ e x1 , −→ e y1 , −→ e z1 ) notent les Bases
OrthoNormées Directes cartésiennes de R et R 1 respectivement.
I.2 Rotation relative des deux trièdres des B.O.N.D. de R a et R e
♦ Définition : Il existe un vecteur qu’on appelle vecteur rotation d’entraînement de R e = R 1
p/r à R a = R, noté −→ Ω R1 /R tel que :
( d
−→ )
ex1
= −→ Ω
dt
R1 /R × −→
( d
−→ )
ey1
e x1
= −→ Ω
dt
R1 /R × −→
( d
−→ )
ez1
e y1
= −→ Ω
dt
R1 /R × −→ e z1
R
R
R
I.3 Translation et rotation
Le mouvement d’entraînement de R e = R 1 par rapport R a = R est la superposition :
- d’une rotation à la vitesse angulaire −→ Ω R1 /R
(d
- et d’une translation qu’on peut caractériser par −−−→
−−→ )
OO 1
v O1 /R =
dt
R
Avec O un point fixe dans R et O 1 un point fixe dans R 1 .

M8 I. Mouvement relatif de deux référentiels 2009-2010
I.4 Mouvement d’entraînement par translation
a Translation d’un solide dans R :
♦ Définition : Un solide est en mouvement de translation
par rapport à un référentiel R si, pour deux points
−→
A et B quelconques de ce solide, le vecteur AB garde
toujours les mêmes direction, sens et norme au cours du
−→
temps : AB = −→ Cte .
❚ Propriétés : Les trajectoires de tous les points d’un
solide en translation sont superposables.
Si ces trajectoires sont :
• des courbes de forme quelconque : on parle de translation curviligne
• des droites parallèles : on parle de translation rectiligne
• des cercles de même rayon : on parle de translation circulaire.
❚ Propriété :
−→ AB =
−−→
Cste ⇔ −→ OB(t) −
−→ OA(t) =
−→ Cte ⇔
−−−→
v B/R (t) = v −−→
A/R (t)
Cl : au cours d’une translation, tous les points d’un solide ont, à chaque instant t, le même
vecteur vitesse −→ v (t).
Rq : Bien entendu, ce vecteur vitesse peut varier au cours du temps, en norme comme en
direction !
b R 1 est un solide géométrique qui peut être en translation p/r à R :
Dans ce cas, tout vecteur lié à R e = R 1 demeure
constant dans R a = R 1 ; entre autre : −→ e x1 , −→ e y1 et −→ e z1 .
Donc :
⎧ ( d
−→ )
ex1
= −→ Ω
dt
R1 /R × −→ e x1 = −→ 0
⎪⎨ ( R
d
−→ )
ey1
= −→ Ω
dt
R1 /R × −→ e y1 = −→ 0 ⇔ −→ Ω R1 /R = −→ 0
( R
d
−→ )
ez1
⎪⎩ = −→ Ω
dt
R1 /R × −→ e z1 = −→ 0
R
❚ Cl : Lorsqu’un référentiel R 1 a un mouvement d’entraînement de translation par rapport à
un référentiel R, alors, son vecteur rotation d’entraînement en nul.
I.5 Mouvement d’entraînement par rotation de
R e par rapport à R a
Hyp : Supposons que, ∀ t :
• (Oz) = (O 1 z 1 ) et O = O 1 .
• le référentiel R 1 est en rotation dans le référentiel R
autour de la verticale.
⎧ −→
⎨ e x1 = cos θ −→ e x + sin θ −→ e y
Alors :
−→
e y1 = − sin θ −→ e x + cos θ −→ e y
⎩ −→
e z1 = −→ e z
Soit, en dérivant par rapport au temps dans le référentiel R :
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△
2009-2010 II. Dérivation d’un vecteur par rapport au temps M8
⎧ ( d
−→ )
ex1
=
dt
˙θ(− sin θ −→ e x + cos θ −→ e y ) = ˙θ
−→
e y1
⎪⎨ ( R
d
−→ )
ey1
=
dt
˙θ(− cos θ −→ e x − sin θ −→ e y ) = − ˙θ
−→
e x1
( R
d
−→ )
ez1
⎪⎩ = −→ 0
dt
R
On peut facilement vérifier que :
Donc, en posant −→ Ω = ˙θ −→ e z , pour i = x, y ou z :
(
⎧
˙θ −→ e z1 × −→
(
e x1 = ˙θ
−→ d
−→ )
d
−→ )
ei1
ex1
= −→ Ω × −→ e
e y1 ≡
i1
dt
dt
⎪⎨
R
˙θ −→ e z1 × −→
(
e y1 = − ˙θ
−→ d
−→ )
ey1
Alors (cf. I.2) −→ Ω représente le vecteur rotation
e x1 ≡
dt
de R
R
⎪⎩ ˙θ −→ e z1 × −→ e z1 = −→ ( d
−→ )
1 par rapport à R :
ez1
0 =
−→
dt
R
Ω R1 /R = −→ Ω = ˙θ −→ e z
Rq : (Important à comprendre !)
La base ( −→ e x1 , −→ e y1 , −→ e z1 ) est une base cartésienne dans le référentiel R 1
Mais ces trois même vecteurs sont les vecteurs d’une base polaire dans le référentiel R.
Cl : La nature d’une base (cartésienne ou polaire) dépend du référentiel dans lequel on
travaille.
II
II.1
Dérivation d’un vecteur par rapport au temps
Formule de Varignon
• Soit un vecteur quelconque −→ U . On peut le projeter dans la B.O.N.D. de R 1 = R e :
−→ U = Ux1
−→ ex1 + U
−→
z1ez1 + U
−→
z1ez1
• On peut dériver ce vecteur par rapport au temps dans le référentiel R a = R : l’observateur,
pour cette opération, est LIÉ à R :
(
d −→ )
U
dt
R
= U ˙ −→
x1ex1 + U˙
−→
y1 ey1 + U˙
−→
( d
−→ )
ex1
z1 ez1 +U x1
} {{ } dt
(
d −→ ) (
U d −→ )
U
= + −→ Ω
−→
dt dt
R1 /R×(U x1ex1 +U
−→
z1ez1 +U
−→
z1ez1 ) ⇔
R
R 1
R
( d
−→ )
ey1
+ U y1
dt
R
( d
−→ )
ez1
+ U z1
dt
(
d −→ ) (
U d −→ )
U
= + −→ Ω
dt dt
R1 /R × −→ U
R
R 1
R
II.2
Composition des vecteurs rotation
a Relation entre −→ Ω R1 /R et −→ (
Ω R/R1
d −→ ) (
U
d −→ )
U
=
+ −→ Ω
dt
dt
R1 /R × −→ U
( R
R 1
d −→ ) (
U
d −→ )
U
+ −→ Ω
dt
dt
R/R1 × −→ U
R 1
=
R
⎫
⎪⎬
⇒
b Composition des vecteurs rotations :
( Supposons trois référentiels R 1 , R 2 et R 3 . On a :
d −→ ) (
U
d −→ )
⎫
U
dt
dt
⎪⎬
(
d −→ U
dt
)
R 2
=
R 3
=
(
d −→ U
dt
+ −→ Ω R1 /R 2
× −→ U
) R 1
R 2
+ −→ Ω R2 /R 3
× −→ U
⎪⎭
⎪⎭
⇒
(
d −→ ) (
U d −→ )
U
=
dt dt
R
R
D’où :
(
d −→ ) (
U d −→ )
U
=
dt dt
R 3
+ ( −→ Ω R/R1 + −→ Ω R1 /R) × −→ U
} {{ }
−→ 0
−→ Ω R1 /R = − −→ Ω R/R1
+( −→ Ω R1 /R 2
+ −→ Ω R2 /R 3
) × −→ U
} {{ }
R 1
−→ Ω R1 /R 3
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M8 II. Dérivation d’un vecteur par rapport au temps 2009-2010
D’où :
−→ Ω R1 /R 3
= −→ Ω R1 /R 2
+ −→ Ω R2 /R 3
c
Application : coordonnées sphériques
Le repère (O, −→ e x , −→ e y , −→ e z ) est le « solide géométrique »LIÉ au
référentiel R.
Le repère (O, −→ e , −→ e φ , −→ e z ) est le « solide géométrique »LIÉ au
référentiel R ′ tel que : −→ Ω R ′ /R = ˙φ −→ e z .
Le repère (O, −→ e r , −→ e θ , −→ e φ ) est le « solide géométrique »LIÉ au
référentiel R 1 tel que : −→ Ω R1 /R ′ = ˙θ −→ e φ .
• D’après la composition des vecteurs rotation :
−→ Ω R1 /R = −→ Ω R1 /R ′ + −→ Ω R ′ /R = ˙θ −→ e φ + ˙φ −→ e z
• d’où :
( d
−→ er
dt
)
R
=
−→ 0
{( }} {
d
−→ )
er
+ −→ Ω
dt
R1 /R × −→ e r
R 1
→
• d’où :
→
( d
−→ er
dt
)
R
( d
−→ eθ
dt
= ( ˙θ −→ e φ + ˙φ −→ e z ) × −→ e r = ˙θ −→ e θ + ˙φ −→ e z × −→ e r
} {{ }
sin θ −→ e φ
)
= ˙θ −→ e θ + ˙φ sin θ −→ e φ 1
R
−→ 0
{( }} {
d
−→ )
eθ
= + −→ Ω
dt
R1 /R × −→ e θ = ( ˙θ −→ e φ + ˙φ −→ e z ) × −→ e θ = − ˙θ −→ e r + ˙φ
R 1
( d
−→ )
eθ
= −
dt
˙θ −→ e r + ˙φ cos θ −→ e φ 2
R
−→ 0
(
sin
−→ ez × −→ e
} {{ θ
}
θ+ π 2
)
−→eφ
( d
−→ ) {( }} {
eφ d
−→ )
eφ
• d’où : = + −→ Ω
dt
R
dt
R1 /R × −→ e φ = ( ˙θ −→ e φ + ˙φ −→ e z ) × −→ e φ = ˙φ −→ e z × −→ e φ ≡ − ˙φ −→ e .
R 1
Comme : −→ e = sin θ −→ e r + cos θ −→ ( d
−→ )
eφ
e θ , on obtient :
= − ˙φ sin θ −→ e r − ˙φ cos θ −→ e θ 3
dt
R
(d
• De plus, comme −−−→
−−→ ) (
OM dr
−→ )
er
v M/R =
= = ˙r −→ ( d
−→ )
er
e r + r
dt
dt
dt
R
Rq1 : Avec 1 on obtient la vitesse en coordonnées sphériques : −−−→ v M/R = ˙r −→ e r + r ˙θ −→ e θ + r sin θ ˙φ −→ e φ
Rq2 : On pourrait dériver à nouveau le vecteur vitesse, et, grâce à 1, 2 et 3, obtenir l’expression
de l’accélération en coordonnées sphériques.
d
Dérivée temporelle d’un vecteur rotation d’entraînement
• Supposons que −→ U ≡ −→ Ω R1 /R.
( −→ ) ( −→ )
d Ω R1 /R d Ω R1 /R
La formule de Varignon s’écrit alors :
=
+ −→ Ω
dt
dt
R1 /R × −→ Ω R1 /R
} {{ }
R
R 1 −→ 0
→ Donc les deux dérivées temporelles sont égales. Comme elles sont indépendantes du choix du
référentiel R ou R 1 pour les exprimer, on peut se contenter de noter :
( −→ ) ( −→ )
d Ω R1 /R d Ω R1 /R
=
≡ d−→ Ω R1 /R
dt
dt
dt
R
R 1
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R
.
R

2009-2010 III. Loi de composition des vitesses M8
III
III.1
Loi de composition des vitesses
Vitesse absolue et vitesse relative
•
⎧
Pour un point M quelconque, on cherche la relation entre :
⎪⎨
sa vitesse absolue, définie dans le référentiel absolu R
−−−−→
(d −−→ )
OM
a v M/Ra =
≡ −→ v a
dt
R a
⎪⎩ sa vitesse relative, définie dans le référentiel relatif R
−−−→
(d −−−→ )
O 1 M
e v M/Re =
≡ −→ v r
dt
R e
• Comme −−→ OM = −−→ OO 1 + −−−→ O 1 M :
−−−−→
v M/Ra ≡
(d −−→ )
OM
dt
R a
=
(d −−→ )
OO 1
(d −−−→ )
O 1 M
+
dt
dt
} {{
R a}
(d −−−→ )
O 1 M
dt
} {{
R } e
−−−−→
v M/R e
= −−−−→ v O1 /Ra +
❚ D’où la Loi de Composition des Vitesses :
−−−−→
v M/Ra = v −−−→
M/Re + −−−−→ v O1 /R a
+ −→ Ω Re /R a
× −−−→ O 1 M
R a
+ −→ Ω Re /R a
× −−−→ O 1 M
(L.C.V.)
III.2
Point coïncidant et vitesse d’entraînement
♦ Définition : Le point coïncidant, noté M ∗ , est le point :
1 fixe dans R e (i.e. lié à R e )
2 qui coïncide avec M. . .
3 . . . à l’instant t considéré
Rq : Bien comprendre que le point coïncidant est un point géométrique, puisqu’il est fixe dans
R e , et non un point matériel comme le point M.
Conséquences : 1 ⇒ −−−−→ v M∗/Re = −→ 0
Dès lors, la loi de composition des vitesses appliquée au point M ∗ donne :
−−−−→
v M ∗ /R a
=
−−−−→ v M
∗ /R e
+ −−−−→ v O1 /R a
+ −→ Ω Re /R a
× O −−−→
1 M ∗ ≡ −→ v e (M) avec M ∗ (t) = M(t)
♦ Définition : On appelle vitesse d’entraînement du point M, notée −→ v e (M), la
vitesse qu’aurait le point M dans le référentiel absolu si M était fixe dans R e , c’està-dire,
si M était entraîné par le mouvement d’entraînement du référentiel relatif
R e .
❚ Propriété : On constate que la vitesse d’entraînement du point M correspond à la vitesse
{ −−−−→
v
absolue du point coïncidant M ∗ :
−→ M ∗ /R a
ve (M) ≡
−−−−→
v O1 /R a
+ −→ Ω Re /R a
× −−−→ O 1 M
❚ Propriété : La Loi de Composition des Vitesses s’écrit donc :
−→ va = −→ v r + −→ v e
⇔
−−−−→
v M/Ra } {{ }
vitesse absolue
= v −−−→
M/Re + } {{ }
vitesse relative
−→ ve (M)
} {{ }
vitesse d’entraînement
(L.C.V.)
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M8 IV. Loi de composition des accélérations 2009-2010
IV
Loi de composition des accélérations
IV.1 Accélération absolue et accélération relative
Puisque −−−−→
( d
−−−−→ )
v M/Ra
a M/Ra ≡
, on repart de la Loi de Composition des Vitesses
dt
R a
−−−−→
v M/Ra = v −−−→
M/Re + −−−−→ v O1 /R a
+ −→ Ω Re/Ra × −−−→ O 1 M
qu’on dérive par rapport au temps terme à terme :
( d
−−−−→ )
v M/Ra
dt
( d v
−−−→ )
M/Re
dt
( d
−−−−→ )
v O1 /R a
dt
R a
=
R a
+
R a
+
( −→ d( Ω Re /R a
× −−−→ )
O 1 M)
En introduisant la notation simplifiée −→ Ω ≡ −→ Ω Re/Ra , ces dérivées deviennent :
( d
−−−→ ) (
v M/Re d
−−−→ )
v M/Re
•
=
+ −→ Ω × v −−−→
dt
R a
dt
M/Re = −−−−→ a M/Re + −→ Ω × v −−−→
M/Re
R e
( d
−−−−→ )
v O1 /R
•
a
≡ −−−−→ a
dt
O1 /R a
R a
( −→ d( Ω Re /R
•
a
× −−−→ )
O 1 M)
= d−→ Ω
(d
dt
dt × −−−→ O 1 M + −→ −−−→ )
O 1 M
Ω ×
dt
R a R a
= d−→ Ω
[(d
dt × −−−→ O 1 M + −→ −−−→ )
]
O 1 M
Ω ×
+ −→ Ω × −−−→ O 1 M
dt
R e
❚ D’où la Loi de Composition des Accélérations :
= −→ Ω × ( −→ Ω × −−−→ O 1 M) + d−→ Ω
dt × −−−→ O 1 M + −→ Ω × v −−−→
M/Re
dt
R a
−−−−→
a M/Ra = −−−−→ a M/Re + −−−−→ a O1 /R a
+ −→ Ω × ( −→ Ω × −−−→ O 1 M) + d−→ Ω
dt × −−−→ O 1 M + 2 −→ Ω × v −−−→
M/Re
(L.C.A.)
Avec : −−−−→ a M/Ra
IV.2
l’accélération absolue et −−−−→ a M/Re
l’accélération relative.
Point coïncidant et accélération d’entraînement
Appliquons la L.C.A. au point coïncidant M ∗ sachant que par définition de M ∗ , puisque le point
coïncidant est un point fixe du référentiel relatif :
−−−−→
v M ∗ /R e
= −→ 0 et
−−−−→
a M ∗ /R e
= −→ 0
on obtient, avec M ∗ (t) = M(t) :
a
−−−−→
M ∗ /R a
=
−−−−→ a M
∗ /R e
+ −−−−→ a O1 /R a
+ −→ Ω × ( −→ Ω × O −−−→
1 M ∗ ) + d−→ Ω
dt × O −−−→
1 M ∗ + 2 −→ Ω ×
−−−−→ v M
∗ /R e
♦ Définition : On appelle accélération d’entraînement du point M, notée −→ a e (M),
l’accélération qu’aurait le point M dans le référentiel absolu si M était fixe dans R e ,
c’est-à-dire, si M était entraîné par le mouvement d’entraînement du référentiel relatif
R e .
❚ Propriété : Ainsi, l’accélération d’entraînement de M correspond à l’accélération absolue
⎧
⎪⎨ a
−−−−→
M ∗ /R a
du point coïncidant M ∗ :
−→ ae (M) ≡
⎪⎩ −−−−→
a O1 /R a
+ −→ Ω × ( −→ Ω × −−−→ O 1 M) + d−→ Ω
dt × −−−→ O 1 M
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2009-2010 VI. Mouvement d’entraînement par rotation ➜ Cf Cours M8
IV.3
Accélération de Coriolis
D’après la définition de l’accélération relative et de l’accélération d’entraînement, la L.C.A.
s’écrit :
−−−−→
a M/Ra = −−−−→ a M/Re + −→ a e (M) + +2 −→ Ω × v −−−→
M/Re
♦ Définition : Important ! Expression à connaître par cœur !
On appelle accélération de Coriolis, notée −→ a C (M), le terme :
−→
a C (M) = 2 −→ Ω Re /R a
× v −−−→
M/Re ⇔ −→ a C (M) = 2 −→ Ω × −→ v r
IV.4
Conclusion et remarques importantes
❚ Propriété : La Loi de Composition des Accélérations (L.C.A.) s’écrit donc :
−→ aa = −→ a r + −→ a e + −→ a C
⇔
−−−−→
a M/Ra } {{ }
accél. absolue
= −−−−→ a M/Re + } {{ }
accél. relative
−→ ae (M)
} {{ }
accél. d’entraînement
+ −→ a C (M)
} {{ }
accél. de Coriolis
Rq1 : Dans l’accélération de Coriolis, la vitesse mise en jeu est la vitesse relative !
Rq2 : D’après le programme, l’expression de l’accélération de Coriolis est à connaître par cœur.
Rq3 : L’accélération d’entraînement se trouvera en cherchant à exprimer, au cas par cas,
l’accélération du point coïncidant.
Rq4 : Attention, excepté un cas exceptionnel (➜ Cf §V), on a : −→ a e ∕= d−→ v e
dt
V
Mouvement d’entraînement par translation ➜ Cf Cours
VI Mouvement d’entraînement par rotation ➜ Cf Cours
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