M8 – CHANGEMENT DE RÉFÉRENTIELS - s.o.s.Ryko

M8 II. Dérivation d’un vecteur par rapport au temps 2009-2010
D’où :
−→ Ω R1 /R 3
= −→ Ω R1 /R 2
+ −→ Ω R2 /R 3
c
Application : coordonnées sphériques
Le repère (O, −→ e x , −→ e y , −→ e z ) est le « solide géométrique »LIÉ au
référentiel R.
Le repère (O, −→ e , −→ e φ , −→ e z ) est le « solide géométrique »LIÉ au
référentiel R ′ tel que : −→ Ω R ′ /R = ˙φ −→ e z .
Le repère (O, −→ e r , −→ e θ , −→ e φ ) est le « solide géométrique »LIÉ au
référentiel R 1 tel que : −→ Ω R1 /R ′ = ˙θ −→ e φ .
• D’après la composition des vecteurs rotation :
−→ Ω R1 /R = −→ Ω R1 /R ′ + −→ Ω R ′ /R = ˙θ −→ e φ + ˙φ −→ e z
• d’où :
( d
−→ er
dt
)
R
=
−→ 0
{( }} {
d
−→ )
er
+ −→ Ω
dt
R1 /R × −→ e r
R 1
→
• d’où :
→
( d
−→ er
dt
)
R
( d
−→ eθ
dt
= ( ˙θ −→ e φ + ˙φ −→ e z ) × −→ e r = ˙θ −→ e θ + ˙φ −→ e z × −→ e r
} {{ }
sin θ −→ e φ
)
= ˙θ −→ e θ + ˙φ sin θ −→ e φ 1
R
−→ 0
{( }} {
d
−→ )
eθ
= + −→ Ω
dt
R1 /R × −→ e θ = ( ˙θ −→ e φ + ˙φ −→ e z ) × −→ e θ = − ˙θ −→ e r + ˙φ
R 1
( d
−→ )
eθ
= −
dt
˙θ −→ e r + ˙φ cos θ −→ e φ 2
R
−→ 0
(
sin
−→ ez × −→ e
} {{ θ
}
θ+ π 2
)
−→eφ
( d
−→ ) {( }} {
eφ d
−→ )
eφ
• d’où : = + −→ Ω
dt
R
dt
R1 /R × −→ e φ = ( ˙θ −→ e φ + ˙φ −→ e z ) × −→ e φ = ˙φ −→ e z × −→ e φ ≡ − ˙φ −→ e .
R 1
Comme : −→ e = sin θ −→ e r + cos θ −→ ( d
−→ )
eφ
e θ , on obtient :
= − ˙φ sin θ −→ e r − ˙φ cos θ −→ e θ 3
dt
R
(d
• De plus, comme −−−→
−−→ ) (
OM dr
−→ )
er
v M/R =
= = ˙r −→ ( d
−→ )
er
e r + r
dt
dt
dt
R
Rq1 : Avec 1 on obtient la vitesse en coordonnées sphériques : −−−→ v M/R = ˙r −→ e r + r ˙θ −→ e θ + r sin θ ˙φ −→ e φ
Rq2 : On pourrait dériver à nouveau le vecteur vitesse, et, grâce à 1, 2 et 3, obtenir l’expression
de l’accélération en coordonnées sphériques.
d
Dérivée temporelle d’un vecteur rotation d’entraînement
• Supposons que −→ U ≡ −→ Ω R1 /R.
( −→ ) ( −→ )
d Ω R1 /R d Ω R1 /R
La formule de Varignon s’écrit alors :
=
+ −→ Ω
dt
dt
R1 /R × −→ Ω R1 /R
} {{ }
R
R 1 −→ 0
→ Donc les deux dérivées temporelles sont égales. Comme elles sont indépendantes du choix du
référentiel R ou R 1 pour les exprimer, on peut se contenter de noter :
( −→ ) ( −→ )
d Ω R1 /R d Ω R1 /R
=
≡ d−→ Ω R1 /R
dt
dt
dt
R
R 1
4 http ://atelierprepa.over-blog.com/ Qadri J.-Ph. ∣ PTSI
R
.
R