DES LOIS DE KEPLER AUX LOIS DU CHAOS par Jacky Cresson

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10 JACKY CRESSON On peut aussi trouver des comportements périodiques: en partant de x 0 on retombe sur x 0 au bout de k étapes. Le k s’appelle la période. Par exemple, si x 0 = 2/7, alors x 1 = 4/7, x 2 = 6/7 et x 3 = 2/7 = x 0 et on recommence. De manière générale, toute condition initiale rationnelle (i.e. de la forme p/q, avec p et q des entiers) conduit à un comportement périodique. On a donc trouvé des conditions initiales qui convergent vers un état d’équilibre, ou un comportement périodique. Existe-t-il d’autres types de comportements ? Pour le voir, il faut prendre une condition initiale qui ne soit pas rationnelle (par exemple √ 2/2). Dans ce cas, les valeurs de la suite vont passer par une infinité de valeurs sans jamais se stabiliser ou devenir périodique. Ce type de suite est dite turbulente ou chaotique. Ce comportement turbulent s’observe pour toute condition initiale irrationnelle. Supposons donc maintenant que la loi d’un système soit donnée par la fonction chapeau de clown. Pouvons-nous prédire le comportement du système ? La réponse est non. Pourquoi ? Aussi proche que l’on veut d’une condition rationnelle se trouve une condition initiale irrationnelle et vice versa (ce résultat traduit la densité de l’ensemble Q des rationnels dans R). Si la valeur exacte de la condition initiale est rationnelle on doit obtenir un comportement périodique. Or, par une perturbation aussi petite que l’on veut de cette condition, on obtient un comportement turbulent qui passe par une infinité de valeurs...... Ce que nous venons donc de voir, c’est que bien que le système soit contraint par une loi, il est pratiquement imprédictible. Par ailleurs, cette imprédictibilité ne veut pas dire qu’il n’y a pas d’ordre et de structure. Au contraire, on a des comportements périodiques partout, donc facile à décrire avec un nombre fini d’informations. Le comportement de ce système est dit chaotique. Il se caractérise par les trois conditions suivantes: – Les comportements périodiques sont denses (il y en a partout), – Il y a sensibilité aux conditions initiales, – Il existe au moins un comportement turbulent
DES LOIS DE KEPLER AUX LOIS DU CHAOS 11 Nous allons maintenant introduire un modèle abstrait mais très simple de cette relation un peu bizarre entre hasard et imprédictabilité: le décalage. On en profitera alors pour affiner notre définition des systèmes chaotiques. 1.3.4. Un modèle de système chaotique: le décalage. — Notons Σ l’ensemble des suites écrites avec un 0 ou un 1. Un élément s de Σ est donc la donnée d’une suite s = (s i ) i∈Z , où s i ∈ {0, 1} pour tout i ∈ Z. On définit sur Σ une application τ, appelée décalage (ou shift) qui consiste à décaler d’un cran vers la gauche la suite. Précisément, on a τ : Σ −→ Σ s = (s i ) ↦→ τ(s) = (τ(s) i = s i+1 ). Par exemple, la suite . . . 010110010011 . . . est envoyée par Σ sur . . . 10110010011 . . . . Si pour une suite donnée s = (s i ) on pense le terme s i comme l’évolution au temps i de s, alors l’effet de τ consiste à remonter le temps, en remplaçant s i par s i+1 . L’application τ est très simple. Elle a néanmoins un comportement très compliqué et qui ressemble beaucoup à celui de la fonction chapeau de clown. On remarque tout d’abord qu’il est facile de fabriquer des comportements périodiques. Il suffit d’écrire un mot 011010011 et de la répéter une infinité de fois. Si une suite est quelconque, on peut en tronquant une partie arbitrairement grande et en la répétant, l’approximer par un comportement périodique de période arbitrairement longue. Pour parler d’approximation, on doit pouvoir parler de la proximité de deux suites. C’est possible en introduisant une distance sur Σ. Soit s et s ′ deux suites de Σ, on note d(s, s ′ ) la quantité d(s, s ′ ) = ∑ i∈Z | s i − s ′ i | 2 |i| . La pondération de l’écart | s i −s ′ i | entre les deux suites permet de donner plus d’importance aux événements proches du présent. Deux suites seront proches si et seulement si elles coincident sur une large échelle de temps dans le passé et le futur. 1.3.5. Modélisation de la nature. — Comme nous l’avons vu, un système déterministe peut avoir un comportement équivalent à un jeu de pile ou face. maintenant le problème suivant: Nous avons donc Supposons qu’un phénomène de la nature donné ait un comportement aléatoire. Comment le modéliser ?
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