M8 – CHANGEMENT DE RÉFÉRENTIELS - s.o.s.Ryko

M8 IV. Loi de composition des accélérations 2009-2010
IV
Loi de composition des accélérations
IV.1 Accélération absolue et accélération relative
Puisque −−−−→
( d
−−−−→ )
v M/Ra
a M/Ra ≡
, on repart de la Loi de Composition des Vitesses
dt
R a
−−−−→
v M/Ra = v −−−→
M/Re + −−−−→ v O1 /R a
+ −→ Ω Re/Ra × −−−→ O 1 M
qu’on dérive par rapport au temps terme à terme :
( d
−−−−→ )
v M/Ra
dt
( d v
−−−→ )
M/Re
dt
( d
−−−−→ )
v O1 /R a
dt
R a
=
R a
+
R a
+
( −→ d( Ω Re /R a
× −−−→ )
O 1 M)
En introduisant la notation simplifiée −→ Ω ≡ −→ Ω Re/Ra , ces dérivées deviennent :
( d
−−−→ ) (
v M/Re d
−−−→ )
v M/Re
•
=
+ −→ Ω × v −−−→
dt
R a
dt
M/Re = −−−−→ a M/Re + −→ Ω × v −−−→
M/Re
R e
( d
−−−−→ )
v O1 /R
•
a
≡ −−−−→ a
dt
O1 /R a
R a
( −→ d( Ω Re /R
•
a
× −−−→ )
O 1 M)
= d−→ Ω
(d
dt
dt × −−−→ O 1 M + −→ −−−→ )
O 1 M
Ω ×
dt
R a R a
= d−→ Ω
[(d
dt × −−−→ O 1 M + −→ −−−→ )
]
O 1 M
Ω ×
+ −→ Ω × −−−→ O 1 M
dt
R e
❚ D’où la Loi de Composition des Accélérations :
= −→ Ω × ( −→ Ω × −−−→ O 1 M) + d−→ Ω
dt × −−−→ O 1 M + −→ Ω × v −−−→
M/Re
dt
R a
−−−−→
a M/Ra = −−−−→ a M/Re + −−−−→ a O1 /R a
+ −→ Ω × ( −→ Ω × −−−→ O 1 M) + d−→ Ω
dt × −−−→ O 1 M + 2 −→ Ω × v −−−→
M/Re
(L.C.A.)
Avec : −−−−→ a M/Ra
IV.2
l’accélération absolue et −−−−→ a M/Re
l’accélération relative.
Point coïncidant et accélération d’entraînement
Appliquons la L.C.A. au point coïncidant M ∗ sachant que par définition de M ∗ , puisque le point
coïncidant est un point fixe du référentiel relatif :
−−−−→
v M ∗ /R e
= −→ 0 et
−−−−→
a M ∗ /R e
= −→ 0
on obtient, avec M ∗ (t) = M(t) :
a
−−−−→
M ∗ /R a
=
−−−−→ a M
∗ /R e
+ −−−−→ a O1 /R a
+ −→ Ω × ( −→ Ω × O −−−→
1 M ∗ ) + d−→ Ω
dt × O −−−→
1 M ∗ + 2 −→ Ω ×
−−−−→ v M
∗ /R e
♦ Définition : On appelle accélération d’entraînement du point M, notée −→ a e (M),
l’accélération qu’aurait le point M dans le référentiel absolu si M était fixe dans R e ,
c’est-à-dire, si M était entraîné par le mouvement d’entraînement du référentiel relatif
R e .
❚ Propriété : Ainsi, l’accélération d’entraînement de M correspond à l’accélération absolue
⎧
⎪⎨ a
−−−−→
M ∗ /R a
du point coïncidant M ∗ :
−→ ae (M) ≡
⎪⎩ −−−−→
a O1 /R a
+ −→ Ω × ( −→ Ω × −−−→ O 1 M) + d−→ Ω
dt × −−−→ O 1 M
6 http ://atelierprepa.over-blog.com/ Qadri J.-Ph. ∣ PTSI