POLYZÊTAS STRICTS, LARGES ET PONDÉRÉS par Jacky Cresson

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4 JACKY CRESSON La démonstration est immédiate en utilisant (5). On peut caractériser les séries inversibles pour ◦, ce qui nous sera utile dans la suite. Lemme 3. — Les éléments inversibles de K〈Y 〉 pour la loi ◦ sont les séries Φ M = ∑ M s y s y s∈Y ∗ telles que M ∅ = 0, M s ≠ 0 pour tout s ∈ N ∗ . Démonstration. — Soit Φ M = ∑ M s y s un élément inversible de K〈Y 〉. Il existe donc Φ N = y ∑ s∈Y ∗ N s y s telle que I = Φ M ◦ Φ N . Les coefficients de la série Φ N se déterminent par récurrence sur y s∈Y ∗ la longueur des suites s. En effet, en appliquant la formule (5), on a pour toute suite s : ∑ M |s| N s = I s − M (|s1 |,...,|s |)N k s 1 . . . N s k. s 1 ...s k =s, k>1 Le membre de droite contient des coefficients N s ′ sur des suites s ′ de longueur strictement inférieure à l(s). Cette équation détermine donc N s si et seulement si M |s| ≠ 0. Comme | s |∈ N ∗ , on en déduit le lemme. 2. Autour d’un résultat d’Ulanskiĭ Dans ([16, p. 577, Proposition 2]) Ulanskiĭ donne une formule de décomposition qui peut se formuler comme suit : Lemme 4. — Pour toute suite s = (s 1 , . . . , s r ), s i ∈ N ∗ , s 1 ≥ 2, on a ζ s = ∑ ζ |s1 |,...,|s |, k où k ≥ 1, s i ≠ ∅. s 1 ,...s k =s Démonstration. — La démonstration repose sur l’étude des polyzêtas mixtes de la forme avec i = 1, . . . , l(s). ⊗ ζ s (i) = ∑ n s1 n 1>···>n i≥n i+1≥...n p≥1 1 1 . . . , nsp p On a ⊗ ζ s (1) = ζ s et ⊗ ζ s (l(s)) = ζ s . Un simple calcul donne (8) ⊗ ζ s1...s p (i) = ⊗ ζ s1...s p (i + 1)+ ⊗ ζ s1,...,s i−1,s i+s i+1,s i+2,...,s p (i), pour i < p. On démontre par récurrence sur la longueur des suites la formule ⊗ (9) ζ s=s1...s r (i) = ∑ s 1 ...s k =s i,...,s r ζ s1,...,s i−1,|s 1 |,...,|s k |. On remarque que la formule (4) ressemble beaucoup à une opération de composition. Mais pour écrire correctement cette composition il est nécessaire de définir ζ pour tous les s, i.e. sur les divergents où s 1 = 1. Pour ce faire, nous allons étudier les symétries des polyzêtas larges et expliciter une formule de régularisation combinatoire.
POLYZÊTAS STRICTS, LARGES ET PONDÉRÉS 5 3. Symétries des polyzêtas larges On note Y c le sous-ensemble de Y ∗ constitué des mots y s = y s1 . . . y sr dire tels que ζ s et ζ s soient convergents. tels que s 1 ≥ 2, c’est à L’écriture sous la forme de série des polyzêtas stricts permet de mettre en évidence des symétries, appelées symétries de battage contractant (voir [17]). On a par exemple (10) ζ s ζ u = ζ s,u + ζ u,s + ζ s+u . La généralisation de cette formule pour des suites quelconques fait intervenir le produit stuffle, noté ⋆ sur les lettres, défini par récurrence via les relations y s ⋆ ∅ = y s , ∅ ⋆ y s = y s et (11) y s y s ⋆ y u y u = y s (y s ⋆ y u y u ) + y u (y s y s ⋆ y u ) + y s+u (y s ⋆ y u ). On a pour tout y s ∈ Y c et y u ∈ Y c (12) ζ(y s ) ζ(y u ) = ζ(y s ⋆ y u ). Les polyzêtas larges vérifient aussi une relation de symétrie, beaucoup moins jolie, et qui s’obtient par transport de la loi ⋆ par l’isomorphisme linéaire φ défini par φ(y s ) = y s pour tout s ∈ N et pour tout p ≥ 2. φ(y s1 . . . y sp ) = y s1 φ(y s2 . . . y sp ) + φ(y s1+s 2 y s3 . . . y sp ), Cette relation traduit la relation de récurrence (8) sur les polyzêtas mixtes. On a donc pour tout mot y s de Y c : (13) ζ(y s ) = ζ(φ(y s )). On note ⋆ φ la loi tordue sur R〈Y 〉 définie par (14) φ(y s ⋆ φ y u ) = φ(y s ) ⋆ φ(y u ). Le symétrie stuffle (12) pour les polyzêtas stricts et la relation de structure (13) impliquent : Lemme 5. — Pour tous mots y s , y u de Y c on a ζ(y s )ζ(y u ) = ζ(y s ⋆ φ y u ). Démonstration. — On a ζ(y s )ζ(y u ) = ζ(φ(y s ))ζ(φ(y u )). Comme ζ vérifie la symétrie ⋆, on obtient ζ(y s )ζ(y u ) = ζ(φ(y s ) ⋆ φ(y u )). Le lemme découle alors de (14). La symétrie ⋆ φ est beaucoup complexe que la symétrie ⋆. En suivant la démarche ci-dessus, on peut introduire une famille à un paramètre d’isomorphismes linéaires φ λ , λ ∈ R et déformer continuement la symétrie des polyzêtas stricts, pour passer par exemple d’une symétrie stuffle à une symétrie shuffle (voir §.6). On obtient alors les algèbres de Hoffman tordues [18]. 4. Régularisation des polyzêtas larges Nous avons pour le moment travaillé sur le sous ensemble des mots convergents Y c ⊂ Y ∗ . L’existence d’une symétrie ⋆ φ permet, comme dans le cas strict (voir [12]), de donner un sens aux polyzêtas larges divergents. Lemme 6. — Soit γ ∈ R. Il existe une unique extension ζ ⋆φ ζ ⋆φ (y s ⋆ φ y u ) = ζ ⋆φ (y s )ζ ⋆φ (y u ). de ζ sur Y ∗ telle que ζ ⋆φ (y 1 ) = γ et Démonstration. — La démonstration repose sur le calcul de y 1 ⋆ φ y n 1 y s , pour n ≥ 0, y s ∈ Y c . Pour tout n ≥ 0, on a (15) y 1 ⋆ φ y n 1 y s = φ −1 (φ(y 1 ) ⋆ φ(y n 1 y s )).
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