A PROPOS DES VARIÉTÉS DE PONCELET 1. Introduction La petite ...

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6 JEAN VALLÈS Lemme 1. Six points en position linéaire générale sont résolus par une matrice persymétrique. Démonstration du lemme. Considérons six points en position générale sur le plan. Le système linéaire des courbes de degré 5 passant doublement par chacun des points a dimension projective 2 ((21 − 6 × 3) − 1). Une courbe générale Γ 5 de ce système est lisse hors des points bases et elle a genre 0. Elle est donc la projection d’une quintique rationnelle lisse de C 5 ⊂ P 5 sur la quintique Γ 5 ⊂ P 2 = P(A ∨ ). En notant S i l’ensemble des formes binaires de degré i sur C 5 ≃ P 1 , on a C 5 ⊂ P(S 5 ) et il existe un sous espace vectoriel A ⊂ S 5 de dimension 3 qui définit le centre de projection. Plus précisément, la suite exacte suivante d’espaces vectoriels : 0 −−−−→ A −−−−→ S 5 −−−−→ S 5 A −−−−→ 0, induit la morphisme de projection : π : P(S 5 )\P( S 5 A ) → P(A∨ ). La projection restreinte π |C5 : C 5 −→ Γ 5 est ramifiée au-dessus des six points doubles de Γ 5 . (Les 6 points doubles de la projection sont les images des 6 points d’intersection de P( S 5 A ) avec la variété des droites bisécantes à C 5 .) Les points doubles de la quintique Γ 5 sont définis par le lieu de dégénérescence de la matrice de multiplication (par un élément variable de S 2 ) de S 3 dans S 5 A , ou encore un tenseur dans S 2 ⊗S 3 ⊗( S 5 A )∨ . Il est persymétrique. □ Reprise de la démonstration du théorème. Le tenseur S 2 ⊗ S 3 ⊗ ( S 5 A )∨ définit aussi la surface cubique S ⊂ P(S 3 ) (plus exactement un faisceau L S de rang 1 sur S) associée aux six points, ainsi que le fibré de Schwarzenberger dont elle est le déterminant de trois sections indépendantes, comme le montre le diagramme commutatif suivant : A ⊗ O P(S ∨ 3 ) A ⊗ O P(S ∨ 3 ) ⏐ ⏐ ↓ ↓ 0 −−−−→ S 2 ⊗ O P(S ∨ 3 )(−1) −−−−→ S 5 ⊗ O P(S ∨ 3 ) −−−−→ E 3,5 −−−−→ 0 ⏐ ⏐ ⏐ = ↓ ↓ ↓ 0 −−−−→ S 2 ⊗ O P(S ∨ 3 )(−1) −−−−→ S 5 A ⊗ O P(S ∨ 3 ) −−−−→ L S −−−−→ 0. Remarque 2. Pour établir ce dernier théorème, on peut aussi montrer que la surface cubique S contient une courbe de Poncelet de genre 3 et de degré 6. Cette courbe est le plongement dans P 3 d’une quartique plane lisse ; est-elle une quartique spéciale, une quartique de Poncelet par exemple ? Je remercie le rapporteur anonyme pour cette dernière remarque et Laurent Gruson qui m’a donné la preuve du lemme 1. Références [1] Barth, W. Moduli of vector bundles on the projective plane. Invent. Math. 42 (1977), 63–91. [2] Chateaubriand, F. R. Mémoires d’outre tombe. Livre de poche. [3] Darboux, G. Leçons sur la théorie générale des surfaces. III, IV. Les Grands Classiques Gauthier- Villars. [Gauthier-Villars Great Classics]. Éditions Jacques Gabay, Sceaux, 1993. [4] Donaldson, S. K. An application of gauge theory to four-dimensional topology. J. Differential Geom. 18, 2 (1983), 279–315. [5] Freedman, M. H. The topology of four-dimensional manifolds. J. Differential Geom. 17, 3 (1982), 357–453. □
À PROPOS DES VARIÉTÉS DE PONCELET 7 [6] Harris, J. Algebraic geometry, vol. 133 of Graduate Texts in Mathematics. Springer-Verlag, New York, 1995. A first course, Corrected reprint of the 1992 original. [7] Ilardi, G., Supino, P., and Vallès, J. Geometry of syzygies via Poncelet varieties. Boll. Unione Mat. Ital. (9) 2, 3 (2009), 579–589. [8] Le Potier, J., and Tikhomirov, A. Sur le morphisme de Barth. Ann. Sci. École Norm. Sup. (4) 34, 4 (2001), 573–629. [9] Morley, F. On the Luroth Quartic Curve. Amer. J. Math. 41, 4 (1919), 279–282. [10] Ottaviani, G., and Sernesi, E. On the hypersurface of Lüroth quartics. Michigan Math. J. 59, 2 (2010), 365–394. [11] Poncelet, J.-V. Traité des propriétés projectives des figures. Tome I. Les Grands Classiques Gauthier-Villars. [Gauthier-Villars Great Classics]. Éditions Jacques Gabay, Sceaux, 1995. Reprint of the second (1865) edition. [12] Spindler, H., and Trautmann, G. Special instanton bundles on P 2N+1, their geometry and their moduli. Math. Ann. 286, 1-3 (1990), 559–592. [13] Trautmann, G. Poncelet curves and associated theta characteristics. Exposition. Math. 6, 1 (1988), 29–64. [14] Vallès, J. Fibrés de Schwarzenberger et coniques de droites sauteuses. Bull. Soc. Math. France 128, 3 (2000), 433–449. E-mail address: jean.valles@univ-pau.fr Université de Pau et des Pays de l’Adour, Avenue de l’Université - BP 576 - 64012 PAU Cedex - France
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