POLYZÊTAS STRICTS, LARGES ET PONDÉRÉS par Jacky Cresson

POLYZÊTAS STRICTS, LARGES ET PONDÉRÉS
par
Jacky Cresson
Résumé. — Nous explicitons des formules de passage entre les polyzêtas stricts et larges. On
utilise le formalisme des séries formelles non-commutatives. Ces formules reposent sur la définition
de la substitution de deux séries formelles non-commutatives.
Abstract. — We derive explicit formulae connecting large and strict multiple zeta values. We use
the formalism of non-commutative formal power series and a non-commutative analogue of the usual
substitution for formal power series.
Table des matières
Introduction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1. Séries formelles non-commutatives. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
2. Autour d’un résultat d’Ulanskiĭ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
3. Symétries des polyzêtas larges. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
4. Régularisation des polyzêtas larges. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
5. Formules de passage entre ζ et ζ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
6. Les polyzêtas pondérés. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
Bibliographie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
Introduction
Une généralisation de la fonction zêta de Riemann ζ(s) est donnée par les séries polyzêtas,
définies pour tout entier p ≥ 1 et tout p-uplet s = (s 1 , s 2 , . . . , s p ) d’entiers ≥ 1, avec s 1 ≥ 2, par
∑
1
ζ(s 1 , s 2 , . . . , s p ) =
k s1
1 ks2 2 · · · .
ksp p
k 1>k 2>···>k p≥1
Les entiers p et s 1 + s 2 + · · · + s p sont respectivement la profondeur et le poids de ζ(s 1 , s 2 , . . . , s p ).
La nature arithmétique de ces séries est aussi peu connue que celle des nombres ζ(s). On renvoie
à [11] pour un survol du sujet.
On connait néanmoins un certain nombre de résultats diophantiens sur les nombres zêtas de
Riemann, i.e en profondeur 1 :
(i) Le nombre ζ(3) est irrationnel (Apéry [1]) ;

2 JACKY CRESSON
(1)
(ii) La dimension de l’espace vectoriel engendré sur Q par 1, ζ(3), ζ(5), . . . , ζ(A) (avec A impair)
croît au moins comme log(A) ([3, 14]) ;
(iii) Au moins un des quatre nombres ζ(5), ζ(7), ζ(9), ζ(11) est irrationnel (Zudilin [19]).
Ces résultats peuvent être obtenus par l’étude de certaines séries de la forme
∞∑
k=1
P (k)
k A (k + 1) A · · · (k + n) A z−k
avec P (X) ∈ Q[X], n ≥ 0, A ≥ 1 et |z| ≥ 1.
Les divers choix de P conduisent à des séries hypergéométriques généralisées (voir [2, 15]).
Dans ([7, 8]) nous proposons une généralisation de cette méthode hypergéométrique en profondeur
quelconque en considérant a priori des séries multiples de la forme
∑ P (k 1 , . . . , k p )
(2)
(k 1 ) A1
n · · · (k z −k1
1+1 p) Ap 1 · · · zp −kp ,
n p+1
k 1≥···≥k p≥1
avec P (X 1 , . . . , X p ) ∈ Q[X 1 , . . . , X p ], des entiers A j ≥ 2 et n j ≥ 0 et |z 1 | ≥ 1, . . . , |z p | ≥ 1, et où
(α) m = α(α + 1) · · · (α + m − 1) désigne le symbole de Pochhammer.
Lorsque z 1 = · · · = z p = 1 ces séries sont des combinaisons linéaires à coefficients dans Q de
polyzêtas larges définis par
∑
1
(3) ζ(s 1 , s 2 , . . . , s p ) =
k s1
1 ks2 2 · · · .
ksp p
On renvoie à [7] pour plus de détails.
k 1≥k 2≥···≥k p≥1
Via des calculs élémentaires on peut décomposer tout polyzêtas larges ζ suivant les polyzêtas
stricts ζ (voir par exemple [16]). La formule de décomposition est par ailleurs explicite (voir le
§.2). Les polyzêtas stricts possèdent de nombreuses propriétés algébriques (voir [17]). On peut se
demander comment ces propriétés sont transformées par passage aux polyzêtas larges.
Pour aborder cette question, nous explicitons la formule de passage entre les polyzetas stricts
et larges via les séries génératrices associées. Le cadre de travail est celui des séries formelles noncommutatives.
On introduit à cette occasion l’opération de substitution de deux séries formelles
non-commutatives. Ce formalisme nous permet de mieux mettre en évidence la manière dont
les symétries satisfaites par les polyzetas stricts sont modifiées. L’étude de ces symétries nous
conduit à introduire une modification naturelle des polyzetas stricts, les polyzêtas pondérés, dont
les symétries sont d’une complexité minimale.
1. Séries formelles non-commutatives
Soit Y = {y i } i∈N un alphabet. On note Y ∗ l’ensemble des mots construis sur Y , comprenant
le mot vide noté ∅. Un élément de Y ∗ est noté y s = y s1 . . . y sp , p ≥ 1, s i ∈ N ∗ . L’entier p est la
longueur de y s , notée aussi l(s). La concaténation de deux mots y s et y u de Y ∗ avec s = (s 1 , . . . , s p ),
u = (u 1 , . . . , u q ), est le mot noté y s y u défini par y su où su = (s 1 , . . . , s p , u 1 , . . . , u q ).
Soit K un anneau, on note K〈Y 〉 l’ensemble des séries formelles non-commutatives à coefficients
dans K construites sur Y .
Étant donnée une application L : Y ∗ → K, on note L s l’évaluation de L sur le mot y s ∈ Y ∗ . Ce
type d’applications est un exemple de moule dans la terminologie de Jean Ecalle [6].

POLYZÊTAS STRICTS, LARGES ET PONDÉRÉS 3
À toute application L : Y ∗ → K, on associe l’élément de K〈Y 〉, noté Φ L et défini par
Φ L = ∑
y s∈Y ∗ L s y s ,
appelé série génératrice de L.
On associe à toute lettre y s ∈ Y un poids, noté | y s | et défini par | y s |= s. Le poids d’un mot
y s ∈ Y ∗ est défini par | y s |= s 1 + · · · + s p .
L’ensemble K〈Y 〉 est gradué par le poids. Cette graduation respecte l’opération de concaténation
des mots. Une composante homogène de degré r ∈ N ∗ d’une série non-commutative Φ =
∑
y s∈Y ∗ M s y s , M s ∈ K notée Φ r est donnée par
Φ r =
∑
y s∈Y ∗ , |y s|=r
M s y s .
L’ensemble K〈Y 〉 possède une structure d’algèbre, analogue non-commutatif de la structure
d’algèbre sur les séries formelles commutatives.
La graduation permet de définir un analogue non-commutatif de la substitution des séries formelles
de la manière suivante :
Définition 1. — Soient Φ M et Φ N deux séries de K〈Y 〉. On note Φ M ◦ Φ N la série génératrice
définie par
(4) Φ M ◦ Φ N = ∑ ∑
M s (Φ N ) s1 . . . (Φ N ) sp ,
r≥0 s=(s 1,...,s r), s i∈N ∗
dans K〈Y 〉, où (Φ N ) s , s ∈ N est la composante homogène de poids s de Φ N .
Il est possible de calculer explicitement les coefficients de la série Φ M ◦ Φ N notés (M ◦ N) s .
Lemme 1. — Pour tout s = (s 1 , . . . , s r ), s i ∈ N ∗ on a
(5) (M ◦ N) s = ∑
M (|s 1 |,...,|s |)N k s 1 . . . N s k,
s 1 ...s k =s
où k ≥ 1 et s i ≠ ∅ et | s |= s 1 + · · · + s p pour tout s = s 1 . . . s p .
Démonstration. — L’équation (4) est équivalente à
⎛
⎞ ⎛
⎞
(6) Φ M ◦ Φ N = ∑ ∑
∑
∑
M u
⎝
N s y s
⎠ . . . ⎝
N s y s
⎠ .
r≥0 u=(u 1,...,u r), u i∈N ∗ y s∈Y ∗ , |y s|=u 1 y s∈Y ∗ , |y s|=u r
Un mot y s étant fixé, toute partition de y s de la forme y s = y s 1 . . . y s k, k = 1, . . . , l(s), intervient
dans la somme (6) avec un coefficient de la forme
(7) M (u1,...,u k )N s 1 . . . N s k,
où u i =| s i |. En regroupant ces termes, on obtient la formule (5) pour le coefficients de Φ M ◦ Φ N
en y s .
Remarque 1. — L’opération ◦ n’est pas usuelle dans l’étude combinatoire des séries formelles
non-commutatives (voir [13] pour une présentation des techniques habituelles). La formule (5)
intervient dans le formalisme des moules développé par Jean Écalle comme loi de composition sur
les moules (voir [6]).
Lemme 2. — L’élément neutre pour la loi ◦ est la série I = ∑ s∈N
y s .

4 JACKY CRESSON
La démonstration est immédiate en utilisant (5).
On peut caractériser les séries inversibles pour ◦, ce qui nous sera utile dans la suite.
Lemme 3. — Les éléments inversibles de K〈Y 〉 pour la loi ◦ sont les séries Φ M =
∑
M s y s
y s∈Y ∗
telles que M ∅ = 0, M s ≠ 0 pour tout s ∈ N ∗ .
Démonstration. — Soit Φ M =
∑
M s y s un élément inversible de K〈Y 〉. Il existe donc Φ N =
y
∑
s∈Y ∗
N s y s telle que I = Φ M ◦ Φ N . Les coefficients de la série Φ N se déterminent par récurrence sur
y s∈Y ∗
la longueur des suites s. En effet, en appliquant la formule (5), on a pour toute suite s :
∑
M |s| N s = I s −
M (|s1 |,...,|s |)N k s 1 . . . N s k.
s 1 ...s k =s, k>1
Le membre de droite contient des coefficients N s ′ sur des suites s ′ de longueur strictement inférieure
à l(s). Cette équation détermine donc N s si et seulement si M |s| ≠ 0. Comme | s |∈ N ∗ , on en déduit
le lemme.
2. Autour d’un résultat d’Ulanskiĭ
Dans ([16, p. 577, Proposition 2]) Ulanskiĭ donne une formule de décomposition qui peut se
formuler comme suit :
Lemme 4. — Pour toute suite s = (s 1 , . . . , s r ), s i ∈ N ∗ , s 1 ≥ 2, on a
ζ s =
∑
ζ |s1 |,...,|s |, k
où k ≥ 1, s i ≠ ∅.
s 1 ,...s k =s
Démonstration. — La démonstration repose sur l’étude des polyzêtas mixtes de la forme
avec i = 1, . . . , l(s).
⊗
ζ s (i) =
∑
n s1
n 1>···>n i≥n i+1≥...n p≥1
1
1 . . . ,
nsp p
On a ⊗ ζ s (1) = ζ s et ⊗ ζ s (l(s)) = ζ s . Un simple calcul donne
(8)
⊗
ζ s1...s p
(i) = ⊗ ζ s1...s p
(i + 1)+ ⊗ ζ s1,...,s i−1,s i+s i+1,s i+2,...,s p
(i),
pour i < p.
On démontre par récurrence sur la longueur des suites la formule
⊗
(9)
ζ s=s1...s r
(i) =
∑
s 1 ...s k =s i,...,s r
ζ s1,...,s i−1,|s 1 |,...,|s k |.
On remarque que la formule (4) ressemble beaucoup à une opération de composition. Mais
pour écrire correctement cette composition il est nécessaire de définir ζ pour tous les s, i.e. sur
les divergents où s 1 = 1. Pour ce faire, nous allons étudier les symétries des polyzêtas larges et
expliciter une formule de régularisation combinatoire.

POLYZÊTAS STRICTS, LARGES ET PONDÉRÉS 5
3. Symétries des polyzêtas larges
On note Y c le sous-ensemble de Y ∗ constitué des mots y s = y s1 . . . y sr
dire tels que ζ s et ζ s soient convergents.
tels que s 1 ≥ 2, c’est à
L’écriture sous la forme de série des polyzêtas stricts permet de mettre en évidence des symétries,
appelées symétries de battage contractant (voir [17]). On a par exemple
(10) ζ s ζ u = ζ s,u + ζ u,s + ζ s+u .
La généralisation de cette formule pour des suites quelconques fait intervenir le produit stuffle,
noté ⋆ sur les lettres, défini par récurrence via les relations y s ⋆ ∅ = y s , ∅ ⋆ y s = y s et
(11) y s y s ⋆ y u y u = y s (y s ⋆ y u y u ) + y u (y s y s ⋆ y u ) + y s+u (y s ⋆ y u ).
On a pour tout y s ∈ Y c et y u ∈ Y c
(12) ζ(y s ) ζ(y u ) = ζ(y s ⋆ y u ).
Les polyzêtas larges vérifient aussi une relation de symétrie, beaucoup moins jolie, et qui s’obtient
par transport de la loi ⋆ par l’isomorphisme linéaire φ défini par φ(y s ) = y s pour tout s ∈ N et
pour tout p ≥ 2.
φ(y s1 . . . y sp ) = y s1 φ(y s2 . . . y sp ) + φ(y s1+s 2
y s3 . . . y sp ),
Cette relation traduit la relation de récurrence (8) sur les polyzêtas mixtes. On a donc pour tout
mot y s de Y c :
(13) ζ(y s ) = ζ(φ(y s )).
On note ⋆ φ la loi tordue sur R〈Y 〉 définie par
(14) φ(y s ⋆ φ y u ) = φ(y s ) ⋆ φ(y u ).
Le symétrie stuffle (12) pour les polyzêtas stricts et la relation de structure (13) impliquent :
Lemme 5. — Pour tous mots y s , y u de Y c on a ζ(y s )ζ(y u ) = ζ(y s ⋆ φ y u ).
Démonstration. — On a ζ(y s )ζ(y u ) = ζ(φ(y s ))ζ(φ(y u )). Comme ζ vérifie la symétrie ⋆, on obtient
ζ(y s )ζ(y u ) = ζ(φ(y s ) ⋆ φ(y u )). Le lemme découle alors de (14).
La symétrie ⋆ φ est beaucoup complexe que la symétrie ⋆. En suivant la démarche ci-dessus,
on peut introduire une famille à un paramètre d’isomorphismes linéaires φ λ , λ ∈ R et déformer
continuement la symétrie des polyzêtas stricts, pour passer par exemple d’une symétrie stuffle à
une symétrie shuffle (voir §.6). On obtient alors les algèbres de Hoffman tordues [18].
4. Régularisation des polyzêtas larges
Nous avons pour le moment travaillé sur le sous ensemble des mots convergents Y c ⊂ Y ∗ .
L’existence d’une symétrie ⋆ φ permet, comme dans le cas strict (voir [12]), de donner un sens aux
polyzêtas larges divergents.
Lemme 6. — Soit γ ∈ R. Il existe une unique extension ζ ⋆φ
ζ ⋆φ
(y s ⋆ φ y u ) = ζ ⋆φ
(y s )ζ ⋆φ
(y u ).
de ζ sur Y ∗ telle que ζ ⋆φ
(y 1 ) = γ et
Démonstration. — La démonstration repose sur le calcul de y 1 ⋆ φ y n 1 y s , pour n ≥ 0, y s ∈ Y c . Pour
tout n ≥ 0, on a
(15) y 1 ⋆ φ y n 1 y s = φ −1 (φ(y 1 ) ⋆ φ(y n 1 y s )).

6 JACKY CRESSON
Comme φ(y 1 ) = y 1 , et φ −1 (y u ) = y u + . . . , où . . . représente des mots de longueur < l(y u ), on en
déduit que l’équation (15) s’écrit
(16) y 1 ⋆ φ y n 1 y s = y n+1
1 y s + . . . ,
où . . . représente des mots de Y c ou de la forme 1 i y v avec i ≤ n et y v ∈ Y c .
Soit ζ ⋆φ
(y 1 ) = γ, γ ∈ R une constante. En utilisant l’équation (16), il est possible de déterminer
par récurrence la valeur de ζ ⋆φ
(y1 n y s ) pour tout y s ∈ Y c . En effet, supposons que ζ ⋆φ
soit déterminé
sur tous les mots de la forme y1y i u avec i ≤ n et y u ∈ Y c . On obtient, en supposant que ζ ⋆φ
conserve
la symétrie ⋆ φ ,
ζ ⋆φ
(y 1 )ζ ⋆φ
(y1 n s) = ζ ⋆φ
(y1 n+1 y s ) + . . . ,
où . . . est une somme de termes sur lesquels ζ ⋆φ
est connue. On a donc
ζ ⋆φ
(y n+1
1 y s ) = ζ ⋆φ
(y 1 )ζ ⋆φ
(y n 1 s) + . . . .
On définit donc ζ ⋆φ
de manière unique, une constante γ ∈ R étant fixée pour ζ ⋆φ
(y 1 ).
Pour être complet, il nous reste à comparer la régularisation directe que nous venons d’obtenir
avec celle que l’on peut définir via la régularisation ζ ⋆ de ζ.
Théorème 1. — Soit γ ∈ R, on note ζ ⋆ et ζ ⋆φ
ζ ⋆ (y 1 ) = ζ ⋆φ
(y 1 ) = γ. On a la relation
les régularisés de ζ et ζ respectivement tels que
(17) ζ ⋆φ
(y s ) = ζ ⋆ (φ(y s )).
Autrement dit, on peut effectuer la régularisation soit sur les ζ, soit sur leurs décompositions
suivant les ζ.
Démonstration. — Il suffit de démontrer que l’application ζ ⋆ ◦ φ est un élément qui vérifie les
hypothèses du lemme 6. Comme l’extension de ζ est unique, on en déduira facilement l’identité
(17).
On note P (y u ) = ζ ⋆ (φ(y u )) pour tout y u ∈ Y ∗ . On a P (y s ) = ζ(y s ) pour tout s ∈ Y c et
P (y 1 ) = ζ ⋆ (φ(y 1 )) = ζ ⋆ (y 1 ) = γ par hypothèse. Par ailleurs, pour tout y s , y u ∈ Y ∗ ,
P (y s )P (y u ) = ζ ⋆ (φ(y s ))ζ ⋆ (φ(y u )) = ζ ⋆ (φ(y s ) ⋆ φ(y u )) = P (y s ⋆ φ y u ).
Par conséquent, P réalise bien une extension de ζ sur les divergents respectant la symétrie ⋆ φ . Par
unicité, on en déduit P = ζ ⋆φ
.
5. Formules de passage entre ζ et ζ
On considère les séries génératrices de ζ et ζ définies par
Φ ζ = ∑
y s∈Y ∗ ζ s y s et Φ ζ
= ∑
y s∈Y ∗ ζ s y s ,
où ζ s (resp. ζ s ) est la valeur régularisée définie au paragraphe précédent.
Le lemme 4 et son extension via le théorème 1 se traduit par la relation suivante sur les séries
génératrices :
Théorème 2. — On a Φ ζ
= Φ ζ ◦ 1.
En effet, le coefficient de Φ ζ ◦ 1 est donné par
(18) (Φ ζ ◦ 1) s
= σ ∑
s 1 ...s k =s
Comme 1 s = 1 pour toute suite s, on en déduit le résultat.
ζ |s1 |,...,|s k |1 s 1 . . . 1 s k.

POLYZÊTAS STRICTS, LARGES ET PONDÉRÉS 7
On peut inverser cette formule. En effet, on vérifie via le lemme 3 que la série 1 est inversible
pour la loi ◦. Précisément, on a :
Lemme 7. — La série 1 a pour inverse de composition la série
1 ◦−1 = ∑
y s∈Y ∗ (−1) l(ys)+1 y s ,
où l(y s ) désigne la longueur de y s .
Démonstration. — Elle se fait par récurrence sur la longueur des suites. Pour une suite de longueur
1, on a 1 ◦−1
s 1 s = 1, soit 1 ◦−1
s = 1 pour tout s ∈ N. Par ailleurs, la relation 1 ◦−1 1 = I donne pour
toute suite s de longueur l(s) ≥ 2 :
∑
1 ◦−1
s +
1 ◦−1
|s 1 |,...,|s k | = 0.
Soit p ≥ 2. Supposons 1 ◦−1
s
une suite s de longueur p + 1
s 1 ...s k =s, 1≤k

8 JACKY CRESSON
On note Exp la série dite exponentielle définie par
Exp = ∑
y s∈Y ∗ 1
l(s)! y s.
Lemme 8. — Soit Φ M ∈ K〈Y 〉 une série telle que ∆ ∗ (Φ M ) = Φ M ⊗ Φ M , alors la série Φ M,p =
Φ M ◦ Exp vérifie ∆(Φ M,p ) = Φ M,p ⊗ Φ M,p .
On renvoie à [6] pour la démonstration.
Autrement dit, la composition par la série exponentielle Exp d’une série diagonale pour le coproduit
∆ ⋆ donne une série diagonale pour le coproduit ∆. La lettre p indique que cette composition
pondére par la longueur des mots le regroupement trivial Φ M ◦ 1. Précisément, nous avons la
formule
⎛
⎞
(22) Φ M,p = ∑ ∑
⎝
1
l(s 1 )! . . . l(s 2 )! M ⎠
|s 1 |,...,|s k | y s .
y s∈Y ∗
s 1 ...s k =s, k≥1
Le coproduit ∆ est bien connu puisqu’il correspond à celui des algèbres de Hopf [13]. Dans ce cas,
on montre que les éléments diagonaux vérifient la symétrie shuffle, notée x et définie par récurrence
sur la longueur des mots de Y ∗ via les relations y s x∅ = y s , ∅xy s = y s et
y a y s x y b y u = y a (y s xy b y u ) + y b (y a y s xy u ).
On remarque que cette symétrie est bien moins complexe que la symétrie stuffle (11) satisfaite par
les polyzêtas stricts.
Nous sommes donc naturellement conduit à la définition des polyzêtas pondérés.
Définition 2. — Pour toute suite d’entier s, on appelle polyzêta pondéré en s la quantité notée
•
ζ s et définie par
•
ζ s =
∑
s 1 ...s k =s, k≥1
1
l(s 1 )! . . . l(s k )! ζ |s 1 |,...,|s k |.
Le lemme 8 donne immédiatement que, pour tout mot y s , y u ∈ Y ∗ , on a
•
ζ (y s ) • ζ (y u ) = • ζ (y s xy u ).
Les polyzêtas pondérés sont utilisés par Jean Ecalle ([9, p. 418]) dans l’étude du prolongement
méromorphe des multizêtas.
Bibliographie
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POLYZÊTAS STRICTS, LARGES ET PONDÉRÉS 9
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(2004), 251–291.
7 novembre 2006
Jacky Cresson, Laboratoire de Mathématiques appliquées de Pau, Bâtiment I.P.R.A, Université de Pau et
des Pays de l’Adour, avenue de l’Université, BP 1155, 64013 Pau cedex, France
E-mail : jacky.cresson@univ-pau.fr