f - Thèses de l'INSA de Lyon

N° d’ordre 02ISAL0022 Année 2002 

THESE 

ETUDE DES TRANSFERTS DE CHALEUR D’UN 

FLUIDE FRIGOPORTEUR DIPHASIQUE A 

CHANGEMENT DE PHASE LIQUIDE-SOLIDE DANS 

UN ECHANGEUR A PLAQUES LISSES 

Présentée devant 

L’INSTITUT NATIONAL DES SCIENCES APPLIQUEES DE LYON 

pour obtenir 

LE GRADE DE DOCTEUR 

Formation doctorale : THERMIQUE ET ENERGETIQUE 

Ecole doctorale MEGA 

(Mécanique, Energétique, Génie civil et Acoustique) 

par 

Hélène DEMASLES 

(ingénieur ESIGEC) 

Soutenue le 24 Mai 2002 devant la commission d’examen : 

J.P. DUMAS Université de Pau et des Pays de l’Adour Rapporteur 

A. BONTEMPS Université Joseph Fourier Rapporteur 

J. GUILPART CEMAGREF, Antony 

L. ROYON LBHP, Paris 7 

E. MERLIN ADEME Picardie 

M. LALLEMAND INSA Lyon 

P. MERCIER CEA/DTEN/GRETh, Grenoble 

A. LALLEMAND INSA Lyon Directeur de thèse 

Thèse préparée au sein du laboratoire GRETh * et cofinancée par l’ADEME ** 

* 

Groupement pour la Recherche sur les Echangeurs Thermiques 

** 

Agence de l’Environnement et de la Maîtrise de l’Energie

Aux montagnes et plus particulièrement aux Ecrins 

Qui m’ont apporté un équilibre de vie au cours de ces trois ans 

Et appris la persévérance, un trait de caractère qui m’a servi pour finir ce travail. 

7

AVANT PROPOS 

Je remercie en tout premier lieu Monsieur Pierre MERCIER sans qui cette thèse n’aurait 

jamais abouti. En plus de sa rigueur scientifique et de son intérêt pour le sujet, il m’a apporté 

un soutien moral considérable pour lequel je lui suis très reconnaissante. Cela a été un grand 

plaisir de travailler avec lui au quotidien. Je n’ai qu’un seul regret, c’est qu’il ne m’ait 

encadré que sur les derniers mois de ma thèse. 

Je remercie également Monsieur le Professeur André LALLEMAND, qui s’est impliqué dans 

mes travaux à des moments stratégiques et plus particulièrement lors des problèmes de 

réalisation de la section d’essais. Je lui dois beaucoup également pour la rédaction de ce 

mémoire et pour la rigueur d’esprit qu’il m’a communiquée. 

Je remercie Monsieur Frank Chiarucci, Monsieur Alain Maréchal, Monsieur Yves Guennec 

et Monsieur Ludovic Rouillon pour leur support technique et leur disponibilité dans la partie 

expérimentale de mes travaux ainsi que Monsieur Jean-François Fourmigue dans la partie 

modélisation. 

Enfin, je tiens à associer à ces remerciements tous les thésards du GRETh qui m’ont apporté 

un grand soutien moral à la fin de mes travaux alors que je perdais confiance. 

9

SOMMAIRE 

NOMENCLATURE 

INTRODUCTION 20 

1. CONTEXTE INDUSTRIEL 21 

2. LES FLUIDES FRIGOPORTEURS DANS LE DOMAINE DU FROID COMMERCIAL 23 

3. PRESENTATION DE L’ETUDE 25 

CHAPITRE 1. : FLUIDE FRIGOPORTEUR DIPHASIQUE A CHANGEMENT DE 

PHASE LIQUIDE SOLIDE - ETUDE BIBLIOGRAPHIQUE - 27 

1.1. DIVERS TYPES DE COUPLES FLUIDE-PARTICULES EN SUSPENSION 29 

1.1.1. TERMINOLOGIE UTILISÉE 29 

1.1.2. PROCÉDÉS DE FABRICATION 30 

1.1.2.1. Les émulsions 30 

1.1.2.2. Les gels 31 

1.1.2.3. La microencapsulation 34 

1.1.3. STABILITÉ DE LA STRUCTURE DES PARTICULES 39 

1.1.3.1. Forces de cisaillement 39 

1.1.3.2. Cycles thermiques 39 

1.1.4. CRITÈRES DE CHOIX DU COUPLE FLUIDE-PARTICULES 40 

1.1.5. CARACTÉRISTIQUES DE LA SUSPENSION ÉTUDIÉE 42 

1.1.5.1. Aspect de la suspension 43 


1.1.5.3. Conclusion 45 

1.2. COMPORTEMENT RHÉOLOGIQUE 46 

1.2.1. LOI DE COMPORTEMENT 46 

1.2.1.1. Généralités 46 

1.2.1.2. Cas particulier des mélanges diphasiques solide-liquide 48 

1.2.2. ECOULEMENT ET PERTES DE PRESSION 56 

1.2.2.1. Pertes de pression régulières 57 

1.2.2.2. Pertes de pression singulières 64 

1.2.2.3. Diminution des pertes de pression 65 

1.2.3. CONCLUSION 67 

1.3. COMPORTEMENT THERMIQUE 68 

1.3.1. COMPORTEMENT AU COURS DU REFROIDISSEMENT 68 

1.3.1.1. Cas idéal 68 

1.3.1.2. Cristallisation et fusion au sein des particules 68 

11

1.3.2. PROPRIÉTÉS PHYSIQUES 71 

1.3.2.1. Propriétés des corps purs 71 

1.3.2.2. Propriétés de la suspension 72 

1.3.3. TRANSFERT DE CHALEUR EN RÉGIME LAMINAIRE 77 

1.3.3.1. Rappel sur les fluides monophasiques 77 

1.3.3.2. Fluides diphasiques sans changement de phase 80 

1.3.3.3. Fluides diphasiques avec changement de phase 81 

1.3.3.4. Influence de certains paramètres sur les transferts de chaleur 83 

CHAPITRE 2. : ETUDE THEORIQUE DES TRANSFERTS THERMIQUES DANS 

UNE SUSPENSION CHARGEE EN MCP 87 

2.1. EQUATIONS DE BASE 89 

2.2. MODÈLES 90 

2.2.1. CHALEUR LATENTE PRISE EN COMPTE PAR UN TERME SOURCE S 91 

2.2.1.1. Modèle de Charunyakorn et al. (1990) 91 

2.2.1.2. Modèle de Royon et al. (2000) 93 

2.2.2. CHALEUR LATENTE PRISE EN COMPTE PAR UNE CAPACITÉ THERMIQUE ÉQUIVALENTE 94 

2.3. MODÉLISATION 97 

2.3.1. POSITION DU PROBLÈME 97 

2.3.2. DÉTERMINATION DU TERME SOURCE 99 

2.3.2.1. Transfert de chaleur au niveau des particules 100 

2.3.2.2. Résolution 103 

2.3.2.3. Application : calcul du terme source S 106 

2.3.3. TRAITEMENT NUMÉRIQUE 107 

2.4. LIMITES DU MODÈLE 110 

2.4.1. EFFETS DES PARTICULES 110 


2.4.3. CONGÉLATION 111 

2.4.4. GÉNÉRALISATION DU MODÈLE 112 

2.5. RÉSULTATS DU MODÈLE 112 

2.4.2. PROPRIÉTÉS DU FLUIDE 112 

2.4.3. MAILLAGE 113 

2.4.4. CAS DE RÉFÉRENCE 114 

2.5.4.1. Profil de vitesses 114 

2.5.4.2. Profil de concentration 114 

2.5.4.3. Profil de températures 115 

2.4.5. INFLUENCE DE LA VITESSE 117 

12

2.4.6. INFLUENCE DE LA TAILLE DES PARTICULES 117 

2.4.7. INFLUENCE DE LA CONCENTRATION 120 

2.4.8. INFLUENCE DU DEGRÉ DE SURFUSION 122 

2.4.9. INFLUENCE DE LA TEMPÉRATURE DE PAROI 123 

CHAPITRE 3. : DISPOSITIF EXPERIMENTAL 125 

3.1. INTRODUCTION 125 

3.2. DESCRIPTION DE L’INSTALLATION 127 

3.2.1. CIRCUIT DE REFROIDISSEMENT 127 

3.2.2. BOUCLE D'ÉTUDE DU MÉLANGE DIPHASIQUE 129 

3.3. INSTRUMENTATION 130 

3.3.1. DESCRIPTION ET ÉTALONNAGE DES DIFFÉRENTS CAPTEURS 130 

3.3.1.1. Capteurs de températures 130 

3.3.1.2. Fluxmètres 131 

3.3.1.3. Capteurs de débits 132 

3.3.1.4. Capteurs de pression 132 

3.3.2. ACQUISITION DE DONNÉES 132 

3.3.3. PROCÉDURE DE DÉMARRAGE 133 

3.4. CONCEPTION DES SECTIONS D’ESSAIS 133 

3.4.1. ETUDES PRÉLIMINAIRES 133 

3.4.1.1. Choix des paramètres 133 

3.4.1.2. Choix de l’instrumentation 134 

3.4.2. DIMENSIONNEMENT DE LA PREMIÈRE SECTION D’ESSAIS 135 

3.4.2.1. Surface d’échange 136 

3.4.2.2. Canal froid 137 

3.4.2.3. Canal chaud 149 

3.4.3. DIFFICULTÉS DE RÉALISATION 154 

3.4.3.1. Problème de perçage 154 

3.4.3.2. Nouveau dimensionnement des micro-canaux 154 

3.4.3.3. Constat d’échec 157 

3.4.4. DEUXIÈME SECTION D’ESSAIS 157 

3.4.4.1. Géométrie 157 

3.4.4.2. Instrumentation 158 

CHAPITRE 4. : RESULTATS EXPERIMENTAUX ET THEORIQUES 161 

4.1. LIMITES DE L’INSTALLATION 163 

4.1.1. PROBLÈME DE TENUE MÉCANIQUE 163 

4.1.2. PROBLÈME THERMIQUE 163 

13

4.1.2.1. Flux échangé 163 

4.1.2.2. Conduction dans les thermocouples 164 

4.2. FONCTIONNEMENT EN SIMPLE PHASE 166 

4.2.1. MISE EN ÉQUATION DES FLUX ÉCHANGÉS 166 

4.2.2. PRÉSENTATION DES RÉSULTATS 169 

4.2.2.1. Grille des essais 169 

4.2.2.2. Fermeture des bilans 171 

4.2.2.3. Coefficient d’échange 174 

4.2.2.4. Etalonnage des fluxmètres 179 

4.3. ETUDE D’UNE SUSPENSION AVEC DES PARTICULES CHARGÉES EN MCP 182 

4.3.1. PRÉSENTATION GÉNÉRALE 183 

4.3.2. ECHANGES THERMIQUES 184 

4.3.2.1. Bilans dans la section d’essais 184 

4.3.2.2. Bilans dans la boucle 186 

4.3.2.3. Energie stockée sous forme latente 188 

4.3.2.4. Interprétation des résultats 194 


CONCLUSION GENERALE ET PERSPECTIVES 217 

REFERENCES BIBLIOGRAPHIQUES 223 

ANNEXES 229 

14

Nomenclature 

15

Lettres latines 

A Constante utilisée dans l’équation (1- 28) 

b Demi écartement des plaques m 

B Terme utilisé dans l’équation (4- 9) K.s.J -1 

c v 

Concentration volumique en PCM 

c vs 

Concentration volumique en PCM après sédimentation 

c m 

Concentration massique en PCM 

C Terme inertiel utilisé dans l’équation (4- 9) - constante (1- 37) K.m -1 

C D 

Coefficient de traînée 

Cp Capacité thermique massique J.kg -1 .K -1 

d Diamètre m 

dr c1 Evolution du front de congélation due au transport des particules m 

dr c2 Evolution du front de congélation due au changement de phase m 

D h Diamètre hydraulique m 

D m Diffusivité moléculaire m 2 .s -1 

e Epaisseur m 

E Energie J 

f 

Coefficient de frottement du frigoporteur 

F 0 Section libre de passage m² 

F 1 Section frontale de passage m² 

FC 

Facteur de compacité 

g Accélération gravitationnelle m.s -2 

h Coefficient d'échange de chaleur W.m -2 .K -1 

H Enthalpie massique de changement d’état J.kg -1 

i 

Gradient de pression adimensionnel 

k Conductivité thermique W.m -1 .K -1 

Coefficient de consistance 

Pa.s n 

K Coefficient d’échange linéique W.m -1 .K -1 

L Longueur m 

L hy Longueur d’établissement du régime hydraulique m 

L th Longueur d’établissement du profil thermique m 

l Largeur m 

m Masse kg 

M Débit massique kg.s -1 

n 

Nombre de particules 

N Densité volumique de particules m -3 

P Pression Pa 

q Quantité de chaleur J 

Q Débit volumique m 3 .s -1 

r Coordonnée radiale m 

r c old Front de congélation au pas de temps précédent m 

R 0 Rayon d’une conduite cylindrique m 

R 01 , R 12 et R 23 Nombre de régime d’écoulement 

R p Rayon des particules m 

s Masse volumique relative (ρ s /ρ f ) 

S Source ou puits de chaleur W.m -3 

Surface m 2 

t temps s 

T Température K 

u Vitesse suivant x m.s -1 

U Vitesse moyenne m.s -1 

V, V 0 Fraction de volume immobilisée dans une suspension (avec et sans cisaillement) 

w Vitesse de rotation des particules m.s -1 

x, y Coordonnée m 

z Distance axiale à partir de l'entrée de la section chauffée ou refroidie m 

17

Lettres Grecques 

α Diffusivité thermique m 2 .s -1 

ε 0 (Re) Coefficient de frottement 

ϕ Flux de chaleur W 

γ 

Vitesse de cisaillement s -1 

µ Viscosité dynamique Pa.s 

ρ Masse volumique kg.m -3 

σ Contrainte de surface à la paroi Pa.m 

∆R surf Epaisseur de la particule où a lieu la surfusion m 

∆T surf Degré de surfusion K 

τ Contrainte de cisaillement Pa 

τ 0 Seuil de plasticité Pa 

τ t Contrainte de cisaillement critique Pa 

∆X, ∆Y et ∆Z Longueur de maille caractéristique m 

Nombres adimensionnels 

Bi 

Nombre de Biot 

Fr 

Nombre de Froude 

Nu 

Nombre de Nusselt 

Pe 

Nombre de Péclet 

Pr 

Nombre de Prandtl 

Re 

Nombre de Reynolds 

Ste 

Nombre de Stefan 

hpf 

R 

Bi = 

k 

Fr = 

p 

p 

U 

2 

2R 

0 

g 

h D 

Nu = 

k 

τ d p 

Pe = 

α 

f 

h 

2 

µ Cp 

Pr = 

k 

ρU D 

Re = 

µ 

Cp∆T 

Ste = 

H 

( s−1) 

h 

Indices 

a 

apparent 

b 

bac agité 

c 

changement de phase 

e 

entrée 

ext 

extérieur 

fc 

fluide chaud 

ff 

fluide froid 

f 

fluide porteur 

final 

g 

glissement 

i 

initial 

int 

intérieur 

n 

indice de comportement 

o 

monophasique 

p 

particule 

r 

résine 

s 

suspension (particules + fluide porteur) 

sortie 

w 

paroi 

* grandeur adimensionnelle 

18

Introduction 

1. CONTEXTE INDUSTRIEL 21 

2. LES FLUIDES FRIGOPORTEURS DANS LE DOMAINE DU FROID COMMERCIAL 23 

3. PRÉSENTATION DE L’ÉTUDE 25 

19

1. Contexte industriel 

L’industrie frigorifique est aujourd’hui touchée de plein fouet par les directives consécutives 

au protocole de Montréal (1987) et aux accords de Kyoto (1997) sur l’utilisation des fluides 

frigorigènes. 

En effet, l’utilisation des CFC est interdite et celle des HCFC est soumise à une 

réglementation de plus en plus sévère du fait de leur contribution à la diminution de la couche 

d’ozone. Les frigorigènes du type HFC sont eux aussi incriminés du fait de leur contribution à 

l’effet de serre et doivent être utilisés avec parcimonie. C’est dans ce contexte général que se 

développent des recherches de solutions alternatives. Une alternative à ces frigorigènes 

condamnés est l’utilisation des fluides tel que le butane, l’isobutane, le propane ou encore 

l’ammoniac. Malgré une efficacité énergétique reconnue, ces fluides ont des limites en terme 

de sécurité de manipulation. D’autres recherches s’orientent vers le développement de 

nouveaux fluides possédant une efficacité énergétique intéressante tout en restant neutres visà-vis 

de l’environnement. 

Dans le domaine du froid commercial, le refroidissement d’une enceinte peut se faire d’une 

manière soit directe, soit indirecte. Dans le premier cas, le refroidissement s’opère par le biais 

d’une machine frigorifique dont l’évaporateur (producteur de froid) est directement placé sur 

les lieux de demande de froid. Un exemple de cette technique est représenté sur la Figure 1. 

Compresseur 

Evaporateur 

Condenseur 

Figure 1 : Cycle de détente directe classique : circuit rempli de fluide frigorigène primaire de type HCFC, 

HFC ou autres fluides à changement de phase liquide/vapeur 

Il existe une alternative à la détente directe : l’emploi de fluides frigoporteurs intermédiaires. 

Cette technique permet de confiner l’unité de production de froid dans la salle des machines 

(diminution de la masse de fluide frigorigène et limitation des risques de pollution), et de 

transporter la puissance frigorifique cédée au niveau de l’évaporateur aux points demandeurs 

de froid par l’utilisation de fluides frigoporteurs encore appelés fluides secondaires. Cette 

quantité d’énergie est véhiculée au moyen de pompes par un fluide dont les aptitudes 

21

énergétiques sont intéressantes. Le schéma de ce type de technologie est présenté sur la 

Figure 2. 

Vase d’expansion 

Boucle de réfrigérant secondaire 

Echangeur de chaleur 

Circuit de réfrigérant primaire 

Figure 2 : Boucle de réfrigération secondaire classique : le réfrigérant primaire est confiné dans les salles 

des machines, le réfrigérant secondaire alimente les évaporateurs 

L’adoption de la technique des fluides frigoporteurs présente des avantages : 

Ÿ 

Ÿ 

Ÿ 

Ÿ 

Ÿ 

elle simplifie la distribution de froid à de nombreux postes utilisateurs, à partir d’une 

machine frigorifique unique ; 

les postes d’utilisation en froid peuvent être éloignés de la machine frigorifique. La 

sécurité s’en trouve accrue, les nuisances sont moins gênantes, la réglementation est 

plus facilement respectée. Cette technique élimine tout risque de contact entre le fluide 

frigorigène et les denrées alimentaires ; 

elle élargit le choix des fluides frigorigènes y incluant, éventuellement, ceux qui sont 

toxiques comme l’ammoniac ou combustibles comme les hydrocarbures. Dans le 

même ordre d’idée, elle simplifie le changement de fluide s’il s’avère nécessaire ; 

le volume du circuit frigorifique proprement dit diminue. Il en résulte une réduction de 

la charge en fluide frigorigène ; 

les circuits frigorifiques du primaire peuvent être réalisés en usine, ce qui améliore 

leur confinement. De même, pendant la durée de vie de l’équipement, l’étanchéité des 

conduites de frigorigène n’est à contrôler qu’en salle des machines ; 

Ÿ le travail de chantier est simplifié, les recherches de fuite sont réduites ; 

Ÿ 

Ÿ 

elle permet d’envisager une accumulation de froid, ce qui est très difficile, sinon 

impossible, avec un système frigorifique direct ; 

la gestion du fonctionnement de l’installation est meilleure. 

Cependant ce type de refroidissement, qui requiert un circuit secondaire à fluide frigoporteur 

mono ou diphasique, présente aussi des inconvénients : 

22

Ÿ il abaisse la température de vaporisation du fluide frigorigène car il doit y avoir deux 

écarts de température au lieu d’un : différence de température entre le frigorigène et le 

frigoporteur, et différence entre le frigoporteur et le milieu à refroidir. L’efficacité 

thermodynamique s’en trouve donc amoindrie ; 

Ÿ il faut compter un prix d’installation supérieur de 10 à 15 % à cause du circuit du 

frigoporteur, des réservoirs, des pompes et du frigoporteur lui-même. 

Afin de limiter ces surcoûts, il est judicieux de sélectionner de manière pertinente les fluides 

frigoporteurs. Le choix repose sur plusieurs critères parmi lesquels : 

Ÿ adaptation à la température désirée ; 

Ÿ bonnes propriétés thermophysiques qui permettent une capacité volumique de 

transport élevée ; 

Ÿ coefficients de transfert de chaleur élevés (permettant un faible écart de température 

entre les fluides) ; 

Ÿ faibles pertes de charge pour limiter la consommation d’énergie des pompes ; 

Ÿ non corrosif, non toxique, ininflammable, sûr à l’emploi ; 

Ÿ coût unitaire raisonnable. 

Il reste évident qu’aucun fluide ne peut présenter tous ces avantages. De ce fait, dans chaque 

cas d’application, il sera nécessaire de sélectionner le fluide le mieux adapté et qui présente le 

moins d’inconvénients. 

2. Les fluides frigoporteurs dans le domaine du froid 

commercial 

Comme il est nécessaire, pour plusieurs raisons, de limiter au strict minimum les variations de 

température d’un frigoporteur monophasique liquide, on est rapidement confronté à la 

nécessité de recourir à de grands débits de fluide en circulation, ce qui impose des conduites 

importantes et des pompes de puissance élevée. Pour éviter cela, il faut chercher à augmenter 

fortement le transport thermique par unité de volume de fluide en circulation, ce qui implique 

d’avoir recours à d’autres frigoporteurs que les liquides. Pour obtenir cet accroissement du 

transfert thermique volumique, on peut mettre en œuvre l’enthalpie de transition de phase du 

fluide (changement d’état physique) ou l’enthalpie de formation ou de dissociation 

(changement d’état chimique). 

Avec les fluides frigoporteurs « liquivap » (liquide + vapeur), on utilise essentiellement 

l’enthalpie de vaporisation pour absorber la chaleur reçue par le frigoporteur. Les fluides 

23

utilisés, comme le CO 2 , se vaporisent lors de leur utilisation. Les avantages de cette technique 

sont la constance de la température du frigoporteur et son excellent coefficient d’échange. Par 

contre, les niveaux de pression atteints dans les circuits (25 bar à –10 °C avec du CO 2 ) 

nécessitent une conception particulière des circuits. 

Avec les frigoporteurs « liquisols », mélange liquide et solide, c’est essentiellement 

l’enthalpie de fusion qui est utilisée pour absorber la chaleur reçue par le frigoporteur. Ils 

présentent de nombreux avantages. La température du fluide frigoporteur est quasi constante. 

La variation de la masse volumique lors du changement de phase est faible. La pression du 

circuit frigoporteur est indépendante de la température du fluide transporteur de froid. Elle est 

généralement voisine de la pression atmosphérique, ce qui facilite la maintenance et permet 

d’utiliser des tubes autres que les métalliques. Les coefficients d’échange entre le liquide et 

les surfaces des échangeurs sont bons. 

Les inconvénients sont peu nombreux mais doivent être examinés avec soin. Le contrôle de la 

phase solide générée par le fluide frigoporteur est assez mal connu, tant sur le plan quantitatif 

(retard à la solidification) que sur le plan qualitatif (structure des particules ou des cristaux 

formés). La masse de solide transportée est forcément limitée à cause de la résistance à 

l’écoulement qu’elle provoque, ce qui réduit la fraction latente de l’enthalpie de transport. 

Les propriétés thermodynamiques et thermophysiques des « liquisols » sont encore très 

méconnues. Il en est de même des transferts thermiques lors de la congélation du matériau à 

changement de phase (MCP) ou de sa fusion dans les unités terminales. 

Les frigoporteurs diphasiques les plus étudiés ces dernières années sont les coulis de glace 

formés, par exemple, d’un mélange eau/alcool et de cristaux de glace produits sur des parois 

réfrigérées et raclées ou brossées pour permettre leur détachement de la paroi. Les limites de 

ce procédé résident, pour l’instant, dans le coût élevé du dispositif de production et dans une 

fiabilité réduite. Toutefois, des recherches ultérieures, notamment dans le cadre du réseau 

« Ice Slurry » de l’Institut International du Froid, peuvent permettre d’envisager des 

améliorations des performances du procédé. 

Les autres frigoporteurs diphasiques se présentent sous forme d’émulsions ou reposent sur la 

combinaison : 

− de structures porteuses (microcapsules, gel organique ou minéral sous forme de grains) 

“ contenant ” un fluide à changement de phase solide–liquide à la température de 

fonctionnement désirée ; 

24

− d’un fluide porteur non miscible présentant des caractéristiques physiques adaptées à 

l’application et en particulier, un point de congélation inférieur à celui du fluide à 

changement de phase. 

L’intérêt d’un tel procédé est de “ doper ” le fluide porteur en utilisant des échangeurs de 

chaleur conventionnels (à plaques ou tubulaires). 

3. Présentation de l’étude 

Cette étude porte sur les fluides frigoporteurs diphasiques qui présentent de nombreux attraits 

d’un point de vue environnemental, en diminuant de manière sensible la quantité de fluide 

frigorigène contenue dans une installation. Le développement des connaissances du 

comportement thermique et hydraulique de ces fluides est absolument nécessaire pour 

optimiser leur performance et permettre une meilleure maîtrise énergétique de leur utilisation. 

Ce travail comprend les réalisations suivantes : 

- une analyse bibliographique sur l’avancée des travaux concernant les fluides 

frigoporteurs diphasiques. Dans un premier temps, les différents couples fluideparticules 

en suspension sont inventoriés en fonction de leur procédés de fabrication et 

de leurs potentialités pour être utilisés dans une telle application. Ensuite, leur 

comportement rhéologique ainsi que des corrélations pour évaluer les pertes de pression 

sont présentés. Pour finir, les travaux de la littérature sur leur comportement thermique 

sont exposés et plus particulièrement les problèmes de surfusion et les transferts de 

chaleur en régime laminaire. 

- une modélisation des transferts au sein de ces fluides. Cette étude comprend une analyse 

des mécanismes de transferts de chaleur entre les deux phases et une analyse des 

résultats obtenus en faisant varier certains paramètres. 

- une étude expérimentale réalisée sur la boucle FIPO, conçue et construite 

spécifiquement pour cette étude. La section d’essais représente un échangeur à plaques 

lisses permettant de refroidir le fluide. Le mélange étudié est une suspension de 

particules chargée en eau dans de l’huile siliconée. Les mesures globales permettent de 

caractériser les transferts thermiques lors de la congélation des particules. 

25

Fluide frigoporteur diphasique à changement de phase liquide solide – Etude bibliographique 

Chapitre 1. : Fluide frigoporteur diphasique à changement 

de phase liquide solide - Etude bibliographique - 

1.1. DIVERS TYPES DE COUPLES FLUIDE-PARTICULES EN SUSPENSION 29 

1.1.1. TERMINOLOGIE UTILISÉE 29 

1.1.2. PROCÉDÉS DE FABRICATION 30 

1.1.2.1. Les émulsions 30 

1.1.2.2. Les gels 31 

• Les gels organiques 31 

Processus de polymérisation 31 

Processus de polymérisation en émulsion 32 

• Les gels minéraux 33 

Préparation des aérogels de silice 33 

Application comme frigoporteur 34 

1.1.2.3. La microencapsulation 34 

• Les méthodes d'encapsulation 34 

• Taille et qualité de la microcapsule 35 

Procédés physico-chimiques 35 

Procédés chimiques 37 

Procédés mécaniques 38 

1.1.3. STABILITÉ DE LA STRUCTURE DES PARTICULES 39 

1.1.3.1. Forces de cisaillement 39 


1.1.4. CRITÈRES DE CHOIX DU COUPLE FLUIDE-PARTICULES 40 

1.1.5. CARACTÉRISTIQUES DE LA SUSPENSION ÉTUDIÉE 42 

1.1.5.1. Aspect de la suspension 43 


1.1.5.3. Conclusion 45 

1.2. COMPORTEMENT RHÉOLOGIQUE 46 

1.2.1. LOI DE COMPORTEMENT 46 

1.2.1.1. Généralités 46 

1.2.1.2. Cas particulier des mélanges diphasiques solide-liquide 47 

• Viscosité : influence de la taille et de la concentration en particules 47 

• Comportement du fluide étudié : le « coulis de glace stabilisé » 53 

1.2.2. ECOULEMENT ET PERTES DE PRESSION 56 

1.2.2.1. Pertes de pression régulières 57 

• Pour ρ p > ρ f 57 

Généralités 57 

Corrélations 58 

27


Modèle triple couche 60 

• Pour ρ p < ρ f 62 

Synthèse des résultats expérimentaux 62 

Corrélation 63 

• Remarque 63 

1.2.2.2. Pertes de pression singulières 64 

1.2.2.3. Diminution des pertes de pression 65 

• Suspension polydispersée 65 

• Ajout d’un tensio-actif 66 

1.2.3. CONCLUSION 67 

1.3. COMPORTEMENT THERMIQUE 68 

1.3.1. COMPORTEMENT AU COURS DU REFROIDISSEMENT 68 

1.3.1.1. Cas idéal 68 

1.3.1.2. Cristallisation et fusion au sein des particules 68 

• Description de la surfusion 68 

• Paramètres jouant sur la surfusion 70 


1.3.2.1. Propriétés des corps purs 71 

• Masse volumique 71 

• Capacité thermique massique 72 

• Conductivité thermique 72 

1.3.2.2. Propriétés de la suspension 72 

• Masse volumique 72 

• Capacité thermique et chaleur latente de fusion 73 

• Conductivité thermique 73 

Au repos 73 

En écoulement laminaire 73 

1.3.3. TRANSFERT DE CHALEUR EN RÉGIME LAMINAIRE 77 

1.3.3.1. Rappel sur les fluides monophasiques 77 

• Longueur d’établissement du profil hydraulique 78 

• Ecoulement complètement développé 78 

• Ecoulement non-établi thermiquement 78 

1.3.3.2. Fluides diphasiques sans changement de phase 80 

1.3.3.3. Fluides diphasiques avec changement de phase 81 

1.3.3.4. Influence de certains paramètres sur les transferts de chaleur 83 

• Nombre de Stefan 83 

• Concentration en particules 83 

• Rapport des rayons canalisation/particules 83 

• Rayons des particules 84 

• Rapport des conductivités particules/fluide 84 

• Homogénéité de la suspension 84 

• Type de particules 85 

28


Dans ce premier chapitre, nous présenterons dans un premier temps les différents couples de 

fluide-particules utilisés comme frigoporteur diphasique en les classant suivant leur procédé 

de fabrication et en examinant leurs critères de choix. Ensuite, nous parlerons de leur 

comportement rhéologique, de leur lois de comportement et des pertes de charge. Pour finir, 

nous étudierons le comportement thermique des suspensions en décrivant les propriétés 

thermophysiques puis les transferts de chaleur pour les fluides monophasiques et des fluides 

diphasiques liquide-solide sans et avec changement de phase. 

1.1. Divers types de couples fluide-particules en suspension 

1.1.1. Terminologie utilisée 

Dans l’ensemble du document, une terminologie spécifique est utilisée. Afin de lever toute 

ambiguïté, ce paragraphe est consacré à la définition de ces termes. 

Particule : regroupe l’ensemble des structures en suspension dans le fluide porteur 

(émulsions, cristaux de glace, gels organiques ou minéraux et microcapsules). 

MCP (Matériau à Changement de Phase) : ce matériau est contenu dans les particules. Il est 

choisi pour sa température de fusion et sa chaleur latente. Il change de phase au cours des 

cycles thermiques. 

Gels : ces particules sont constituées d’une matrice poreuse où le MCP est retenu dans les 

pores par des forces de capillarité. Ces particules sont mises en suspension dans un fluide 

non-miscible avec le MCP. 

Microcapsules : le MCP est encapsulé dans une coque. Il y a donc une paroi étanche qui 

sépare le MCP du fluide porteur. 

Coulis de glace : ce fluide diphasique se compose de cristaux de glace en suspension dans une 

solution aqueuse. Les cristaux sont formés sur les parois d’un échangeur à surface raclée. 

Coulis de glace stabilisé : ce terme a été donné par le L. B. H. P. ( Laboratoire de 

Biorhéologie et d’Hydrodynamique Physico-chimique) au fluide diphasique qu’il a mis au 

point. Ce sont des particules de gels organiques contenant de l’eau et qui sont en suspension 

dans une phase organique. 

29


1.1.2. Procédés de fabrication 

Il existe différents procédés pour mettre en suspension un fluide à changement de phase dans 

un fluide porteur. Un des moyens, déjà mentionné dans l’introduction, est l’utilisation 

d’échangeurs à surface raclée pour former des cristaux de glace en suspension dans une 

solution aqueuse. Le but de cette étude est justement de mettre au point un frigoporteur 

diphasique utilisant un échangeur de chaleur conventionnel. Il faut donc que les particules 

gardent leur structure quel que soit leur état. 

Dans le cas où les deux fluides sont miscibles, il est évident qu'ils doivent être séparés par une 

membrane étanche. Les procédés de fabrication sont alors limités à l'encapsulation. Les 

fluides organiques, dont les molécules sont de taille importante, peuvent être facilement 

encapsulés par une membrane étanche. Par contre, il est délicat d'obtenir des microcapsules 

chargées avec une phase aqueuse sans être confronté à des phénomènes d'exsudation. En 

effet, les molécules d'eau qui sont de petite taille, arrivent à franchir le réseau polymérique de 

la membrane. 

Lorsque les deux phases sont non miscibles, le choix de procédés de fabrication est plus large. 

La suspension peut être réalisée à partir : 

− d'une émulsion stabilisée par des tensio-actifs ; 

− d'un gel organique constitué d'une matrice polymère ; 

− d'un gel minéral préparé par un procédé sol-gel ; 

− d'une microencapsulation. 

 

/HVpPXOVLRQV 

Les émulsions sont réalisées à partir de deux fluides non miscibles. Le fluide à émulsionner 

est versé sous agitation dans le fluide porteur et forme une dispersion de micro-gouttelettes. 

Les émulsions sont intéressantes thermiquement car les deux fluides sont en contact direct. 

Par contre elles doivent être soumises à une agitation permanente pour éviter la coalescence 

des micro-gouttelettes entre elles. Généralement des tensio-actifs sont ajoutés pour les 

stabiliser : ils enrobent les gouttelettes sous forme de micelles. En fonction de la quantité de 

tensio-actifs, les micelles s'arrangent sous forme de sphères ou sous forme de plaquettes. Les 

plaquettes sont intéressantes par leur stabilité et lorsqu'elles sont soumises à des forces de 

cisaillement, elles se réarrangent pour former des microvésicules multilamellaires 

(sphérulites), représentées sur la Figure 1. 1. Leur agencement est comparable aux "pelures 

d'oignon". 

30


Force de 

cisaillement 

Micelles sous forme de plaquettes 

Sphérulites 

Figure 1. 1 :Fabrication des sphérulites 

Sous cette forme, l'émulsion est très stable, mais 40 à 60 % de la gouttelette est composée de 

tensio-actifs. La taille des gouttes obtenues est de l'ordre du micromètre. Le fluide à 

changement de phase est emprisonné sous forme de couches successives séparées par des 

tensioactifs ce qui favorise le phénomène de surfusion. 

 

/HVJHOV 

Les gels d’origine minérale ou organique présentent une forte affinité avec les solutions 

aqueuses. Leur structure poreuse “ ouverte ” vers le fluide porteur doit présenter une forte 

affinité envers le fluide à changement de phase et, au contraire, une faible affinité envers le 

fluide porteur. Par ailleurs, le fluide à changement de phase ne doit pas être soluble dans le 

fluide porteur. Ces contraintes limitent les choix des couples fluides à changement de phase et 

fluides porteurs. 

• Les gels organiques 

Les gels organiques, sous forme de dispersion, se présentent sous la forme d'un réseau 

polymère, composé à 90 % d'eau, obtenu par un processus de polymérisation en solution. Ils 

ne nécessitent, du fait de la matrice polymère, aucun enrobage préalable à leur utilisation. 

Processus de polymérisation 

Le mécanisme de polymérisation est une réaction radicalaire entre un monomère et un radical 

libre. Il comprend trois étapes : 

− une étape d'amorçage. 

L'amorçeur se décompose sous l'action de la chaleur ou du pH en un radical libre. Il réagit 

avec un monomère en lui transférant son électron non-apparié. La molécule de monomère 

devient active. 

31


− une étape de propagation. 

La molécule activée se combine avec un monomère voisin, lequel devient à son tour activé. 

Cette chaîne active se combine avec une nouvelle unité. La chaîne de monomère continue à 

croître jusqu'à épuisement de monomères libres ; le centre actif se déplaçant à l'extrémité de la 

chaîne. La polymérisation développe ainsi un réseau plus ou moins complexe de boucles et de 

branches interconnectées. 

− une étape de terminaison. 

L'extrémité de chaque ramification de la chaîne macromoléculaire est désactivée par une 

réaction de recombinaison (union de deux macroradicaux par leurs liaisons terminales) ou par 

une réaction de dismutation (transfert d'un atome d'hydrogène d'une macromolécule à l'autre). 

Processus de polymérisation en émulsion 

Le terme de polymérisation en émulsion est habituellement utilisé pour décrire le procédé qui 

consiste à disperser à l'aide de tensio-actifs un monomère hydrophobe dans une phase 

continue aqueuse. Le milieu initial est une solution aqueuse composée de gouttelettes de 

monomères stabilisées par des tensio-actifs et de micelles de tensio-actifs. Une description 

schématique du système est présentée sur la Figure 1. 2. La majeure partie du monomère se 

trouve sous forme de gouttelettes au début de la polymérisation. L'amorceur est dissout dans 

la phase aqueuse. Il se décompose pour générer un radical libre. Il se dépose 

préférentiellement sur les micelles qui présentent une surface spécifique beaucoup plus grande 

que les gouttelettes. Il amorce la polymérisation, ce qui transforme les micelles en particules 

de polymères. La polymérisation se poursuit à l'intérieur des micelles qui sont constamment 

alimentées en monomère au départ des gouttelettes via la phase aqueuse. Les gouttelettes 

d'émulsion constituent en fait des réservoirs de monomères. Le produit final est une 

dispersion colloïdale de particules polymérisées. La taille varie de 10 nm à quelques µm. 

Molécule de 

monomère 

Micelle 

Gouttelette de 

monomère 

Micelle 

Tensio-actif 

Figure 1. 2 : Représentation schématique de l'émulsion initiale 

32


Lorsque le monomère est hydrophile, le procédé est appelé polymérisation en émulsion 

inverse. Le milieu de départ est une solution organique composée de gouttelettes de 

monomères stabilisées à l'aide de surfactants à caractère hydrophile. Le mécanisme de ce 

procédé n'est pas la réplique exacte du procédé de polymérisation en émulsion. La 

polymérisation semble s'effectuer cette fois au sein de chaque gouttelette et les micelles 

n'interviennent pas dans son déroulement. 

• Les gels minéraux 

Les solides "hyperporeux" permettent l'immobilisation de fluides sous forme de gels. De tels 

matériaux sont peu nombreux et la famille des aérogels de silice présentent des porosités de 

l'ordre de 97 %. 

Préparation des aérogels de silice 

La préparation est basée sur une méthode de chimie douce (qui n'exige ni hautes 

températures, ni fortes pressions) appelée sol-gel. Un sol de silice est préparé en milieu 

alcoolique par hydrolyse d'un précurseur de silice en présence d'un catalyseur et condensé 

(prise en masse) en gel grâce au développement de réactions de polymérisation-condensation 

de telle sorte que la phase liquide est maintenue "piégée" dans les pores du gel comme 

indiqué Figure 1. 3. L'opération suivante est plus physique que chimique. Elle consiste à 

sécher dans des conditions hypercritiques le gel sans détruire sa porosité de façon à récupérer 

un matériau sec aussi poreux que le gel qui lui a donné naissance. Le séchage supercritique se 

fait dans une autoclave à une température légèrement supérieure à la température critique. 

Ainsi, le passage de la phase liquide à la phase vapeur se produit sans apparition d'une 

interface. L'existence d'une interface dans un milieu poreux lors du séchage du gel par 

évaporation classique, développe des forces de tension superficielle énormes sur la paroi des 

pores qui entraînent l'effondrement de la structure. 

Sol (colloïdal) de silice Gel de silice Aérogel (matériau débarassé de 

la phase liquide) 

Figure 1. 3: le principe de la méthode sol-gel 

33


Finalement un aérogel de silice est le résultat de la combinaison d'une étape chimique 

(fabrication d'un gel à partir d'un sol) avec une étape physique (séchage dans des conditions 

hypercritiques). 

Application comme frigoporteur 

Les aérogels présentent l'avantage d'offrir une forte porosité. Les forces de capillarité dans les 

pores de 20 nm sont très importantes et permettent de stocker par rétention de nombreux 

fluides. Cependant, l'eau réagit avec les atomes d'oxygène de la silice (SiO 2 ) : les solutions 

aqueuses solubilisent la structure poreuse empêchant leur stockage dans un aérogel de silice. 

Pour les mêmes raisons, le fluide porteur ne peut être aqueux. Il est donc impératif que le 

fluide à changement de phase et le fluide porteur soient de nature organique et que ces deux 

fluides ne soient pas miscibles entre eux (ex : dodécane en suspension dans de l'éthanol). Ces 

contraintes limitent l'application de l'aérogel de silice comme matrice de transport pour les 

frigoporteurs. 

/DPLFURHQFDSVXODWLRQ 

La microencapsulation est une méthode de conditionnement d'un liquide dans une membrane 

continue dans le but de disperser la matière encapsulée dans un fluide porteur quelconque. La 

microencapsulation laisse donc un large éventail de choix sur le couple (matériel à encapsuler 

(MCP) / fluide porteur) permettant de favoriser des critères thermiques et hydrauliques pour 

leur sélection. 

• Les méthodes d'encapsulation 

Il existe de nombreuses méthodes pour produire des microcapsules qui se différencient les 

unes des autres par des détails comme la solubilité du polymère formant la paroi, la taille des 

particules, l'épaisseur et la perméabilité de la paroi, les propriétés physiques... 

Pour la réalisation de frigoporteur, trois principaux types de procédés peuvent être utilisés : 

− les procédés physico-chimiques : coacervation (séparation de phases), évaporation d'un 

solvant dans une émulsion ; 

− les procédés chimiques : polymérisation interfaciale, réticulation ou polymérisation 

d'une émulsion ; 

− les procédés mécaniques : pressage + enrobage, séchage d'une pulvérisation. 

La Figure 1. 4 récapitule les différentes méthodes d'encapsulation et le domaine de tailles 

obtenues. 

34


10 -1 10 3 10 4 

Pressage+enrobage 

Polymérisation interfaciale 

1 10 10 2 

microns 

Zone de tailles préférentielles 

Coacervation 

Tailles accessibles si le 

procédé est adapté 

Evaporation de solvant/émulsion 

Réticulation dans une émulsion 

Figure 1. 4 : Tailles des particules obtenues en utilisant différents procédés d'encapsulation 

• Taille et qualité de la microcapsule 

Dans le procédé de fabrication, plusieurs facteurs influent sur la taille et la qualité des 

microcapsules. 

Leur taille dépend : 

− du taux de cisaillement lors de la fabrication de l'émulsion ; 

− des viscosités des phases de l'émulsion ; 

− des proportions de chaque phase ; 

− de la concentration et de la nature des différents composés ; 

− du profil de température durant la production. 

Leur qualité dépend : 

− du choix du solvant ; 

− du mélange de solvants utilisés ; 

− de la solubilité dans l'eau des agents actifs ; 

− du taux d'extraction du solvant ; 

− du type et de la masse moléculaire du film polymère ; 

− de la cristallinité du film polymère. 

Procédés physico-chimiques 

Coacervation ou séparation de phases 

Ce procédé consiste en l'enrobage d'une émulsion par un film polymère précipité à partir 

d'une solution colloïdale de ce polymère déstabilisée par un changement physique ou 

chimique du milieu : variations de composition, de pH ou de température, ajout d'un produit 

non-solvant pour le polymère... 

35


Initialement, ce précipité se présente, au sein de la solution colloïdale, sous la forme de microgouttelettes 

de 1 nm à 0,5 µm, appelées "coacervats", riches en polymères et visqueuses. Puis 

les coacervats tendent à coalescer ou à s'adsorber sur les gouttelettes de l'émulsion à enrober. 

Pour éviter leur coalescence et favoriser au contraire l'enrobage, un colloïde protecteur a dû 

être préalablement dissous dans la solution colloïdale. Les coacervats adsorbés coalescent en 

un film continu. Enfin, la solidification de l'enrobage est obtenue de diverses manières : 

refroidissement, désolvatation plus prononcée ou réticulation par irradiation. Les 

microcapsules obtenues font, en général, moins de 1,25 mm, avec une épaisseur de paroi 

élastique de 1 à 50 µm et une teneur en produit encapsulé supérieure à 60 %. 

émulsion 

solution 

colloïdale 

Etape 1 : 

Préparation de 

l'émulsion du MCP 

dans une solution 

colloïdale 

Etape 2 : 

Coacervation 

grâce à des agents 

chimiques 

Etape 3 : 

Déposition du 

polymère et 

formation d'un 

film continu 

Etape 4 : 

Solidification de 

l'enveloppe 

Figure 1. 5 : Les différentes étapes de la microencapsulation par coacervation 

Encapsulation d'une émulsion par évaporation du solvant 

Le procédé d'encapsulation par évaporation du solvant est expliqué sur la Figure 1. 6. Ce 

procédé permet d'obtenir des sphères de quelques microns à quelques centaines de microns. 

L'étape d'évaporation doit être étudiée de façon à éviter, ou du moins limiter, la cristallisation 

du MCP pendant la solidification du film polymère. 

Phase organique 

solvant volatil + polymère 

Formation de 

l'émulsion 

Evaporation du 

solvant 

Phase aqueuse 

eau + tensioactifs 

Etape 1 

∆T 

Réduction 

de la 

pression 

Etape 2 

Figure 1. 6 : Procédé d'encapsulation par évaporation du solvant 

36


Procédés chimiques 

Polymérisation interfaciale 

La polymérisation interfaciale est le principal procédé chimique utilisé pour l'encapsulation. 

La membrane prend naissance à l'interface d'une émulsion par condensation de deux 

monomères précurseurs, respectivement dissous dans chaque phase liquide, la nature de la 

membrane polymérisée dépendant du choix de chaque monomère précurseur. Typiquement la 

réaction de polymérisation se fait entre un chlorure de diacide (monomère précurseur de la 

phase organique) et un amine ou un alcool (monomères précurseurs de la phase aqueuse). La 

membrane formée est un polyamide, un polyester, un polyuréthane, un polycarbonate ou un 

polyurée. Le procédé d'encapsulation se fait en deux étapes. Dans un premier temps, le MCP 

et son monomère précurseur sont dispersés sous forme d'émulsion. Ils ne doivent pas réagir 

entre eux. Cette étape rapide est la plus délicate du procédé. Ensuite, l'émulsion est introduite 

lentement, pendant environ 4 h, dans une phase organique, si le MCP est hydrophile, ou dans 

une phase aqueuse, si le MCP est hydrophobe. La vitesse de polymérisation étant supérieure à 

la vitesse de diffusion du précurseur dissout dans la phase continue qui contient l'autre 

monomère, le polymère se forme presque exclusivement à l'interface et croît du côté 

organique de l'interface. Les microcapsules obtenues ont une taille d'environ 15 µm et une 

épaisseur de paroi variable de 1 à 3 µm représentant 10 à 15 % de la masse totale. 

MCP 

+ 

Monomère A 

Phase organique 

(si MCP hydrophile) 

ou 

phase aqueuse 

(si MCP hydrophobe) 

Monomère B 

-(A-B-)- n 

Figure 1. 7 : Encapsulation par polymérisation interfaciale 

Réticulation d'une émulsion 

Le procédé de fabrication par réticulation se divise en trois étapes : 

− formation d'une émulsion stable du polymère + MCP dans un liquide non miscible ; 

− réticulation par réaction chimique ou par chauffage du polymère dans l'émulsion ; 

− récupération des micro-particules par filtration, décantation ou centrifugation. 

37


Les micro-particules sont ensuite mises en suspension dans un fluide porteur qui présente des 

caractéristiques hydrauliques et thermique intéressantes pour former le frigoporteur. 

La réaction de réticulation ne doit pas s'accompagner d'agglomération de particules entre 

elles. Ceci implique une agitation permanente durant la fabrication et l'utilisation de 

stabilisateurs. Des polymères d'origine naturelle sont largement utilisés dans ce procédé, 

comme des polysaccharides (agarose, alginate...) ou des protéines (gélatine, albumine...). Les 

particules obtenues font quelques micromètres. 

Polymérisation d'une émulsion 

Cette méthode diffère de la polymérisation interfaciale par le fait qu'un seul monomère est 

utilisé. L'initiation de la réaction de polymérisation se fait en ajustant le pH. Le principal 

désavantage de ce procédé réside dans la nature toxique du monomère résiduel. 

Procédés mécaniques 

De nombreuses technologies ont été développées pour l'encapsulation. Les deux retenues pour 

cette étude sont : 

− le séchage d'un jet pulvérisé ; 

− le compactage d'une poudre de MCP à l'état solide puis enrobage. 

Séchage d'un jet pulvérisé 

Le MCP est mélangé dans une solution organique ou aqueuse de polymère. Le mélange est 

atomisé par une buse d'injection dans un courant d'air chaud (150-200 °C). Le solvant du 

polymère s'évapore entraînant la solidification du polymère autour du MCP. 

Compactage d'une poudre de MCP à l'état solide puis enrobage 

Les différentes étapes de ce procédé de fabrication se font en dessous de la température de 

fusion du MCP afin qu'il soit à l'état solide. Par broyage, le MCP est mis sous forme de 

poudre, puis compacté pour former des pilules. L'étape d'enrobage peut se faire par 

pulvérisation d'un solution de polymère dans un lit fluidisé. Les particules solides de MCP 

sont fluidisées dans un écoulement d'air; la solution de polymère est pulvérisé dans le lit 

fluidisé et se dépose sur les particules mouvantes. Le solvant s'évapore et le film de polymère 

se solidifie autour de la particule. 

38


1.1.3. Stabilité de la structure des particules 

La stabilité de la structure des particule est indispensable si elles sont utilisées comme moyen 

de transport du froid. Cependant, lors du transport, la suspension est soumise à des 

cisaillements mécaniques issus du pompage et des cisaillements hydrauliques. Les particules 

sont alors étirées et subissent des distorsions importantes. De plus, lors des cycles thermiques, 

leur volume varie (environ de 10 %) ce qui détériore leur paroi interne. 

 

)RUFHVGHFLVDLOOHPHQW 

Yamagishi et al. (1996) ont soumis à des cycles de pompage un mélange contenant 20 % en 

volume de paraffine encapsulés dans une double enveloppe de polymères (5 < d p < 1000 µm) 

en suspension dans de l'eau. Ils ont observé que le taux de microcapsules détériorées décroît 

avec leur taille. Celles de petites tailles sont plus résistantes et supportent mieux les 

contraintes de cisaillement dues à l'écoulement. Les microcapsules de 5 à 10 µm conservent 

leur structure sur plusieurs cycles de pompage. 

Dans un écoulement avec un taux de cisaillement donné, les particules ayant un diamètre 

inférieur à un diamètre critique ne seront pas détériorées. 

 

&\FOHVWKHUPLTXHV 

Roy et Sengupta (1991) ont étudié la tenue thermique et mécanique de microcapsules sous 

100 cycles thermiques. Deux types de microcapsules ont été testés. Le premier contient du n- 

eicosane comme fluide à changement de phase et sa paroi occupe 30 % du volume. Le second 

est rempli d'acide stérique et sa paroi n'occupe plus que 15 % du volume. Dans les deux cas 

les parois sont en PVA (polymère) et trois tailles de microcapsules sont étudiées : 50 µm, 

100 µm et 250 µm. Des tests supplémentaires seraient nécessaires pour tirer des conclusions 

solides de ces travaux, mais leurs résultats montrent que le deuxième type de microcapsules 

ne résiste pas à des cycles thermiques répétés alors que le premier type a une structure stable 

et ses propriétés thermiques ne sont pas altérées. Ces observations corroborent bien l'équation 

de Laplace-Young : 

⎡ ⎤ 

⎢ ⎥ 

⎢ 

1 

∆P 

= 4 σ 1+ 

⎥ 

(1-1) 

d ⎢ 2e 

p 

⎥ 

⎢ 

1+ 

⎥ 

⎣ d 

p ⎦ 

avec ∆P la différence de pression entre l’intérieur et l’extérieur d'une particule sphérique, σ 

(Pa.m) la tension de surface de la paroi, d p le diamètre et e l'épaisseur des parois des 

39


microcapsules. La structure des microcapsules s'effondre lorsque la pression externe devient 

supérieure à la pression interne. La tenue mécanique de la structure dépend de sa pression 

interne, donc du rapport entre l'épaisseur de la paroi et du diamètre des particules : plus les 

particules sont grosses, plus leur paroi doit être épaisse pour qu'elles aient une structure 

solide. Yamagishi et al. (1996) ont soumis également leurs particules à 5000 cycles 

thermiques. Ils confirment que des particules de 5 µm ne se cassent pas au cours des cycles et 

que leurs propriétés thermiques restent inchangées. Le problème de l'expansion volumique 

lors du changement de phase peut être évité en choisissant une paroi flexible. 

Ce problème de tenue thermique et mécanique sous cyclages pour des microcapsules d'une 

certaine taille, diminue leur intérêt pour des applications industrielles, car si les parois 

occupent 30 % de la matière transportée, c'est autant de moins de froid stocké pour le 

changement de phase. Par ailleurs, lorsque les particules sont petites (< 300 µm) le 

phénomène de surfusion apparaît. Ces différentes raisons expliquent partiellement 

l’orientation de l’étude vers des particules à base de gel organique : la matrice en polymère en 

n’occupant que 10 % du volume garde une bonne tenue mécanique et sa souplesse encaisse 

les variations de volume lors des changements de phase. 

1.1.4. Critères de choix du couple fluide-particules 

Le choix d’un fluide frigoporteur est le résultat d’un compromis entre des critères de natures 

fort diverses : 

− performances énergétiques élevées, conditionnées par les propriétés 

thermophysiques du fluide ; 

− sécurité élevée, conditionnée par des caractéristiques d’inflammabilité, 

d’explosivité et de toxicité ; 

− impacts environnementaux limités, conditionnés par de nombreux paramètres 

suivant que la pollution des eaux, des sols ou de l’air est prise en compte ; 

− critères techniques variés qui incluent la compatibilité avec les matériaux, les 

effets du vieillissement, la facilité de mise en œuvre du produit ; 

− critères économiques : prix du produit, disponibilité... 

Le Tableau 1-1 rassemble les principaux paramètres qu’il serait nécessaire de connaître pour 

assurer une caractérisation complète du fluide. 

40


Les principaux critères pour 

les fluides frigoporteurs 

Critères secondaires 

1/ Critères énergétiques 1a/ Pompabilité et réduction de la 

puissance de pompage 

2/ Critères de sécurité 2a/ Inflammabilité 

3/ Critères environnementaux 

1b/ Transfert de chaleur et réduction des 

écarts de température entre fluide 

frigoporteur et frigorigène 

2b/ Dangers pour l’homme 

2c/ Dangers pour les biens 

3a/ Pollutions des eaux et des sols 

3b/ Pollutions atmosphérique (par les 

vapeurs ou les produits de 

décomposition) 

Tableau 1-1: Critères de caractérisation des fluides frigoporteurs 

Propriétés caractéristiques 

-point de congélation 

-point d’ébullition 

-relation température/pression de 

saturation 

-masse volumique 

-capacité thermique 

-conductivité thermique 

-viscosité dynamique 

-coefficient de dilatation 

-tension superficielle 

-point éclair (liquide ) 

-point d’inflammation (liquide) 

-LIE et LES (vapeur) 

-produits de séparation ou de 

décomposition en cas 

d’inflammation 

-contact avec la peau et les yeux 

-ingestion 

-inhalation 

-danger pour les produits 

alimentaires (contact direct ou 

indirect possible) 

-incompatibilité avec certains 

milieux à refroidir 

-incompatibilité avec certains 

frigorigènes 

-mobilité et dispersabilité 

-persistance dans le milieu 

-bioaccumulation 

-écotoxicité 

4/ Critères techniques 4a/ Compatibilité avec les métaux 

4b/ Compatibilité avec les matières 

plastiques et les élastomères 

4c/ Aptitude à favoriser la corrosion 

4d/ Comportement avec l’eau 

4 e/ Vieillissement du liquide 

4f/ Mise en œuvre 

4g/ Précautions d’emploi 

4h/ Maintenance 

4i/ Conditions de transport -suivi recommandé (mesure de PH, 

densité…) 

-prélèvement et analyse 

5/ Critères économiques 5a/ Prix du produit 

5b/ Disponibilité 

6/ Autres critères 6a/ Réglementation spécifique 

6b/ Références et niveau des 

expériences acquises avec ce fluide 

-réglementation 

-type d’emballage 

La difficulté que l’on rencontre pour établir une hiérarchie des fluides existants sur le marché 

ou pour évaluer l’intérêt futur d’un fluide nouveau réside en deux points : 

41


− le besoin de données fiables sur de nombreuses caractéristiques des fluides, 

caractéristiques diverses comme l’énoncé des critères le montre dans le tableau 

précédent : seuls les fluides les plus courants aujourd’hui (glycol, par exemple) 

sont suffisamment documentés pour permettre l’établissement d’une fiche de 

caractérisation complète. Ceci peut constituer et constitue effectivement un frein 

aux innovations puisque l’effort de caractérisation d’un nouveau fluide pourrait 

apparaître comme très onéreux. Il est clair que seuls les fluides innovants, 

présentant une avancée significative par rapport aux fluides actuels sur l’un ou 

l’autre des critères énoncés, ont une chance de s’imposer ; 

− l’importance relative des critères et l’évolution future de cette 

classification : par exemple, aujourd’hui les critères économiques peuvent être 

considérés comme primordiaux mais des réglementations éventuelles sur la 

consommation énergétique ou les rejets peuvent évidemment positionner les 

critères énergétiques et environnementaux comme prioritaires. 

Notre démarche privilégie des solutions à faibles impacts énergétiques et environnementaux 

tout en recherchant des alternatives aux fluides actuels qui soient économiquement viables. 

Ce dernier aspect reste toutefois difficile et parfois fort aléatoire à évaluer car les techniques 

mises en œuvre (en particulier, les techniques de production) qui peuvent s’appliquer 

aujourd’hui à de faibles quantités de fluides sont sans commune mesure avec les quantités de 

fluides frigoporteurs nécessaires pour les applications industrielles, agro-alimentaires, du 

froid commercial et du conditionnement d’air. 

1.1.5. Caractéristiques de la suspension étudiée 

La suspension étudiée se compose de particules de gel organique, fabriquées par le L. B. H .P. 

(laboratoire de Biorhéologie et d’Hydrodynamique Physicochimique), suivant le procédé 

décrit dans le paragraphe 1.1.2.2. Le MCP est de l’eau. Ainsi les températures de l’étude sont 

centrées autour de 0 °C. En extension à ces travaux, il sera possible de modifier le procédé de 

fabrication pour insérer un eutectique congelant à des températures négatives. Le fluide 

porteur fourni par le L. B .H. P., un mélange de 89 % d’huile Shell Clavus 15 et de 11 % 

d’huile Rhodorsil 550, a une masse volumique proche de celle de la glace mais une viscosité 

très importante (de l’ordre de 160 mPa.s à 0 °C). Ce fluide, aux températures négatives, 

nécessite une puissance de pompage trop importante pour qu’il soit économiquement viable. 

Nous l’avons donc remplacé par une huile thermique Syltherm HF. Cette huile est 

42


intéressante pour sa faible viscosité (2,6 mPa.s à 0 °C), sa densité (892 kg.m -3 à 0 °C), sa 

température de congélation (- 82 °C) et sa faible toxicité (sans odeur, non corrosive). 

Une suspension de particules concentrée à 15 % (en masse) est testée sous cyclage thermique 

afin d’observer son comportement. La procédure expérimentale consiste à immerger le bécher 

qui contient la suspension dans un bain thermostaté à température constante. Les 

refroidissements sont effectuées avec trois températures de bain différentes : - 10 °C, - 15 °C 

et – 20 °C. La suspension est agitée en permanence pour éviter que les particules sédimentent 

au fond du bécher. Au préalable, des essais sont faits avec de l’huile pure pour servir de 

référence. 

$VSHFWGHODVXVSHQVLRQ 

− A température ambiante (+20 °C) : 

La densité relative des particules sur l’huile étant de 1,144, le mélange n’est pas homogène au 

repos. Une agitation importante est nécessaire pour maintenir les particules en suspension. 

Les particules ne s’agglomèrent pas entre elles. 

Elles ont un aspect translucide. 

− A –10 °C : 

La densité relative n’est plus que de 1,016. Une agitation très faible est suffisante pour obtenir 

une suspension homogène. 

Les particules en se congelant deviennent blanches. 

Elles ne s’agglomèrent pas entre elles, mais se fixent sur les parois froides du bécher et 

forment une couche qui s’épaissit dans le temps. 

 

&\FOHVWKHUPLTXHV 

Des enregistrements de la température de la suspension au cours du temps, comme ceux 

représentés sur la Figure 1. 8, ont mis en évidence la présence de surfusion lors de la 

congélation des particules mais ce phénomène dépend de l’écart de température entre la 

suspension et le bain thermostaté. Pour un bain à – 10 °C, la température de la suspension 

descend à -2 °C avant que l’on observe une légère remontée en température qui indique la 

rupture de surfusion. Pour les bains à –15 °C et –20 °C, on n’observe plus cette remontée en 

température lorsque les particules commencent à congeler. 

Lors du changement de phase, alors que les particules restent à 0 °C, la température de la 

suspension continue à descendre sur un intervalle de température de [- 1,3 ; - 3,5 °C]. Il 

43


semble donc que le flux froid apporté par le bain est supérieur à celui dégagé par les 

particules. Il est important de souligner que la température mesurée n’est pas celle des 

particules mais celle de la suspension. Par conséquent, s’in n’y a pas équilibre thermique entre 

les particules et l’huile porteuse, il est normal de ne pas observer de « plateau » horizontal en 

température, caractéristique du changement de phase. 

15 

Température du bain : - 10°C 

10 

T (°C) 

5 

0 

avec particules 

sans particule 

0 100 200 300 400 500 600 700 

temps (s) 

-5 

-10 

15 


10 

T (°C) 

5 

0 

-5 



0 200 400 600 800 1000 1200 

tem ps (s) 

-10 

-15 

44


T (°C) 

10 

5 

0 

-5 




0 100 200 300 400 500 600 700 800 

tem ps (s) 

-10 

-15 

-20 

Figure 1. 8 : Allure du refroidissement d’une suspension concentrée à 15 % en masse pour différentes 

températures de bain thermostaté 

 

&RQFOXVLRQ 

La suspension étudiée présente un aspect satisfaisant lorsque les particules sont congelées. 

Elle est homogène et les particules ne forment pas d’agrégats. Cependant, certains points 

observés risquent d’être problématiques lors de la circulation du fluide frigoporteur dans une 

installation : 

− à température ambiante, dans un écoulement laminaire, les forces de cisaillement 

risquent d’être insuffisantes pour entraîner les particules ; 

− le risque de la formation d’une couche de particules congelées sur les parois froides 

n’est pas à exclure. Elle aurait pour conséquence de ralentir les échanges thermiques 

avec le frigoporteur et de boucher l’échangeur (la suspension étudiée semble présenter 

les mêmes désavantages que le coulis de glace) ; 

− la viscosité de la suspension augmente fortement lors du changement de phase des 

particules. Cette augmentation est due à la présence des particules car la viscosité de la 

phase porteuse ne varie pas autant dans cette gamme de température. Lors du 

changement de phase, le volume occupé par le MCP augmente entraînant la formation 

de dendrites en périphérie de la structure poreuse. Ces dendrites s’accrochent entre 

elles et les particules forment des agglomérats. 

45


1.2. Comportement rhéologique 

1.2.1. Loi de comportement 

 

*pQpUDOLWpV 

La rhéologie des fluides a pour objectif la caractérisation des produits par l’expression de 

relations contraintes-déformations liées à leurs propriétés mécaniques. Cette caractérisation 

permet de les classer en trois catégories principales : 

• les fluides non-visqueux appelés fluides de Pascal : ils sont caractérisés par une 

contrainte de cisaillement τ toujours nulle ; 

• les fluides newtoniens qui présentent une proportionnalité entre la contrainte de 

cisaillement τ et la vitesse de déformation γ : τ = µ γ 

où µ est la viscosité dynamique du 

fluide qui est alors constante ; 

• les fluides non newtoniens : cette catégorie regroupe l’ensemble des fluides qui ne 

suivent pas cette relation de proportionnalité et pour lesquels on définit une viscosité 

apparente. Ils sont généralement divisés en trois groupes : 

− les principaux sont les fluides ayant un comportement indépendant du temps ou de la 

durée de sollicitation. 

Ils suivent le modèle d’Herschel-Bulkley (H-B) tel que : 

τ 

τ 

+ kγ 

n 

= 0 (1-2 ) 

où τ 0 est la contrainte de cisaillement minimale, appelée seuil de plasticité, nécessaire 

pour amorcer le mouvement du fluide. k et n sont respectivement le coefficient de 

consistance et l’indice de comportement du fluide. Dans le cas particulier où τ 0 = 0, le 

fluide est dit d’Ostwald et son comportement est défini par une loi en puissance : 

τ 

kγ 

n 

= (1-3) 

Un fluide vérifiant une loi en puissance sera dit : 

9 pseudoplastique ou rhéofluidifiant lorsque 0 < n < 1. La caractéristique 

principale de ces fluides est une diminution de la viscosité apparente lorsque le 

gradient de cisaillement augmente. Cependant, à faible taux de cisaillement 

( γ < 10 −1 s -1 ), ces fluides ont généralement un comportement newtonien ; 

46


9 dilatant ou rhéoépaississant si n > 1. Ces fluides se caractérisent par une 

augmentation de la viscosité apparente avec le taux de cisaillement ; 

9 plastique de type Bingham lorsque n = 1 et k = µ : 

τ 

τ 

+ µγ 

= 0 

(1-4) 

− les fluides ayant un comportement dépendant du temps : la contrainte de cisaillement 

évolue avec la durée de sollicitation. Dans cette famille, on trouve les fluides 

thixotropes (la viscosité apparente diminue avec le taux de cisaillement et le temps) et 

les fluides rhéopexes (le phénomène est inversé). Les rhéogrammes de tels fluides 

présentent une boucle d’hystérésis ; 

− les fluides viscoélastiques qui présentent certaines caractéristiques du solide. Ils ont la 

particularité de conserver leur structure propre pour des sollicitations plus importantes 

que celles provoquant la rupture de la structure des autres fluides non newtoniens. 

La Figure 1. 9 schématise la forme des rhéogrammes associée aux principaux types de 

comportements rhéologiques. 

τ 

Fluide plastique 

(Herschel-Bulkley) 

Plastique de type 

Bingham 

Rhéofluidifiant 

τ 0 

Newtonien 

Rhéoépaississant 

Figure 1. 9 : Rhéogramme schématique de fluides newtoniens et non newtoniens 

γ 

 

&DVSDUWLFXOLHUGHVPpODQJHVGLSKDVLTXHVVROLGHOLTXLGH 

• Viscosité : influence de la taille et de la concentration en particules 

La viscosité dynamique d’une suspension diphasique, µ s , dépend de celle du liquide, µ f , de la 

température, de la concentration volumique, c v , de la dimension et de la forme des particules 

solides et des interactions entre ces particules et le liquide. La complexité d’évaluation de la 

viscosité d’une suspension a amené la majorité des auteurs à décomposer les différents 

paramètres. Ils construisent leur analyse en partant de l’équation d’Einstein valable pour des 

suspensions très diluées (c v < 2 %), en écoulement laminaire, avec des particules sphériques 

47


petites (d p < 2µm) et sans glissement à la surface des sphères. La viscosité est alors une simple 

fonction de la concentration : 

µ 

µ 

s 

f 

= 1 + 

2,5 c 

v 

(1-5) 

Pour des suspensions à plus forte concentration, il est nécessaire de prendre en compte 

l’interaction des particules entre elles, leur rotation, leur collision, la formation d’agglomérats, 

… La difficulté d’établir une relation pour ces concentrations réside dans le fait que l’aspect 

aléatoire de la structure de la suspension ne peut être représenté par un modèle simple. 

Plusieurs des équations théoriques ou expérimentales utilisent un polynôme : 

µ 

µ 

s 

f 

= 1 + 2,5 cv 

+ k 

2 

cv 

² + k3 

cv 

+ ... 

3 

(1-6) 

Le terme au carré représente l’interaction hydrodynamique des sphères entre elles. Suivant 

l’approche faite, les valeurs de k 2 proposées par les différents auteurs fluctuent entre 14,1 

(Guth et Simha –1936) et 10,5 (Thomas–1965). Les coefficients des termes d’ordre supérieur 

sont déterminés de manière moins précise car ils expriment des interactions complexes, 

difficiles à prendre en compte théoriquement. 

De nombreuses corrélations de la viscosité dynamique des mélanges diphasiques ont été 

établies. Le Tableau 1-2 en présente un certain nombre. Ces relations sont représentées sur la 

Figure 1. 10 afin de mettre en évidence l’écart entre les différents résultats. 

Les corrélations de Ford et de Kunitz présentent des valeurs très divergentes et qui encadrent 

celles des autres auteurs. Puisque aucune indication n’est donnée sur leur domaine de validité, 

elles seront négligées. Par contre il est plus délicat de faire un choix entre les autres relations. 

Dans la gamme de concentration qui intéresse notre étude (inférieures ou égales à 20 %), la 

majorité des relations prédit des facteurs d’augmentation de la viscosité de la suspension par 

rapport à la viscosité du fluide porteur assez similaires. Les valeurs obtenues avec la relation 

de Steimour (le coefficient dans l’exponentielle est une moyenne de valeurs expérimentales 

trouvées pour deux concentrations extrêmes) rejoignent celles prédites avec la relation de 

Kunitz. 

48


Auteur Expression de µ m proposée Remarques 

Einstein (1906) µ f( 1+2,5cv) 

c v 0,2 

0,3


Visosité apparente/Viscosité du fluide porteur 

10 

Eistein 

Steimour 

Vand 48 

Richarson et Zaki Rep


En intégrant cette relation sur un nombre infini de sphères, ils obtiennent : 

µ 

µ 

s 

f 

( 1−c 

) 

= 

v 

−2,5 

(1-8) 

Puisque les particules forment des agrégats, le volume efficace qu’elles occupent doit prendre 

en compte également le volume de fluide immobilisé. Ce volume dépend de la taille des 

agrégats, soit de la concentration volumique et de Re p . 

Dans le cas d’une suspension non soumise à des forces de cisaillement, la fraction de volume 

immobilisé, trouvée par Graham et Steele, est : 

Ainsi, la viscosité de cette suspension est : 

0 

⎡ ⎛ 0,7404 − 

= 1+ 

0,35 ⎢1 

− 

⎢ 

⎜ 

0,7404 

⎣ ⎝ 

c v 

2 

⎞ ⎤ 

⎟ ⎥ 

⎠ ⎥ 

⎦ 

V (1-9) 

1 

2 

µ 

µ 

s 

f 

( 1−V 

c ) 

= 

0 v 

−2,5 

(1-10) 

Les résultats de cette relation sont en accord avec ceux de Thomas (1965) et avec les mesures 

de Gadala-Maria & Acrivos (1980) pour 0 < c v < 0,7. 

Dans le cas de suspension soumise à des forces de cisaillement, Graham et Steele (1984) 

proposent la relation suivante pour calculer la fraction V de volume immobilisé : 

( cv² 

0, cv) Re 

p 

V V + 1,10 74 

= (1-11) 

0 

− 

Cependant, cette relation doit être utilisée avec attention car pour des Re p trop élevé, V < 1. 

L’autre limite de cette relation est la difficulté à déterminer Re p . 

La majorité des auteurs cités dans le Tableau 1-2, considère que les particules ont la même 

masse volumique que la phase porteuse. Or il s’avère impossible dans notre cas de respecter 

cette condition dans les deux états du MCP puisque la glace est plus légère que l’eau. Certains 

auteurs, comme Leigthon (1985), Acrivos et al. (1994) ou Yamagishi et al. (1996) ont étudié 

la rhéologie pour des suspensions soumises aux forces de flottabilité. Ils se sont intéressés à 

des particules de diamètre supérieur à 125 µm afin de pouvoir négliger les mouvements 

browniens et les effets électro-visqueux. Ils ont constaté qu’il existait un taux de cisaillement 

seuil au-dessus duquel la viscosité de la suspension est indépendante de la contrainte de 

cisaillement (comportement Newtonien), et en dessous duquel la viscosité augmente. Ce 

phénomène est dû à une distribution non homogène des particules en dessous d’un certain 

51


seuil d’agitation en raison de la différence de densité (une différence de 3 à 4 % est suffisante 

pour observer ce phénomène). La distribution des particules dépend du taux de cisaillement. 

Lorsque celui-ci augmente, l’équilibre entre le flux gravitationnel et la diffusion due au 

cisaillement se décale et la suspension tend à s’homogénéiser. En résumé, la viscosité 

moyenne du mélange dépend de la distribution des particules. Pour une concentration 

moyenne donnée, la viscosité moyenne atteint sa valeur minimale lorsque la suspension est 

homogène (taux de cisaillement élevé) et augmente de manière monotone au fur et à mesure 

que la suspension devient moins homogène. 

Leighton (1985) propose une relation pour calculer la viscosité d’une suspension parfaitement 

homogène. Celle-ci est donnée dans le Tableau 1-2. Cependant, dans notre cas (suspension 

polydispersée de particules non-sphériques), il est délicat de déterminer c vs . Acrivos et al. 

(1994) ont orienté leur étude autour d’un paramètre adimensionnel de cisaillement A (rapport 

des forces visqueuses sur les forces gravitationnelles). Ils retrouvent que la viscosité moyenne 

est une fonction monotone décroissante de A. La valeur de A pour laquelle la viscosité atteint 

sa valeur minimale augmente lorsque c v diminue. Effectivement, plus la concentration est 

faible, plus la viscosité de la suspension est faible, mais plus l’agitation à apporter pour 

l’homogénéiser est importante. Ainsi la viscosité de la suspension homogène est atteinte pour 

un cisaillement plus fort. Ils ont remarqué également qu’à l’état stationnaire, la viscosité 

d’une suspension monodispersée est indépendante de la taille des particules. Celle-ci 

intervient uniquement dans le temps caractéristique pour atteindre cet état stationnaire. Ils ont 

validé leurs résultats théoriques par des mesures expérimentales. 

Shook (1985) présente une étude expérimentale sur des particules de diamètre 0,3 et 1,4 mm, 

ayant une masse volumique proche de celle du liquide porteur (densité relative = 1,05) en 

écoulement dans un tube de diamètre 52,2 mm. Les résultats expérimentaux permettent de 

constater que le diamètre des particules a une influence importante sur le comportement du 

mélange. Une classification en fonction de la taille des particules est proposée : 

− pour des particules de tailles inférieures à 10 µm, l’écoulement est généralement 

non newtonien, 

− entre 10 et 200 µm, l’écoulement possède des propriétés non newtoniennes à partir 

d’un seuil de concentration, 

− pour une taille supérieure à 200 µm, le comportement reste newtonien quelle que 

soit la concentration. 

De leur côté, Weber et Stegmaier (1983) proposent une classification en fonction de la 

concentration et de la vitesse de sédimentation. Celle-ci est présentée dans le Tableau 1-3. 

52


Concentration volumique, 

% 

Nombre de Reynolds basé 

sur la vitesse de 

sédimentation des particules 

53 

Allure de l'écoulement 

Comportement 

rhéologique 

>35


(Dow Chemical) permet de trouver une courbe de dépendance en température de la viscosité 

de la forme : 

=−4+ 

1328 

268+T 

lnµ (1-12) 

La température T utilisée dans cette relation est en degré Celsius et la viscosité µ, en mPa.s. 

La densité des particules par rapport à l’huile porteuse fluctue de 1,12 à 1,02 lorsque les 

particules passent de l’état liquide à l’état solide. 

Faute d’appareil de mesure fiable dans notre laboratoire et de pertes de pression trop faibles 

dans la section d’essais pour faire une rhéométrie en ligne, l’étude thermo-rhéologique de la 

dispersion de particules de gel dans de l’huile Syltherm HF n’a pas pu être réalisée. Les seules 

sources que nous ayons, sont les travaux de Royon (1992) pour une suspension concentrée à 

50 %. Les particules étudiées sont identiques aux nôtres mais la phase porteuse est de l’huile 

Shellsol AB. Cette huile a une viscosité de 4,1 mPa.s à 0 °C qui varie plus faiblement avec la 

température que la viscosité de l’huile Syltherm HF. Cette étude ne donne pas clairement le 

rapport entre les masses volumiques des particules et de l’huile, mais d’après ces résultats, il 

ne semble pas qu’il y ait eu des problèmes de sédimentation. Les propriétés rhéologiques de 

notre mélange risquent de différer du sien en raison de cette différence. 

Dans ses premiers travaux, Royon (1992) a étudié la thermo-rhéologie du coulis de glace 

stabilisé à l’aide d’un viscosimètre Carrimed sur une plage de température comprise entre 

10 °C et –10 °C. 

− Les rhéogrammes effectués à 5 °C et –1 °C montrent que la viscosité est constante 

avec la vitesse de cisaillement : la dispersion se comporte comme un fluide 

newtonien dans cette gamme de température. 

− Les rhéogrammes obtenus à –5 °C et –10 °C montrent qu’au cours de la montée en 

contrainte, la viscosité croît avec la vitesse de cisaillement. La dispersion se 

comporte comme un fluide rhéoépaississant. Par contre sur les paliers de contrainte, 

la viscosité reste constante et au cours de la descente en contrainte, la dispersion se 

comporte comme un fluide newtonien. Cette différence de comportement met en 

évidence un changement d’état structurel : lorsque la dispersion est soumise de 

manière permanente à un cisaillement, elle se comporte comme un fluide 

newtonien. Par contre lorsqu’elle est au repos pendant au moins une heure, elle 

présente un comportement rhéoépaississant. Ce comportement rhéologique peut 

s’expliquer soit par une rupture de surfusion due à l’agitation (phénomène expliqué 

54


dans le paragraphe concernant le comportement thermique), soit par la présence 

d’un film de tensio-actif lubrifiant autour des particules qui tend à se rompre sous 

l’action des contraintes de cisaillement. Ces deux phénomènes (augmentation du 

volume des particules changeant de phase et rupture du film lubrifiant) peuvent être 

à l’origine de l’augmentation de la viscosité. 

− L’étude de la dépendance en température de la viscosité a été faite en utilisant une 

viscosité relative (rapport de la viscosité du mélange sur celle du fluide porteur). 

L’allure de la courbe (Figure 1. 11) est du type exponentielle décroissant : les 

valeurs de la viscosité relative sont supérieures à 2 dès que T


similaire à celui obtenu au moyen d’un viscosimètre. La figure 1. 12 montre un exemple de 

rhéogrammes que Royon et son équipe ont obtenu à partir de mesures pression-débit sur un 

« coulis de glace stabilisé » pour une concentration massique de 25 et 35 % en particules. 

On remarque que la viscosité apparente du fluide diminue avec la vitesse de cisaillement. 

0.14 

0.12 

0.1 

viscosité (Pa.s) 

0.08 

0.06 

Cm = 35 % 

Cm = 25 % 

0.04 

0.02 

0 

0 100 200 300 400 500 600 700 800 

gradient de vitesse 

Figure 1. 12 : Rhéogramme de « coulis de glace stabilisée » concentré à 25 % et 35 % en particules 

Le comportement de ce liquisol, d’après la classification rhéologique vue dans le paragraphe 

1.2.1.1, est du type rhéofluidifiant. Il peut être modélisé par une loi de comportement du type 

Ostwald [équation (1-3)]. D’après les données de la littérature, la majorité des fluides 

diphasiques « liquisols » présente un comportement rhéofluidifiant. On peut observer pour un 

grand nombre d’entre eux, la présence d’un seuil de contrainte dont l’amplitude est 

généralement fonction de la taille et de la forme des cristaux de glace composant le fluide 

diphasique. 

1.2.2. Ecoulement et pertes de pression 

De nombreuses recherches ont été faites sur les écoulements de fluides diphasiques, mais le 

plus souvent pour des conduites circulaires horizontales de rayon R 0 et de longueur L. Dans ce 

cas particulier, la perte de pression par frottement s'exprime par la formule de Darcy- 

Weissbach : 

56


P = 

L 

f 

2R 

0 

ρU 

2 

2 

∆ (1-13) 

Le coefficient de perte de pression par frottement, f, dépend de la rugosité de la paroi, de la loi 

de comportement rhéologique et du régime d'écoulement du fluide. 

Ces recherches étudient l'augmentation des pertes de pression occasionnées par les particules 

en suspension dans le fluide. 

 

3HUWHVGHSUHVVLRQUpJXOLqUHV 

Contrairement au comportement monotone de la courbe de pertes de pression en fonction de 

la vitesse d'un écoulement laminaire simple phase, celle d'une suspension présente un 

comportement plus complexe en raison des nombreux paramètres intervenant sur le 

coefficient de pertes de pression par frottement dans un tube horizontal : la vitesse 

d'écoulement, la taille et la concentration en particules. 

• Pour ρ p > ρ f 

Généralités 

Dans le cas où les particules sont plus lourdes que la phase porteuse elles sont soumises à 

deux forces qui s’équilibrent : la gravité qui entraîne leur sédimentation et les forces de 

portance et de traînée qui, à l'inverse, tendent à homogénéiser l'écoulement. Plus la vitesse est 

élevée, plus les particules sont maintenues en suspension : l'écoulement est homogène. 

Lorsque la vitesse décroît, les particules tendent à sédimenter et à s'accumuler en zone basse 

de la canalisation : l'écoulement devient hétérogène. Puis à des vitesses encore plus faibles, un 

lit mouvant de particules se forme sur le fond. Mais les particules déposées réduisent la 

section de passage et par conservation du débit, la vitesse augmente. En dessous de la "vitesse 

de dépôt", le lit formé devient stationnaire : les forces d'entraînement agissant sur le lit sont 

inférieures aux forces de gravité s'opposant au mouvement du lit. Les valeurs des vitesses 

séparant les différents régimes d’écoulement dépendent de la concentration en particules. 

Les quatre régimes d’écoulement sont représentés sur la Figure 1. 13. 

57


Figure 1. 13 : Représentation des pertes de pression pour les différents régimes d’écoulement 

Corrélations 

L'étude du transport de suspensions dans des conduites circulaires est un sujet qui possède une 

littérature extensive. Turian et Yuan (1977) ont regroupé les travaux les plus pertinents et, à 

partir de l'ensemble des résultats théoriques, ils ont construit de nouvelles corrélations. 

Les délimitations des différents régimes indiquées sur la courbe de la 

Figure 1. 13 sont qualitatives et constituent une description incomplète des variations des 

régimes. En effet, leur frontière n'est pas bien définie. La précision des résultats 

expérimentaux ne permet pas de mieux les redéfinir. Il est cependant évident que les forces 

qui affectent l'écoulement jouent un rôle différent suivant les régimes. Turian et Yuan ont 

donc cherché des corrélations propres à chaque régime. A partir d'une analyse dimensionnelle 

ils ont trouvé que le nombre de Reynolds basé sur la vitesse et sur le diamètre de la conduite 

et le nombre de Reynolds basé sur la vitesse de sédimentation et sur le diamètre des particules 

sont des variables pertinentes. Ils les ont introduites dans leurs corrélations par l'intermédiaire 

des coefficients de friction (f f et C D ). Le nombre de Froude intervient également de manière 

U 

importante dans un écoulement chargé en particules: ( Fr = 

2R 

0 g s 

2−1) 

( ) 

avec s la densité 

relative). Il donne une mesure relative des forces inertielles sur les forces gravitationnelles. 

Ainsi, ils ont trouvé une première équation empirique : 

f 

α β γ δ 

s 

− f 

f 

= Kcv 

f 

f 

CD 

Fr 

(1-14) 

f s et f f sont les coefficients de frottement du coulis et du fluide porteur pur à la même vitesse 

d'écoulement. 

58


Le coefficient de traînée C D pour des sphères qui sédimentent à la vitesse terminale de chute 

U 

g 

dans un liquide au repos est donné par : 

C 

D 

4 gd 

p 

3 U 

( s−1) 

= (1-15) 

2 

g 

Les constantes K, α, β, γ et δ sont déterminées pour chaque régime à partir des résultats 

expérimentaux et sur des critères de continuité entre les différents régimes. La forme finale 

des corrélations est alors : 

− pour un lit stationnaire (régime 0) : 

f 

− 

f 

= 0,4 c 

0,74 

v 

f 

0,77 

f 

C 

−0,4 

D 

Fr 

−1,1 

f 

(1-16) 

− pour un lit mouvant (régime 1) : 

f 

− 

f 

−0,42 

−1,35 

f 

= 0,98 cv 

f 

f 

CD 

Fr 

(1-17) 

− pour un écoulement hétérogène (régime2) : 

f 

− 

f 

= 0,55 c 

0,87 

v 

f 

1,2 

f 

C 

−0,17 

D 

Fr 

−0,69 

f 

(1-18) 

− pour un écoulement homogène (régime 3) : 

f 

− 

f 

= 0,84 c 

0,5 

v 

f 

1,43 

f 

C 

0,15 

D 

Fr 

−0,35 

f 

(1-19) 

La variation des coefficients suivant les régimes montre le rôle joué par chaque groupe de 

variables. Par exemple, l'exposant du nombre de Froude suggère que les forces 

gravitationnelles deviennent moins importantes à l'approche du régime homogène. 

Turian et Yuan ont également déterminé un "nombre du régime" qui permet de délimiter 

chaque régime : 

01 

= 

31,93 c 

1,08 

v 

Fr 

R (1-20) 

12 

= 

2,41 c 

0,23 

v 

f 

f 

1,06 

f 

Fr 

−0,23 

f 

C 

C 

−0,06 

D 

R (1-21) 

23 

= 

0,29 c 

1,07 

v 

−0,67 

f 

La transition entre les régimes se fait lorsque R i (i+1) =1. 

f 

Fr 

C 

−0,38 

D 

R (1-22) 

−0,94 

D 

59


Les courbes issues de ces corrélations sont représentées sur les courbes de la Figure 1. 14 

pour différentes conditions opératoires et sont comparées à des corrélations proposées par 

d'autres auteurs. Elles donnent l’évolution du gradient de pression adimensionnel, i (exprimé 

en mètre d'eau par mètre de conduite), en fonction de la vitesse. 

a) c v =11,7 % b) c v =15,5 % 

Figure 1. 14 : Perte de pression (i=∆P/L) dans un écoulement de coulis - comparaison de corrélations 

ρ f =100 kg/m 3 , ρ p =1240 kg/m 3 , d p =3 mm, R 0 =25 mm 

(extrait de Doron et al. - 1987) 

Il est intéressant de remarquer que ce sont les corrélations de Turian et Yuan et le modèle 

théorique double couche de Doron et al. (1987) qui se rapprochent le plus des valeurs 

expérimentales. Par contre toutes les corrélations présentent les mêmes tendances. La 

comparaison des figures a) et b) (1. 14) montre une augmentation de la perte de pression avec 

la concentration en particules alors que la vitesse critique qui a lieu lorsque ∆P est minimum, 

est indépendante de ce paramètre. La prédiction des coefficients de frottement est meilleure 

au fur et à mesure que l'écoulement devient homogène. Ceci vient principalement du fait que 

les valeurs expérimentales sont moins reproductibles pour des écoulements avec formation de 

lit. La prédiction s'améliore également avec la concentration. 

Modèle triple couche 

Les courbes de la Figure 1. 14 mettent en évidence que les données des pertes de pression 

obtenues par les différentes corrélations divergent à faibles vitesses. Effectivement les 

différents modèles sont incapables de prédire précisément l’existence d’un lit stationnaire à 

faibles débits. Il existe une gamme de vitesses où la partie supérieure du lit est en mouvement 

60


alors que la partie inférieure est au repos : les particules du fond restent collées entre elles et 

ne sont pas entraînées par le lit mouvant. 

Doron et Barnéa (1993) proposent un modèle où pour une certaine gamme de vitesses, 

l'écoulement se stratifie en trois couches dans la canalisation : un lit stationnaire au fond, un 

lit mouvant au-dessus et une suspension hétérogène dans la partie haute. Leur théorie se base 

sur les équations de conservation de la matière, sur un bilan de forces et sur l'équation de 

diffusion au niveau de l'interface de chacune des trois couches. Dans la partie haute de 

l'écoulement, où la suspension est hétérogène, le fluide est soumis à des forces de cisaillement 

aux parois et à l'interface des deux couches. Dans la partie intermédiaire de la conduite, le lit 

mouvant de particules exerce des forces de frottement avec la paroi latérale et avec le lit 

stationnaire. Dans la partie basse, l’existence du lit stationnaire dépend de la vitesse critique 

de réentrainement. Pour qu’il n’y ait pas glissement du lit, le gradient de pression et les 

cisaillements à l’interface des deux lits doivent être inférieurs aux forces de frottement au 

paroi. Au niveau des interfaces, les particules migrent par diffusion vers les zones de plus 

faibles concentrations. A partir de ces bilans, six équations décrivent la situation de 

l'écoulement et permettent d'obtenir une courbe théorique du gradient de pression 

adimensionnel, i, en fonction de la vitesse (Figure 1. 15). 

Figure 1. 15 : Perte de pression en fonction de la vitesse : effet de la concentration 

Comparaison des résultats du modèle avec des résultats expérimentaux 

ρ f =1000 kg/m 3 , ρ p =1240 kg/m 3 , d p =3 mm, R 0 =25 mm 

_____ modèle théorique des trois couches 

___.___ frontière entre un écoulement avec un lit stationnaire et un lit en mouvement 

(extrait de Doron et Barnea 1993) 

61


Le modèle triple couche permet de mieux prédire l’allure de l’écoulement aux faibles vitesses 

et ainsi les calculs des pertes de pression sont plus en accord avec les résultats expérimentaux. 

• Pour ρ p < ρ f 

Synthèse des résultats expérimentaux 

Les relations proposées pour les suspensions où ρ p > ρ f , considèrent un terme positif de 

différence entre les masses volumiques du solide et du liquide élevé à une certaine puissance 

suivant les régimes (ce terme intervient dans le nombre de Froude). Lorsque la masse 

volumique des particules est inférieure à celle du fluide porteur, cette différence devient 

négative et l’utilisation des relations empiriques devient impossible. 

La synthèse des résultats expérimentaux obtenu par de nombreux auteurs sur des coulis de 

glace a été réalisée par Bel (1996). Il est arrivé aux conclusions suivantes : 

− la vitesse de l’écoulement a une forte influence sur le comportement du mélange. 

Aux faibles vitesses, plusieurs auteurs ont observé une agrégation des particules 

solides en partie haute du tube. La conséquence de ce phénomène est 

l’augmentation du coefficient de perte de pression par frottement lors de la 

diminution de la vitesse . Pour les vitesses élevées (> 1 m.s -1 ), le coefficient de 

perte de pression par frottement est presque constant et proche de celui de l’eau 

pure à la même vitesse car les particules forment une masse au centre de 

l’écoulement ; 

− la taille et la concentration en particules solides sont généralement des paramètres 

importants. Pour une même concentration, les mélanges constitués de particules de 

faibles diamètres présentent un coefficient de perte de pression inférieur à ceux de 

forts diamètres. La perte de pression augmente si la fraction solide augmente. Une 

seule équipe de recherche a constaté des réductions significatives de la perte de 

pression lors de l’augmentation de la fraction solide. La fraction solide à partir de 

laquelle la perte de pression augmente brutalement semble liée à la vitesse. 

L’augmentation se produit pour des fractions d’autant plus élevées que la vitesse 

est forte ; 

− les valeurs des pertes de pression sont toujours trouvées supérieures à celle de l’eau 

pure. 

62


Corrélation 

De nombreux auteurs ont étudié les pertes de pression des coulis de glace mais très peu 

proposent des corrélations. Snoek et al., cités par Bel (1994), à partir de leurs valeurs 

expérimentales, proposent une corrélation pour le facteur de frottement du mélange 

diphasique f s en fonction de celui de l’eau, f eau , du nombre de Reynolds du mélange, du rayon 

du tube R 0 et de la fraction massique en glace c m : 

f 

2,15 0,24 

0,40 −0,28 

( 1+ 

0,112 c Re + 0,02 c ) 

= f 

R 

s eau 

m 

m 0 

(1-23) 

Les résultats expérimentaux relatifs aux pertes de pression sont ainsi prédits avec une 

incertitude de ±10 %. 

• Remarque 

Doron et al. (1987) dans leurs travaux font une remarque intéressante sur les performances du 

transport hydraulique de particules. Au lieu de raisonner exclusivement sur les pertes de 

pression, ils proposent de représenter l'énergie consommée par unité de masse de particules 

solides transportées et par unité de longueur (E) en fonction du flux massique en particules 

( M 

p 

). Cette représentation est plus pratique dans la détermination des coûts opératoires. La 

Figure 1. 16 met en évidence qu'il est plus intéressant, si on raisonne en énergie à fournir, de 

transporter des coulis fortement chargés. 

Mp (T/jour) 

Figure 1. 16 : Effet de la concentration en particules sur la consommation d'énergie 

ρ p =1240 kg/m 3 , R 0 =25 mm, d p =3 mm 

(extrait de Doron et al. - 1987) 

63


Lorsque la concentration augmente, le flux massique de particules augmente plus vite que les 

pertes de pression et le flux du fluide porteur diminue. Cependant il y a d'autres facteurs à 

prendre en compte pour optimiser le transport de coulis. Les fortes concentrations entraînent 

une érosion plus importante des conduites et des problèmes de bouchons. 

 

3HUWHVGHSUHVVLRQVLQJXOLqUHV 

Les travaux concernant les pertes de charge singulières ne sont pas nombreux. Les 

écoulements secondaires dus aux singularités modifient la distribution des particules, ce qui 

rend l’écoulement complexe. 

Dans le cas des coudes, les pertes de pression dépendent du diamètre des conduites, de la 

vitesse d'écoulement, du rayon et de l'angle de courbure du coude, de la densité des différents 

milieux... Les résultats expérimentaux sur les écoulements diphasiques de particules 

polydispersées sont rares et pas forcément concordants. 

Mukhtar et al. (1995) ont étudié les pertes de pression singulières dans un coude à 90° pour 

des suspensions hétérogènes polydispersées avec des concentrations comprises entre 10 et 40 

%. Malheureusement, les particules étudiées sont petites (< 75 µm) et ont une densité élevée 

(2,6 et 4,2 kg/L). Cependant quelques résultats de leurs travaux sont intéressants : 

− dans un coude, les pertes de pression sont moins importantes pour un fluide chargé 

en particules que pour de l'eau pure. Cette réduction est attribuée aux particules qui 

réduisent les effets des courants secondaires dans les coudes ; 

− ils ont mesuré, pour un même coulis, des pertes de pression plus faibles dans un 

coude que dans un tube droit de même longueur pour des vitesses d'écoulement 

inférieures à la vitesse critique de sédimentation (1 à 1,2 m/s). La présence des 

courants secondaires dans le coude permet d'homogénéiser la suspension qui 

sédimente dans les longueurs droites ; 

− lorsque la vitesse d'écoulement est de 0,5 m/s supérieure à la vitesse de 

sédimentation, ils ont remarqué que les pertes de pression ne dépendent plus de la 

concentration, ni de la vitesse d'écoulement. La distribution des particules par les 

courants secondaires est inhibée par les fortes interactions des particules entre elles. 

Par conséquent, les particules ne peuvent pas être distribuées de manière plus 

homogène dans le coude ; 

− la masse volumique des particules ne semble pas non plus jouer un grand rôle sur 

les pertes de pression. 

64


Cependant, ces résultats ne sont pas en accord avec ceux de Ogihara et Miyazawa. (cités par 

Bel) ou Bel (thèse - 1996). Ogihara et Miyazawa. ont mené une étude expérimentale sur les 

lois de pertes de charge dans un élargissement brusque et un coude à 90° avec un mélange 

d’eau et de particules de bentonite dont les caractéristiques sont celles d’un fluide plastique de 

type Bingham. Les concentrations en poids varient de 6 à 11 % et les vitesses s’échelonnent 

entre 0,01 et 2 m.s -1 . Le coefficient de perte de charge du mélange devient 11 fois et 8 fois 

plus grand que celui de l’eau pour l’élargissement brusque et le coude à 90° respectivement. 

Cette augmentation est attribuée à la rupture du régime d’écoulement de type piston dans ces 

singularités. 

Bel (1996) a réalisé des mesures de pertes de pression sur un coulis de glace (mélange eauéthanol 

(10 % masse)-glace) ayant des fractions massiques en glace variant entre 0 et 33 % 

dans une vanne quart de tour à boisseau sphérique et un coude à 90°. Dans une vanne, les 

pertes de pression augmentent faiblement avec la concentration. Le coefficient de perte de 

pression du mélange diphasique est toujours supérieur à celui de l’eau. Leur rapport varie 

entre 1,3 et 4 lorsque la vitesse décroît. Dans le cas d’un coude à 90°, le rapport des 

coefficients de perte de pression monte jusqu’à 5 pour les faibles vitesses (0,2 m.s -1 ) et les 

fortes concentration (25 %). Pour les vitesses plus élevées les deux coefficients tendent à se 

rejoindre. 

La différence fondamentale entre les deux résultats vient de la densité relative des particules. 

Dans le cas où ρ p > ρ f , l’inertie des particules au niveau des singularités casse la turbulence 

provoquée par les écoulements secondaires, permettant une diminution des pertes de pression. 

Dans l’autre cas, ce sont les écoulements secondaires qui déstructurent l’arrangement des 

particules, cassent l’écoulement piston et entraînent une augmentation des frottements des 

particules sur les parois. 

 

'LPLQXWLRQGHVSHUWHVGHSUHVVLRQ 

• Suspension polydispersée 

L’écoulement dans une conduite verticale, de particules polydispersées de même masse 

volumique que le fluide porteur, s'ordonne de la manière suivante : les grosses particules vont 

au centre de la conduite tandis que les petites restent près des parois car plus elles sont 

grosses, plus elles sont soumises aux contraintes de cisaillement qui tendent à les éloigner des 

parois. Ce type de suspension peut transporter plus de particules qu'une suspension 

monodispersée pour une perte de pression donnée puisque les résistances à l'écoulement dans 

la conduite dépendent du comportement des petites particules situées près des parois. Les 

65


travaux expérimentaux de Inaba (1997) montrent qu'il existe une perte de pression minimum 

pour un certain rapport de petites particules sur les grosses (Figure 1. 17). 

Petits cristaux de glace 

Mélange 

Gros cristaux de glace 

Gradient de pression (∆P/L) 

FC 

% petits cristaux de glace 

Facteur de compacité FC 

100 % % gros cristaux de glace 0 

0 100 % 

Rapport de mélange 

Figure 1. 17 : Relation entre les pertes de pression, le facteur de compacité (FC) et le 

rapport de mélange des petites particules sur les grosses (Inaba-1997) 

• Ajout d’un tensio-actif 

Pour réduire les coefficients de frottement lors du transport de particules dans une conduite, 

certains auteurs ont étudié l'influence de tensio-actifs sur les pertes de pression. Imanari et al. 

(1997) ont, dans un premier temps, regardé leur rôle sur de l'eau sans particule. Les molécules 

de tensio-actifs forment des micelles qui, à faible concentration, se présentent sous forme 

sphérique et, à plus forte concentration, sous forme de filaments. Ces filaments ont la 

particularité de réduire la turbulence : ils interagissent avec les tourbillons turbulents. Deux 

hypothèses expliquent cette réduction : soit les filaments interagissent dans la sous couche 

visqueuse et l'amincissent, soit en se déformant ils absorbent l'énergie turbulente. La présence 

de ces filaments permet d'avoir un comportement laminaire à des vitesses plus élevées et donc 

des pertes de pression plus faibles. Cependant, les structures finissent par se casser si les 

vitesses deviennent trop importantes et l'écoulement redevient turbulent. Dans un deuxième 

temps, ils ont rajouté à ce mélange, différentes concentrations volumiques en particules. 

L'effet "laminarisant" des tensio-actifs est conservé et entraîne une diminution du coefficient 

de frottement dans la zone de transition entre le régime laminaire et turbulent. Cette 

66


explication est confirmée par les résultats de Yamagishi et al. (1996) qui observent les mêmes 

tendances dans la zone de transition de régime hydraulique. Cependant, ils attribuent une 

qualité supplémentaire aux tensio-actifs : ils ont une forte influence sur le degré d'interactions 

des particules avec le fluide. Ils limitent la formation d'agrégats et réduisent la viscosité 

apparente. Ainsi, leur sorbet, qui avait un comportement non-newtonien, devient newtonien 

en présence de tensio-actifs. 

A titre d'exemple pour montrer l'efficacité des tensio-actifs, voici les résultats obtenus par 

Imanari et al. (1997). Ils ont étudié l'influence d'une solution de chlorure de cetyltrimethyl 

d'ammoniac et de salicylate de sodium, concentrée à 200 ppm et 500 ppm, sur les pertes de 

pression d'un écoulement d'eau chargée en particules de 500 µm dans un cylindre horizontal. 

Ils ont obtenu les résultats suivants : 

− même à des concentrations volumiques en particules de 12 %, les pertes de pression 

d'une suspension avec des tensio-actifs ne sont plus que 25 à 50 % de celles de 

l'écoulement de l'eau pure grâce à la chute du coefficient de frottement ; 

− la diminution maximale du coefficient de frottement est obtenue pour une valeur 

particulière de la vitesse. 

Cependant, puisque les tensio-actifs réduisent les pertes de pression en diminuant la 

turbulence, les échanges de chaleur sont également diminués. Or, dans le cadre d'un 

échangeur, c'est plutôt une augmentation des transferts qui est recherchée. 

1.2.3. Conclusion 

Comme dans le cas d’un fluide pur, les pertes de pression d'un fluide chargé en particules ne 

dépendent pas seulement de la concentration mais également du régime d'écoulement. 

L’énergie transportée par la suspension est proportionnelle à la concentration en particules. 

Cependant, l'augmentation de la perte de pression due à la charge en particules demande une 

puissance de pompage plus élevée et un régime d'écoulement turbulent est nécessaire à 

l'amélioration des coefficients d'échange de chaleur. Il est donc important de choisir la 

meilleure concentration en particules conduisant à un compromis entre ces impératifs pour 

utiliser les fluides diphasiques dans le transport du froid. 

67


1.3. Comportement thermique 

1.3.1. Comportement au cours du refroidissement 

 

&DVLGpDO 

Un refroidissement se passe dans des conditions idéales lorsque les particules congèlent à la 

température de congélation du MCP et qu’il n’y a pas de surfusion. Dans ces conditions, le 

thermogramme de congélation se divise en trois parties, comme le montre la Figure 1. 18. 

T 

Ti 

T c 

Refroidissement 

Changement de 

phase 

Refroidissement 

Paroi froide 

Sens de l’écoulement 

Figure 1. 18 : Thermogramme de congélation d’une suspension dans le cas idéal 

La suspension rentre dans l’échangeur à une température T i , supérieure à la température de 

changement de phase T c . Elle se refroidit jusqu’à atteindre T c . A cette température, les 

particules changent de phase : tout le froid apporté par l’échangeur sert à les congeler. La 

température reste constante durant la congélation de toutes les particules. Ensuite, la 

température de la suspension recommence à chuter. 

 

&ULVWDOOLVDWLRQHWIXVLRQDXVHLQGHVSDUWLFXOHV 

• Description de la surfusion 

Lorsqu'un liquide est refroidi, il ne cristallise pas en général à sa température de congélation 

mais il commence à cristalliser à une température plus basse. Dans le cas où le fluide est 

encapsulé, plus la taille de la capsule est faible, plus le phénomène de surfusion est important. 

Lors de la fusion, le phénomène inverse est observé, mais de manière moins marquée. Les 

nombreux travaux de différents auteurs sur l'étude de la cristallisation ont montré le caractère 

68


stochastique des ruptures de surfusion. Des échantillons identiques ne cristallisent pas 

forcément au même instant et à la même température. De plus, un échantillon ne cristallise 

pas forcément à la même température à chaque refroidissement. Les liquides ne sont pas 

parfaitement désordonnés. Les molécules, toujours en mouvement, peuvent s'associer pour 

former des germes de nucléation ayant une structure très proche du cristal apparaissant à la 

cristallisation. Ces germes se font et se défont de manière aléatoire. La cristallisation n'est 

alors possible que lorsque le germe a une taille suffisante. L'agitation moléculaire décroît avec 

la température, donc plus on descend en dessous de la température de fusion plus les germes 

ont tendance à grossir. Par contre, une fois que la germination a débuté, le reste de la 

cristallisation se fait à la température de fusion (il y a rupture de surfusion) : il y a une 

remontée brusque de la température de la particule. Le thermogramme de Bedecarrats et 

Dumas (1996) obtenu en congelant des nodules de 77 mm remplis d’eau, représenté Figure 1. 

19, montre bien l’ensemble de ces phénomènes. 

Figure 1. 19 : Températures externes de plusieurs nodules au cours d'une stabilisation à - 2,5 °C 

(extrait de Bedecarrats et Dumas-1996) 

Dans des gros nodules, comme étudié par Bedecarrats et Dumas, la cristallisation commence 

sur la paroi interne où la température est la plus faible et se propage concentriquement par 

conduction dans la glace. Par contre, dans des nodules plus petits [5 à 1000 µm], comme 

étudié par Yamagishi et al. (1996), contenant de la paraffine (n-Tetradécane et n-Dodécane), 

la cristallisation se fait suivant deux procédés de nucléation : soit les germes se forment au 

sein du liquide (nucléation homogène), soit à l'interface des substances solides (nucléation 

hétérogène). La nucléation hétérogène a lieu à une température plus élevée que la nucléation 

homogène. En raison de ces deux nucléations à des températures différentes, deux pics sont 

69


observés sur le thermogramme de congélation (Figure 1. 20). Par contre, pendant la fusion, un 

seul mécanisme de nucléation a lieu, ainsi un seul pic apparaît sur le thermogramme. 

400 

MCP : n-Tetradecane 

vitesse de descente en température 1 °C/min 

300 

200 

DSC (µcal/mg/s) 

-11 -9 -7 -5 -3 -1 1 

Température (°C) 

Figure 1. 20 : Thermogramme de descente en température de n-tétradécane encapsulé 

Taille des micro-capsules : 106 à 125 µm - Paroi des micro-capsules : gélatine 

(extrait de Yamaghishi et al. (1996) 

• Paramètres jouant sur la surfusion 

L'ensemble des travaux réalisés sur des microcapsules en suspension aboutissent aux mêmes 

conclusions : 

− la durée des cristallisations diminue avec la température de stabilisation et le nombre 

de microcapsules ; 

− le degré de surfusion diminue avec l'augmentation du diamètre de la microcapsule: 

plus elle est grosse, plus elle contient de MCP et plus il y a de chance qu'un germe 

nucléant apparaisse pour initier la cristallisation. 

Cependant, Yamagishi et al. (1996) n'observent ce phénomène que pour des microcapsules 

ayant un diamètre inférieur à 100 µm. Pour des microcapsules comprises entre 100 µm et 

1000 µm, le degré de surfusion est indépendant du diamètre. Les structures poreuses (gel 

organique) étudiées par Royon et al. (1995) présentent de la surfusion pour des diamètres 

inférieurs à 300 µm. En fonction des microcapsules utilisées, il existe un diamètre seuil au 

dessus duquel le phénomène de surfusion peut être évité. Une autre solution pour éviter la 

surfusion est d'ensemencer des agents nucléants, ayant des cristaux de mêmes structures que 

le fluide changeant de phase, pour accélérer les nucléations. Yamagishi et al. ont utilisé du 1- 

Tetradécanol comme agent nucléant pour le n-Tetradécane. Ainsi, il n'y a plus de surfusion. 

70


Chen et Chen (1999) ont étudié la surfusion de l'eau dans des capsules cylindriques de grosses 

tailles (diamètre équivalent compris entre 3,3 et 12,4 cm). Ils ont étudié les effets de la taille 

des capsules, de la température du milieu suspendant, de la quantité et de la nature des agents 

nucléants sur le processus de nucléation au sein des capsules. Leurs résultats montrent que les 

plus grosses capsules ont une température de nucléation plus haute. L'ajout d'agents nucléants 

réduit la surfusion. L'efficacité d'un agent nucléant dépend de sa micro-surface, de ses 

caractéristiques chimiques et de la structure de son cristal moléculaire. La nucléation est aussi 

affectée par la surface de la paroi de la capsule : plus elle est rugueuse, plus les germes 

nucléants ont de facilité à se former et se stabiliser. La probabilité de nucléation augmente 

avec la concentration massique dans la solution d'agent nucléant jusqu'à une concentration de 

1 %. Au-delà, l'ajout d'agent nucléant n'apporte plus d'amélioration. Parmi les quatre agents 

nucléants testés (l'iodure d'argent, l'iodure de plomb, le sable et la poussière de boue), l'iodure 

d'argent est l'agent le plus efficace. Néanmoins, ils recommandent plutôt l'utilisation du sable 

qui présente un meilleur compromis entre l'efficacité et le coût de revient. L'ajout d'un agent 

nucléant peut permettre aussi de jouer sur la masse volumique des capsules afin de se 

rapprocher de celle du fluide porteur. Cependant, Royon (1992) a remarqué que l'iodure 

d'argent a bien un effet nucléant sur l'eau sur les deux premiers cycles thermiques, mais que 

cet effet nucléant a tendance à disparaître rapidement après quelques cycles supplémentaires. 

1.3.2. Propriétés physiques 

 

3URSULpWpVGHVFRUSVSXUV 

Les fonctions citées ci-dessous sont issues de : 

− Dow Corning pour les propriétés de l’huile Syltherm HF ; 

− Bel (1996) pour l’eau et la glace ; 

− IIF (1997) pour l’eau. 

• Masse volumique 

Sur une gamme de température réduite, la masse volumique (kg.m -3 ) d’un corps pur peut 

s’approcher de façon classique par une fonction linéaire (T en °C) : 

− pour l’huile Syltherm HF : ρ (T) = 892 – T pour T ∈ [-30 ;+20] ; 

− pour la glace : ρ (T) = 917 (1 + 1,73.10 -4 × T ) pour T ∈ [-30 ;0] ; 

Sauf pour l’eau, où c’est une fonction polynomiale d’ordre 2 : 

− ρ (T) = 999,9 + 0,0315 × T – 0,0057 × T 2 pour T ∈ [0 ;+20]. 

71


• Capacité thermique massique 

Un ajustement linéaire de la capacité thermique massique (J.kg -1 .K -1 ) en fonction de la 

température est en général suffisant (T en °C) : 

− pour l’huile Syltherm HF : Cp(T) = 1633 + 2,463 × T pour T ∈ [-30 ;+20] ; 

− pour la glace : Cp(T) = 2116 – 0,78.10 -2 × T pour T ∈ [-30 ;0] ; 

− pour le gel organique : Cp = 3900 J.kg -1 .K -1 pour T ∈ [+2 ;+12] ; 

Cp = 160 × T + 2480 pour T ∈ [-10 ;-2] 

(valeurs trouvées par Royon, 1992) ; 

Sauf pour l’eau, où c’est une fonction polynomiale d’ordre 2 : 

− Cp (T) = 4217 - 3,25 × T + 0,075 × T 2 pour T ∈ [0 ;+20]. 

• Conductivité thermique 

La conductivité thermique (W.m -1 .K -1 ) des liquides des corps purs peut encore s’approcher 

par un ajustement linéaire sur une gamme de température restreinte (T en °C) : 

− pour l’huile Syltherm HF : k (T) = 0,112 – 0,0002 × T avec T ∈ [-30 ;+20] ; 

− pour l’eau : k (T) = 0,562 + 0,0018 × T avec T ∈ [0 ;+20]. 

Pour la glace on peut reprendre l’expression citée par Bel (1996) : 

− k (T) = 2,24 + 5,975.10 -3 × (-T ) 1,156 avec T ∈ [-30 ;0] ; 

Pour le gel organique, les résultats trouvés par Royon (1992) sont : 

− k = 0,507 W.m -1 .K -1 pour T ∈ [+3 ;+20] ; 

− k = -0,126 × T + 0,36 pour T ∈ [-10 ;-2]. 

 

3URSULpWpVGHODVXVSHQVLRQ 

Les propriétés physiques de la suspension (indice s) dépendent du fluide porteur (indice f), 

des particules (indice p) mais également de l’écoulement qui conditionne l’interaction des 

particules sur le fluide. 

• Masse volumique 

A partir d’un simple bilan de masse, la masse volumique de la suspension est : 

ρ s = c v ρ p +(1-c v ) ρ f (1-24) 

avec c v la concentration volumique en particules. 

72


• Capacité thermique et chaleur latente de fusion 

La capacité thermique d’un matériau représente la quantité d’énergie qu’il faut lui apporter 

pour élever sa température de 1 K et la chaleur latente de fusion la quantité d’énergie pour 

qu’il passe de l’état solide à l’état liquide. Ces énergies sont restituées lorsque le matériau 

baisse en température ou lorsqu’il passe de l’état solide à l’état liquide. La densité d’énergie 

stockable par chaleur latente est très importante devant celle stockée en utilisant seulement la 

capacité thermique du matériau et une élévation en température de 1 K. 

Dans le cas d’une suspension, la capacité thermique dépend de celles des particules et du 

fluide porteur. En réalisant un bilan d'énergie, on trouve une capacité thermique pour la 

suspension égale à : 

Cp 

s 

c ρ Cp + ( 1 − c )ρ Cp 

v p p v f f 

= (1-25) 

ρ 

s 

La chaleur latente d’un matériau est mesurée par analyse enthalpique différentielle à l’aide 

d’un calorimètre. Dans le cas du gel organique rempli d’eau, Royon et al. (1996) ont réalisé 

cette étude calorimétrique et ont mesuré une chaleur latente de 292 kJ.kg -1 (contre 334 kJ.kg -1 

pour l’eau). 

Lors du changement de phase des particules, il est évident que la chaleur latente dégagée ou 

absorbée est proportionnelle à la concentration massique en particules dans la suspension. 

• Conductivité thermique 

Au repos 

La conductivité thermique pour une suspension au repos est évaluée par la relation de 

Maxwell (1954). Elle est valide pour une suspension de particules sphériques concentrée au 

moins à 22 % : 

k 

k 

s 

f 

k p 

2 + 

k f 

= 

k 

2 + 

k 

p 

f 

⎛ k p 

+ 2c 

⎜ 

v 

⎝ 

k f 

⎛ k p 

− c ⎜ 

v 

⎝ 

k f 

⎞ 

−1⎟ 

⎠ 

⎞ 

− 1⎟ 

⎠ 

(1-26) 

En écoulement laminaire 

Les particules dans un écoulement cisaillé sont en rotation sur elles-mêmes. Leur rotation est 

proportionnelle au taux de cisaillement (τ = ∂ u 

) et à leur diamètre. Le fluide autour de la 

∂y 73


particule est entraîné par cette rotation et crée des tourbillons qui sont à l'origine d’effets 

micro-convectifs. L’influence des effets micro-convectifs sur la conductivité globale est 

caractérisée par une grandeur adimensionnelle : le nombre de Péclet des particules, τd 2 p /α f , 

avec α f , la diffusivité thermique du fluide porteur. Pour des nombres de Péclet suffisamment 

élevés, les effets micro-convectifs représentent un mécanisme de transport supplémentaire qui 

s'additionne au transport moléculaire entraînant une augmentation de la conductivité 

apparente, k sa . 

Leal (1973), cité par Charunyakorn et al. (1990), a analysé l'augmentation de la conductivité 

pour une suspension diluée (l’interaction des particules entre elles est négligeable) pour des 

nombres de Péclet faibles (Pe < 0,67) en considérant que les procédés de diffusion dans 

l'écoulement sont la combinaison des effets de diffusion moléculaire et des effets de microconvection. 

Il a obtenu la relation suivante qui est valable lorsque les conductivités des 

particules et du fluide sont égales. 

k 

k 

sa 

f 

1,5 

1 + 3c 

v Pe p 

= avec 

Pe 

p 

2 

τd 

p 

= (1-27) 

α f 

Nir et Acrivos (1976), cités par Charunyakorn et al. (1990), ont utilisé un modèle similaire 

pour étudier l’écoulement de suspensions diluées à des nombres de Péclet élevés (Pe > 250) et 

ont obtenu la relation suivante : 

k 

k 

sa 

f 

1 11 

= 1 + Acv 

Pe p 

² (1-28) 

où A est une constante déterminée expérimentalement. 

A partir des résultats expérimentaux de Sohn et Chen (1981), Charunyakorn et al. (1991) ont 

déduit une corrélation, lorsque les effets de paroi sont négligeables, pour des nombres de 

Péclet modérés, de la forme : 

k 

k 

sa 

0,18 

= 1 + 1,8 cv 

Pe p 

(1-29) 

s 

avec k s la conductivité de la suspension au repos. De ces mêmes résultats, pour avoir une 

continuité de la conductivité à Pe = 250, Charunyakorn et al. déduisent une valeur de 3 pour 

A pour la relation de Nir et Acrivos. Cependant, ils utilisent les résultats de Sohn et Chen 

alors que ces derniers restent plus généraux dans leur interprétation. Aux faibles nombres de 

Péclet, ils constatent que l’augmentation de la conductivité est modeste : les effets microconvectifs 

semblent n’être qu’une perturbation aux transports moléculaires. Aux nombres de 

74


Péclet élevés, la conductivité apparente est plusieurs fois supérieure, indiquant que les effets 

micro-convectifs dominent le transport. A ce régime, les mesures expérimentales approchent 

une loi en puissance de la forme : 

k 

k 

sa 

s 

1 

( c , ) 2 

v Pe p 

= f 

pour Pe p > 300 (1-30) 

Nir et Acrivos ne proposent pas de relations plus complètes à partir de leurs résultats car la 

disparité entre les différents auteurs met en évidence l’importance des conditions 

expérimentales (nature des suspensions, taille des particules, conditions opératoires,…) sur 

l’allure des courbes. 

Pour avoir une approche plus locale du phénomène, Sohn et Chen (1984) ont relié 

directement la conductivité au taux de cisaillement. Le taux de cisaillement étant plus fort à 

proximité des parois, la conductivité est une fonction de la position du fluide dans la conduite. 

Le modèle établi pour représenter la dépendance de la conductivité avec le taux de 

cisaillement, est illustré sur la Figure 1. 21 et répond aux équations suivantes : 

k sa = k s 

pour τ < τ t (1-31) 

⎛ ⎞ 

k sa k s 

⎜ 

τ 

= ⎟ 

⎝τ 

t ⎠ 

n 

pour τ ≥ τ t (1-32) 

où τ t est le taux de cisaillement critique au-dessus duquel il y a augmentation de la 

conductivité, k s , la conductivité de la suspension au repos et n un exposant. Ces trois 

paramètres sont déterminés expérimentalement. 

y 

y t 

ln k sa 

ln τ 

0 x 

τ t 

u 

τ 

k s 

k sa 

2 b 

k s 

n 

Figure 1. 21 : Illustration schématique de la variation de la conductivité avec le taux de cisaillement 

Pour une distribution parabolique des vitesses, la conductivité est proportionnelle à y et 

s'exprime sous la forme suivante : 

τ t 

75


k 

k 

w 

n 

⎛ y ⎞ 

= ⎜ ⎟ pour y ≥ y t (1-33) 

⎝ b ⎠ 

k 

k 

w 

n 

⎛ y ⎞ 

t k s 

= ⎜ ⎟ = pour y < y b 

t (1-34) 

⎝ ⎠ kw 

avec k w la conductivité à la paroi et y t la coordonnée où le taux de cisaillement atteint son 

seuil critique : 

y 

k 

t 

w 

τ b² 

t 

= (1-35) 

= k 

3U 

s 

⎛ U ⎞ 

⎜ 

3 

⎟ 

t b 

⎝τ 

⎠ 

n 

(1-36) 

avec U la vitesse moyenne. 

Cette approche est intéressante qualitativement, mais les relations proposées dépendent de 

paramètres expérimentaux difficilement déterminables, limitant leur application. 

Par ailleurs, les relations présentées ci-dessus ne prennent en compte que le phénomène de 

micro-convection alors que de nombreux phénomènes comme l'interaction 

particules/particules ou l'effet des parois influencent également la conductivité. 

Effectivement, à nombre de Péclet équivalent, Sohn et Chen (1981) remarquent une 

différence d’augmentation de la conductivité entre deux suspensions ayant la même 

concentration de particules (15 %) mais des tailles et une conductivité de particules 

différentes. Leurs résultats montrent que même si les effets micro-convectifs sont intimement 

liés au nombre de Péclet, il y a d’autres paramètres qui interviennent dans l’augmentation de 

la conductivité. 

Ahuja (1975) propose une corrélation différente basée sur des résultats expérimentaux, qui 

dépend de six paramètres : la fraction volumique des particules, c v , le nombre de Reynolds 

basé sur la vitesse de rotation w des particules, le nombre de Péclet, le diamètre hydraulique 

D h de la conduite, sa longueur L et la fréquence de collisions des particules entre elles : 

k 

k 

sa 

s 

⎡ ⎛ ρ 

f 

wd 

−1 

= C ⎢c 

⎜ 

v 

⎢ ⎜ 

f 

⎣ ⎝ 

µ 

2 

p 

⎞⎛ 

wd 

⎟⎜ 

⎟⎜ 

⎠⎝ 

α 

f 

2 

p 

⎞⎛ 

⎟⎜ 

D 

⎟ 

⎠⎝ 

d 

h 

p 

2 

⎞ ⎛ 

⎟ ⎜ 

⎠ ⎝ 

L 

d 

p 

⎞ 

⎟10 

⎠ 

−8 

⎤ 

× fréquence de collisions⎥ 

⎥ 

⎦ 

n 

(1-37) 

C est une constante, d p le diamètre des particules et n > 1 pour c v < 4,6 % 

n = 1 pour c v = 4,6 % 

n < 1 pour c v > 4,6 % 

76


Ces six paramètres contribuent à l'augmentation de la conductivité. Le nombre de Reynolds 

prend en compte l'inertie du film de fluide entraîné. Le diamètre et la longueur de la conduite 

contribuent également à l'augmentation de k sa : plus la conduite est longue et large, plus elle 

contient de particules en rotation. Les collisions tendent à diminuer l'augmentation de k sa 

puisqu'à chaque collision, la rotation du film de fluide est empêchée. De plus, certaines 

collisions entraînent la formation de doublets entraînant la diminution de la surface de contact 

entre les particules et le fluide. 

Les travaux d’Ahuja mettent en évidence que le nombre de particules qui migrent radialement 

en raison de leur inertie et très inférieur au nombre de particules en rotation. Donc la 

migration des particules n'est pas un paramètre qui intervient de manière significative dans 

l'augmentation de k sa . 

Cette relation est difficilement exploitable en raison de la difficulté à déterminer certains 

paramètres comme la fréquence de collisions et la vitesse de rotation des particules sur ellesmêmes. 

Elle reste cependant intéressante qualitativement pour mettre en évidence les 

différents mécanismes responsables de l'amélioration de la conductivité. 

1.3.3. Transfert de chaleur en régime laminaire 

 

5DSSHOVXUOHVIOXLGHVPRQRSKDVLTXHV 

Dans une conduite, dès qu’il y a un gradient de température entre la paroi (T w ) et le fluide (T) 

il se crée un transfert de chaleur qui tend à homogénéiser les températures. Le flux thermique 

peut être exprimé selon un modèle connu sous le nom de loi de Newton : 

( T ) 

ϕ = hS − T w 

(1-38) 

avec S la surface d’échange et h le coefficient de convection. On utilise plus couramment la 

grandeur adimensionnelle qui lui est associée : le nombre de Nusselt Nu qui caractérise 

l’intensité du transfert thermique. Il représente le rapport : 

résistance aux transferts par conduction 

résistance aux transferts par convection 

Il est défini comme : 

Nu 

hD 

k 

h 

= (1-39) 

avec D h le diamètre hydraulique de la canalisation et k la conductivité du fluide. Le nombre de 

Nusselt dépend principalement des propriétés du fluide et de son régime d’écoulement. 

77


Shah et London (1978) ont étudié les transferts de chaleur en convection forcée d’un fluide 

monophasique newtonien en écoulement laminaire, incompressible, aux propriétés physiques 

constantes. L’équation de la chaleur qu’ils utilisent prend en compte les sources d’énergie 

thermique, les dissipations visqueuses, la conduction axiale et le travail exercé par les forces 

de pression. Mais elle néglige la convection naturelle et les sources d’énergie issues du 

changement de phase et des réactions chimiques. Dans le cas où le fluide s’écoule entre deux 

plaques lisses, les solutions de cette équation sont présentées ci-dessous pour les conditions 

limites suivantes : densité de flux de chaleur pariétal, ϕ = constante ou T w = constante. 

• Longueur d’établissement du profil hydraulique 

Le problème du développement d’un écoulement laminaire entre deux plaques lisses a été 

résolu par de nombreux auteurs en utilisant l’équation de Navier-Stokes et des conditions 

limites appropriées. Chen (1973) propose l’équation suivante pour évaluer la longueur 

d’entrée nécessaire au fluide pour établir son profil hydraulique : 

L 

D 

hy 

h 

0,315 

0,011Re 

+ 

1 + 0,0175 Re 

= (1-40) 

Lorsque la largeur des plaques est grande devant l’écartement (2b), le diamètre hydraulique, 

D h , est équivalent à 4b. Dans nos conditions expérimentales, la vitesse d’écoulement étant très 

faible (de l’ordre de 0,05 m.s -1 ) le nombre de Reynolds est petit. L’écartement des plaques est 

de l’ordre du millimètre. Ainsi, la longueur d’établissement du profil hydraulique, L hy , est de 

l’ordre de quelques centimètres. Devant la longueur des plaques, on peut considérer que le 

profil hydraulique s’établit instantanément. 

• Ecoulement complètement développé 

Lorsque le profil hydraulique et le profil de températures sont établis, l’écoulement est dit 

complètement développé. Dans ce cas de figure, le nombre de Nusselt est constant sur la 

longueur des plaques. Les valeurs trouvées par Shah et London (1978) sont : 

− pour une température de paroi uniforme : Nu = 7,541 

− pour un flux de chaleur uniforme : Nu = 8,235 

• Ecoulement non-établi thermiquement 

La longueur de canal nécessaire à l’établissement du profil des températures lorsque la 

température de paroi est uniforme se calcule par la relation de Shah et London : 

78


L 

D 

th 

h 

= 0,00797Re Pr 

(1-41) 

et lorsque le flux est uniforme : 

avec Pr le nombre de Prandtl égal à 

L 

D 

th = (1-42) 

h 

µCp 

. 

k 

0,01154 

Re Pr 

Lorsque le profil hydraulique est établi mais pas le profil thermique, le nombre de Nusselt 

évolue le long des plaques et dépend de la longueur adimensionnelle z* : 

z* 

= 

D 

h 

z 

Re Pr 

Dans le cas où la température est uniforme aux parois, le nombre de Nusselt local trouvé par 

Shah et London est égal à : 

− 1 

( z *) + 0, 4 

Nu( z*) 

= 1,233 3 

pour z* ≤ 0,001 (1-43) 

3 −0,488 

−245 

z* 

( z *) e 

Nu( 

z*) 

= 7,541+ 

6,874 10 

pour z* > 0,001 (1-44) 

Sur la longueur totale des plaques, le nombre de Nusselt moyenné est égal à : 

− 1 

( *) 3 

Nu = 1,849 L 

pour L* ≤ 0,0005 (1-45) 

− 1 

( L *) + 0, 6 

Nu = 1,849 

3 

pour 0,0005 < L* ≤ 0,006 (1-46) 

0,235 

Nu = 7,541+ 

pour L* > 0,006 (1-47) 

L * 

avec L * la longueur adimensionnelle pour z = L. 

Dans le cas où le flux de chaleur est uniforme aux parois, le nombre de Nusselt local est égal 

à : 

− 1 

( *) 3 

Nu( 

z*) 

= 1,490 z 

pour z* ≤ 0,0002 (1-48) 

− 1 

( z *) − 0, 4 

Nu( z*) 

= 1,490 3 

pour 0,0002 < z* ≤ 0,001 (1-49) 

3 −0,506 

−164 

z* 

( z *) e 

Nu( 

z*) 

= 8,235 + 8,68 10 

pour z* > 0,001 (1-50) 

79


Le nombre de Nusselt moyenné est égal à : 

− 1 

( *) 3 

Nu = 2,236 L 

pour L* ≤ 0,001 (1-51) 

− 1 

( L *) + 0, 9 

Nu = 2,236 

3 

pour 0,001 < L* ≤ 0,01 (1-52) 

− 

( *) 1 

Nu = 8,235 + 0,0364 L 

pour L* > 0,01 (1-53) 

 

)OXLGHVGLSKDVLTXHVVDQVFKDQJHPHQWGHSKDVH 

Au paragraphe 1.3.2.2, il est montré que la conductivité est une fonction de la position par 

rapport aux parois en raison de sa dépendance avec le taux de cisaillement. Ainsi, la 

résolution de l’équation d’énergie est plus complexe que dans le cas classique de convection 

laminaire. Sohn et Chen (1984) ont résolu ces équations différentielles en utilisant la méthode 

de Runge-Kutta. Leurs résultats montrent une augmentation significative du coefficient 

d’échange entre le fluide diphasique et la paroi lorsque l’augmentation de la conductivité est 

prise en compte. Pour illustrer ces tendances, les estimations de l’augmentation de la 

conductivité et du coefficient de transfert de chaleur d’une suspension dans une conduite 

circulaire pour plusieurs combinaisons de taille de particules, de diamètre de canalisation et 

de vitesses sont montrées dans le Tableau 1-4. 

Vitesse 

(m.s -1 ) 

0,1 

1 

10 

Facteurs d’amélioration 

de la conductivité 

Facteurs d’amélioration 

du coefficient d’échange 

Diamètre des Diamètre du tube Diamètre du tube 

particules (mm) 3 mm 10 mm 3 mm 10 mm 

0,1 - - - - 

0,3 - - - - 

1 3 1,6 2,5 1,4 

0,1 - - - - 

0,3 2,8 1,6 2,4 1,3 

1 9,4 5,2 7,9 4,3 

0,1 3 1,6 2,5 1,4 

0,3 8,9 4,9 7,5 4,1 

1 30 16 25 14 

Tableau 1-4 : Facteurs d’amélioration théorique de la conductivité et du coefficient 

d’échange d’une suspension s’écoulant dans un tube (extrait de Sohn et Chen – 1984) 

Dans certaines conditions, une augmentation impressionnante est prédite. Cependant, l’étude 

de Sohn et Chen (1984) néglige certains phénomènes présents dans un écoulement chargé en 

particules. Une étude expérimentale est nécessaire pour vérifier ces prédictions. 

80


Sohn et Chen (1984) ont également réalisé une étude paramétrique à partir de lois d’échelle 

pour évaluer grossièrement le coefficient d’échange. Ils ont remplacé le taux de cisaillement, 

τ, par U/D h dans les cas de tube très long et de tube très court. Ils ont obtenu : 

− pour des tubes très longs : 

h 

k 

2 n 1−n 

−1− 

n 

( Ud ) k D 

sa w 

~ ~ p s h 

(1-54) 

Dh 

avec k sa w la conductivité de la suspension à la paroi, k s la conductivité de la suspension au 

repos (sans prendre en compte les effets micro-convectifs), U la vitesse moyenne, D h le 

diamètre hydraulique du tube et n l’exposant dans la relation de puissance entre k et τ. 

− pour des tubes très courts : 

2n 

1 

2 3 2(1 ) 

⎛ ⎞ 

−n 

k 

⎞ 3 

sa w Ud 

⎛ 

~ ~ ⎜ 

p 

⎟ 3 ⎜ U 

h k ⎟ 

s 

(1-55) 

D ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 

h 

Dh 

Dh 

⎝ 

Pour des longueurs de tube intermédiaires où le profil thermique n’est pas encore développé, 

les lois d’échelle ne s’appliquent pas. La dépendance de h par rapport à ces paramètres doit 

certainement être comprise entre ces deux cas limites. 

La difficulté d’utilisation de ce modèle est dans la détermination de la fonction k(y), soit dans 

l’évaluation expérimentale de n et de k sa w . 

⎠ 

⎝ 

⎠ 

 

)OXLGHVGLSKDVLTXHVDYHFFKDQJHPHQWGHSKDVH 

Le problème du transfert de chaleur dans le cas d'une suspension à changement de phase est 

encore plus compliqué que le cas d'une suspension sans changement de phase. Le transfert de 

chaleur convectif peut être considérablement augmenté par le changement de phase des 

particules. La distribution des températures et des vitesses dans l'écoulement, la viscosité, la 

capacité thermique massique moyenne et d'autres paramètres thermodynamiques de la 

suspension peuvent être modifiés par le changement de phase. Une approche théorique et 

expérimentale sur une suspension à changement de phase est donc difficile en raison du 

nombre de paramètres qui intervient. 

Chen et Chen (1987) ont réalisé un modèle pour calculer le transfert de chaleur d'une 

suspension à changement de phase avec une paroi plane à température constante, mais ils ont 

posé de nombreuses hypothèses restrictives. Les particules sont très fines, l'écoulement est 

laminaire, établi et la viscosité, la conductivité thermique et la capacité thermique massique 

81


de la suspension sont indépendantes du taux de cisaillement local et de la température. A 

partir de l'équation de l'énergie et des conditions aux limites de la couche de fusion, ils ont 

proposé une relation pour calculer le nombre de Nusselt local, Nu(z) : 

Nu( 

z) 

= 

⎡ 

⎢0,332 

⎢ 

⎢⎣ 

1 

− 

3 

1 

− ⎛ Ste ⎞ 

3 

3 

⎜1− 

+ ... 

⎟ 

⎝ 6cm 

⎠ 

1 

1 1 

⎤ 

⎛ µ ⎞ 2 ⎛ ⎞ 3 ⎛ ⎞ 3 

i 

kc 

Ste ⎥ 

⎜ 

⎟ 

⎜ 

⎟ 

⎜ 

⎟ 

⎝ zρ 

⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 

⎥ 

i 

U Cpc 

µ 

c 

cm 

⎥⎦ 

= 0,475Re 

1 

2 

i 

Pr 

1 

3 

i 

⎛ Ste ⎞ 

⎜ 

⎟ 

⎝ cm 

⎠ 

1 

− 

3 

⎡ Ste 

⎢1 

− 

⎣ 6cm 

⎤ 

+ ... ⎥ 

⎦ 

si µ c = µ i (1-56) 

avec l'indice i pour les propriétés physiques à l’état initial (solide, dans ce cas de figure) et 

l'indice c pour celles dans la couche de changement de phase. 

Ste est le nombre de Stefan [équation (I-57)]. 

La Figure 1. 22 aide à mieux visualiser la structure de l’écoulement modélisé. 

y 

Particules 

solides 

Profil de vitesse 

(vitesse moyenne U) 

Couche de fusion 

T i 

T c 

Profil de 

température 

z 

Plaque chaude 

Particules 

liquides 

T w 

Figure 1. 22 : Ecoulement d’une suspension à changement de phase au dessus d’une plaque chauffante. 

Une augmentation importante du coefficient de transfert de chaleur peut être obtenue si le 

fluide à changement de phase utilisé a une chaleur latente élevée et si sa fraction massique 

n'est pas trop faible. 

Pour valider leur modèle Chen et Chen (1987) ont réalisé une expérience simple. Ils trouvent 

que l'augmentation du coefficient de transfert de chaleur devient évident pour des suspensions 

à 25 % : il est 3 fois plus important que celui pour une suspension sans changement de phase. 

Cependant, en raison de la simplicité de leur protocole expérimental et des maigres résultats 

obtenus, aucune conclusion solide sur la précision de leur expression analytique ne peut être 

déduite de leur résultats expérimentaux. Cependant, l'expérience montre que le coefficient 

d'échange est amélioré rien que par le changement de phase (sans prendre en compte 

82


l'amélioration apportée par le taux de cisaillement, puisque les mesures sont faites sur une 

émulsion d'eau dans de l'huile au repos). 

,QIOXHQFHGHFHUWDLQVSDUDPqWUHVVXUOHVWUDQVIHUWVGH 

FKDOHXU 

Les paramètres importants à étudier sont le nombre de Stefan, la concentration en 

particules, le rapport du rayon de la canalisation sur celui des particules, le rapport de la 

conductivité des particules sur celle du fluide, le nombre de Péclet modifié et le degré 

d'homogénéité de la suspension. 

• Nombre de Stefan 

C'est le rapport de la chaleur sensible des particules sur leur chaleur latente, H. 

Ste 

Cp 

p 

( Tw 

−Tc 

) 

= (1-57) 

H 

Charunyakorn et al. (1990), à partir de leur modèle, ont étudié le nombre de Nusselt moyen 

et le profil de températures en différents endroits de la section d'essais. Ils ont constaté que 

le nombre de Nusselt peut être amélioré en diminuant le nombre de Stefan. 

• Concentration en particules 

Il existe un optimum en concentration de particules pour obtenir un compromis entre de 

meilleurs transferts de chaleur (une forte concentration améliore la conductivité) et des 

pertes de pression pas trop importantes (la viscosité augmente avec la concentration). 

Pour avoir de bons transferts thermiques, il faut un nombre de Stefan le plus petit possible. 

Goel et al. (1994) ont constaté expérimentalement que l'effet de la concentration, pour un 

nombre de Stefan donné, est négligeable, sauf à des concentrations très faibles. 

Effectivement, si la concentration en particules augmente, la quantité de chaleur à extraire 

pour les congeler augmente proportionnellement. 

• Rapport des rayons canalisation/particules 

D'après Charunyakorn et al., l'influence du rapport de l'espacement des plaques sur le 

rayon des particules est négligeable dans l'amélioration des transferts de chaleur. Il semble 

que ce rapport n’intervienne que dans la distribution des particules. Comme le remarque 

Sohn et Chen (1984), il existe une fine couche à proximité des parois, de l'ordre du 

diamètre des particules, dépourvue de particules. Ainsi pour des rapports de rayons 

83


importants, la distribution peut être considérée comme homogène dans les conduites, ce 

qui n’est pas le cas pour des faibles rapports. 

• Rayons des particules 

Pour une fraction massique donnée, plus les particules sont petites, plus la surface en 

contact avec le fluide porteur est importante et plus la quantité de fluide entraînée par la 

rotation des particules est conséquente. Il semble donc que des particules de petites tailles 

contribuent d'avantage à l'augmentation de la conductivité par les effets micro-convectifs 

que des grosses particules. Goel et al. ont effectivement observé expérimentalement cette 

tendance. Mais, comme raison possible à ce phénomène, ils ont supposé que plus les 

particules étaient grosses, plus elles risquaient de sédimenter, de s'agglomérer et de former 

ainsi une couche isolante au niveau des parois, qui ralentirait les échanges thermiques. 

Cependant, les résultats d'Inaba (1997) ne présentent pas les mêmes tendances. Il observe 

que le coefficient de transfert de chaleur augmente avec le rayon des particules. Il constate 

également q’une suspension polydispersée de 20 % en fraction massique de grosses 

particules de 20 µm et de 80 % de petites de 1,1 µm a le même coefficient de transfert 

qu’une suspension monodispersée de particules de 13,8 µm. Malheureusement aucune 

interprétation n’est faite de ces résultats qui vont à l’inverse de ceux trouvés par les autres 

auteurs. 

Pour conclure sur le choix du rayon des particules, il semble judicieux d'utiliser une 

suspension polydispersée tout en trouvant un compromis dans la taille des particules pour 

que les petites ne présentent pas de problèmes de surfusion et que les grosses ne soient pas 

trop détériorées lors du pompage. 

• Rapport des conductivités particules/fluide 

Charunyakorn et al. (1990) ont conclu d'après leur modèle que le rapport des conductivités, 

k p /k f , a une influence négligeable dans la gamme qu'ils ont étudiée (0,25 à 4) et qu'il n'est 

pas utile de le considérer comme un paramètre. Il serait intéressant de confirmer ces 

conclusions par des résultats expérimentaux. 

• Homogénéité de la suspension 

Goel et al. (1994) ont réalisé deux types d’expérience pour étudier l’effet de 

l’homogénéité. Dans un premier temps, ils ont augmenté le débit pour une suspension nonhomogène 

afin de réduire la séparation des deux phases. Ensuite, ils ont modifié la masse 

volumique du fluide porteur pour la rendre égale à celle des particules. Leurs résultats 

montrent que la variation du débit ou de la densité ont des effets négligeables sur la 

84


température des parois. Le degré d'homogénéité de la suspension n'a pas d'effet significatif 

sur les transferts thermiques de la suspension. 

• Type de particules 

Dans leurs travaux Roy et Avanic (1997) ont étudié des émulsions. Ils ont comparé leurs 

résultats avec ceux de Goel et al. (1994) qui portaient sur des microcapsules et ils ont constaté 

que les transferts de chaleur étaient identiques dans les deux cas. Lorsqu'un fluide frigoporteur 

est sélectionné, le choix entre des microcapsules et des émulsions ne se base pas sur des 

critères thermiques, mais sur des considérations comme la concentration (des plus grandes 

valeurs sont possibles avec des émulsions), la perte de pression (plus faible avec des 

microcapsules qu'avec des émulsions - Inaba 1997), la durée de vie des suspensions, les 

caractéristiques de pompage, la compatibilité des fluides... 

85


86

Etude théorique des transferts thermiques dans une suspension chargée en MCP 

Chapitre 2 : Etude théorique des transferts thermiques dans une 

suspension chargée en MCP 

2.1. EQUATIONS DE BASE 89 

2.2. MODÈLES 90 

2.2.1. CHALEUR LATENTE PRISE EN COMPTE PAR UN TERME SOURCE S 91 

2.2.1.1. Modèle de Charunyakorn et al. (1990) 91 

2.2.1.2. Modèle de Royon et al. (2000) 93 

2.2.2. CAPACITÉ THERMIQUE ÉQUIVALENTE EN RÉGIME STATIONNAIRE 94 

2.3. MODÉLISATION 97 

2.3.1. POSITION DU PROBLÈME 97 

2.3.2. DÉTERMINATION DU TERME SOURCE 99 

2.3.2.1. Transfert de chaleur au niveau des particules 99 

2.3.2.1.1 Transfert par conduction au sein de la partie solide de la particule (r c < r < R p ) 100 

2.3.2.1.2 Echange convectif au niveau de la paroi de la particule 101 

2.3.2.1.3 Changement de phase 102 

2.3.2.1.4 Conditions aux limites 102 

2.3.2.2. Résolution 103 

2.3.2.3. Application : calcul du terme source S 105 

2.3.3. TRAITEMENT NUMÉRIQUE 106 

2.4. LIMITES DU MODÈLE 110 

2.4.1. EFFETS DES PARTICULES 110 


2.4.3. CONGÉLATION 111 

2.4.4. GÉNÉRALISATION DU MODÈLE 112 

2.5. RÉSULTATS DU MODÈLE 112 

2.4.2. PROPRIÉTÉS DU FLUIDE 112 

2.4.3. MAILLAGE 113 

2.4.4. CAS DE RÉFÉRENCE 114 

2.5.4.1. Profil de vitesses 114 

2.5.4.2. Profil de concentration 114 

2.5.4.3. Profil de températures 115 

2.4.5. INFLUENCE DE LA VITESSE 117 

2.4.6. INFLUENCE DE LA TAILLE DES PARTICULES 117 

2.4.7. INFLUENCE DE LA CONCENTRATION 120 

2.4.8. INFLUENCE DU DEGRÉ DE SURFUSION 122 

2.4.9. INFLUENCE DE LA TEMPÉRATURE DE PAROI 123 

87


88


Dans ce chapitre, nous analysons de manière locale les transferts de chaleur des fluides 

frigoporteurs diphasiques en écoulement laminaire lors d’un refroidissement afin de mettre au 

point un modèle. Nous présentons, dans un premier temps, trois modèles de la littérature qui ont 

une approche différente du problème avant de présenter notre propre approche. Des hypothèses 

restrictives ont du être posées pour résoudre le système d’équations. Les limites de cette 

modélisation sont donc exposées. Pour finir, les résultats obtenus en faisant varier certains 

paramètres importants, comme la taille des particules, leur concentration, la température de 

paroi, le degré de surfusion, … sont présentés. 

2.1. Equations de base 

Les équations locales nécessaires à cette étude sont : 

− la conservation de la masse pour calculer la vitesse : 

div u=0 

& (2-1) 

− la quantité de mouvement, qui permet d’associer le gradient de pression à la vitesse. 

Cette équation découle des équations de Navier-Stokes : 

& 

⎡∂u 

& & & ⎤ & 

* & 

ρ ⎢ + u( ∇u) = −∇P 

+ ∆u 

⎣ t ⎥ µ 

∂ ⎦ 

avec P * la somme de la pression statique et de la gravité : P * = P + wz . 

− la conservation de l’énergie pour calculer la température : 

. (2-2) 

⎛ ∂T 

f & & ⎞ & 

ρ Cp⎜ 

u T ⎟ 

+ . ∇ 

f 

= div ( k 

f 

∇Tf 

) + S 

(2-3) 

t 

⎝ ∂ ⎠ 

le terme de gauche représente l’inertie thermique du fluide et le transport de cette 

énergie (dérivée convective), et les termes de droite, le flux de chaleur diffusée (loi de 

Fourier) et S, une source ou un puits de chaleur au sein du fluide. 

− l’équation de transport d’un constituant : 

∂c 

v & & & & 

+ u. ∇cv 

− ∇D 

p∇cv 

= 0 

(2-4) 

∂t 

avec c v la concentration volumique en particules et D p , la diffusivité de la particule 

dans le fluide porteur. 

Cependant la particularité de cette étude provient de la présence de particules en suspension. 

Lorsqu’elles se congèlent, elles absorbent de l’énergie sous forme de chaleur latente. L’équation 

de conservation de l’énergie est modifiée. Cette énergie est prise en compte : 

89


− soit par l’ajout d’un terme source S qui est le produit du taux de chaleur absorbée par 

particule par le nombre de particules par unité de volume de frigoporteur ; 

− soit en utilisant une capacité thermique équivalente prenant en compte la chaleur 

latente absorbée par les particules. 

2.2. Modèles 

La littérature proposent de nombreux modèles. Trois d’entre eux sont présentés ci-dessous. Ils 

sont intéressants par leur approche différente du problème. Charunyakorn et al. (1990) et Royon 

et al. (2000) introduisent un terme source dans l’équation de l’énergie. Les premiers abordent le 

problème de manière locale en étudiant les transferts autour et au sein de la particule alors que 

les seconds préfèrent une approche plus phénoménologique devant la difficulté à évaluer 

localement tous les paramètres des échanges entre la particule et le fluide porteur. Alisetti et 

Roy (2000) n’utilisent pas de terme source mais ils déterminent une capacité thermique 

équivalente et considèrent que la congélation des particules ne se fait pas à la température de 

fusion mais s’étale sur une plage de température. 

Le problème étant complexe, très généralement des hypothèses simplificatrices sont posées afin 

de résoudre les équations de transfert de chaleur. Elles ont également été faites par les auteurs 

dont les travaux sont étudiés ici : 

− l’écoulement est permanent, laminaire et incompressible ; les propriétés du 

mélange sont constantes (à quelques exceptions près) ; 

− l’hydrodynamique de l’écoulement est supposée complètement développée ; 

− les particules rentrent dans la section d’essais à l’état liquide ; 

− la dissipation visqueuse est négligée dans l’équation de l’énergie ; 

− le fluide est newtonien ; 

− les particules sont des sphères rigides et inertes avec une densité proche de celle du 

fluide porteur ; 

− l’épaisseur de paroi d’encapsulage est suffisamment fine pour considérer que la 

totalité de la particule participe au changement de phase. 

Ces hypothèses ne sont toujours pas justifiées mais elles sont indispensables à la résolution 

relativement simple du problème. 

90


2.2.1. Chaleur latente prise en compte par un terme source S 

2.2.1.1. Modèle de Charunyakorn et al. (1990) 

L’équation de l’énergie tient compte d’un terme source S provenant de la congélation des 

particules. En régime stationnaire, elle s’écrit : 

Cp 

& & 

& 

( u . ∇T 

) = k div∇T 

S 

ρ (2-5) 

+ 

s s 

f 

sa 

f 

S 

= ϕ 

p 

N 

3c 

N = 

4πR 

avec T f , la température du milieu fluide, ϕ p , le taux de chaleur généré par particule, N, le nombre 

de particules par unité de volume, R p le rayon de la particule, c v la concentration volumique en 

particules et k sa la conductivité apparente du mélange qui tient compte des effets microconvectifs 

(elle est calculée par l’équation (1-27), (1-28) ou (1-29), suivant le nombre de 

Péclet). 

Dans leur modèle Charunyakorn et al. ont étudié des microcapsules de 5 à 200 µm de diamètre. 

Ils ont évalué le taux de chaleur généré par particule par la solution asymptotique de la 

congélation d’une sphère [Tao – (1967)] : 

( T − T ) 

v 

3 

p 

r 

c 

ϕ = 4πk 

p 

p c f 

1 ⎞ r 

(2-6) 

c 

⎛ 

1 − ⎜ 

1 − 

Bi 

⎝ 

avec r c la position de l’interface solide/liquide au sein de la particule, T c la température de 

congélation et T f la température du fluide porteur. La conductivité de la particule, k p est prise 

constante quel que soit l’état des particules. 

Le nombre de Biot, Bi p compare les échanges convectifs entre la paroi de la particule et la phase 

p 

⎟ 

R 

⎠ 

k 

porteuse (h pf ) avec les échanges par conduction au sein de la particule ( 

R 

p 

p 

p 

) : 

h 

pf 

R 

p 

Bi 

p 

= (2-7) 

k 

Le nombre de Nusselt, pour une sphère submergée, sans mouvement relatif par rapport à la 

phase porteuse, est égal à 2 (Bird et al. – 1960). Ainsi : 

p 

91


h 

pf 

2R 

p 

k 

Nu = = 2 ⇒ Bi 

p 

= 

k 

k 

f 

Cependant, les particules soumises aux contraintes de cisaillement en paroi sont en rotation sur 

elles-mêmes et engendrent des effets micro-convectifs qui améliorent les échanges convectifs. 

Ces auteurs prennent en compte ces effets en ajoutant au nombre de Biot un terme 

supplémentaire dépendant de la concentration volumique : 

Bi 

p 

k 

= 

k 

f 

p 

2 1 

⎛ 

⎜2 

−3c 

⎝ 

( −c 

) 

L’évolution du front de congélation d’une particule unique est déterminée par l’équation de 

conservation de l’énergie : 

4 

3 

v 

1 

3 

3 3 

( R −r 

) Hρ 

= 

p c p ∫ 

v 

+ c 

t 

v 

p 

⎞ 

⎟ 

⎠ 

ϕ dt 

0 

f 

p 

(2-8) 

π (2-9) 

avec H la chaleur latente du MCP contenu dans la particule. Le membre de gauche de cette 

équation représente l’énergie dégagée par le changement de phase au sein de la particule et le 

membre de droite la quantité totale de la chaleur transmise par la particule au fluide 

environnant. En remplaçant ϕ p par l’expression donnée dans l’équation (2-6), l’équation (2-9) 

peut être réarrangée pour donner : 

⎡ 

⎢ 

⎢ 

3k 

( T −T 

) 

3 p 

= 

⎢ 

− ∫ t c 

R 

c p 

Hρ 

0 c f 

⎛ 1 ⎞ 

⎢ 

1 − ⎜1 

⎟ 

r 

p 

⎢ 

− 

c 

Bi 

R 

p p 

r 

⎣ 

⎝ 

r 

⎠ 

⎤ 

⎥ 

dt 

⎥ 

⎥ 

⎥ 

⎥⎦ 

1 

3 

(2-10) 

Puisque la convection naturelle est négligeable dans des sphères de petites tailles, le transfert de 

chaleur est essentiellement conductif. Ainsi, dans le cas de petites sphères, la solution de cette 

équation, obtenue initialement dans le cas de la congélation, reste valable dans le cas de la 

fusion. Des travaux expérimentaux, pour vérifier ce modèle dans le cas de la fusion des 

particules, ont été réalisés par Goel et al. (1994) et Roy et al.(1997). Ces auteurs montrent que 

les résultats expérimentaux sont en accord qualitativement avec les prédictions théoriques mais 

ils trouvent des différences significatives quantitativement. Quatre facteurs peuvent être à 

l’origine de ces déviations : 

− la température de la suspension est légèrement inférieure à la température de 

fusion en entrée des sections d’essais ; 

92


− le changement de phase se fait sur une plage de température et non à la 

température de fusion ; 

− les suspensions ne sont pas parfaitement homogènes ; elles ont des problèmes de 

flottabilité des particules et des problèmes de migration radiale ; 

− la paroi des particules est une résistance thermique aux transferts de chaleur. 

Concernant les deux derniers facteurs, Goel et al. ont étudié des microcapsules de résine 

renfermant 70 % de n-eicosane en suspension dans de l’eau. Pour éliminer les phénomènes de 

flottabilité, ils ont rajouté de l’alcool dans l’eau. Ainsi ils ont mis en évidence que les effets de 

différence de densités sont négligeables. Roy et al. ont étudié une émulsion de n-octodécane 

(d p


dq 

q 

p 

p 

= − f 

α 

( Ste) dt 

⎛ R 

p ⎞ 

⎜ 

⎝ 3 ⎟⎟ ⎠ 

2 

(2-12) 

avec q p la quantité de chaleur latente d’une particule à l’instant t. En tenant compte de la 

solution de référence du problème de Stefan ( 

f ( Ste) 

= A Ste ), avec A une constante, cette 

expression devient : 

dq 

q 

p 

p 

= −A 

Cp 

p 

( T − T ( t) 

) 

c 

H 

f 

α 

⎛ R 

p ⎞ 

⎜ ⎟ 

3 

⎝ ⎠ 

2 

dt 

(2-13) 

Si chaque particule libère le même flux de chaleur pendant l’intervalle de temps dt, le flux total 

de chaleur dq libéré par n particules, s’écrit : 

Pour la phase liquide, le bilan thermique s’écrit : 

m 

f 

Cp 

f 

dT 

dt 

f 

Cp 

dq = n dq p 

(2-14) 

( T − T t) 

) 

p c f 

= nA 

2 

H 

( α 

⎛ R 

p ⎞ 

⎜ ⎟ 

⎝ 3 ⎠ 

q 

p 

− hS 

( T − T ) 

f 

b 

(2-15) 

avec h le coefficient d’échange entre le fluide porteur et le bain thermostaté et m f la masse de 

fluide porteur contenue dans le réacteur agité. Les équations (2 –13) et (2-15) forment un 

système de deux équations non-linéaires de premier ordre avec pour inconnues q p (t) et T f (t). Les 

conditions initiales sont q p (0) = q i et T f (0) = T c , où q i est la quantité de chaleur latente d’une 

particule. Ces équations étant non-linéaires, les auteurs les ont résolues numériquement en 

utilisant la méthode des éléments finis. 

Leurs résultats numériques et expérimentaux sont superposables, ce qui valide leur approche 

théorique dans le cadre de ces suspensions de particules millimétriques. Pour un type de 

suspension donné et des conditions de transfert données, leur modèle offre la possibilité 

d’évaluer l’influence de la fraction massique en particules et de la température de paroi du 

réacteur agité. 

2.2.2. Capacité thermique équivalente en régime stationnaire 

Le problème peut être abordé différemment. Au lieu d’ajouter un terme source à l’équation de 

l’énergie pour prendre en compte le changement de phase, Alisetti et Roy (2000) utilisent une 

94


capacité thermique équivalente. Cette approche du problème permet de considérer que le 

changement de phase se fait sur un intervalle de température [T 1 ; T 2 ] et non à une température 

de fusion donnée. 

Ils ont étudié la fusion de microcapsules dans une conduite cylindrique à température de paroi 

constante, T w . Le fluide rentre dans la section chauffée à une température T i égale ou inférieure à 

la température de fusion. 

L’équation de l’énergie s’écrit : 

s 

Cp 

s 

& 

& 

( u. ∇T 

) = div( 

k ∇T) 

sa 

& 

ρ (2-16) 

La conductivité thermique k sa est fonction de la position radiale pour prendre en compte les 

effets micro-convectifs. Suivant le nombre de Péclet, elle est calculée avec les équations (1- 27), 

(1- 28) et (1-29). Dans une conduite cylindrique, pour un écoulement laminaire établi, la vitesse 

suivant l’axe de l’écoulement s’écrit : 

⎛ 

⎜ ⎛ r 

( r) 

= 2U 

1 − 

⎜ 

⎜ 

⎝ ⎝ R 

avec U la vitesse moyenne. L’équation (2-16) s’écrit alors : 

2Cp 

( T) 

s 

0 

⎞ 

⎟ 

⎠ 

2 

⎞ 

⎟ 

⎟ 

⎠ 

u (2-17) 

⎡ ⎛ r 

U ⎢1 

− 

⎜ 

⎢⎣ 

⎝ R 

s 

0 

2 

⎞ ⎤ ∂T 

⎟ ⎥ 

⎠ ⎥ ∂x 

⎦ 

1 ∂ ⎛ 

= ⎜rk 

r ∂r 

⎝ 

sa 

∂T 

⎞ 

⎟ 

∂r 

⎠ 

ρ (2-18) 

La capacité thermique équivalente doit être déterminée avec précaution car c’est l’originalité de 

ce modèle. Dans un premier temps, la capacité thermique Cp p0 du MCP sous forme solide ou 

liquide est supposée égale. Par conséquent, en l’absence de changement de phase, la capacité 

thermique de la suspension, Cp s0 , est calculée en utilisant la concentration massique en MCP, 

c m : 

Cp c Cp (1 c ) Cp 

s0 m p0 

+ − 

= (2-19) 

m 

f 

avec 

c 

m 

= 

ρ c 

p 

v 

ρ c 

p 

+ ρ 

f 

v 

( 1− 

cv 

) 

Pendant le changement de phase, la capacité thermique équivalente de la particule est fonction 

de la température et est reliée à sa chaleur latente, H par l’équation suivante : 

H 

∫ 

T2 

T1 

Cp ( T) 

p 

dT 

= (2-20) 

95


La fonction Cp p (T) dépend du processus du changement de phase. Ne connaissant pas, a priori, 

l’allure de cette fonction, Alisetti et Roy ont étudié quatre fonctions différentes, pour voir si leur 

forme affecte les transferts thermiques. 

Les fonctions carrées et sinusoïdales représentent une distribution symétrique de la capacité 

thermique équivalente et les fonctions triangulaires orientées à gauche ou à droite, une 

distribution asymétrique. Ces fonctions ont été choisies pour leur relative facilité à être intégrées 

dans un modèle numérique. Elles sont représentées Figure 2-1. 

Fonction triangulaire droite 

Fonction triangulaire gauche 

Cp p 

Fonction sinusoïdale 

Fonction carré 

Cp p0 

Cp p0 

Figure 2-1 : Variation de la capacité thermique équivalente de la particule en fonction de la température : 

quatre fonctions de distribution de la capacité thermique avec une surface équivalente et une largeur 

constante 

La capacité thermique de la suspension Cp s lorsqu’il y a un changement de phase est calculée 

par l’équation suivante : 

Cp ( T ) c Cp ( T ) + (1 − c ) Cp 

s 

= (2-21) 

m 

p 

En introduisant la fonction de la capacité thermique dans l’équation de l’énergie et en 

adimenssionnant les variables, les équations obtenues dépendent de quatre paramètres : 

− le nombre de Stefan ; 

Domaine de fusion 

T 1 T 2 

m 

f 

T 

− l’intervalle de température où a lieu le changement de phase 

⎛ T2 

− T1 

⎞ 

⎜ 

⎟ 

⎝ T w 

− T i ⎠ 

; 

− le degré de surfusion 

⎛ T ⎞ 

⎜ 1 

− Ti 

⎟ ; 

⎝ Tw 

− Ti 

⎠ 

96


⎛ cmCp 

− le rapport des capacités thermiques 

⎜ 

⎝ Cps0 

Les résultats du modèle montrent, dans un premier temps, que l’allure de la fonction de Cp s (T) a 

une faible influence sur le transfert thermique. Ainsi la nature exacte du processus de 

changement de phase n’est pas importante pour la modélisation. Le nombre de Stefan, lorsqu’il 

est inférieur à 10, est le paramètre le plus influent. Pour des valeurs supérieures, les transferts 

thermiques dépendent principalement des effets micro-convectifs. 

Le degré de surfusion est également un paramètre important : les transferts thermiques 

augmentent lorsque le degré de surfusion diminue. 

L’intervalle de températures où s’effectue le changement de phase a un impact moins important 

que les deux premiers paramètres. Les transferts thermiques restent inchangés pour 

T2 

− T1 

0 < 

T w 

− T i 

< 0,3 . 

Le dernier paramètre, le rapport des capacités thermiques, n’affecte pas les caractéristiques du 

transfert thermique de manière significative. 

Comme observé par Goel et al. l’augmentation des transferts thermiques n’est pas aussi 

importante que celle prédite par le modèle de Charunyakorn et al. où le degré de surfusion et 

l’intervalle de températures nécessaire au changement de phase étaient négligés. 

2.3. Modélisation 

Au sein du GRETh, un logiciel a été développé (TRIO ® ) qui permet une modélisation fine des 

phénomènes thermo-hydrauliques dans une géométrie 3D. Il résout les équations de Navier- 

Stokes, l’équation de transport d’un constituant et l’équation de conservation de l’énergie. Ce 

logiciel permet d’introduire facilement un terme source à l’équation de l’énergie mais ne permet 

pas de faire varier les propriétés physiques de la suspension. Par conséquent, nous nous sommes 

orientés vers un modèle où la chaleur latente est prise en compte par un terme source et nous 

nous sommes inspirés des travaux de Charunyakorn et al. (1990). Cependant, pour améliorer 

leur modèle, nous avons introduit le phénomène de surfusion et la possibilité d’un étalement en 

température au cours du changement de phase. 

2.3.1. Position du problème 

Le modèle a été programmé et testé pendant la période où la première section d’essais devait 

être usinée. Par conséquent, c’est cette géométrie qui a été étudiée (cf. chapitre 3). Elle est 

p 

⎞ 

⎟ . 

⎠ 

97


représentée sur la Figure 2-2. Le fluide chaud circule dans un canal rectangulaire de 170 mm de 

large et 1,5 m de long. L’épaisseur étudiée dans le modèle est de 5 mm. Les échanges de chaleur 

se font avec les deux parois prises dans la largeur du canal qui sont à température constante. Les 

parois prises dans l’épaisseur du canal sont adiabatiques. 

A 

Fluide frigoporteur 

Profils de 

température 

z 


Paroi adiabatique 

2b = 5 mm 

A 

x = 170 mm 

Coupe AA 

Figure 2-2 : Schéma du contexte de l'étude 

Pour simplifier le problème, la suspension est considérée comme un milieu homogène 

équivalent et ses propriétés physiques, lorsque les particules ne changent pas de phase, sont 

calculées avec les équations (1-24) pour la masse volumique, (1-25) pour la capacité thermique 

et (1-26) pour la conductivité thermique d’une suspension au repos. Pour prendre en compte les 

effets micro-convectifs, la conductivité apparente est calculée par l’équation (1-29). Pour des 

concentrations en particules inférieures à 15 %, les différentes corrélations proposées dans la 

littérature pour calculer la viscosité donnent le même ordre de grandeur. Celle utilisée est celle 

de Vand (1945) (Tableau 1-2). 

Les particules sont des sphères, de rayon R p , homogènes lorsqu'elles sont monophasiques, 

plongées dans un liquide de température T f . 

Le thermogramme théorique de cette suspension lorsqu’elle est soumise à un refroidissement est 

représenté sur la Figure 2-3 et se divise en quatre phases. Initialement les températures des 

particules et du fluide sont équivalentes et supérieures à T c . Au contact des parois froides, la 

suspension se refroidit jusqu'à atteindre (T c -∆T surf ) [Phase 1]. Les particules et le fluide sont 

toujours à la même température (l'inertie que peut avoir un milieu sur l'autre en raison des 

différences de diffusivité n'est pas prise en compte). Le terme ∆T surf représente le degré de 

98


surfusion. Effectivement, le changement de phase ne débute pas à T c mais à une température 

inférieure en raison des difficultés à initialiser la nucléation des cristaux [Phase 2]. Par contre, 

dès que les premiers cristaux apparaissent, la chaleur latente libérée entraîne une remontée en 

température jusqu’à T c . Si la puissance froide apportée par le fluide froid est supérieure à la 

chaleur latente, la suspension continue à refroidir doucement et le changement de phase a lieu 

sur un intervalle de températures [Phase 3]. Une fois la totalité des particules congelées, la 

suspension est de nouveau considérée comme un milieu homogène qui se refroidit en stockant 

du froid par chaleur sensible [Phase 4]. 

Les particules sont considérées comme suffisamment petites pour négliger la convection interne. 

T s 

Phase 1 

T i 

T c 

T c -∆T surf 

Phase 2 

Phase 3 

Phase 4 

Figure 2-3 : Evolution théorique des températures du fluide porteur lors du refroidissement d'un 

frigoporteur à changement de phase 

temps 

2.3.2. Détermination du terme source 

La détermination du terme source est inspirée des travaux de Charunyakorn et al. Quelques 

améliorations sont apportées sur la mise en équations des transferts de chaleur au niveau des 

particules, notamment sur la prise en compte de la surfusion et sur l’évaluation du coefficient 

d’échange entre la particule et la paroi. 

La congélation au sein d'une sphère est un problème indépendant de celui des transferts de 

chaleur dans le fluide, mais les deux sont couplés par la température du fluide. 

2.3.2.1. Transfert de chaleur au niveau des particules 

Les mécanismes de transfert ont lieu entre le fluide porteur et les particules (convection forcée) 

et au sein des particules (conduction). 

99


Les parois des plaques commencent à être réfrigérées en z = 0. Les hypothèses suivantes sont 

posées : 

• le fluide est incompressible et newtonien. l'écoulement est permanent et laminaire ; 

• le fluide diphasique rentre dans l’échangeur à une température homogène, supérieure 

à la température de fusion du MCP. Les particules sont entièrement liquides ; 

• les particules sont des sphères rigides dont le volume est constant ; 

• la densité des particules est uniforme même près des parois. En réalité, à proximité 

des parois, dans la zone de cisaillement il y a moins de particules sur une épaisseur de 

l'ordre du diamètre des particules. En fonction de l'écartement des plaques et du 

diamètre de particules choisi, cette hypothèse est plus ou moins justifiée. 

2.3.2.1.1 Transfert par conduction au sein de la partie solide de la particule (r c < r < R p ) 

Pour éviter de surcharger l’écriture, on prendra T pour la température des particules et T f pour la 

température du fluide porteur. Le raisonnement se fait sur une tranche dr de la particule, comme 

indiqué sur la Figure 2-4. 

ϕ e 

ϕ s 

R p 

dr 

MCP solide 

r c 

r 

MCP liquide 

Figure 2-4 : Particule diphasique 

L'équation de l'énergie, dans la partie déjà congelée de la particule, est : 

( r + dr) 

2 

4πr 

ϕ − 4π 

ϕ = ρ 4πr 

s 

2 

e 

p 

2 

drCp 

p 

∂T 

∂t 

2 

2 

2 ∂T 

4π r ϕ 

s 

− 4πr 

ϕe 

− 4π 

2rdrϕe 

= ρ 

p 

4πr 

drCp 

p 

avec 

∂t 

or ϕ 

s 

= −k 

p 

⎛ ∂T 

⎞ 

⎜ ⎟ 

⎝ ∂r 

⎠ 

r 

2 2 

dr


d’où 

r 

∂ ⎛ 

= ⎜ 

∂r 

⎝ 

∂T 

⎞ 

⎟ 

∂r 

⎠ 

donc ( ϕ ) k r 

⎛ 

⎜k 

∂r 

⎝ 

s 

−ϕ 

e 

∂ 2 

2 

p 

∂T 

⎞ ⎛ ∂T 

⎞ 

⎟ ∂ r + 2r dr k 

p ⎜ ⎟ = ρ 

pr 

∂r 

⎠ ⎝ ∂r 

⎠ 

p 

∂ 

dr Cp 

p 

∂T 

∂t 

Le logiciel TRIO ® ne permettant pas de faire varier la conductivité de la particule en fonction de 

son état, celle-ci est donc prise constante. L'équation de l'énergie s'écrit alors : 

∂ k 

2 

T p ∂ T 2k 

p ∂T 

= 

+ 

1 

2 

∂t 

ρ Cp ∂r 

ρ Cp r ∂r 

p 

p 

p 

p 

(2-22) 

2.3.2.1.2 Echange convectif au niveau de la paroi de la particule 

Le transfert de chaleur entre le fluide porteur et la paroi de la particule se fait par convection 

forcée. Pour une sphère individuelle, le nombre de Nusselt est calculé par la relation donnée par 

Chandarana et al. [cité par Ahmad et al. (1999)] : 

Nu 

pf 

h 

2R 

pf p 

−2 

1,6 0,89 

= = 2 + 2,82 × 10 Re 

p 

Pr avec 

k 

f 

d ρ U 

p s g 

Re = et 

p µ 

s 

Cp µ 

s s 

Pr = (2-23) 

k 

s 

Cette relation est valable pour : 1,23 ≤ Re p ≤ 27,38 et 9,74 ≤ Pr ≤ 376,2. 

La vitesse, U g utilisée dans le calcul du nombre de Reynolds est la vitesse de glissement entre le 

fluide porteur et la particule. Les particules étant plus lourdes que la phase porteuse et la 

suspension s’écoulant verticalement vers le bas, les particules descendent plus vite. Dans notre 

étude, le régime de sédimentation étant celui d’Allen, la vitesse de glissement se calcule par la 

relation : 

U 

g 

[( ρ − ρ ) g ] 

p 

s 

0,71 

d 

0,43 0,29 

6,54 

µ 

s 

ρ 

s 

1,14 

p 

= (2-24) 

Dans le cas d’une sédimentation collective, l’interaction des particules entre elles ralentit leur 

vitesse de glissement. Celle-ci est prise en compte en utilisant les propriétés physiques de la 

suspension au lieu de celle du fluide pour calculer les nombres adimenssionnels et U g . 

On écrit ensuite que le flux convectif apporté par le fluide porteur est égal au flux conductif à 

l'intérieur de la particule 

h 

pf 

( T − T ) 

f 

⎛ ∂T 

⎞ 

= −k 

⎜ ⎟ 

p 

⎝ ∂r 

⎠ 

r= 

R p 

101


⎛ ∂T 

⎜ 

⎝ ∂r 

⎟ 

⎠ 

⎞ 

r= 

Rp 

= 

h 

k 

pf 

p 

( T −T) 

f 

(2-25) 

2.3.2.1.3 Changement de phase 

A r = r c , au niveau du front de solidification, le flux de chaleur apporté pendant un temps dt est 

utilisé intégralement pour le changement de phase (il n'y a pas de flux sortant). Il permet une 

progression du front de solidification de dr c : 

2 

c 

4π r ϕ dt = ρ 4πr 

e 

p 

2 

c 

dr H 

c 

drc 

dt 

ϕe 

= 

ρ H 

p 

En fonction de la position du front, le flux, ϕ e est de différente nature. Au commencement du 

changement de phase, pour r c = R p , le flux est apporté par convection par le fluide porteur : 

Le changement de phase débute à T 

liquide de la particule est : 

ϕ 

h 

( T − T ) 

e 

= − 

pf rc 

= R p 

f 

rc 

= R p Tc 

Tsurf 

. Ainsi, la variation du rayon de la partie 

= 

−∆ 

∂r 

c 

∂t 

h 

pf 

= − 

ρ H 

p 

( T − ∆T 

− T ) 

c 

surf 

f 

(2-26) 

Ensuite, lorsque le changement de phase a lieu au sein de la particule (r c < R p ) le flux entrant est 

apporté par conduction dans la partie déjà congelée : 

ϕ = −k 

e 

p 

⎛ ∂T 

⎞ 

⎜ ⎟ 

⎝ ∂r 

⎠ 

r c 

d'où 

∂r 

c 

∂t 

k 

p ⎛ ∂T 

⎞ 

= − ⎜ ⎟ 

ρ H ⎝ ∂r 

⎠ 

p 

r c 

(2-27) 

2.3.2.1.4 Conditions aux limites 

Initialement, les particules sont toutes liquides : t = 0, r = R p 

Au niveau du front de solidification, r = r c , le phénomène de surfusion ne disparaît qu'après la 

formation de plusieurs cristaux. Ceci est pris en compte en considérant que la congélation dans 

le cas de la surfusion a lieu sur une plage de variation de r c (R p -∆R surf < r c


Dans le reste de la particule, lorsque r c ≤ R p -∆R surf le front de solidification est à la température 

de congélation, T c . 

2.3.2.2. Résolution 

Pour résoudre ces équations, il faut distinguer le cas où le changement de phase se fait à T c - 

∆T surf (R p -∆R surf < r c ≤ R p ) et le cas où il se fait à T c (r c ≤ R p -∆R surf ). Pour pouvoir écrire des 

équations adimensionnelles qui soient toujours valables, il suffit d'utiliser deux types de 

variables adimensionnelles suivant le cas. 

− Dans le cas de la surfusion (R p -∆R surf < r c ≤ R p ) : 

c 

f 

( T − ∆T 

− T ) 

T + ∆Tsurf 

− T 

f 

k 

* 

* p c surf f 

* 

T = 

t = t 

r = 

T − T 

R ρ H 

2 

p 

p 

r 

R 

p 

L’équation (2-22) devient : 

k 

p 

( T 

) 

* 

( ) 

2 * 

− ∆T 

− T 

k T − T 

2k 

( T − T ) 

( ) 

c 

R 

2 

p 

surf 

ρ H 

p 

f 

T 

c 

− T 

f 

∂T 

∂t 

* 

p 

p 

= 

ρ Cp 

p 

c 

R 

2 

p 

f 

∂ T 

∂r 

*2 

p 

p 

+ 

ρ Cp 

p 

c 

R 

2 

p 

r 

f 

* 

∂T 

∂r 

* 

* 

soit après simplification : 

Cp 

p 

( T − ∆T 

−T 

) 

c 

H 

surf 

f 

∂T 

∂t 

* 

* 

2 

∂ T 

= 

∂r 

*2 

* 

+ 

2 

r 

* 

∂T 

∂r 

* 

* 

En posant 

( T − ∆T 

− T ) 

Cp 

p c surf f 

Ste = , on obtient : 

H 

∂T 

Ste 

∂t 

* 

* 

2 

∂ T 

= 

∂r 

*2 

* 

+ 

2 

r 

* 

∂T 

∂r 

* 

* 

pour r c 

* 

< r * < 1 (2-28) 

L’équation (2-26) valable pour r c 

* 

= r * = 1, donne sous forme adimensionnelle : 

R 

p 

k 

p 

( T − ∆T 

− T ) 

c 

R 

2 

p 

* 

surf f ∂r 

Nu 

c 

pf 

k 

f 

= − 

* 

ρ H ∂t 

2R 

ρ H 

p 

p 

p 

( T − ∆T 

− T ) 

c 

surf 

f 


∂r 

∂t 

* 

c 

* 

Nu 

pf 

k 

= − 

2k 

p 

f 

(2-29) 

103


− Dans les autres cas (r c ≤ R p -∆R surf ), les variables adimensionnelles sont : 

L’équation (2-22) devient : 

c 

f 

( T − T ) 

T − T 

f 

k 

* 

* p c f 

* 

T = 

t = t 

r = 

T − T 

R ρ H 

∂T 

Ste 

∂t 

* 

* 

2 

p 

2 * 

∂ T ∂ 

= + 

r 

*2 

∂r 

r ∂r 

p 

* 

2 T 

* * 

pour r < 

* * 

c 

On retrouve bien la même expression que l’équation (2-28). 

L’équation (2-25), valable lorsque r c * < 1 et r * = 1 devient : 

( T T ) 

Nu 

c 

− 

* 

f ∂T 

pf f * 

= − T 

* 

R 

p ∂r 

2R 

pk 

p 

k 

( T − T ) 

c 

f 

< 1 

r 

R 

p 

Cp 

p 

avec Ste = ( T −T 

) 

H 

c 

f 


∂T 

∂r 

* 

* 

Nu 

pf 

k 

= − 

2k 

p 

f 

T 

* 

(2-30) 

L’équation (2-27), valable lorsque r * = r c * devient : 

* 

( T − T ) k ( T − T ) 

k 

p c f 

R ρ H 

p 

p 

∂r 

∂t 

* 

dr 

soit après simplification : c ∂T 

* * 

dt ∂r 

Les conditions limites sont : 

* 

c 

* 

= − 

ρ 

p 

104 

p 

H 

c 

R 

p 

f 

⎛ ∂T 

⎞ 

⎜ ⎟ 

⎝ ∂r 

⎠ 

= (2-31) 

* 

∆R 

* 

surf 

= 1 pour r = rc 

et 1 − < rc 

R 

* 

* 

T ≤1 

(2-32) 

p 

* 

* 

r = 1 pour t = 0 

(2-33) 

Pendant le changement de phase de la particule, la température du fluide est proche de la 

température de congélation. Ainsi la chaleur sensible est faible devant la chaleur latente ; le 

nombre de Stefan, Ste, peut être considéré comme nul (pour le gel organique étudié à l’état 

Cp p 

liquide, < 0, 013 K -1 ). L'équation de conduction dans la partie solide de la particule [éq. (2- 

H 

28)] devient une équation différentielle du second degré : 

2 

d T 

dr 

*2 

* 

2 dT 

+ 

r dr 

* 

dT 

dy 2 * 

En posant, y = , cette équation devient, = − 

* 

dr qui, après résolution, en prenant 

dr 

y r 

comme condition limite l’équation (2 –30), donne : 

* 

* 

= 0 

r c


En remplaçant y, on obtient : 

La résolution de cette équation donne : 

T 

T 

2k 

Nu 

* 

r 

* 

= 1 

* 

r 

* 

= 1 

pf 

p 

k 

2k 

p 

Nu 

2k 

p 

Nu 

f 

pf 

pf 

y 

T 

k 

k 

f 

* 

r 

* 

= 1 

f 

T 

dT 

* 

1 

= − 

r 

* 

*2 

dr 

= − 

r 

1 

= 

* 

r 

* 

*2 

+ A 

avec A une constante d’intégration. 

* 

T 

r 

* 

et A sont déterminés en utilisant comme conditions 

=1 

limites (2–32) et 

T pour r * =1 et T = 1 pour r * = r * c : 

* * 

= T 

r 

* 

= 1 

* 

T 

* 

r 

* 

= 1 

= 

2k 

Nu 

pf 

p 

k 

f 

1 

⎛ 1 ⎞ 

⎜ + A 

⎟ 

* 

⎝ rc 

⎠ 

2k 

p 

et A = −1 

Nu k 

pf 

f 

En remplaçant les valeurs trouvées pour 

* 

T 

r 

* 

et A et en simplifiant l’expression, on obtient : 

=1 

T 

* 

* 

c 

* 

r 

1 − 

1 − 

r 

⎛ 2k 

p 

1 + ⎜ 

⎝ Nu 

pf 

k 

f 

= (2-34) 

⎞ 

−1⎟ 

r 

⎠ 

En introduisant cette relation dans l’équation (2-31) on obtient : 

dr 

dt 

* 

c 

* 

1 

− 

r 

⎛ 2k 

p 

1 + ⎜ 

⎝ Nu 

pf 

k 

* 

c 

f 

* 

c 

= (2-35) 

⎞ 

−1⎟ 

r 

⎠ 

La résolution de cette équation différentielle, en utilisant l’équation (2-33) comme condition 

initiale donne : 

* 

c 

1 − r − ⎛ 2 ⎞ 

c 

1 r k 

c 

p 

= + ⎜ −1⎟ 

2 3 

⎝ Nu 

pf 

k 

f ⎠ 

* 2 

* 3 

* 

t (2-36) 

2.3.2.3. Application : calcul du terme source S 

Les particules créent dans le fluide une source S qui vaut : 

105


S = Nϕ 

p 

drc 

cv 

= −Nρ 

p 

H 4π 

rc 

= − Hρ 

pr 

3 

dt R 

2 3 

p 

2 

c 

dr 

c 

dt 

où ϕ p est l'énergie fournie (ou absorbée) par une particule par unité de temps, N la densité 

volumique de particules, et 

c 

4 

= la fraction volumique occupée par les particules. 

3 

3 

v 

N π R p 

Après adimensionnement, le terme source s'écrit : 

− dans le cas de la surfusion : 

dr c 

dt 

k 

( T 

− ∆T 

− T ) dr 

surf f 

R ρ H 

p p dt 

* 

c 

c 

= 

p 

* 

(2-37) 

S 

3c 

− 

R 

v 

2 

p 

k 

p 

dr 

* 

( ) 2 c 

Tc 

− ∆Tsurf 

− T 

f 

rc 

* 

= (2-38) 

En introduisant l’équation (2-35) dans l’équation (2-38) on obtient : 

S 

c h 

− pour les autres cas : 

( T − ∆T 

−T 

) 

v pf 

= 3 * 

pour r 

R 

c surf f 

c = R p (r c = 1) (2-39) 

p 

( T − ∆T 

− T ) 

3c 

k 

p c surf f 

r 

v 

c 

S = 

pour R 

2 p -∆R surf < r c < R p (2-40) 

R 

p 

⎡ ⎛ k ⎞ ⎤ 

p 

⎢R 

+ ⎜ − ⎟ 

p 

1 r ⎥ 

⎢ 

c 

⎣ ⎝ h 

pf 

R 

p ⎠ ⎥⎦ 

dt 

* 

dr c 

dt 

k 

p 

( T − T ) dr 

c f 

R ρ H 

p p dt 

* 

= (2-41) 

c 

* 

S = 

3c 

v 

3c 

S = − 

R 

k 

p 

v 

2 

p 

k 

p 

( T − T ) 

c 

dr 

* 

( ) 2 c 

Tc 

− T 

f 

rc 

* 

f 

r 

c 

dt 

pour r 

2 c < R p -∆R surf (2-42) 

R 

p 

⎡ ⎛ k ⎞ ⎤ 

p 

⎢R 

+ ⎜ − ⎟ 

p 

1 r ⎥ 

⎢ 

c 

⎣ ⎝ h 

pf 

R 

p ⎠ ⎥⎦ 

* 

2.3.3. Traitement numérique 

Dans un premier temps, seules les équations de Navier-Stokes sont résolues afin d'établir le 

profil des vitesses et des pressions. Ce n'est qu'une fois que le régime hydraulique est établi, que 

106


l’équation de l’énergie est résolue. Les informations concernant les propriétés physiques sont 

données dans le paragraphe 2.4.2. 

La résolution des équations locales se fait par intégration à l'aide du théorème de Gauss sur des 

volumes de contrôle pour aboutir à des équations macroscopiques de bilan. 

Les variables principales ne sont pas situées au même point, c'est la technique du maillage 

décalé. 

Les équations de bilan sont discrétisées de manière semi-implicite, c'est-à-dire qu'elles sont 

discrétisées : 

• en temps, de manière standard en utilisant le schéma d'Euler du premier ordre ; 

• en espace en utilisant deux types de schéma numérique. L'équation de continuité 

est discrétisée de manière implicite (instant n+1), tandis que, dans les équations de 

quantité de mouvement, le gradient de pression est discrétisé au temps (n+1) (implicite) 

et les autres termes (vitesse, flux diffusifs et convectifs) au temps (n) (explicite). 

La vitesse au temps (n) est éliminée des équations de quantité de mouvement et de continuité de 

manière algébrique afin d'obtenir un système linéaire en pression qui est résolu directement ou 

itérativement. Le champ de pression ainsi calculé est réinjecté dans l’équation de quantité de 

mouvement pour déterminer le champ de vitesse. Ce champ de vitesse, une fois que les calculs 

ont convergé, est ensuite utilisé dans l’équation de l’énergie pour calculer le champ de 

température. 

Les termes convectifs et diffusifs des équations sont estimés de manière explicite. Il en résulte 

des limitations du pas de temps de calcul. L'analyse de Fourier donne une expression du pas de 

temps optimum à utiliser pour s'assurer d'une bonne stabilité. 

Le terme source dans l’équation de l’énergie est calculé suivant l’organigramme présenté dans 

la Figure 2-5. L’utilisateur fixe les propriétés physiques de la suspension. Le degré de surfusion 

(∆T surf ) et l’épaisseur de particule où a lieu la surfusion(∆R surf ) sont choisis de manière 

arbitraire. L’évolution du rayon du front de congélation r c dépend de deux phénomènes : 

− du changement de phase, pris en compte dans le terme dr c2 . Il est calculé à partir de 

l’équation (2-37) dans le cas de la surfusion et l’équation (2-41) dans les autres cas ; 

− du transport de la particule, pris en compte dans le terme dr c1 . La particule qui change 

de phase vient de la maille précédente. Comme elle a passé moins de temps dans 

l’échangeur, son front de fusion a un rayon plus important. 

Les paramètres ∆X, ∆Y et ∆Z utilisés dans l’organigramme sont les dimensions d’une maille. 

107


A chaque pas de temps, le rayon de congélation et le terme source sont calculés pour 

chaque maille. Le terme source trouvé est utilisé dans l’équation de l’énergie pour calculer 

la température du fluide. Le calcul passe ensuite au temps suivant et r c et S sont de 

nouveau calculés avec cette nouvelle température du fluide. r c old est le rayon du front de 

fusion au pas de temps précédent. 

108


T f < T c et r c > 0 

Calcul de r c 

Température de congélation 

des particules : T c 

Pour z=0 

(entrée section d’essais) 

dr 

c1 

= 

Udt 

dz 

( R − r ) 

p 

c old 

dr 

Pour z > 0 

(le reste de la section d’essais) 

Udt 

dz 

( r ( z − ∆z) 

− r ( )) 

c1 = 

c old 

c old 

z 

Température de congélation des 

particules : T c -∆T surf 

r c 

R p -∆R surf 

r c 

R p 

R p 

R p -∆R surf 

r c < R p -∆R surf 

oui 

non 

dr 

c2 

= − 

r 

c old 

k 

⎛ 

Hρ 

⎜ R 

p 

⎝ 

( T − T ) 

p 

p 

c 

f 

dt R 

⎛ k 

p 

+ ⎜ 

h R 

⎝ pf 

p 

p 

⎞ 

−1⎟ 

r 

⎠ 

c old 

⎞ 

⎟ 

⎠ 

oui 

r c =R p et T f < T c -∆T surf 

non 

dr 

c2 

h 

= − 

pf 

( T − T − ∆T 

) 

c 

f 

Hρ 

p 

surf 

dt 

r c ≥ R p -∆R surf et T f < T c -∆T surf 

oui 

non 

dr 

c2 

= − 

r 

c old 

k 

( T − T − ∆T 

) 

p 

c 

⎛ 

Hρ 

⎜ R 

p 

⎝ 

p 

f 

surf 

⎛ k 

p 

+ ⎜ 

h R 

⎝ pf 

p 

dt R 

p 

⎞ 

−1⎟ 

r 

⎠ 

c old 

⎞ 

⎟ 

⎠ 

dr c2 = 0 

r c = r c old +dr c1 +dr c2 

Calcul du terme source 

Cas lorsque 

dr dr > r 

+ 

c1 

c2 

c old 

non 

r c = 0 

S=S 

r c ≥ 0 

S 

oui 

2 

drc 

2 

rc 

= S − 3c 

v 

ρ 

p 

H 

3 

dt R 

p 

∆X 

∆Y 

∆Z 

Figure 2-5 : Organigramme du calcul du terme source utilisé dans l’équation de l’énergie dans le 

logiciel TRIO ® pour un pas de temps. 

109


2.4. Limites du modèle 

Le modèle proposé ci-dessus a été construit en posant certaines hypothèses restrictives. Celles-ci 

sont indispensables à la modélisation du phénomène physique, mais peuvent entraîner une 

divergence entre le modèle et la réalité physique. Les différentes hypothèses faites touchent 

principalement : 

− l’homogénéité de la suspension ; 

− l’effet des particules sur la rhéologie du fluide ; 

− les propriétés physiques imposées dans le modèle ; 

− la congélation des particules qui dépend de nombreux paramètres. 

2.4.1. Effets des particules 

De nombreuses hypothèses ont été posées concernant les particules. 

Le fluide est considéré comme newtonien alors que Royon et al. ont montré, en faisant une 

rhéométrie en ligne, qu’il avait un comportement rhéofluidifiant. Ils ont trouvé pour des 

concentrations massiques de 25 % et 35 % des indices de comportement, n respectivement de 

0,51 et 0,59. 

La concentration est considérée comme homogène alors que la densité des particules et celle de 

la phase suspendante ne sont pas équivalentes ; la sédimentation ou la stratification ne peut être 

négligée. 

Dans tout écoulement de suspensions de particules la présence obligée d’un gradient de vitesse 

au niveau d’une paroi immobile s’accompagne d’un changement dans la répartition radiale des 

particules : une couche appauvrie en particules (voire complètement vide) se forme dans le 

voisinage de la paroi. La formation de cette couche pariétale plus fluide prend l’apparence d’un 

glissement de la suspension le long de cette paroi. En réalité cela signifie que près de la paroi, la 

vitesse varie très vite sur une très petite distance, c’est-à-dire que le gradient y est beaucoup plus 

élevé qu’au sein de la suspension. Une telle augmentation de gradient entraîne à son tour une 

nouvelle baisse de la viscosité puisque la suspension à un comportement rhéofluidifiant. L’effet 

pariétal s’en trouve donc renforcé et on conçoit facilement que les écoulements de suspensions 

concentrées aient lieu très souvent sous la forme d’écoulement « bouchons ». Si c’est le cas, cet 

effet peut avoir des répercussions considérables au niveau des échanges thermiques. 

Malheureusement, il est impossible de modéliser tous ces phénomènes. 

110


2.4.2. Propriétés physiques 

Les propriétés physiques utilisées sont celles de la suspension (phase suspendante et particules) 

et sont évaluées à partir de corrélations données dans le chapitre 1. Elles sont considérées 

comme constantes au cours du refroidissement alors que la gamme de températures étudiée est 

assez étendue et qu'il y a un changement de phase. 

Pour évaluer l’impact de cette hypothèse, une étude comparative a été effectuée pour une 

suspension concentrée à 15 % en particules, sur un intervalle de température compris entre 10 et 

–10 °C . Les propriétés physiques de la suspension fonction de la température sont comparées 

avec celles moyennées : 

− sur la masse volumique, l’erreur commise n'est que de 0,6 %. Elle est négligeable ; 

− sur la conductivité d'une suspension au repos (sans considérer les effets microconvectifs) 

l’erreur commise est de 8 %. Cette erreur reste faible devant celles 

introduites par l’utilisation de corrélations empiriques pour évaluer la conductivité 

apparente (prenant en compte les effets micro-convectifs). Les effets micro-convectifs 

dépendent du taux de cisaillement qui varie suivant la position de la particule par 

rapport à la paroi. Les corrélations proposées par la littérature [(1-27), (1-28), (1-29) et 

(1-30)] varient en fonction de la valeur du nombre de Péclet et introduisent des 

constantes expérimentales déterminées pour des types de suspension particulière ; 

− sur la chaleur massique, l’erreur commise est de 11 % ; 

− sur la viscosité, l’erreur commise est de 20 %. D’après les corrélations de la littérature, 

pour un régime d’écoulement laminaire, en cours d’établissement thermique, le nombre 

de Nusselt dépend du produit des nombres de Reynolds et Prandtl qui sont à la même 

puissance. Par conséquent la viscosité disparaît. 

2.4.3. Congélation 

La cristallisation dépend de nombreux paramètres qui sont difficiles à définir. 

Les nucléations peuvent se faire soit au sein de la particule (nucléation homogène), soit sur un 

corps étranger ou sur la matrice poreuse (nucléation hétérogène). Les deux nucléations ne se 

font pas à la même température. La congélation s'étale donc sur une gamme de température. A 

ceci vient s'ajouter le caractère stochastique des ruptures de surfusion. Il est difficile de 

modéliser tous ces phénomènes sachant qu'ils sont mal définis. Ils n'ont pas pu être pris en 

compte dans le modèle. 

111


2.4.4. Généralisation du modèle 

Le modèle a été construit pour des particules sans paroi (structure poreuse) dans le cas de la 

congélation. Sans trop de modifications, il peut être utilisé dans le cas de la fusion : le 

phénomène de surfusion disparaît et la conduction au sein de la particule ne se fait plus dans la 

partie solide mais dans la partie liquide. Il faut donc utiliser la bonne conductivité dans les 

équations du modèle. 

Par contre, pour étendre l’application du modèle à des particules de type capsules (avec une 

paroi), des modifications plus importantes doivent être apportées : il faut prendre en compte la 

résistance thermique de la paroi et lors de la décongélation, le front de fusion n’est pas 

concentrique. Lorsque le MCP est encapsulé, il est « libre » de se déplacer dans la capsule. La 

masse volumique du MCP à l’état solide étant différente de celle à l’état liquide, le front de 

fusion n’est plus concentrique. Le MCP solide sédimente ou flotte et se délocalise vers la paroi. 

Cette décentralisation a pour effet d’entraîner des variations de températures sur les parois qui 

génèrent de la convection naturelle dans la partie fondue ; les transports par conduction sont 

modifiés puisque une zone du MCP solide reste très proche de la paroi. Fomin et Saitoh (1999) 

ont étudié numériquement et analytiquement ce phénomène. Ils ont prouvé que l’hypothèse de 

température de paroi constante sur une capsule entraîne des différences significatives sur les 

conditions réelles de fusion quand les parois sont non-isothermes. Le fait de négliger les 

courants convectifs dans la zone fondue conduit à une surestimation du taux de fusion. 85-90 % 

du MCP solide fond par proche contact avec la paroi chaude et le reste fond par conduction ou 

convection naturelle dans la partie liquide. 

2.5. Résultats du modèle 

2.4.2. Propriétés du fluide 

Le fluide frigoporteur étudié dans le modèle est un « coulis de glace stabilisé » fabriqué au 

LBHP. La structure des particules est une matrice poreuse remplie d’eau. La phase suspendante 

est un mélange d’huile (89 % d’huile Clavius 15 et 11 % d’huile Rhodorsil 550) ayant une 

masse volumique proche de celle de l’eau. Par la suite, la phase suspendante utilisée dans les 

expériences a été changée au profit d’une huile moins visqueuse afin de réduire les pertes de 

pression. Cependant, faute de temps, ces modifications n’ont pu être apportées au modèle. Les 

propriétés physiques du « coulis de glace stabilisé » données par le LBHP sont : 

112


− une masse volumique identique de 1000 kg.m -3 pour la phase suspendante et les 

particules ; 

− une viscosité de 27 mPa.s à 0 °C; 

− une conductivité de 0,137 W.m -1 .K -1 ; 

− une capacité thermique de 1673 J.kg -1 .K -1 ; 

− une température de congélation de 0 °C. 

Le fluide rentre dans l'échangeur à 1°C pour pouvoir observer la cassure de pente sur le profil de 

température au début du changement de phase. 

Les variables étudiées sont : 

− la vitesse de passage ; 

− la concentration massique en particules ; 

− le degré de surfusion ; 

− la température des parois ; 

− le diamètre des particules. 

2.4.3. Maillage 

La géométrie a été décrite dans le paragraphe 2.3.1. Le canal se compose de : 

− 200 mailles dans la longueur (Z) ; 

− 14 mailles dans la largeur (X) ; 

− 10 mailles dans l’épaisseur (Y) (Figure 2-6). 

X 

Y 

Axe de symétrie 

Z 

Particule liquide 

Particule solide 



N° de maille : 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 

Figure 2-6 : Représentation du maillage dans le plan YZ du canal (épaisseur) 

113


2.4.4. Cas de référence 

Les différentes variables ont été choisies de manière à ce que toutes les particules sortent 

congelées de l'échangeur. 

− la vitesse de passage : 0,03 m.s -1 ; 

− la concentration massique en particules : 15 % ; 

− le degré de surfusion : 5 K ; 

− la température des parois : -40 °C ; 

− le diamètre des particules : 400 µm (il est choisi pour être inférieur à la 

taille d'une maille suivant Y, soit 500 µm). 

2.5.1.1. Profil de vitesses 

Epaisseur 

2b = 5 mm 

Y 

Z 

X 

Largeur 

170 mm 

Figure 2-7 : Profil des vitesses dans l'épaisseur et la largeur des plaques. 

L’écoulement étant laminaire, le profil des vitesses (Figure 2-7) est une parabole dans le sens de 

la hauteur des plaques. Dans la largeur du canal, le profil est aplani sur ses 4/5 car les effets de 

paroi dans l’épaisseur sont très supérieurs à ceux dans la largeur en raison de l’écart important 

entre ces deux dimensions. 

2.5.1.2. Profil de concentration 

L’équation de la quantité de mouvement utilisée dans TRIO ® ne fait intervenir que la diffusivité 

moléculaire. Lorsque le régime s’établit, la répartition des particules dans la conduite est 

homogène. Les effets de lift au niveau des parois qui tendent à ramener les particules au centre 

de la conduite ne peuvent être pris en compte dans ce logiciel de calcul. 

114


2.5.1.3. Profil de températures 

Les parois du canal dans le plan (YZ) étant adiabatiques, les échanges thermiques ne se font 

qu’avec les parois dans le plan (XZ) : le profil de température dépend uniquement de Y et de Z. 

La Figure 2-8 représente les profils de température le long du canal (suivant Z) pour différentes 

côtes dans l'épaisseur (Y). La longueur Z est intrinsèquement liée à un temps de séjour dans le 

canal par la vitesse débitante. Sur l'épaisseur, divisée en 10 mailles, seules les cinq premières 

mailles sont étudiées, puisque les profils de température sont symétriques. La maille 1 est 

accolée à la paroi tandis que la maille 5 est située au centre du canal (Figure 2-6). 

La Figure 2-8 met en évidence que le temps nécessaire au changement de phase augmente au fur 

et à mesure que l’on pénètre au cœur de l'écoulement. Dans la première maille, ce temps semble 

nul : les particules se congèlent très rapidement puisqu'elles sont en contact direct avec les 

parois (fort gradient de température) et que leur vitesse est faible. La chaleur dégagée par le 

changement de phase est négligeable devant le flux convectif échangé avec les parois. Par 

contre, plus on s'éloigne des parois, plus le « palier » du changement de phase est visible. Les 

mailles situées au centre de la conduite, échangent par conduction avec les mailles précédentes. 

Le flux échangé ne dépend que du gradient de température entre deux mailles successives. Ce 

gradient s’atténuant, le flux échangé faiblit. Une partie du flux thermique est utilisée pour 

refroidir la suspension déjà congelée (capacité thermique). Tant que le flux de chaleur dégagé 

par le changement de phase reste très inférieur au flux échangé aux parois, le profil de 

température n’est pas trop perturbé (maille 1). Par contre, en se rapprochant du cœur de la 

conduite, les flux s'égalisent, puis s'inversent. 

La rupture du phénomène de surfusion (voir Figure 2-8 mailles 3, 4 et 5) se manifeste par la 

remontée en température en début de changement de phase. Dans la maille 2, la chaleur dégagée 

par le changement de phase entraîne un ralentissement du refroidissement. Le flux de chaleur 

étant évacué par les parois froides, le profil de température de la maille 1 est perturbé. Par contre 

les profils de températures des mailles 3, 4 et 5 sont très faiblement perturbés. Dans la maille 2, 

le changement de phase se fait sur 10 cm de plaques, soit environ en 3 s (1 ère zone hachurée 

dans la Figure 2-8). Dans la maille 3, le flux dégagé par le changement de phase devient 

supérieur au flux apporté par conduction par le fluide de la maille 2. On observe une légère 

remontée en température de +0,75 K. Ensuite les flux s'équilibrent, puis s’inversent, permettant 

une légère décroissance en température pendant le changement de phase. 

115


Changement de phase 

Maille n°1 : y=0,5 mm 

Z 

Changement 

de phase 

Maille n°2: y=1 mm 

Z 


Changement 


Z 

Maille n°4 : y=2 mm 


phase 

Z 


(Centre de la conduite) 

Changement de phase 

Z 

Figure 2-8 : Profils de température dans la longueur Z en différentes épaisseurs y des plaques, pour 

U = 0,03 m/s ; c m = 15 % ; ∆T surf = 5 K ; T w = -40 °C ; d p = 400 µm. 

116


Le changement de phase se fait sur 25 cm de plaques, soit en un peu plus de 8 s (2 ème zone 

hachurée). Le temps nécessaire pour extraire l’énergie dégagée par le changement de phase 

augmente puisque cette énergie est identique quelle que soit la maille (concentration homogène) 

alors que le flux échangé diminue. Dans la maille 4, la remontée en température (+1,25 K) et le 

temps nécessaire au changement de phase des particules (12 s) continue à augmenter (3 ème zone 

hachurée). La chaleur dégagée perturbe les profils de température des deux mailles avoisinantes. 

Dans la maille 5, la remontée en température est de +2,1 K et le temps de congélation de 17 s 

(4 ème zone hachurée). 

Ces résultats montrent que le changement de phase est une barrière thermique qui empêche le 

flux de pénétrer plus au cœur des plaques. Ainsi les changements de phase se font en cascade. 

2.4.5. Influence de la vitesse 

Par rapport au cas de référence, la vitesse moyenne de l'écoulement devient 0,05 m/s au lieu de 

0,03 m/s. Les autres variables ne sont pas modifiées. Comme le régime thermique n’est pas 

établi, le nombre de Nusselt dépend du nombre de Reynolds qui passe de 11 à 18. Avec les 

propriétés physiques utilisées dans le modèle, le nombre de Nusselt moyen sur la longueur totale 

des plaques, calculé avec l’équation (1-47), augmente de 27 %. Mais comme l’augmentation de 

la vitesse de passage réduit de 40 % le temps de séjour dans l’échangeur, la longueur des paliers 

augmente. Par conséquent, pour les mailles placées au cœur de l'écoulement, le changement de 

phase débute plus en aval dans l'échangeur par rapport au cas de référence. Par exemple, le 

changement de phase de la maille 4 pour U = 0,05 m/s débute à la même côte Z que celui de la 

maille 5 pour U = 0,03 m/s et les particules de la maille 5 pour U = 0,05 m/s n'ont pas le temps 

de congeler. 

2.4.6. Influence de la taille des particules 

Deux diamètres de particules ont été étudiées : 200 µm et 400 µm. Les résultats sont 

représentés sur les courbes de la Figure 2-9. La concentration reste à 15 %, seul le nombre de 

particules varie afin de conserver la quantité de matière qui change de phase. 

117



Z 


Z 

Z 


Z 


Z 



Z 

Figure 2-9-a : Profils de température dans la longueur Z en 

différentes épaisseurs y des plaques, pour U= 0,03 m/s ; c m = 

15 % ; ∆T surf =5 K ; T w = -40°C ; d p = 200 µm 

Figure 2-9-b : Profils de température dans la 

longueur Z en différentes épaisseurs y des plaques, 

pour U = 0,03 m/s ; c m = 15 % ; ∆T surf = 5 K ; T w = - 

40 °C ; d p = 400 µm 

118


La quantité d’énergie absorbée lors de la congélation des particules étant identique, les 

températures de chaque maille à la sortie de l’échangeur ne dépendent pas de la taille des 

particules. Cependant, les profils le long de l'échangeur sont complètement différents. On 

remarque que plus les particules sont petites, plus la remontée en température en début du 

changement de phase est importante et plus les "paliers" sont courts et horizontaux. Par contre, 

le changement de phase dans chaque maille débute à la même côte Z quelle que soit la taille 

des particules. 

La vitesse de congélation dépend de deux paramètres : 

− du rapport de la surface d'échange des particules sur la masse à congeler ; 

− du flux froid disponible. 

Tant qu'il n'y a pas équilibre entre le flux chaud dégagé et le flux froid reçu, le facteur limitant 

la vitesse de congélation est le rapport (surface/masse). Plus les particules sont petites, plus le 

rapport surface d'échange sur masse à congeler augmente et plus la vitesse de congélation est 

importante. Les pentes des courbes de la Figure 2-10 confirme cette interprétation. Ainsi, la 

chaleur latente dégagée par unité de temps est plus importante. La remontée en température et 

les paliers horizontaux traduisent une augmentation du rapport entre le flux dégagé par le 

changement de phase et le flux absorbé par les parois. Ce dernier dépend de l’écart entre la 

température du fluide dans la première maille et la température de paroi. Le profil de 

température dans la première maille est sensiblement perturbé par la variation de la taille des 

particules, mais moyenné sur la longueur de l’échangeur, l’écart avec la température de paroi 

est du même ordre de grandeur pour des particules de 200 µm ou 400 µm. Le flux absorbé par 

les parois semble donc moins dépendant de la taille des particules que le flux dégagé lors du 

changement de phase. Ainsi, le rapport des deux flux augmente. La forte remontée en 

température intervient comme une barrière thermique pour les mailles situées plus dans le cœur 

de l'écoulement. Elles restent à des températures proches de -2,5 °C pour d p = 200 µm. Ainsi, 

les changements de phase dans les mailles ne peuvent pas se chevaucher. A la fin du 

changement de phase d'une maille, le fort gradient thermique avec la maille voisine permet de 

bons échanges et donc une chute rapide en température. Dans le cas de plus grosses particules, 

le phénomène est inversé. La progression du front de congélation dans la particule se fait plus 

lentement puisque le rapport surface d'échange sur masse de fluide à congeler est plus faible et 

que le flux pour arriver au cœur de la particule doit traverser une tranche congelée plus épaisse 

qui agit comme une résistance thermique. La quantité de chaleur latente dégagée par unité de 

temps est plus faible et se retrouve largement compensée par le flux froid des parois. Le fluide, 

119


malgré le changement de phase, continue à baisser en température. Ainsi, deux mailles peuvent 

se chevaucher dans leur changement de phase. 

Evolution de la m asse de PCM congelée dans le cas 1 (c=15% , v=0,03 m /s, dp=400µm ) 

7,00E-05 

6,00E-05 

5,00E-05 

Masse congelée 

4,00E-05 

3,00E-05 

2,00E-05 

1,00E-05 

m a ille 1 

m a ille 2 

m a ille 3 

m a ille 4 

m a ille 5 

0,00E+00 

0 20 40 60 80 10 0 12 0 14 0 16 0 

Z 

Evolution de la masse congelée dans le cas c=15%, v=0,03 m /s, dp=200 µm 

7,00E-05 

6,00E-05 

5,00E-05 


4,00E-05 

3,00E-05 

2,00E-05 

1,00E-05 

m a ille 1 

m a ille 2 

m a ille 3 

m a ille 4 

m a ille 5 

0,00E+00 

0 20 40 60 80 100 120 140 160 

Z 

Figure 2-10 : Evolution de la masse congelée dans chaque maille le long de l'échangeur dans le cas où d p = 

400 µm et d p = 200 µm. La pente de ces courbes représente la vitesse de congélation (les unités sont en cm 

en abscisse et en kg en ordonnée) 

2.4.7. Influence de la concentration 

La nouvelle concentration étudiée est de 30 % au lieu de 15 % (Figure 2-11). Comme dans les 

cas précédents, les autres paramètres sont conservés, à l’exception de la viscosité qui 

augmente avec la concentration. Elle est égale à 60 mPa.s (calculée suivant la formule de 

Vand). L’augmentation de la concentration entraîne une augmentation de la matière à 

congeler. Tant que le flux froid disponible reste supérieur à la chaleur latente dégagée par le 

changement de phase, le nombre de particules se congelant augmente et la remontée en 

température en début du changement de phase est plus importante. La vitesse de congélation 

120


augmente. Par conséquent, il ne faut pas deux fois plus de temps pour congeler le double de 

matière. Si on veut atteindre la vitesse maximale de congélation il faut que les deux flux 

s'équilibrent. Cet équilibre se caractérise par des paliers horizontaux de changement de phase 

qui tendent vers 0 °C sans jamais l'atteindre puisqu'un gradient de température doit être 

conservé entre le fluide autour de la particule et la température de fusion pour qu'il y ait des 

échanges thermiques. 

Pour des concentrations de 50 %, ces paliers ne sont toujours pas atteints : la température 

remonte à -0,8 °C et décroît de 0,2 K pendant le changement de phase. Pour utiliser le 

maximum de flux froid, il existe une concentration et un rayon critique. Le rayon ne doit pas 

être trop faible afin d'avoir un degré de surfusion raisonnable. 

Maille N°1 Maille N°2 

Maille N°3 

Maille N°4 

Maille N°5 

Figure 2-11 : Profils de température dans la longueur Z en différentes épaisseurs Y des plaques, pour 

U = 0,03 m/s ; c m = 30 % ; ∆T surf = 5 K ; T w = -40 °C ; d p = 400 µm 

121


2.4.8. Influence du degré de surfusion 

Figure 2-12 : Profils de température dans la longueur Z en 

différentes épaisseurs Y des plaques, pour U = 0,03 m/s ; 

c m = 30 % ; ∆T surf = 1 K ; T w = -40 °C ; d p = 400 µm 

Les résultats expérimentaux du LBHP 

montrent que le MCP ne présente pas de 

surfusion lorsque les particules ont une 

taille millimétrique. Pour des particules 

de 400 µm, il est plus délicat de 

s'affranchir de la surfusion avec 

certitude. Il est donc intéressant d'étudier 

son influence sur les profils de 

température. Les résultats représentés sur 

la Figure 2-12 ont été obtenus avec un 

degré de surfusion faible de 1 K. 

Par rapport au cas de référence, les 

paliers observés sur les Figure 2-12 sont 

plus longs et moins marqués. Les 

changements de phase se chevauchent 

entre deux mailles successives. Les 

Figure 2-13 montrent que la vitesse de 

congélation diminue avec le degré de 

surfusion. Effectivement, la différence 

entre la température du fluide et la 

température de fusion est de l'ordre du 

degré de surfusion. Dans ce cas de 

figure, il est seulement de 1 K au départ. 

Les échanges sont très faibles. Mais 

comme le flux froid est supérieur à la 

chaleur dégagée, le gradient augmente 

permettant des meilleurs échanges 

thermiques et donc une accélération de la 

vitesse de congélation. 

122


7,00E-05 

Evolution de la masse congelée lorsque le degré de surfusion est de 1 K 

7,00E-05 

Evolution de la masse de PCM congelée dans le cas 1 

(c= 15%, v=0,03 m/s, dp=400 µm, surfusion 5 K) 

6,00E-05 

6,00E-05 

5,00E-05 

5,00E-05 

4,00E-05 

Masse 

congelée 

3,00E-05 

maille 1 

4,00E-05 

Masse 

congelée 

3,00E-05 

maille 1 

maille 2 

2,00E-05 

maille 2 

maille 3 

2,00E-05 

maille 3 

maille 4 

1,00E-05 

maille 4 

maille 5 

1,00E-05 

maille 5 

0,00E+00 

0 20 40 60 80 100 120 140 160 

Z 

0,00E+00 

0 20 40 60 80 100 120 140 160 

Z 

Figure 2-13 : Evolution de la masse congelée dans chaque maille le long de l'échangeur dans le cas où 

∆T surf = 1 K et ∆T surf = 5 K 

2.4.9. Influence de la température de paroi 

Les résultats portés sur la Figure 2-14 et la Figure 2-15 sont obtenus pour une température de 

paroi respectivement de –25 °C et de –40 °C (cas de référence). La variation de ce paramètre 

influence le flux froid fourni par les plaques de l'échangeur. Le flux dépend de l'écart entre la 

température du fluide en contact avec la paroi (maille 1) et la température de paroi. Les 

températures de la maille 1 ne décroissent pas de la même façon lorsque T w = -40 °C ou T w = - 

25 °C. Le gradient de température reste plus faible lorsque T w = -25 °C et le flux est jusqu'à 1,8 

fois moins fort. Par conséquent, les vitesses de congélation sont plus lentes (le facteur de 

décroissance est le même dans les mailles 2, 3 et 4) et les remontées en température en début de 

changement de phase sont plus importantes. Cependant, on remarque que la chaleur latente 

dégagée ne permet pas de remonter jusqu'à 0 °C et que le "palier" du changement de phase n'est 

pas horizontal (température constante). Par conséquent, le flux froid apporté reste supérieur au 

flux chaud issu du changement de phase. Les transferts sont limités par les capacités d’échange 

de la particule avec le fluide porteur (surface d’échange et coefficient d’échange, h pf ) et non pas 

par le flux échangé au niveau des parois. Ainsi, la longueur de plaque nécessaire au changement 

de phase n'est pas augmentée de manière proportionnelle à la diminution du flux : elle est 

seulement 1,38 fois plus longue. 

123


Evolution de la masse congelée en fonction de la longueur de la plaque pour Tp=-25°C 

Evolution de la masse de PCM congelée dans le cas 1 

(c=15%, v=0,03 m/s, dp=400µm, surfusion 5°C) 

7,00E-05 

7,00E-05 

6,00E-05 

6,00E-05 

5,00E-05 

5,00E-05 


4,00E-05 

3,00E-05 

maille 1 

maille 2 

maille 3 

maille 4 


4,00E-05 

3,00E-05 

maille 1 

maille 2 

2,00E-05 

maille 5 

2,00E-05 

maille 3 

maille 4 

1,00E-05 

1,00E-05 

maille 5 

0,00E+00 

0 20 40 60 80 100 120 140 160 

Z 

0,00E+00 

0 20 40 60 80 100 120 140 160 

Z 

Figure 2-14 : Evolution de la masse congelée dans chaque maille le long de l'échangeur dans le cas où T w = - 

25°C et T w = -40°C 







Figure 2-15 : Profils de température dans la longueur Z en différentes épaisseurs y des plaques, pour 

U = 0,03 m/s – c m = 15 % ; ∆T surf = 5 K ; T w = -25°C ; d p = 400 µm= 

124

Dispositif expérimental 

Chapitre 3. : Dispositif expérimental 

3.1. INTRODUCTION 127 

3.2. DESCRIPTION DE L’INSTALLATION 127 

3.2.1. CIRCUIT DE REFROIDISSEMENT 127 

3.2.2. BOUCLE D'ÉTUDE DU MÉLANGE DIPHASIQUE 129 

3.3. INSTRUMENTATION 130 

3.3.1. DESCRIPTION ET ÉTALONNAGE DES DIFFÉRENTS CAPTEURS 130 

3.3.1.1. Capteurs de températures 130 

3.3.1.2. Fluxmètres 131 

3.3.1.3. Capteurs de débits 132 

3.3.1.4. Capteurs de pression 132 

3.3.2. ACQUISITION DE DONNÉES 132 

3.3.3. PROCÉDURE DE DÉMARRAGE 133 

3.4. CONCEPTION DES SECTIONS D’ESSAIS 133 

3.4.1. ETUDES PRÉLIMINAIRES 133 

3.4.1.1. Choix des paramètres 133 

3.4.1.2. Choix de l’instrumentation 134 

3.4.1.2.1 Bilan entrée/sortie sur le fluide froid 134 

3.4.1.2.2 Bilan par conduction 135 

3.4.2. DIMENSIONNEMENT DE LA PREMIÈRE SECTION D’ESSAIS 135 

3.4.2.1. Surface d’échange 136 

3.4.2.2. Canal froid 137 

3.4.2.2.1 Calculs préalables 138 

3.4.2.2.2 Calculs hydrauliques 140 

Ÿ Maillage 140 

Ÿ Equations utilisées 141 

Ÿ Conditions limites 141 

Ÿ Propriétés physiques 142 

Ÿ Lois constitutives 142 

Ÿ Cas testés 143 

Ÿ Géométrie retenue 146 

3.4.2.2.3 Calculs thermiques 146 

3.4.2.3. Canal chaud 149 

3.4.2.3.1 Variation de l’espace inter-plaque 149 

3.4.2.3.2 Etablissement du régime hydraulique 149 

3.4.2.3.3 Instrumentation 152 

Ÿ Fluxmètres 152 

Ÿ Thermocouples 152 

Ÿ Prises de pression 154 

3.4.3. DIFFICULTÉS DE RÉALISATION 154 

3.4.3.1. Problème de perçage 154 

3.4.3.2. Nouveau dimensionnement des micro-canaux 154 

3.4.3.3. Constat d’échec 157 

3.4.4. DEUXIÈME SECTION D’ESSAIS 157 

3.4.4.1. Géométrie 157 

3.4.4.2. Instrumentation 158 

125


126


3.1. Introduction 

Le potentiel énergétique des fluides frigoporteurs diphasiques et le manque de données sur 

leur comportement thermique ont amené de nombreux chercheurs à s’intéresser à ces fluides. 

Cependant, la majorité des travaux recensés dans la littérature, présentent des résultats issus 

de modèles analytiques ou numériques et peu des résultats expérimentaux. Toutefois, ceux 

cités dans le chapitre 1, suivent deux axes de recherche : l’étude des MCP en statique dans le 

but de les utiliser comme moyen de stockage [Hasan (1994), Royon (1992), Bedecarrats & 

Dumas (1997), Zhang et al. (1999) ou Royon et al. (2000)] et l’étude des MCP en suspension 

dans un écoulement dans le but de transporter du froid [Choi et al. (1993), Goël et al. (1994), 

Inaba & Morita (1995) ou Roy & Avanic (1997)]. Dans le cas des suspensions en écoulement, 

la majorité des études expérimentales concerne des échangeurs tubulaires et porte sur la phase 

de décongélation des MCP. En effet, il est plus simple de mesurer le flux de chaleur apporté 

par une résistance électrique lors du réchauffement que celui apporté par un fluide froid lors 

d’un refroidissement. 

Néanmoins, les données expérimentales sont trop spécifiques aux échangeurs tubulaires et 

restent insuffisantes pour valider les modèles existants et permettre à ces fluides de faire leur 

apparition sur le marché du froid. Dans le cadre de cette thèse, une boucle expérimentale a été 

mise au point pour étudier le comportement thermique de ces fluides dans un échangeur à 

plaques lisses lors de la congélation des MCP. 

3.2. Description de l’installation 

L'installation pilote, représentée sur la Figure 3-1, est constituée de trois circuits : 

− le circuit du mélange frigoporteur diphasique (huile Syltherm HF + particules en 

suspension) ; 

− le circuit du fluide froid : le fluide initialement prévu était du R141b, mais pour des 

raisons expliquées dans le chapitre 4, de l’huile Syltherm HF a été utilisée ; 

− le circuit d'azote liquide. 

3.2.1. Circuit de refroidissement 

Le dispositif proposé comporte : 

− un échangeur (Ech1) ; 

− une pompe immergée de circulation du fluide froid (C1) (pompe SOMEFLU, modèle 

VLI.A 20/100). Sa gamme de débits est comprise entre 0 et 3 m 3 .h -1 ; 

127


− un réservoir de stockage ; 

− un débitmètre massique (D1) ; 

− une régulation de température (R1 et R2). 

V1 

S1 

manomètre 

stockage 

N2 

liquide 

V2 

S2 

C1 

B1 

V3 

selecteur 

R1 

Ech 1 

R2 

T2 

T1 

stockage 

fluide 

froid 

V5 

V6 

V4 

V8 

V18 

V7 

D2 

V17 

Tce 

D1 

V9 

DTf P1 

Section 

d'essais 18 

T 

DTf P2 

DTcf 

V15 

azote liquide 

C2 

V16 

V14 

V13 

V12 

V11 

Tfe 

V13 


fluide 

frigoporteur 

diphasique 

Figure 3-1 : Dispositif expérimental 

128


L'échangeur (Ech1) est constitué de deux tubes noyés dans un bloc d’aluminium assurant la 

liaison thermique. Le premier tube est alimenté en azote liquide (LN2) qui en se vaporisant 

refroidit le fluide « froid » circulant dans le deuxième tube. 

La régulation en température est réalisée à partir d'une sonde de température, T1 (sonde 

platine) logée dans un doigt de gant sur le circuit de sortie du fluide froid et d’une sonde T2 

logée dans le bloc d’aluminium. Les deux sondes sont reliées à des régulateurs de température 

(régulateur électronique de type MINICOI de CORECI) : 

− le régulateur R1 est calé à la température de consigne désirée ; 

− le régulateur R2 est calé à 10 K au-dessus de la température de consigne. 

Ils commandent une électrovanne (V3) cryogénique (AUXITROL) placée sur la ligne 

d'alimentation en azote liquide. 

Les pressions absolues de travail sont comprises entre 1 et 1,66 bar et les températures 

fluctuent entre -35 et +35 °C. 

3.2.2. Boucle d'étude du mélange diphasique 

Le circuit du fluide frigoporteur diphasique comprend (Figure 3-2) : 

⇒ la section d’essais : elle se compose de trois canaux rectangulaires adjacents en 

aluminium de 2 m de long. Le fluide froid circule de bas en haut dans les deux canaux 

externes et le fluide frigoporteur de haut en bas dans le canal central. La section 

d’essais est intégralement noyée dans de la résine pour des raisons expliquées dans le 

paragraphe 4.1.1. ; 

⇒ un bac de remplissage qui sert de vase d’expansion lorsque la vanne (V15) reste 

ouverte ; 

⇒ une pompe péristaltique (C2) (BIOBLOCK, modèle MASTERFLEX I/P) : sa gamme 

de débits est comprise entre 40 et 330 kg.h -1 et produit une surpression de 2 bar 

maximum ; 

⇒ un tuyau en PVC afin de visualiser le comportement hydraulique de la suspension ; 

⇒ un débitmètre massique (D2) ; 

⇒ une purge (V18) utilisée lors du remplissage ou de la vidange de la boucle pour limiter 

l'accumulation d'air. 

La température du fluide frigoporteur fluctue entre +35 et –20 °C. 

129


V18 

Tfce 

V 19 

V17 

D2 

Bac 

de 

remplissage 

DP 

DTfc 

Trw 

Tr 

Section 

d'essais 

Zone 

de 

visualisation 

V15 

V 14 

C2 

V16 

Figure 3-2 : Circuit du mélange diphasique 

3.3. Instrumentation 

3.3.1. Description et étalonnage des différents capteurs 

Les positions des capteurs sont indiquées sur la Figure 3-1 et la Figure 3-2. 

3.3.1.1. Capteurs de températures 

Les mesures de températures pour l’ensemble du dispositif expérimental sont assurées par 37 

thermocouples de type T (cuivre-constantan) – classe 1. 

Sur le circuit froid, quatre températures sont mesurées : 

− une température absolue (T ffe ) en entrée de la section d’essais ; 

− trois différences de température aux bornes de la section d’essais : DT ff (différence de 

températures globale du fluide froid dans la section d’essais), DT ff P1 (différence de 

températures dans le premier canal) et DT ff P2 (différence de températures dans le 

deuxième canal). 

130


Dans l’enveloppe en résine, deux thermocouples permettent d’évaluer son inertie lors d’une 

descente en température : un est en contact avec la paroi du canal froid (T rw ) et l’autre est 

placé à 2 mm de profondeur de la paroi (T r ). 

Sur le circuit chaud, une température absolue (T fce ) est mesurée en entrée de la section 

d’essais pour avoir une référence et un écart de températures (DT fc ) est mesuré aux bornes de 

la section d’essais. Le cœur de la section d’essais est instrumenté de 18 thermocouples 

mesurant une température absolue et de 9 fluxmètres (leur emplacement est détaillé à la fin de 

ce chapitre dans le paragraphe 3.4.4.2). 

Ces différents thermocouples sont reliés à un bornier isotherme à compensation de soudure 

froide. Un thermocouple de référence est immergé dans de la glace à 0 °C (T ref ) . Les 

thermocouples mesurant une température absolue ont été préalablement étalonnés à l'aide d'un 

bain thermostaté à eau glycolée pour des températures comprises entre -20 et +15 °C. La 

tension délivrée par les thermocouples branchés en différentiel est convertie en kelvin en 

utilisant le polynôme fourni par le fabricant. 

L’erreur de lecture sur les thermocouples est prise égale à 0,2 K. 

3.3.1.2. Fluxmètres 

Les capteurs utilisés sont des Episensor 025 fournis par JBMEurope. Ces capteurs mesurent 

simultanément la densité de flux de chaleur et la température de surface du fluxmètre. 

Neuf fluxmètres de (25,4×25,4) mm² de surface sont collés sur la face interne d'une des parois 

du canal chaud. 

Les fluxmètres sont étalonnés in-situ pour les raisons suivantes : 

- la tension délivrée par les fluxmètres dépend de la gamme de température de travail et 

de la qualité du collage (poche d’air entraînant un mauvais contact thermique, épaisseur de 

colle) ; 

- la forte résistance thermique du fluxmètre (8,3 K.cm².W -1 ) par rapport à celle de 

l’acier inoxydable modifie le profil du flux thermique : le flux mesuré est inférieur à 

celui qui traverse réellement les plaques. 

L’étalonnage de ces capteurs permet de définir le facteur de proportionnalité qui lie leur 

signal au flux échangé entre le fluide chaud et le fluide froid. Le protocole d’étalonnage et les 

résultats sont présentés dans le chapitre 4. 

131


3.3.1.3. Capteurs de débits 

Les débits du fluide chaud et du fluide froid sont mesurés à l'aide de deux débitmètres 

massiques (D2 et D1 respectivement) à effet Coriolis double tube en U (FISHER- 

ROSEMOUNT, modèle MICRO MOTION DS025S), associés à des transmetteurs de débit 

massique à microprocesseur (RFT 9729 N° M40693). Leurs étendues de mesure, vis-à-vis des 

transmetteurs, sont de 300 kg.h -1 pour le circuit chaud et de 600 kg.h -1 pour le circuit froid. La 

précision de mesure de ces débitmètres, donnée par le fabrifcant, est égale à 

⎛ 0,12 ⎞ 

± 0,15 % ± ⎜ × 100⎟ % de la mesure. 

⎝ débit ⎠ 

3.3.1.4. Capteurs de pression 

Sur le circuit chaud, les pertes de pression (DP) dans la section d’essais sont mesurées à l’aide 

d’un capteur de pression différentielle (BBC Detalpi-K, modèle KDC/32122P). Il a été 

étalonné à l’aide d’un générateur de pression (Druck) entre 0 et 20 mbar. Cependant, les 

pertes de pression dans la section d’essais ne sont mesurables que lorsque les particules sont 

congelées dans le fluide frigoporteur car la viscosité de la suspension augmente fortement. 

Malheureusement, elles sont difficilement exploitables car les particules viennent obstruer les 

prises de pression et perturbent la mesure. 

3.3.2. Acquisition de données 

Les mesures ont été réalisées avec deux types d’acquisition. L’étalonnage de la section 

d’essais en huile pure ainsi que la première campagne d’essais en diphasique sont réalisés 

avec des centrales d’acquisition HP3421A. Le programme d’acquisition est écrit en langage 

lotus ® . Il scrute 26 voies en 25 s. La deuxième campagne d’essais en diphasique est réalisée 

avec une centrale d’acquisition HP Benchlink ® . Le nombre de voies scrutées est réduit à 15. 

Seules les mesures indispensables aux calculs du coefficient d’échange sont conservées. 

L’ensemble des voies est scruté en 1 s. Les essais étant réalisés en transitoire, une acquisition 

rapide permet de réduire le déphasage entre les mesures et de mieux distinguer les transitions 

de régime lors de la descente en température de la suspension. Les voies scrutées suivant la 

centrale d’acquisition sont récapitulées dans le Tableau 3-1. 

132


Acquisition 

Lente 

Voies scrutées 

T ffe DT ff DT ffP1 DT ffP2 T fce DT fc T w 1 T w 2 T w 3 T w 4 T w 5 T w 6 T w 7 T w 8 

M fc 

 

M Flux 1 Flux 2 Flux 3 Flux 4 Flux 5 Flux 6 Flux 7 Flux 8 Flux 9 Tref 

ff 

Rapide Tffe DTff Tfce DTfc 

M fc 

 

M Flux 2 Flux 3 Flux 4 Flux 5 Flux 6 Flux 7 Flux 8 DP Tref 

ff 

Tableau 3-1 : Voies scrutées par la centrale d’acquisition HP3420A (acquisition lente) et la centrale 

d’acquisition HP Benchlink (acquisition rapide) 

3.3.3. Procédure de démarrage 

La procédure de démarrage adoptée pour les différents essais est la suivante : 

− refroidissement du fluide « froid » en circuit fermé jusqu’à –5 °C environ : fermeture des 

vannes V5 et V8, ouverture du by-pass V4 ; 

− mise en circulation du fluide « chaud » pour homogénéiser la suspension ; 

− purge en air du circuit « chaud » en ouvrant la vanne V18 ; 

− pour faire l’appoint en fluide et pour permettre l’expansion de la suspension lors du 

changement de phase des particules, la vanne V15 reste toujours ouverte ; 

Lorsque le fluide « froid » atteint –5 °C : 

− réglage du débit du fluide « chaud » ; 

− mise en route de l’acquisition ; 

− ouverture des vannes V5 et V8 et fermeture de V4. 

3.4. Conception des sections d’essais 

La section d’essais a fait l’objet de trois dimensionnements. Les deux premières sections 

d’essais dimensionnées n’ont pas pu être réalisées en raison de problèmes d’usinage. Ce 

chapitre présente les calculs de dimensionnement de ces trois ensembles ainsi que les outils 

utilisés. Il est rédigé au présent afin d’en alléger la syntaxe. 

3.4.1. Etudes préliminaires 

3.4.1.1. Choix des paramètres 

L’inventaire des travaux existants a permis de connaître l’avancée des connaissances sur les 

fluides frigoporteurs et de définir les paramètres de notre étude utiles au dimensionnement de 

la section d’essais. 

Les hypothèses retenues pour procéder au dimensionnement sont fournies ci-après : 

133


− l’écoulement est laminaire pour avoir une vitesse de passage suffisamment lente pour 

congeler intégralement les particules en un seul passage dans une longueur d’échangeur 

raisonnable ; 

− le fluide étudié s’écoule dans un canal rectangulaire afin de se rapprocher de la géométrie 

des échangeurs à plaques corruguées utilisés dans l’industrie. Cependant, pour simplifier 

l’hydraulique et la thermique, les parois du canal sont lisses. 

De plus, nous avons pu noter des travaux précédents que les transferts de chaleur dépendent 

de la concentration en particules, de la vitesse de circulation et du rapport du diamètre des 

particules sur l’espacement inter-plaque. Le dispositif expérimental doit permettre de faire 

varier ces trois paramètres. 

3.4.1.2. Choix de l’instrumentation 

Les transferts de chaleur entre la suspension et les parois varient au cours du changement de 

phase des particules. Pour observer l’évolution du coefficient d’échange le long des plaques, 

les bilans thermiques sont réalisés localement. A une côte donnée, la température de la 

suspension au centre du canal, la température de paroi et le flux transféré sont mesurés. Une 

attention particulière est portée sur le choix de la méthode de mesure du flux. 

 

%LODQHQWUpHVRUWLHVXUOHIOXLGHIURLG 

La puissance échangée entre les deux fluides peut s’évaluer en réalisant des bilans par zone 

sur le fluide froid (indice ff) : 

ff 

ff 

( T −T 

) 

ϕ = M Cp 

(3-1) 

avec T ffe et T ffs les températures d’entrée et de sortie de la zone étudiée et M 

ffs 

massique du fluide froid. 

Cette méthode d’évaluation du flux présente quelques inconvénients : 

− les relevés de température doivent être faits dans des zones de brassage pour mesurer 

une température homogène ; 

− la variation de température entre l’entrée et la sortie d’une zone doit être au minimum 

de 2 K pour que les bilans soient suffisamment précis ; soit sur N bilans locaux, un 

gradient de température total de 2N K. 

− si le fluide froid se réchauffe de 2N K entre l’entrée et la sortie de la section d’essais, 

la température de paroi augmente le long des plaques et entraîne une variation des 

propriétés physiques du fluide chaud en contact avec la paroi. Ces variations affectent 

134 

ffe 

ff 

le débit


le nombre de Reynolds et de Prandtl qui interviennent dans le calcul du coefficient 

d’échange. Ainsi, les variations du coefficient d’échange ne seront plus dues 

uniquement au changement de phase des particules. 

 

%LODQSDUFRQGXFWLRQ 

L’autre alternative pour mesurer un flux est de mesurer un gradient de température dans une 

paroi. Comme dans le cas précédent, le gradient doit être au moins de 2 K . La paroi doit donc 

être très épaisse ou à forte résistivité thermique. La précision de la mesure dépend de la 

connaissance du positionnement des thermocouples et de la différence de température. Cette 

méthode présente beaucoup d’incertitudes sauf si la mesure est effectuée par un fluxmètre. 

Sur cet instrument, la différence de températures est détectée par une thermopile composée de 

centaines de thermocouples en série. L’épaisseur du fluxmètre étant faible, chaque 

thermocouple délivre un thermo-voltage faible mais la somme de tous les signaux est de 

l’ordre du millivolt. L’avantage de cette méthode de mesure, c’est qu’elle ne dépend que de 

l’écart de températures entre les deux fluides et qu’elle n’impose plus de contrainte sur le 

fluide froid. Cependant, cette méthode de mesure est intrusive car pour avoir une différence 

de température sur un matériau de faible épaisseur, celui-ci a une résistivité thermique élevée. 

Par conséquent, il y a une forte différence de conductivité entre la paroi en aluminium et les 

fluxmètres. Le flux échangé entre les deux fluides est donc plus faible aux emplacements où 

les fluxmètres sont collés. Un étalonnage des fluxmètres in-situ est nécessaire pour ajuster la 

tension qu’il délivre au flux réel échangé. 

3.4.2. Dimensionnement de la première section d’essais 

Les fluides utilisés pour le dimensionnement sont : 

− pour le canal froid, du R141b (HCFC) ; 

− pour le canal chaud, une suspension de particules dans une huile siliconée Syltherm 

HF. 

La disposition retenue, à courants croisés (Figure 3-3) sera justifiée par la suite. 

135


y 

2b 

x 

z 

L 

Fluide chaud 

Fluide froid 

2b : épaisseur canal chaud 

L : longueur de la section d’essais 

l 

Figure 3-3 : allure globale de la section d’essais 

3.4.2.1. Surface d’échange 

Si la température de la suspension est supérieure à la température de fusion, le MCP est 

liquide et si la température est inférieure à la température de fusion, il est solide en absence de 

surfusion. Mais si la température de la suspension est égale à la température de fusion, il est 

impossible de quantifier la fraction de MCP congelée à moins de connaître le flux transféré 

depuis le début du changement de phase. La surface des plaques doit donc être suffisante pour 

permettre aux particules de congeler en un seul passage dans la section d’essais. 

Si on se fixe une largeur de plaque de 17 cm et une épaisseur du canal chaud variant entre 3 et 

6 mm (paramètres géométriques inspirés des plaques Vicarb ® ), la longueur dépend : 

− de la puissance nécessaire à la congélation des particules ; 

− de l’écart de température, ∆T que l’on souhaite avoir entre l’entrée et la sortie ; 

− du débit massique de la suspension, M 

fc 

Le flux, ϕ à extraire de la suspension est : 

= M 

( Cp ∆T 

c H ) 

ϕ (3-2) 

fc fc 

+ 

Pour échanger un tel flux avec la paroi à une température T w et un coefficient d’échange h fc , il 

faut une longueur de plaque, L égale à : 

m 

136


L = 

h 

ϕ 

( T − T ) l 

fc w fc 

2 

avec H la chaleur latente du MCP, T fc la température de la suspension, Cp fc la capacité 

thermique de la suspension et c m la concentration massique en particules. 

Pour s’assurer que toutes les particules rentrent liquides et ressortent solides, la suspension 

rentre à 5 °C et ressort à –5 °C, soit une variation de température ∆T de 10 K. Pour ne pas trop 

détériorer les particules, une pompe péristaltique a été choisie. Le régime d’écoulement étant 

laminaire, la vitesse de passage affecte faiblement le coefficient d’échange. Il est donc 

préférable de travailler à des débits pas trop élevés pour favoriser le temps de séjour des 

particules dans la section d’essais. Un débit de 160 kg.h -1 est utilisé pour le dimensionnement. 

L’écart de température entre la paroi et le fluide est pris égal à 25 K. 

Le Tableau 3-2 présente les longueurs calculées pour deux écartements de plaque (2b) et trois 

concentrations massiques en particules. Les propriétés physiques de la suspension sont 

calculées à partir des formules données dans le chapitre I, paragraphes 1.3.2.2. Les valeurs du 

coefficient d’échange, h c , données dans le Tableau 3-2, sont calculées par l’équation (1-47). 

(3-3) 

c m 10 % 15 % 20 % 

ϕ (W) 2120 2810 3500 

2b (mm) 3 6 3 6 3 6 

h fc (W.m -2 .K) 317 230 318 245 363 262 

L (m) 0,79 1,1 1,1 1,35 1,13 1,57 

Tableau 3-2 : Détermination de la longueur de plaque nécessaire pour 

137 

M fc 

=160 kg.h -1 

Le débit et la température du fluide froid, T ff pouvant s’ajuster si nécessaire, une longueur de 

1,5 m de plaque est retenue. 

3.4.2.2. Canal froid 

Les critères de dimensionnement du canal froid sont basés sur une optimisation des transferts 

thermiques et une faible variation des températures entre l’entrée et la sortie. 

Les transferts de chaleur entre les deux fluides dépendent de leur coefficient d’échange 

respectif avec la paroi. Dans le canal chaud, le régime d’écoulement étant laminaire, le 

coefficient d’échange est médiocre. Tandis que dans le canal froid, le régime d’écoulement est 

seulement conditionné par les caractéristiques de la pompe. Le point de fonctionnement 

utilisé pour le dimensionnement est un débit global de 2 m 3 /h (le débit est ensuite divisé par 

deux pour être distribué dans les deux canaux) produisant une hauteur manométrique de 2 bar. 

L’obtention d’un bon coefficient d’échange dans le canal froid permet d’optimiser le


coefficient d’échange global et d’avoir une température de paroi proche de la température du 

fluide froid. 

Le deuxième critère est de minimiser les variations de températures entre l’entrée et la sortie 

pour avoir une température moyenne proche des valeurs extrêmes. Il est atteint en faisant 

circuler le fluide froid dans le sens de la largeur des plaques à une vitesse élevée. On a ainsi 

un échangeur à courant croisé. La difficulté réside alors dans le mode d’alimentation pour 

distribuer le débit uniformément sur les 1,5 m de plaque. L’idée est d’utiliser des microcanaux 

: leur faible section de passage permet d’avoir des vitesses élevées et des pertes de 

charge importantes nécessaires à la bonne distribution du fluide. 

Les calculs hydrauliques pour dimensionner le nombre et la taille des micro-canaux ainsi que 

le distributeur et le collecteur placés en amont et en aval des micro-canaux sont faits en 

utilisant le logiciel TRIO ® . L’uniformité des températures de paroi est ensuite vérifiée par le 

logiciel de thermique, Quick-Field ® . 

 

&DOFXOVSUpDODEOHV 

Avant de se lancer dans une modélisation fine, le nombre et la taille des micro-canaux sont 

déterminés par une étude simple sur le coefficient d’échange et les pertes de charge. Ces deux 

paramètres dépendent du régime d’écoulement et évoluent dans le même sens. Le régime de 

transition semble le mieux indiqué pour trouver un compromis entre des pertes de charge 

acceptable pour la pompe et un coefficient d’échange suffisamment élevé pour qu’il ne limite 

pas les échanges entre les deux fluides. En imposant un nombre de Reynolds de 3000, le 

nombre de micro-canaux N dans une plaque dépend directement de leur diamètre, d : 

avec 

⎛ 4 M 

⎞ 

ff 1 0, 187 

N = ⎜ ⎟ = 

ff 

Re 

⎝ 

µ π 

⎠ 

d d 

M ff 

le débit massique du fluide froid (le débit volumique dans une plaque est de 1 m 3 .h - 

1 et la masse volumique du R141b est égale à 1325 kg.m -3 ) et µ ff (0,836 mPa.s) sa viscosité 

dynamique. 

Le coefficient d’échange est calculé par la formule de Petukhov (1976) valable pour des 

régimes de transition prenant en compte la longueur d’établissement de l’écoulement : 

⎡ 

⎢ ⎛ d ⎞ 

1 + ⎜ ⎟ 

⎢ ⎝ l ⎠ 

⎣ 

2 

⎤ 

⎥ 

⎥ 

⎦ 

(3-4) 

3 

0,87 

0,4 

Nu = 0,012 ( Re − 280) Pr 

(3-5) 

138


h 

Nu k 

d 

ff 

ff 

= (3-6) 

avec h ff , le coefficient d’échange entre le fluide et les parois du micro-canal, k ff , la 

conductivité du fluide et l la longueur des micro-canaux (égale à la largeur de l’échangeur). 

Les pertes de charge, DP dans les micro-canaux sont calculées par la formule donnée par 

Idel’cik (1968) pour une grille épaisse : 

2 

⎪⎧ 

⎛ F0 

⎞ ⎛ F0 

⎞ ⎪⎫ 

0,3164 

f = f + ε 

d l 

0(Re) ⎨0,5⎜1 

− ⎟⎠ + ⎜1 

− ⎟ ⎬+ 

F F 

4 

1 

1 

⎪⎩ ⎝ ⎝ ⎠ ⎪⎭ Re 

ϕ (3-7) 

DP 

f 

ρ 

2 U 

2 

= (3-8) 

avec U la vitesse dans les micro-canaux, F 0 l’aire de la section libre de passage dans la grille 

et F 1 l’aire de la section frontale de la grille. Les valeurs du coefficient ε 0(Re) 

et f ϕ sont pris 

dans des tables données par Idel’cik (1968). 

Les variations de DP et h ff en fonction de d sont représentées sur la Figure 3-4. 

100000 

hff (W.m -2 .K -1 ) 

DP (bar) 

10000 

1000 

100 

0.50 1.00 1.50 2.00 2.50 3.00 

d (mm) 

Figure 3-4 : Evolution de DP (Pa) et de h ff (W.m -2 .K -1 ) en fonction de d (mm) pour Re=3000 et un débit 

dans une plaque de 1 m 3 .h -1 

Le Tableau 3-3 récapitule pour différents diamètres de micro-canaux les coefficients 

d’échange et les pertes de charge pour un nombre de Reynolds de 3000 et un coefficient 

139


d’échange entre le fluide chaud et la paroi de 250 W.m -2 .K -1 (valeurs tirée du Tableau 3-2, qui 

est le coefficient le plus défavorable aux échanges). 

d (mm) 0,8 1 1,5 2 

N 235 190 125 95 

h ff 3010 2400 1630 1230 

(W.m -2 .K -1 ) 

h global 220 217 208 200 

(W.m -2 .K -1 ) 

DP (bar) 0,38 0,2 0,06 0,03 

Tableau 3-3 : Diamètre et nombre de micro-canaux pour Re=3000 

Le coefficient d’échange global dépendant essentiellement du coefficient entre la paroi et le 

fluide chaud, le choix du diamètre et du nombre de canaux est basé sur les pertes de charge 

afin de mettre le maximum de micro-canaux et réduire les fluctuations de température en 

paroi. Les pertes de charge dans le reste du circuit froid étant non-négligeables et pour 

s’assurer une marge de sécurité, le nombre de 200 canaux de 1 mm de diamètre a paru être un 

bon compromis 

 

&DOFXOVK\GUDXOLTXHV 

Les entrées/sorties, la taille et la forme du distributeur et du collecteur sont dimensionnées à 

l’aide du logiciel TRIO ® afin d’obtenir une distribution homogène du débit dans les microcanaux. 

− Maillage 

Le maillage d’un canal froid, représenté sur la Figure 3-5, est réalisé en coordonnées 

cartésiennes : 

− la largeur de la plaque est suivant X ; le collecteur et le distributeur contiennent 20 

mailles chacun et les micro-canaux seulement 2 mailles ; 

− l’épaisseur de la plaque est suivant Y avec 1 maille unique de 3 mm ; 

− la longueur de la plaque est suivant Z avec 200 mailles régulières de 7,5 mm. 

Les micro-canaux ne sont pas maillés mais sont simulés par un milieu poreux de 4,44 %. Les 

pores ont un diamètre hydraulique de 1 mm. Pour obliger le fluide à circuler horizontalement 

dans le milieu poreux, 201 séparations virtuelles orientées dans le plan XY sont placées 

suivant Z. 

140


distributeur 

Milieu poreux (plaques percées) 

collecteur 

7,5 mm 

Séparations virtuelles 

Z 

Y 

20 mailles 2 mailles 20 mailles 

28 mm 170 mm 

28 mm 

X 

Figure 3-5 : Maillage dans le plan de la longueur et de la largeur (XZ) du canal froid 

− 

Equations utilisées 

Les équations utilisées sont les équations générales de bilan pour un fluide visqueux 

incompressible. 

Continuité 

div u=0 

& (3-9) 

Quantités de mouvement 

& 

⎡∂u 

& & & 

ρ 

⎢ + u 

⎣ t ⎥ 

µ 

∂ ⎦ 

& ⎤ * & 

( ∇u) = −∇P 

+ ∆u 

(3-10) 

− 

Conditions limites 

La pression de sortie est imposée nulle. 

Une vitesse est imposée en entrée. Elle est calculée à partir d’un débit de 1 m 3 .h -1 (le débit 

total est divisé entre les deux plaques) et dépend de la section d’entrée (paramètre étudié). Le 

vecteur vitesse ne dépend que d’une seule composante. Une injection suivant X, Y ou Z a été 

testée (Figure 3-6). 

141


Z 

Y 

X 

Injection suivant X Injection suivant Z Injection suivant Y 

Figure 3-6 : Injection du fluide froid suivant 3 axes 

− 

Propriétés physiques 

Les propriétés physiques nécessaires aux calculs hydrauliques sont la masse volumique et la 

viscosité du R141b. A –30 °C, elles valent respectivement 1325 kg.m -3 et 0,836 mPa.s. 

− 

Lois constitutives 

Pertes de charge régulières 

Elles sont calculées automatiquement par le programme sur les interfaces fluide-solide des 

obstacles internes et ont la forme : 

DP 

∆X 

1 

= − 

2 

U U 

ρ f 

D h 

(3-11) 

Le coefficient de frottement, f est calculé par la loi de Blasius dans les micro-canaux où 

l’écoulement est de transition et par la loi de Poiseuille dans le distributeur et le collecteur. U 

est la composante de la vitesse, ∆X la longueur de la maille caractéristique et D h le diamètre 

hydraulique propre à chaque composante de l’écoulement. 

Pertes de charge singulières 

Les pertes de charge occasionnées par le rétrécissement et l’élargissement brusques des 

entrées-sorties des micro-canaux sont prises en compte par : 

DP 

1 

− ρ f U U 

2 

= (3-12) 

Les micro-canaux n’étant pas physiquement représentés dans le maillage, le coefficient de 

frottement f est une donnée utilisateur, calculée par une expression proche de l’équation 3-7 (à 

142


l’exception du dernier terme représentant les pertes de charge régulières dans l’épaisseur de la 

grille). 

− 

Cas testés 

Cas initial 

La plaque est divisée dans le sens de la longueur en trois zones d’alimentation de 50 cm 

chacune. Le fluide rentre en partie basse du distributeur, suivant X. En remontant dans le 

distributeur de 28 mm de large et 3 mm d’épaisseur, le débit se répartit dans les micro-canaux 

de 1 mm de diamètre, espacés centre à centre de 7,5 mm. Le fluide est ensuite collecté dans 

une conduite rectangulaire de même géométrie que le distributeur et sort en partie basse des 

plaques suivant X. Le schéma global du canal froid étudié est représenté sur la Figure 3-7 

ainsi que le profil de vitesse obtenu dans les micro-canaux pour cette géométrie de collecteur 

et de distributeur. 

distributeur 

17 cm 

collecteur 

Z 

05 

Z 

1,5 m 

X 

P max 

P=0 

U 

Figure 3-7 : Schéma global des trois zones étudiées et profil de vitesse obtenu dans une zone de 0,5 m 

Le profil de vitesse de la Figure 3-7 montre que la répartition du débit n’est pas uniforme dans 

les micro-canaux. On observe en zone basse une sous-alimentation dans les micro-canaux 

situés en vis-à-vis des entrées-sorties et en zone haute de fortes instabilités. Dans la partie 

centrale, la vitesse décroît progressivement de bas en haut. 

La répartition dans la partie centrale s’explique par le profil des pressions dans le distributeur 

et le collecteur. Les pressions diminuent suivant le sens de l’écoulement en raison des pertes 

de charge régulières (Figure 3-8). 

143


Z 

Z 

DP dû à 

l’écoulement 

Distributeur 

P 

Collecteur 

P 

Figure 3-8 : Profil de pressions dans le distributeur et le collecteur 

Par conséquent, la différence de pression aux extrémités des micro-canaux décroît de bas en 

haut entraînant une diminution progressive du débit entrant dans les micro-canaux. 

En zone basse, il doit y avoir des décollements en raison de l’angle à 90° que doit effectuer le 

fluide entre l’entrée (la sortie) et la veine du distributeur (du collecteur) entraînant de fortes 

perturbations sur le profil des pressions. 

En zone haute, les instabilités sur les derniers micro-canaux ne sont pas des effets physiques 

mais des effets dues à la modélisation. 

Forme du distributeur/collecteur 

Pour avoir une répartition la plus uniforme possible, il faut minimiser les pertes de pression 

dans le distributeur et le collecteur. Une section de passage plus importante dans le collecteur 

et le distributeur a été testée en passant à une épaisseur de 4 mm. Malheureusement, d’autres 

effets interviennent et il apparaît des zones de recirculation dans la partie haute du distributeur 

provoquant une grosse perturbation sur la distribution. De même, le diamètre des microcanaux 

a été diminué. L’amélioration apportée n’est pas suffisante devant la forte 

augmentation des pertes de charge. 

Un maillage avec un collecteur et un distributeur coniques a été testé de manière à avoir une 

vitesse constante dans le distributeur. Cette géométrie n’apporte pas une amélioration notable 

par rapport au cas initial. 

Finalement, la modification de la forme du distributeur/collecteur par rapport au cas initial 

n’apporte pas d’amélioration notable. 

Mode d’alimentation 

144


L’emplacement des entrées/sorties est un paramètre intervenant dans la distribution du débit. 

Plusieurs configurations ont été testées numériquement. La plus satisfaisante est une entrée 

unique sur toute la longueur de la plaque, placée en zone basse et orientée suivant X. Le fluide 

ressort du collecteur par deux sorties placées en haut et en bas suivant Y. La Figure 3-9 

représente une coupe suivant l’épaisseur de la section d’essais et la Figure 3-10, une vue 

globale du canal froid. 

B 

Distributeur 

Fluide 

frigoporteur 

Micro-canal de 

1 mm de diamètre 

Entretoise 

Collecteur 

B 

Variable entre 

3 et 6 mm 

3 

28 

170 

Coupe AA de la Figure 3-10 

Figure 3-9 : Géométrie du canal froid 

28 

A 

A 

Distributeur 

Collecteur 

100 10 


froid 

Entrée 

divergent 

Micro-canal 

Sortie DN 10 

170 

Coupe BB de la Figure 3-9 

Figure 3-10 : Vue globale du canal froid 

145


Variation de la section de passage des micro-canaux suivant Z 

Pour compenser la sous-alimentation dans les micro-canaux du bas, leur section de passage a 

été multipliée par deux (soit une porosité doublée dans TRIO ® ). Une légère amélioration est 

observée. Il faudrait de nombreux calculs pour déterminer le diamètre optimal et le nombre de 

canaux à modifier. Les résultats aboutiraient à une pièce complexe à réaliser. 

− 

Géométrie retenue 

Le fluide froid traverse les 1,5 m de plaques dans leur largeur par 400 micro-canaux (soit 200 

par plaque) de 1 mm de diamètre, 170 mm de long et espacés centre à centre de 7,5 mm. Le 

distributeur et le collecteur sont des canaux rectangulaires de 1,5 m de long, 28 mm de large 

et 3 mm d’épaisseur. Le distributeur est alimenté latéralement par un divergent. Le fluide 

ressort perpendiculairement en haut et en bas du collecteur par des sorties en DN10. 

Les pertes de pression globales dans la section d’essais sont de 1,085 bar. Le profil de vitesses 

dans les micro-canaux pour cette géométrie est représenté Figure 3-11. 

1.6 

1.4 

1.2 

1 

Z (m) 

0.8 

0.6 

0.4 

0.2 

0 

0 1 2 3 4 5 6 7 

U (m/s) 

Figure 3-11 : Profil de vitesses dans les 200 micro-canaux 

 

&DOFXOVWKHUPLTXHV 

Le flux surfacique de chaleur est transféré du fluide chaud vers le fluide froid par : 

146


− convection entre le fluide chaud et la face interne : 

( T (0, z) 

− T ( )) 

ϕ (3-13) 

( 0, z) 

= h ( z) 

z 

− convection entre le fluide froid et la paroi du micro-canal : 

− conduction dans les plaques : 

fc 

w 

( T − T ( y, 

)) 

( y, 

z) 

= h 

z 

ff 

ff 

w 

fc 

ϕ (3-14) 

ϕ 

ϕ 

y 

z 

= k 

= k 

w 

w 

∂T 

∂y 

∂T 

w 

∂z 

w 

(3-15) 

z 


T fc (z) 

h fc 

h ff 

Flux convectif 

Flux conductif 

T w (y,z) 

T ff 

y 

Figure 3-12 : Représentation des flux convectifs et conductifs intervenant dans les transferts de chaleur 

entre le fluide chaud et le fluide froid 

Le système est bidirectionnel. Il a été résolu en utilisant le logiciel Quick-Field ® . La 

géométrie maillée est une plaque en acier inoxydable de 7 mm d’épaisseur, 15 mm de long 

avec deux micro-canaux de 1 mm de diamètre, séparés centre à centre de 7,5 mm et placés à 

3,5 mm de la face interne (côté canal chaud). La face externe et les côtés sont adiabatiques. Le 

coefficient d’échange imposé dans les micro-canaux, h cf est calculé par la formule de Sieder 

et Tate (Shah et London – 1978) lorsque le régime est laminaire : 

⎛ d ⎞ 

= 1,86 

⎜ Re Pr ⎟ 

⎝ l ⎠ 

0,33 

Nu (3-16) 

et par la formule de Petukhov (Shah et London – 1978) lorsque le régime est turbulent ou de 

transition : 

147


2 

⎡ ⎤ 

⎢ ⎛ ⎞ 3 

0,87 

0,4 d 

Nu = 0,012 ( Re − 280) Pr 1 + ⎜ ⎟ ⎥ 

(3-17) 

⎢ ⎝ l ⎠ ⎥ 

⎣ ⎦ 

Le nombre de Reynolds dans les canaux est calculé avec les vitesses issues des résultats 

obtenues avec TRIO ® . 

Les coefficients d’échange locaux, h fc entre le fluide chaud et la paroi sont calculés avec les 

équations (1-43) et (1-44). 

La température du fluide froid est prise égale à –30 °C et celle du fluide chaud décroît de +5 à 

–5 °C entre le haut et le bas des plaques. 

La Figure 3-13 représente le profil de température de la face interne (y = 0). En négligeant le 

haut et le bas des plaques, la fluctuation des températures n’excède pas 2 K. Le flux transféré 

entre les deux fluides est de 3460 W et permet de congeler des suspensions chargées jusqu’à 

20 % en particules (cf. Tableau 3-2). 

Ce dimensionnement des micro-canaux devrait permettre d’obtenir des résultats satisfaisants 

sur le plan des pertes de charge, du profil des températures de paroi et sur les puissances 

échangées. 

1.6 

Z (m) 

1.4 

1.2 

1 

0.8 

0.6 

0.4 

0.2 

-31.0 -29.0 -27.0 -25.0 -23.0 -21.0 -19.0 -17.0 -15.0 

T w (°C) 

0 

Figure 3-13 : Profil des températures de paroi dans le canal chaud 

148


3.4.2.3. Canal chaud 

Le dimensionnement du canal chaud est plus simple que celui du canal froid. C’est un canal 

rectangulaire où le fluide s’écoule en régime laminaire suivant Z. Les seuls points à étudier 

sont : 

− un système pour faire varier l’espace inter-plaques ; 

− la zone d’entrée pour s’assurer que le profil hydraulique est établi en entrant dans la 

zone d’étude thermique ; 

− l’installation de l’instrumentation. 

Par sécurité, il est plus prudent de prévoir une section d’essais démontable et des zones pour 

visualiser l’écoulement de la suspension. 

 

9DULDWLRQGHOHVSDFHLQWHUSODTXH 

Un des paramètres à étudier est le rapport du diamètre des particules sur l'espacement interplaques. 

Quatre entretoises de 3, 4, 5 et 6 mm d’épaisseur permettent de faire varier ce rapport 

(Figure 3-9). L'étanchéité est assurée par des joints toriques. L’entrée et la sortie du canal 

chaud, propres à chaque entretoise, sont représentées sur la Figure 3-14. 

 

(WDEOLVVHPHQWGXUpJLPHK\GUDXOLTXH 

L’élargissement brusque en entrée du canal chaud (Figure 3-14) entraîne la formation d’un 

jet. La longueur nécessaire à l’établissement du profil hydraulique est donc importante. Ces 

effets d’entrée ont été modélisés en utilisant le logiciel TRIO ® , pour un débit de 3 L.min -1 et 

une viscosité de fluide de 2,6 mPa.s (celle de l’huile sans particule à 0 °C – cas le plus 

défavorable). Les résultats montrent que pour une épaisseur de canal de 3 mm, une longueur 

de 50 cm est nécessaire à l’établissement du régime hydraulique. Plus l’épaisseur augmente, 

moins les pertes de charge sont importantes et plus le profil hydraulique met du temps à 

s’établir. Afin d’accélérer l’établissement du régime hydraulique, plusieurs configurations, 

visant à augmenter les pertes de pression en entrée, ont été modélisées. La mise en place d’un 

divergent n’apporte pas de résultats satisfaisants. Par contre, une grille crée des pertes de 

charge plus importantes. La géométrie maillée est un canal de 17 cm de large, 20 cm de long. 

Plusieurs paramètres ont été testés afin de déterminer les caractéristiques déterminantes au 

dimensionnement de la grille. 

149


Coupe BB 

B 

B 

Figure 3-14 : Vues de face et de profil de l'entrée et de la sortie du fluide frigoporteur dans le sens de la 

longueur 

− L’écartement des plaques : 

les pertes de charge diminuent lorsqu’on augmente le diamètre hydraulique. Par 

conséquent, la longueur d’établissement du profil de vitesse augmente avec l’écartement 

des plaques. Pour le dimensionnement de la grille on considère le cas le plus défavorable, 

soit un écartement de 6 mm. 

− La viscosité du fluide : 

les pertes de charge augmentent avec la viscosité. Comme pour l’écartement des plaques, 

on prend le cas le plus défavorable, soit la viscosité de l’huile pure, 2,6 mPa.s. 

− Géométrie de la grille : 

150


ƒ plus les trous sont petits, plus les pertes de charge engendrées sont importantes. 

Cependant pour éviter que la grille filtre les particules, ils ne peuvent être inférieurs à 

8 mm ; 

ƒ plusieurs longueurs d’obstacles ont été étudiées. Les résultats montrent la formation de 

tourbillons en aval des obstacles, et ce phénomène s’aggrave avec leur longueur. Il est 

donc préférable de mettre beaucoup d’obstacles et de limiter leur longueur. Cependant, 

pour l’obstacle central, placé en face du jet, une longueur plus importante permet de 

mieux répartir le débit dans l’ensemble des trous. Le tourbillon qui se crée en aval de cet 

obstacle est donc important, mais les pertes de charge engendrées par cette turbulence 

permettent, in fine, d’avoir un établissement du profil hydraulique plus rapide qu’avec 

une mauvaise distribution du débit dans la grille ; 

ƒ l’épaisseur de la grille joue également un rôle. Si celle-ci est prise trop fine, les lignes de 

courant qui longent les obstacles après s’être brisées sur l’obstacle central, ne sont pas 

redressées et viennent impacter les parois latérales. Il se forme en aval de la grille deux 

gros tourbillons symétriques. Une épaisseur plus importante permet à l’écoulement de 

sortir perpendiculairement à la grille. Une épaisseur de 2,5 mm est suffisante à ce 

redressement. 

Les résultats les plus satisfaisants sont représentés sur la Figure 3-15. 

U (m/s) 

U (m/s) 

Profil de vitesse 

2b=3mm, grille à 7,5 mm de l'entrée 

0,8 

0,7 

0,6 

0,5 

0,4 

0,3 

0,2 

0,1 

0,0 

-0,1 

-0,2 

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 

largeur du canal en cm 

avec grille - 2b=6 mm 

0,8 

0,7 

0,6 

0,5 

0,4 

0,3 

0,2 

0,1 

0,0 

-0,1 

-0,2 

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 

largeur du canal en cm 

sortie grille 

2,25 cm après la grille 

6 cm après la grille 


13,5 cm après la grille 


sans grille, 20 cm 

après l'entrée du canal 

Figure 3-15 : Profils de vitesse à plusieurs distances en aval de la grille, pour une grille de 2,5 mm 

d’épaisseur, placée à 7,5 mm de l’entrée, pour un débit de 3 l.min -1 et pour des écartements entre les 

plaques de 3 mm et 6 mm 

151


La géométrie retenue est une grille composée de 11 obstacles de 2,5 mm d’épaisseur, placés à 

7,5 mm de l’entrée. L’espace entre les obstacles est de 8 mm pour limiter les risques de 

filtration des particules. Pour s'adapter aux différents écartements des plaques, les obstacles 

sont soudés sur une plaque et s'insèrent dans celle en vis à vis. La grille est représentée sur la 

Figure 3-16. 

Obstacles 

Frigoporteur 

7 

Ecartement plaques 

3, 4, 5 ou 6 mm 

4 

18 

8 

8 

Rainurages dans la plaque 

(2,5 mm de long) 

Jeu suffisant pour déplacement 

des deux plaques 

Figure 3-16 : Schéma de la grille 

(coupe AA - Figure 3-14) 

 

,QVWUXPHQWDWLRQ 

L'étude de l’évolution du coefficient d’échange entre la paroi et le fluide chaud en fonction de 

l'avancement de la solidification des particules est obtenue par des mesures locales de flux de 

chaleur et de températures le long des plaques. 

− 

Fluxmètres 

Neuf fluxmètres sont collés sur la face interne d’une des plaques. Ils sont espacés de 200 mm 

les uns des autres. Afin qu’ils ne perturbent pas l’écoulement, un lamage de 0,8 mm 

d’épaisseur permet de garder une surface apparente lisse. Les sorties des fils traversent la 

plaque entre les micro-canaux (Figure 3-17). 

− 

Thermocouples 

Les températures sont mesurées par des thermocouples de type T (Cuivre/Cuivre-Nickel) : 

− 20 thermocouples de 1 mm de diamètre sont placés perpendiculairement à la plaque et 

mesurent la température au sein du fluide (Figure 3-17). Huit d’entre eux sont placés en 

vis à vis des fluxmètres. Les autres sont répartis de manière rapprochée sur l’entrée et la 

sortie de la zone thermique afin de suivre le refroidissement de la suspension avant et 

après le changement de phase. Une gaine thermorétractable isolante permet de réduire les 

152


perturbations du gradient thermique de la plaque sur la prise de mesure. Les 

thermocouples sont fixés par un passage étanche avec une ferrule en Téflon afin de 

pouvoir les repositionner en fonction de l'écartement des plaques. Pour introduire ces 

thermocouples, des trous de 2 mm de diamètre sont percés perpendiculairement à la 

paroi. 

Thermocouple 

de ∅ 1 mm 

7,5 

Passage étanche 

20 

5 

11,5 

Lamage de 0,8 mm 

d’épaisseur 

fluxmètre 

2 

Gaine 

thermoretractable 

Sens d’écoulement 

du fluide 

frigoporteur 

Figure 3-17 : Prise de mesure des températures au sein du fluide et des flux 

− 8 thermocouples de 0,5 mm de diamètre mesurent la température de paroi (Figure 

3-18). Ils sont brasés le long de la paroi interne de la plaque sur 30 mm afin de réduire les 

risques de conduction dans la gaine du thermocouple. Ils sont situés en vis à vis des 

fluxmètres. Une brasure bouche la rainure et fixe le thermocouple. La brasure ne présente 

pas de différences de niveau par rapport à la plaque. 

2 

45° 

30 

0,7 

Thermocouple de 0,5 mm 

brasure 

0,7 

Figure 3-18 : Prise de mesure des températures de paroi 

153


− 

Prises de pression 

Des prises de pression différentielles sont faites aux bornes de la section d’essais pour évaluer 

les pertes de charge globales dans la section d’essais. Elles permettront de vérifier si les 

particules n’adhèrent pas aux parois lors de la congélation et s’il n’y a pas formation de 

bouchons. 

3.4.3. Difficultés de réalisation 

3.4.3.1. Problème de perçage 

Dans notre cahier des charges, nous proposions d’usiner les canaux sur une plaque de 3 mm 

d’épaisseur par simple rainurage en surface et de poser une autre plaque recouverte d’un joint 

pour assurer l’étanchéité. Mais le bureau d’étude chargé de réaliser les plans de la section 

d’essais, nous a proposé de percer les micro-canaux par électroérosion, directement dans la 

matière. Cette technique de haute précision permet de réaliser des opérations d’usinage par 

destruction de matière. Très simplement, ce procédé consiste en la génération d’étincelles 

entre une électrode (en graphite ou en cuivre), généralement à polarité positive, et une pièce 

mécanique à usiner, à polarité négative, l’ensemble étant plongé dans un bain diélectrique 

(kérosène ou eau) pour une meilleure conduction du courant. Chaque étincelle produit un tout 

petit cratère et la répétition en grand nombre de cette action décrit ainsi une empreinte à la 

forme de l’électrode. C’est la technique de l’enfonçage. Malheureusement, l’électroérosion 

s’est révélée mal adaptée pour usiner dans de l’acier inoxydable 400 micro-canaux de 1 mm 

de diamètre et 17 cm de profondeur. La quantité d’électrodes nécessaire au perçage est très 

importante et le temps de cette opération est long. Après avoir perdu beaucoup de temps à 

persévérer dans cette voie, il a fallu trouver une alternative. 

3.4.3.2. Nouveau dimensionnement des micro-canaux 

Les problèmes d’usinage viennent du diamètre, du nombre et de la longueur des micro-canaux 

à percer. Leur longueur ne peut être diminuée sans revoir la conception de la section d’essais 

dans son intégralité. Par contre, le nombre et le diamètre des canaux peuvent être modifiés 

sans trop de complications. Pour pouvoir utiliser la méthode classique de perçage au foret sur 

une profondeur de 17 cm, le diamètre des trous doit être au minimum de 4 mm. La 

détermination du nombre de canaux pour obtenir des profils de vitesse et de température de 

paroi satisfaisants a fait l’objet d’un nouveau dimensionnement sous TRIO ® et Quick-Field ® . 

Après une évaluation des pertes de pression avec l’équation (3-7) pour différents nombres de 

canaux de 4 mm de diamètre, un nombre de 50 et 60 canaux a été retenue et soumis à une 

154


étude plus fine. Les transferts thermiques par conduction ont été calculés pour des plaques en 

acier inoxydable et en aluminium et des micro-canaux situés à 4 ou 2,5 mm de la paroi. La 

nature intrusive des fluxmètres due à leur résistivité élevée a également été étudiée. 

Les résultats sont présentés dans le Tableau 3-4 et sur la Figure 3-19. 

Nombre de canaux 50 60 

DP dans les canaux (bar) 0,59 0,3 

DP globale dans la section d’essais (bar) 1,6 1,4 

Distribution des Vitesse moyenne (m.s -1 ) 0,66 0,55 

vitesses Ecart type 5,5 % 7,7 % 

Coefficient d’échange dans les micro-canaux 640 500 

Coefficient d’échange global entre les deux fluides 

180 167 

(avec h fc =250 W.m - ².K -1 ) 

Flux échangé (W) (avec DT entre les 2 fluides de 30 K) 2750 2555 

Flux échangé (W) (avec DT entre les 2 fluides de 40 K) 3670 3400 

Température de paroi 

Acier -14< T w


Il ressort du Tableau 3-4, de la Figure 3-19 et de la 

Figure 3-20 plusieurs constatations. 

− Les pertes de pression dans les canaux augmentent lorsque le nombre de canaux diminue. 

Ainsi la distribution du débit est légèrement meilleure avec 50 canaux. Cependant, au 

niveau des températures de paroi, ces variations n’ont pas d’influence. 

− La différence (T w (n)-T w (n+1/2)) est négligeable devant la variation de température du 

fluide frigoporteur le long des plaques. Deux distances entre le centre du canal et la paroi 

ont été étudiées : 6 mm et 4,5 mm. La diminution de cette distance augmente d’un facteur 

deux (T w (n)-T w (n+1/2)) et ne permet pas d’obtenir une température de paroi plus froide. Il 

n’est donc pas intéressant d’amincir les parois. 

− Pour le choix du matériau, l’aluminium présente de meilleurs résultats. Sa conductivité 

thermique élevée permet d’avoir une meilleur homogénéité des températures en paroi. En 

contre partie, la différence de conductivité avec celle des fluxmètres est accentuée. Aux 

emplacements des fluxmètres, le profil de température sur la paroi du canal chaud est 

d’avantage perturbé. 

0 

0 10 20 30 40 50 

No canal 

Température à la paroi 

-5 

-10 

-15 

-20 

-25 

Tw(n) 

Tw(n+1/2) 

T° de paroi pour des plaques en aluminium 

T° de la paroi pour des plaques inox 

T° du fluide circulant dans le canal chaud 

-30 

Tw(n+1) 

-35 

Figure 3-20 : Profils des températures de paroi pour une plaque percée de 50 canaux dans lesquels circule 

du R141 b à –40 °C 

Cette étude montre que les deux configurations permettent d’obtenir des résultats 

satisfaisants. Nous opterons plutôt pour 50 canaux (pour réduire le temps d’usinage), percés 

dans de l’aluminium à 6 mm du bord. 

156


Par rapport à la section d’essais d’origine, les vitesses dans les micro-canaux sont beaucoup 

plus faibles, ce qui diminue fortement le coefficient d’échange moyen dans les micro-canaux 

de 2400 W.m -2 .K -1 (voir Tableau 3-3), il chute à 640 W.m -2 .K -1 (coefficient calculé avec 

l’équation 3-5). Par conséquent, les températures de paroi sont moins proches de la 

température du fluide froid qu’il faut donc abaisser. Cependant le flux échangé entre les deux 

fluides n’est que faiblement diminué puisque le coefficient d’échange dans le canal chaud 

reste très inférieur à celui dans le canal froid. 

3.4.3.3. Constat d’échec 

Un perçage de trous de 4 mm de diamètre sur 17 cm de profondeur s’est révélé très délicat. 

Au bout d’une certaine profondeur, les copeaux de métal ont du mal à s’extraire, le foret 

s’échauffe, dévie de sa trajectoire et finit par casser. 

3.4.4. Deuxième section d’essais 

3.4.4.1. Géométrie 

La section d’essais de rechange n’a pas été dimensionnée avec autant de minutie que les 

précédentes pour des raisons de temps. Comme il s’agissait d’aller au plus vite, pour sa 

fabrication nous avons utilisé des structures préfabriquées qui ont conditionné sa géométrie. 

La section d’essais est alors un échangeur classique à contre-courant composé de trois canaux 

(Figure 3-21). Les canaux froids sont des « règles de maçon » creuses en aluminium de 2 m 

de long. La section de passage est de (98 × 18) mm². Les parois ne faisant qu’un millimètre 

d’épaisseur, une cloison centrale rigidifie le canal. Les deux règles sont séparées par deux 

entretoises de 10 mm afin de former un canal central pour le fluide chaud de section de 

passage de (90 × 10) mm². Les bouchons d’alimentation entrée-sortie des trois canaux sont 

usinés dans du PVC. Les règles étant en aluminium, les différents éléments sont assemblés 

par collage. Le schéma de la section d’essais est représenté sur la Figure 3-21. Le fluide chaud 

rentre verticalement par le haut de la section d’essais. Un divergent en entrée et un convergent 

en sortie permettent de limiter les zones mortes de l’écoulement. Pour des raisons 

d’encombrement, le fluide froid rentre latéralement et circule de bas en haut. Le canal étant 

séparé par une cloison, le fluide froid rentre de part et d’autre par un distributeur composé de 

trois branches. L’ensemble des canalisations entrées/sorties sont en DN 10. 

157


Schéma d’ensemble 

1 



(frigoporteur) 

98 

Coupe du bouchon d’entrée des canaux froids 

(les bouchons de sortie sont identiques). 

1 

Coupe en perspective 

des trois canaux 

2 

90 

2 

1 règle de maçon 

2 entretoise 

1 

Coupe du bouchon d’entrée du canal chaud 

(le bouchon de sortie est identique). 

Figure 3-21 : Schémas de la section d’essais 

3.4.4.2. Instrumentation 

Par rapport aux sections d’essais précédentes, l’emplacement de l’instrumentation n’a pas été 

réétudié. Elle est schématisée sur la Figure 3-22 et la Figure 3-23. 

Thermocouple centre du canal 

(∅ 1 mm) 

Fluxmètre 

Canal chaud 

Canal froid 

Canal froid 

Thermocouple de paroi 

(∅ 0,5 mm) 

Figure 3-22 : Instrumentation sur une coupe de la section d’essais 

158


− Les températures du fluide frigoporteur sont mesurées par 9 thermocouples de 1 mm de 

diamètre (T c1 à T c9 ) placés perpendiculairement à l’écoulement. Ils sont fixés par collage 

et sont en contact direct avec le fluide. 

− Les températures de paroi sont mesurées par 9 thermocouples de 0,5 mm de diamètre (T w1 

à T w9 ) collés sur la paroi sans lamage en raison de la faible épaisseur des parois. Ils sont 

placés à la même côte que les thermocouples mesurant la température du fluide. 

− Les neuf fluxmètres sont collés sans lamage à la même côte que les thermocouples sur la 

plaque opposée. 

Les thermocouples et les fluxmètres sont disposés de manière équidistante le long de la 

section d’essais. 

Entrée fluide 

frigoporteur 

T fc 1 T fc 2 T fc 3 T fc 4 T fc 5 T fc 6 T fc 7 T fc 8 T fc 9 

Sortie fluide 

frigoporteur 

T w 1 T w 2 T w 3 T w 4 T w 5 T w 6 T w 7 T w 8 T w 9 

120 mm 340 mm 560 mm 780 mm 1000 mm 1220 mm 1440 mm 1660 mm 1880 mm 

Figure 3-23 : Position des thermocouples au niveau de la section d’essai 

159


160

Résultats expérimentaux et théoriques 

Chapitre 4 : Résultats expérimentaux et théoriques 

4.1. LIMITES DE L’INSTALLATION 163 

4.1.1. PROBLÈME DE TENUE MÉCANIQUE 163 

4.1.2. PROBLÈME THERMIQUE 163 

4.1.2.1. Flux échangé 163 

4.1.2.2. Conduction dans les thermocouples 164 

4.2. FONCTIONNEMENT EN SIMPLE PHASE 166 

4.2.1. MISE EN ÉQUATION DES FLUX ÉCHANGÉS 166 

4.2.2. PRÉSENTATION DES RÉSULTATS 169 

4.2.2.1. Grille des essais 169 

4.2.2.2. Fermeture des bilans 171 


4.2.2.3.1 Coefficient d’échange global expérimental 174 

4.2.2.3.2 Utilisation des mesures de températures de paroi 175 

4.2.2.3.3 Comparaison avec les corrélations de la littérature 176 

4.2.2.4. Etalonnage des fluxmètres 179 

4.2.2.4.1 Détermination de leur sensibilité 179 

4.2.2.4.2 Calcul d’incertitudes 181 

4.3. ETUDE D’UNE SUSPENSION AVEC DES PARTICULES CHARGÉES EN MCP 182 

4.3.1. PRÉSENTATION GÉNÉRALE 183 

4.3.2. ECHANGES THERMIQUES 184 

4.3.2.1. Bilans dans la section d’essais 184 

4.3.2.1.1 Fluide chaud 184 

4.3.2.1.2 Fluide froid 184 

4.3.2.1.3 Fluxmètres 185 

4.3.2.1.4 Analyse des flux échangés 185 

4.3.2.2. Bilans dans la boucle 186 

4.3.2.3. Energie stockée sous forme latente 188 

4.3.2.3.1 Evaluation à partir des résultats expérimentaux 188 

4.3.2.3.2 Evaluation de la fraction de particule qui décongèle à l’extérieur de la 

section d’essais 190 

4.3.2.4. Interprétation des résultats 194 

4.3.2.4.1 Profils de température 194 

4.3.2.4.2 Pertes de charge 195 

4.3.2.4.3 Flux échangés 197 


4.3.2.5.1 Méthode de calcul 202 

4.3.2.5.2 Coefficient d’échange entre les deux fluides 204 

4.3.2.5.3 Coefficient d’échange dans le canal chaud 207 

4.3.2.5.4 Comparaison avec les corrélations de la littérature 213 

161


162


4.1. Limites de l’installation 

4.1.1. Problème de tenue mécanique 

Les différents éléments de la section d’essais, en aluminium, sont assemblés par collage. Lors 

du remplissage de la boucle et de la mise en circulation des fluides, les pressions ont déformé 

les parois trop fines des canaux provoquant des fuites au niveau des collages : des fuites 

externes le long des entretoises et peut être également des fuites internes entre le canal froid et 

le canal chaud (mauvaise étanchéité au niveau des passage des thermocouples mesurant la 

température au centre du canal chaud). 

Les fuites externes ont été colmatées en noyant intégralement la section d’essais dans un bloc 

de résine époxy. Par contre, les hypothétiques fuites internes n’ont pu être bouchées car cette 

partie de la section d’essais n’est pas accessible. Le R141b, utilisé comme fluide froid, est 

remplacé par de l’huile Syltherm HF et, pour réduire les fuites, les pressions dans les deux 

circuits sont équilibrées. 

4.1.2. Problème thermique 

4.1.2.1. Flux échangé 

Les modifications progressives apportées à la section d’essais ont fortement diminué ses 

capacités d’échange thermiques. 

Au niveau du canal chaud, l’écoulement étant déjà laminaire dans les premières géométries 

dimensionnées, on peut estimer que l’augmentation de la section de passage (le diamètre 

hydraulique est augmenté d’un facteur deux) ne divise que par deux le coefficient d’échange. 

Par contre au niveau du canal froid, les modifications sont plus importantes. Initialement, le 

R141b s’écoulait dans des micro-canaux de faible diamètre hydraulique permettant d’être en 

régime d’écoulement de transition. Dans cette nouvelle géométrie, le diamètre hydraulique est 

fortement augmenté et le R141b est remplacé par une huile cinq fois plus visqueuse. Par 

conséquent, à débit équivalent, le nombre de Reynolds est divisé par vingt et le régime 

d’écoulement devient laminaire. Le coefficient d’échange estimé dans le canal froid chute de 

640 à 107 W.m -2 .K -1 avec l’augmentation du diamètre hydraulique, puis à 30 W.m -2 .K -1 avec 

le changement de fluide « froid ». Le débit nécessaire pour repasser en régime de transition 

serait alors de 5 m 3 .h -1 . Même en mettant deux pompes en série, ce débit ne peut être atteint 

avec les pompes disponibles. 

163


La chute des performances thermiques de la section d’essais sont récapitulées dans le Tableau 

4-1. Les flux échangés dans la section d’essais de rechange sont trop faibles pour congeler la 

totalité des particules en un seul passage (cf. Tableau 3-1). Les essais doivent donc être 

réalisés en régime transitoire et l’évolution des températures se fait essentiellement dans le 

temps et non dans l’espace. 

Courant croisé – 200 microcanaux 

Côté froid Côté chaud 

R141b (2b×l) = (5×170) 

mm² 

Courant croisé – 60 microcanaux 

Côté froid Côté chaud 

R141b (2b×l) = (5 × 170) 

mm² 

Contre-courant – 1 seul canal 

Côté froid 

Huile 

Syltherm HF 

Côté chaud 

(2b×l) = (10 × 90) 

mm² 

h (W.m -2 .K -1 ) 2630 150 640 150 30 80 

ϕ (W) 2260 1540 235 

Tableau 4-1 : Récapitulatif des transferts de chaleur estimé dans les trois géométries de canaux 

dimensionnées 

4.1.2.2. Conduction dans les thermocouples 

Les thermocouples de 1 mm de diamètre, placés au centre du canal chaud, traversent sur 18 

mm un canal à une température pouvant descendre jusqu’à –25 °C et ressortent seulement sur 

5 mm dans le canal chaud (Figure 4-1). L’écoulement étant laminaire, les échanges convectifs 

entre la tête du thermocouple et le fluide chaud sont faibles et la conduction dans la gaine du 

thermocouple en acier inoxydable et dans l’alumine devient non négligeable. L’intérieur du 

thermocouple est soumis à un fort gradient de température et la soudure en Cuivre-Constantan 

n’est pas à la température du fluide chaud. Par conséquent, ces thermocouples ne mesurent 

pas la température du fluide, mais une température plus froide. 

A 


A 

B 

18 mm 

5 mm 

B 


froid 


froid 

B 

Alumine 

(isolant) 

B 

Figure 4-1 : Coupe dans la section d’essais 

au niveau d’un passage de thermocouple 

Gaine en acier 

inoxydable 

Soudure Cuivre- 

Constantan 

164


Afin d’évaluer l’erreur engendrée par ces problèmes de conduction, les échanges thermiques 

ont été modélisés avec le logiciel TRIO ® . La Figure 4-2 représente les profils de température 

obtenus suivant une coupe dans l’épaisseur de la section d’essais dans les plans AA et BB. 

Les échanges thermiques modélisés prennent en compte la conduction dans la gaine en acier 

inoxydable et dans la garniture en alumine et les échanges convectifs autour du thermocouple 

dans le canal froid et dans le canal chaud. Pour les conditions d’entrée modélisées 

(Q fc = 4,5 L.min -1 ; T fc = 0 °C ; Q ff = 3,75 m 3 .h -1 ; T ff = -25 °C), la soudure du thermocouple 

est à –1,6 °C. L’écart de température entre la soudure et le fluide est donc égale à 1,6 K. On 

en conclut que ces thermocouples, initialement prévus pour réaliser des mesures locales, sont 

inutilisables. Les bilans réalisés sur la section d’essais sont donc globaux et les valeurs des 

fluxmètres sont moyennées à l’exception des deux placés aux extrémités qui ne sont pas pris 

en compte. 

5 

0 

Température de la gaine 

en acier inoxydable 

DT=1,6 K 

(Erreur de mesure) 

température 

-5 

-10 

-15 

Température de l'alumine 

(isolant) 

Soudure du 

thermocouple 

Profil de température dans une 

épaisseur de la section d'essais 

passant au cœur du 

thermocouple (coupe BB) 

Profil de température dans une 

épaisseur de la section d'essais 

en amont du thermocouple 

(coupe AA) 

-20 

-25 

Parois 

-30 

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 

épaisseur 

Figure 4-2 : Profils de températures dans la section d’essais suivant la coupe AA et la coupe BB. 

Température d’entrée du fluide froid : –25°C - Débit froid ascendant dans un canal : 375 L/h 

Température d’entrée fluide chaud : 0°C - Débit chaud descendant : 4,5 L/min 

165


4.2. Fonctionnement en simple phase 

4.2.1. Mise en équation des flux échangés 

La Figure 4-3 schématise l’évolution axiale de la température des fluides et une coupe dans 

l’épaisseur de la section d’essais avec les différents matériaux qui composent l’enveloppe et 

les flux thermiques échangés. 

0 

T fce 

T ff (z) T fc (z) 

dz 

T ff (z+dz) T fc (z+dz) 

Z 

T fcs 

T 

Paroi en aluminium 

résine 

bois 

isolant 

ϕ ext ϕ r 


ϕ fc 


ϕ r 

ϕ ext 

Figure 4-3 : Schéma des profils de température le long de la section d’essais et coupe dans 

l’épaisseur (Y) de la section d’essais 

La mise en équation des flux échangés au niveau de la section d’essais doit prendre en compte 

la nature transitoire des essais, les perturbations externes occasionnées par l’inertie de 

l’enveloppe en résine qui a une capacité thermique non négligeable (1750 J.kg -1 .K -1 pour 25 

kg de résine), ainsi que les échanges thermiques avec le milieu ambiant. 

Les différents flux échangés sur une hauteur dz s’expriment de la manière suivante : 

− pour le fluide chaud : 

− pour le fluide froid : 

∂T 

fc 

∂T 

fc 

dϕ fc 

= ρ 

fcCp 

fcS 

fcdz 

+ M 

fcCp 

fc 

dz 

∂t 

∂z 

(4-1) 

∂T 

ff 

∂T 

ff 

dϕ ff 

= ρ 

ff 

Cp 

ff 

S 

ff 

dz − M 

ff 

Cp 

ff 

dz 

∂t 

∂z 

(4-2) 

− pour le refroidissement de l’enveloppe composée de résine, de bois et d’isolant : 

d 

r 

∂Tr 

= ρ 

rCpr 

S 

rdz 

∂t 

ϕ (4-3) 

166


S fc , S ff et S r sont respectivement les « sections » du canal chaud, des canaux froids et celle de 

l’enveloppe. 

− pour les échanges avec l’extérieur, le flux doit traverser une épaisseur de résine 

comprise entre 4 et 30 mm suivant les faces (k=0,360 W.m -1 .K -1 ), une épaisseur 

d’isolant de 15 mm (armaflex - k=0,038 W.m -1 .K -1 ) et une épaisseur de bois de 

15 mm sur trois des faces (k=0,162 W.m -1 .K -1 ). Le coefficient d’échange avec le 

milieu ambiant extérieur est pris égale à 5 W.m -2 .K -1 (ordre de grandeur des 

échanges par convection naturelle entre une surface solide et de l’air). Le 

coefficient d’échange linéique, K vaut 1,35 W.m -1 .K -1 . Les détails du calcul sont 

donnés en annexe. Le flux échangé sur les quatre faces de l’enveloppe s’écrit 

donc : 

d 

ext 

= K ( T − T )dz 

ϕ (4-4) 

wr 

avec T wr la température de la résine en contact avec la paroi du canal froid et T ext la 

température extérieure. 

Le bilan thermique global donne donc : 

d 

ff 

ext 

ϕ (4-5) 

+ dϕ 

fc 

+ dϕ 

r 

+ dϕ 

ext 

Etant donnée la géométrie de la section d’essais, le fluide chaud n’échange qu’avec le fluide 

froid. Par conséquent, nous pouvons écrire que : 

d 

fc 

= h( 

z) 

2l 

dz 

( T − T ) 

ff 

fc 

= 0 

ϕ (4-6) 

avec h(z) le coefficient d’échange local entre les deux fluides, l la largeur du canal chaud, 

(T ff - T fc ) l’écart local de température à la côte z entre le fluide froid et le fluide chaud. 

Cependant, seules les températures d’entrée et de sortie des deux fluides sont mesurées. Nous 

devons donc intégrer l’équation (4-6) entre l’entrée et la sortie de la section d’essais et obtenir 

ainsi un coefficient d’échange global entre les deux fluides. 

Pour cela, il faut connaître le profil suivant z de l’écart de température entre le fluide froid et 

le fluide chaud. En soustrayant l’équation (4-1) de l’équation (4-2), nous obtenons : 

⎛ ∂T 

ff 

⎜ 

⎝ ∂z 

∂T 

fc 

− 

∂z 

⎞ dϕ 

ff 

⎟ dz = − 

⎠ M 

ff 

Cp 

ff 

dϕ 

fc 

− 

M 

Cp 

fc 

fc 

⎛ ρ 

ff 

S 

+ ⎜ 

⎝ M 

ff 

ff 

∂T 

ff 

∂t 

ρ 

fcS 

+ 

M 

fc 

fc 

∂T 

⎞ 

c ⎟dz 

∂t 

⎠ 

(4-7) 

En combinant les équations (4-3), (4-4) et (4-5), le flux froid s’écrit : 

167


− d 

Ainsi, l’équation (4-7) donne : 

en posant 

∂T 

∂t 

dz + K ( T − T )dz 

r 

ϕ 

ff 

= dϕ 

fc 

+ ρ 

rCpr 

S 

r 

wr ext 

(4-8) 

∂ 

∂z 

( T − T ) dz = B d C dz 

ff fc 

fc 

+ 

ϕ (4-9) 

⎛ 

B = ⎜ 

⎝ M 

ff 

1 

Cp 

ff 

− 

M 

fc 

1 

Cp 

fc 

⎞ 

⎟ 

⎠ 

(4-10) 

⎛ρ 

ff 

S 

et C = ⎜ 

⎝ M 

ff 

ff 

∂T 

ff 

∂t 

ρ 

fcS 

+ 

M 

fc 

fc 

∂T 

fc 

∂t 

ρ 

r 

S 

rCp 

+ 

M 

Cp 

ff 

r 

ff 

∂T 

∂t 

r 

K 

+ 

M 

( T −T 

) 

En prenant l’expression de dϕ fc de l’équation (4-6), l’équation (4-9) devient : 

wr 

ff 

Cp 

ff 

ext 

⎞ 

⎟ 

⎠ 

(4-11) 

∂ 

∂z 

( T − T ) = Bhl( T − T ) C 

2 (4-12) 

ff fc 

ff fc 

+ 

La résolution analytique de cette équation du premier ordre avec second membre nécessite de 

faire quelques hypothèses : 

− l’évolution temporelle des températures pour un espace de temps égal au temps 

d’acquisition est indépendante de la position ; 

− le coefficient d’échange h et la température T wr ne dépendent pas de z. 

La première hypothèse est justifiée, mais pas la seconde puisque le profil thermique n’est pas 

établi. Cependant, les mesures expérimentales ne permettent pas de remonter au coefficient 

d’échange local et nous sommes obligés pour intégrer analytiquement l’équation (4-12) entre 

0 et L de sortir h de l’intégrale. En prenant comme condition limite (T ff - T fc ) = (T ffs – T fce ) en 

z = 0 la solution est : 

⎡ C 

⎤ 

( T T ) = + ( T − T ) exp( 2Bhl 

z) 

ff 

fc 

⎢ 

⎣2Bhl 

ffs 

fce 

⎥ 

⎦ 

C 

− 

2Bhl 

− (4-13) 

Ainsi, l’intégration de l’équation (4-6) entre z = 0 et z = L donne : 

fc 

( T − T ) 

⎡ C 

ffs fce ⎤ 

= ⎢ + ⎥ 

1 

⎣2B 

2 hl B ⎦ 

( exp( 2Bhl 

L) 

− ) 

CL 

− 

B 

ϕ (4-14) 

L’expression du flux peut s’écrire plus simplement en remplaçant l’exponentielle par une 

formulation différente de l’équation (4-13) en z = L : 

168


exp 

( 2BhlL) 

( T − T ) 

ffe 

( T − T ) 

ffs 

fcs 

fce 

C 

+ 

2Bhl 

C 

+ 

2Bhl 

soit : = 1 [( T − T ) − ( T − T ) − CL] 

fc 

B 

ffe 

fcs 

= (4-15) 

ϕ (4-16) 

Il est intéressant de noter que dans le cas particulier où les termes inertiels et les échanges 

avec l’extérieur sont nuls (C = 0), l’équation (4–15) se simplifie : 

et l’équation (4–16) s’écrit : 

ϕ 

exp 

ou bien 

fc 

= 2hlL 

( 2BhlL) 

= 

ffs 

1 

B = ln 

2hlL 

fce 

( T 

ffe 

− T 

fcs 

) 

( T 

ffs 

− T 

fce 

) 

( T 

ffe 

− T 

fcs 

) 

( T − T ) 

ffs 

fce 

[( T 

ffe 

− T 

fcs 

) − ( T 

ffs 

− T 

fce 

)] 

( T 

ffe 

− T 

fcs 

) 

ln 

( T − T ) 

soit l’expression classique du flux en fonction d’une température logarithmique. 

4.2.2. Présentation des résultats 

ffs 

fce 

4.2.2.1. Grille des essais 

Différentes expériences ont été réalisées en simple phase en vue : 

- de valider le bon fonctionnement de l’instrumentation ; 

- de vérifier la fermeture des bilans au niveau des échanges de chaleur ; 

- de déterminer le coefficient de transfert global au niveau de la section d’essais ; 

- d’étalonner les fluxmètres in-situ. 

Par ailleurs, ces essais ont permis de déterminer les potentialités de la boucle FIPO et de 

définir le protocole opératoire pour les essais en diphasique. Ces derniers se faisant en 

transitoire, la boucle a été soumise à des refroidissements successifs dans différentes gammes 

de température afin de mettre en lumière tous les phénomènes inhérents à ce régime de 

fonctionnement (Essais N°1, N°4 et N°5). La variation du débit a permis de constater qu’en 

régime laminaire, les transferts de chaleur ne semblent pas dépendre du nombre de Reynolds. 

Des essais à température constante dans le canal « froid » ont permis de limiter les effets 

inertiels (Essais N°2 et N°3) et montrer ainsi leur impact sur la fermeture des bilans. Les 

169


conditions opératoires pour les essais en simple phase sont consignées dans le Tableau 4-2. La 

Figure 4-4 et la Figure 4-5 montrent le profil de température obtenu au cours de l’essai Fipo 

19 et Fipo 21. Les essais ont été dépouillés de manière identique et donnent des résultats 

cohérents entre eux. 

Nom de 

l’essai N° 

Fipo 19 

Fipo 21 

Températures 

moyennes du 


(°C) 

Températures 

moyennes du 


(°C) 

Ecart de 

température 

moyen entre 

les fluides (K) 

Vitesse de 

descente en 

température du 


(K.s -1 ) 

Débit 

massique du 


(kg.h -1 ) 

1 [20 ;-9] [10 ;-27] [10 ;18] 0,85 100 

2 [-10 ;-12] stable : -27 [15 ;17] - 100 

3 [-17 ;-20] stable : -35 [15 ;18] - 160 

4 [13 ;-8] [0 ;-25] [14 ;19] 0,85 65 

5 [-5 ;-15] [-15 ;-30] [9 ;17] 0,7 85 

Lors du refroidissement, en raison de l’augmentation de la viscosité, le débit du fluide froid 

décroît en moyenne de 525 kg.h -1 à 440 kg.h -1 . 

Tableau 4-2 : Essais en simple phase 

30 

20 

10 

Tfce 

Tfcs 

Tffe 

Tffs 

Tw 

0 

-300 700 1700 2700 3700 4700 5700 6700 7700 8700 

T (°C) 

-10 

-20 

-30 

-40 

1 

2 

-50 

temps (s) 

3 

Figure 4-4 : Profil de température lors de la descente en température de la boucle et lors de deux 

stabilisations du fluide froid (Essais Fipo 19 – N°1, 6 et 7 du Tableau 4-2) 

T fce : température entrée fluide chaud – T fcs : température sortie fluide chaud 

T ffe : température entrée fluide froid – T ffs : température sortie fluide froid 

170


30 

20 

10 

Tfce 

Tfcs 

Tffe 

Tffs 

Tw 

0 

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 5000 

T (°C) 

-10 

-20 

-30 

-40 

4 

5 

-50 

temps (s) 

Figure 4-5 : Profil de température lors de la descente en température de la boucle 

(Essais Fipo 21 – N°4 et N°5 du Tableau 4-2) 

4.2.2.2. Fermeture des bilans 

Pour tester le bon fonctionnement de l’instrumentation, les flux dans le canal chaud et le canal 

froid, les pertes vers l’extérieur et l’inertie de l’enveloppe en résine sont calculés à partir des 

mesures de températures et de débits, puis additionnés afin de valider l’équation (4–5). 

Pour simplifier le calcul des flux, les variations de la température sont supposées linéaires 

suivant z et sur un pas de temps (25 s). Ainsi, l’intégration des équations (4-1), (4-2) et (4-3) 

sur toute la longueur L de la section d’essais et sur deux temps successifs d’acquisition (n et 

n+1), donne : 

⎛ T 

⎜ 

⎝ t 

n+ 

1 

fc 

fc 

= ρ 

fcCp 

fcS 

fc 

L⎜ 

n+ 

1 

− T 

− t 

n 

fc 

n 

⎞ 

⎟ + M 

⎠ 

fc 

Cp 

fc 

( T − T ) 

ϕ (4-17) 

avec T 

fc 

la température moyenne du fluide chaud dans la section d’essais. 

⎛ T 

⎜ 

⎝ t 

n+ 

1 

ff 

ff 

= ρ 

ff 

Cp 

ff 

S 

ff 

L⎜ 

n+ 

1 

− T 

− t 

n 

ff 

n 

⎞ 

⎟ − M 

⎠ 

ff 

Cp 

ff 

fcs 

fce 

( T − T ) 

ϕ (4-18) 

avec T 

ff 

la température moyenne du fluide froid dans la section d’essais. 

ffe 

ffs 

171


ρ Cp 

S 

L 

r 

= 

r r r + 

n+ 

1 n 

( Tr 

− Tr 

) 

n 1 n 

( t − t ) 

ϕ (4-19) 

Ces bilans ont été appliqués sur les relevés de températures et de débits de l’essai N°3 où la 

température du fluide froid est constante (les oscillations observées sur la Figure 4-4, sont 

dues au système de régulation du groupe froid [vanne tout ou rien]). Les courbes de 

température ont été lissées pour éviter d’avoir de fortes fluctuations sur les termes inertiels 

(dérivés). Les flux sont représentés sur la Figure 4-6. Les termes inertiels sur les fluides ont 

peu d’influence (courbes en traits fins confondues avec celles aux traits épais). Par contre, 

l’inertie de la résine ainsi que les pertes avec l’extérieur ne sont pas négligeables. 

500 

450 

400 

350 

Flux (W) 

300 

250 

200 

150 

100 

50 

0 

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 

temps (s) 

Flux chaud sans inertie [terme convectif de l'éq. (4-17)] 

Flux chaud [éq. (4-17)] 

Flux froid sans inertie [terme convectif de l'éq (4-18)] 

Flux froid sans inertie [terme convectif de l'éq (4-18)] + Inertie résine [éq. (4-19)] + Pertes avec l'ext. [éq. (4-4)] 

Flux froid [éq (4-18)] + Inertie résine [éq. (4-19)] + Pertes avec l'ext. [éq. (4-4)] 

Figure 4-6 : Flux froid et flux chaud échangés (Essai Fipo 19 – N°3) 

Les flux représentés sur la Figure 4-7, calculés à partir des relevés de températures de l’essai 

N°1, montrent que lors d’une descente en température, l’inertie des fluides devient nonnégligeable 

et doit être prise en compte pour arriver à une quasi égalité des flux échangés. 

172


900 

800 

700 

600 

Flux (W) 

500 

400 

300 

200 

100 

0 

0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000 

temps (s) 

Flux chaud sans inertie [terme convectif de l'éq.(4-17)] 

Flux chaud [éq. (4-17)] 

Flux froid sans inertie [terme convectif de l'éq. (4-18)] 

Flux froid sans inertie [terme convectif de l'éq. (4-18)] + Inertie résine [éq. 4-19)] + Pertes avec l'ext. [éq. (4- 4)] 

Flux froid [éq (4-18)] + Inertie résine [éq. 4-19)] + Pertes avec l'ext. [éq. (4-4)] 

Figure 4-7 : Flux froid et flux chaud échangés (Essai Fipo 19 – N°1) 

Cependant, l’ajout des termes inertiels dans les bilans ainsi que l’évaluation des pertes avec 

l’extérieur introduisent de grosses incertitudes sur les calculs des flux. La Figure 4-8 

représente l’erreur relative commise sur la fermeture des bilans 

⎛ ϕ 

ff 

+ ϕ 

fc 

+ ϕ 

r 

+ ϕ 

⎜ 

⎝ ϕ 

fc 

ext 

⎞ 

⎟ ×100. 

⎠ 

L’erreur commise est de l’ordre de 10 %, mais peut monter jusqu’à 20 % lors du début du 

refroidissement de l’installation lorsque les termes inertiels sont très importants (10 premières 

minutes de l’essai N°1). 

Ce paragraphe a mis en évidence l’importance des phénomènes inertiels dans les échanges 

thermiques. L’inertie de l’enveloppe en résine et les échanges avec l’extérieur représentent en 

moyenne la moitié du flux échangé par le fluide froid. Cependant, leur évaluation n’est pas 

suffisamment précise pour pouvoir utiliser le bilan sur le fluide froid dans l’interprétation des 

données sans introduire de nombreuses incertitudes. Par conséquent, par la suite, le flux 

calculé sur le fluide chaud est préférentiellement utilisé, car il n’y a pas de perte sur ce circuit. 

173


25 

20 

Erreur relative (%) 

15 

10 

5 

0 

-5 

Essai N° 1 

Essai N° 7 

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 

-10 

-15 

temps (s) 

Figure 4-8 : Erreur relative faite sur la fermeture des bilans sur les essais Fipo 19 - N°1 et N°7 

4.2.2.3. Coefficient d’échange 

 

&RHIILFLHQWGpFKDQJHJOREDOH[SpULPHQWDO 

Pour prendre en compte les effets inertiels sur les transferts de chaleur, le coefficient 

d’échange global est calculé à partir de l’équation (4-14). Cette équation n’étant pas linéaire 

en h, sa résolution se fait par des calculs itératifs. Les différents termes intervenant dans 

l’équation (4-14) sont évalués : 

− pour le flux chaud ϕ fc , à partir de l’équation (4-17) ; 

− pour B à partir de l’équation (4-10) ; 

− pour C à partir de l’équation (4-11). 

La Figure 4-9 représente les coefficients d’échange calculés pour l’ensemble des essais. Ils 

sont représentés au cours du temps, ce dernier étant initialisé pour chaque essai. 

174


50 

45 

40 

35 

h (W/m²/K) 

30 

25 

20 

15 

10 

5 

essai N°1 (éq.4-14) 





corrélation littérature 

0 

12 512 1012 1512 2012 2512 3012 

temps (s) 

Figure 4-9 : Coefficient d’échange global calculé avec l’équation (4-14) 

Le coefficient d’échange global est pratiquement constant et vaut environ 40 W.m -2 .K -1 . Il ne 

présente aucune dépendance significative en fonction du débit ou des températures du fluide 

chaud ou froid. Ce coefficient trouvé en monophasique servira de référence dans les essais en 

diphasique pour mesurer l’influence des particules sur les transferts de chaleur. L’écart entre 

le coefficient d’échange calculé à partir des corrélations de la littérature et le coefficient 

d’échange expérimental est expliqué ultérieurement. 

 

8WLOLVDWLRQGHVPHVXUHVGHWHPSpUDWXUHVGHSDURL 

Les températures de paroi sont mesurées suivant z par huit thermocouples (le neuvième 

thermocouple placé en z = 1880 mm a été détérioré lors de sa mise en place). Les profils de 

température de paroi obtenu pour l’essai Fipo 19 - N°1 aux temps t = 200 s et t = 1400 s sont 

représentés sur la Figure 4-10. Le rayon de courbure de la courbe aux deux extrémités montre 

que les effets d’entrée ne sont pas négligeables : en z = 0, zone d’entrée du fluide chaud, le 

coefficient d’échange côté chaud est nettement supérieur à celui côté froid (T w tend vers T fce ) 

et en z = L, zone d’entrée du fluide froid, l’équilibre s’inverse (T w tend vers T ffe ). Par 

conséquent, l’hypothèse d’un coefficient d’échange constant suivant z est fausse et entraîne de 

nombreuses erreurs dans notre méthode. 

175


Tw (°C) 

10 

8 

6 

4 

2 

0 

-2 

-4 

-6 

-8 

t=200 s 

0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000 

Tw Tfc Tff Z (mm) régression de courbe de lissage 

0 

-5 

Tw (°C) 

-10 

-15 

t=1400 s 

-20 

-25 

0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000 

Z (m) 

Figure 4-10 : Profils des températures des deux fluides et de la paroi dans la section d’essais 

(Essai Fipo 19 – N°1 – t=200 s et t = 1400 s) 

Les mesures de températures de paroi devaient initialement nous permettre de remonter aux 

coefficients d’échange dans le canal chaud et le canal froid. Cependant, la présence de termes 

inertiels dans nos bilans complique les calculs. Pour simplifier, on pourrait négliger ces 

termes inertiels et calculer les coefficients d’échange en utilisant l’écart de température 

logarithmique. Mais l’extrapolation des températures de paroi aux bornes de la section 

d’essais à partir des points expérimentaux est une entreprise qui engendre des incertitudes et 

présente donc un intérêt très limité. Les mesures de températures de paroi ne sont donc pas 

exploitées. Elles montrent seulement les limites de nos hypothèses vis-à-vis de la dépendance 

de h en fonction de z. 

 

&RPSDUDLVRQDYHFOHVFRUUpODWLRQVGHODOLWWpUDWXUH 

Les corrélations proposées dans la littérature pour calculer les nombres de Nusselt moyens, le 

sont pour des conditions simples aux frontières, comme une température de paroi constante ou 

un flux constant. Elles s’appliquent pour des géométries précises qui ne correspondent pas 

forcément à celles étudiées. Du côté du circuit froid, les canaux rectangulaires, au nombre de 

4 si nous prenons en compte la cloison centrale, ont un rapport de 0,367 entre leur épaisseur et 

leur largeur. Les conditions les plus proches de notre étude sont un flux constant en paroi avec 

176


un profil thermique en cours d’établissement. La corrélation la mieux adaptée est celle issue 

des résultats de Wibuswas (cité par Shah et London, 1978), valable pour un rapport de 1/3 : 

avec 

−0,28 

Nu = 2,46 L * 

(4-20) 

L 

* 

L 

= 

D Re Pr 

Pour le canal chaud qui a un rapport épaisseur sur largeur de 1/9, sa géométrie se rapproche 

plus de celle des plaques infinies. Les corrélations proposées dans la littérature sont données, 

suivant la valeur de L*, par les équations (1-51), (1-52) et (1-53). 

Pour pouvoir comparer les résultats de la littérature avec nos résultas expérimentaux, les 

nombres de Nusselt de chaque canal sont convertis en un coefficient d’échange global entre 

les deux fluides par les relations suivantes : 

Nu fck 

fc 

h fc = et 

D 

1 1 

= 

h h 

fc 

h fc 

1 

+ 

h 

ff 

+ 

e 

k 

h 

Nu 

h ff = 

D 

w 

ff 

k 

h ff 

ff 

(4-21) 

avec h fc le coefficient d’échange entre le fluide chaud et la paroi, h ff le coefficient d’échange 

entre le fluide froid et la paroi, e l’épaisseur de la paroi et k w sa conductivité. La valeur 

obtenue pour le coefficient d’échange dans le canal froid à partir de l’équation (4-20) pour 

l’ensemble des essais est de l’ordre de 47 W.m -2 .K -1 et celle trouvée dans le canal chaud est de 

68 W.m -2 .K -1 pour les essais N°1 et 3, de 74 W.m -2 .K -1 pour l’essai N°2, 62 W.m -2 .K -1 pour 

l’essai N°4 et 66 W.m -2 .K -1 pour l’essai N°5. Le coefficient d’échange global ainsi trouvé 

vaut en moyenne 28 W.m -2 .K -1 . Il est comparé aux valeurs expérimentales sur la Figure 4-9. 

Nous constatons que ces corrélations de la littérature utilisées pour évaluer un coefficient 

d’échange global entre les deux fluides sous-évaluent les échanges par rapport aux résultats 

expérimentaux. Dans le canal froid, il s’avère effectivement, que la corrélation choisie ne 

correspond pas parfaitement aux conditions opératoires. Le paragraphe sur la fermeture des 

bilans a montré que les flux échangés sur les quatre faces du canal froid ne sont pas égaux : le 

fluide froid échange un flux ϕ fc avec la paroi interne en contact avec le fluide chaud et un flux 

(ϕ ff - ϕ fc ) avec la paroi externe en contact avec la résine. Suivant l’importance des termes 

inertiels et des pertes avec l’extérieur, le rapport entre ces deux flux varie. Il est représenté sur 

la Figure 4-11 pour les différents essais. 

177


Rapport des flux échangés par le fluide froid sur la 

face externe et interne du canal 

3,0 

2,5 

2,0 

1,5 

1,0 

0,5 

0,0 

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 

temps (s) 

Essai N° 1 

Essai N° 2 

Essai N° 3 

Essai N° 4 

Essai N° 5 

Figure 4-11 : Rapport des flux échangés par le fluide froid sur la face externe et interne du canal au cours 

( ϕ ) 

ff − ϕ fc 

du refroidissement de la boucle : 

Les intervalles de températures des essais en monophasique les plus proches de ceux réalisés 

en diphasique sont ceux des essais N°1 et N°4. Dans ces conditions, le flux échangé sur la 

face externe du canal est 2 à 2,5 fois plus important que le flux échangé avec la face interne. 

Les corrélations trouvées dans la littérature pour des flux non uniformes s’appliquent 

seulement pour des régimes thermiques établis dans des plaques parallèles (Shah et London – 

1978). Si le flux (ϕ 1 ) échangé sur une plaque est différent du flux (ϕ 2 ) échangé sur l’autre 

plaque, les nombres de Nusselt sur chaque plaque ne sont pas équivalents et valent : 

ϕ 

fc 

140 

Nu = 

et 

1 

⎛ ϕ ⎞ 

2 

26 − 9⎜ 

⎟ 

⎝ 

ϕ1 

⎠ 

2 

140 

= 

⎛ ϕ ⎞ 

1 

26 − 9⎜ 

⎟ 

⎝ 

ϕ2 

⎠ 

Nu (4-22) 

alors que si les flux sont égaux sur les deux plaques, Nu = 8,23. 

L’utilisation de ces corrélations pour évaluer l’augmentation du coefficient d’échange entre le 

fluide froid et la paroi interne lorsque les flux ne sont pas uniformes donne : 

( h ff ) 

( h ) 

ff 

flux non−uniforme 

flux uniforme 

Nuint 

= 

8,23 

erne 

140 

= 

⎛ ϕ 

8,23 

⎜26 

−9 

⎝ ϕ 

externe 

int erne 

⎞ 

⎟ 

⎠ 

178


Les valeurs trouvées sont présentées dans le Tableau 4-3. Les écarts observés entre les 

résultats expérimentaux et théoriques peuvent donc provenir de la non-uniformité des flux 

échangés dans le canal froid sur ses quatre faces. 

externe 

ϕ int erne 

Dans le canal froid 

h 

h flux non-uniforme 

ff flux non−uniforme 

si h flux uniforme = 47 

h 

W.m -2 .K -1 

ϕ ( ) 

( ff ) 

flux uniforme 

global 

h 

si h fc = 68 

W.m -2 .K -1 

2 2,1 100 40 

2,5 4,8 228 52 

Tableau 4-3 : Amélioration des échanges entre le fluide froid et la paroi interne 

par une répartition non uniforme des flux sur les quatre faces du canal froid 

Le rapport de 2 entre le flux externe et le flux interne donne la meilleure concordance entre le 

coefficient d’échange global expérimental et théorique. A partir de cette étude comparative, la 

corrélation (4-20) peut être ajustée à nos conditions opératoires : 

= 5,23 L* 

−0,28 

Nu ff 

(4-23) 

Les températures de paroi n’étant pas exploitables, cette expression du nombre de Nusselt 

dans le canal froid sera utilisée lors des essais en diphasique. La nature diphasique du fluide 

chaud ne modifiant pas les échanges dans le canal froid, le coefficient d’échange global entre 

les deux fluides et le coefficient dans le canal froid permettront de déduire le coefficient dans 

le canal chaud. Ainsi les effets des particules sur les échanges thermiques seront plus 

apparents. 

4.2.2.4. Etalonnage des fluxmètres 

Pour des raisons exposées dans le chapitre 3, les fluxmètres doivent être étalonnés in-situ afin 

de déterminer un coefficient de proportionnalité (appelé aussi sensibilité) entre le signal qu’ils 

délivrent et le flux échangé entre les deux fluides. 

 

'pWHUPLQDWLRQGHOHXUVHQVLELOLWp 

Les fluxmètres sont placés le long de la section d’essais et donnent des mesures locales. Les 

thermocouples mis en place et exploitables ne donnent que les températures d’entrée et de 

sortie des deux fluides. Un modèle permet de remonter à la distribution des températures 

suivant z. La section d’essais est découpée en 20 mailles. Pour chaque maille, les coefficients 

d’échange locaux sont calculés à partir des corrélations de la littérature (1- 44), (1- 45) ou (1- 

179


46) suivant la valeur de z*. Cependant, comme les corrélations de la littérature sous-estiment 

le coefficient d’échange global expérimental, un facteur multiplicatif de 1,15 corrige les 

valeurs théoriques afin de retrouver la puissance échangée expérimentalement et les 

températures de sortie des fluides. A partir des conditions d’entrée (températures d’entrée 

dans les canaux et débits), le profil de température et le flux surfacique échangé le long de la 

section d’essais sont calculés. 

Dans les essais N°2 et N°3 où les termes inertiels sont négligeables, deux points ont été 

choisis. En effet, nous avons vu dans les paragraphes précédents que la prise en compte de ces 

termes engendrait des fluctuations sur les mesures. Les résultats du modèle donnent des 

températures de sortie du fluide chaud similaires aux relevés expérimentaux et l’intégration 

des flux surfaciques sur toute la surface d’échange, correspond aux flux échangés 

expérimentalement. Par contre, comme les pertes avec l’extérieur ne sont pas prises en 

compte dans le modèle, le réchauffement du fluide froid est moins important. Cette 

concordance des résultats valide l’approche faite pour évaluer les coefficients d’échange. 

Les sensibilités trouvées pour les neuf fluxmètres sont données dans le Tableau 4-4. 

N° fluxmètres 1 2 3 4 5 6 7 8 9 

Emplacement 

suivant z (mm) 

Sensibilité 

(mV.W -1 .cm 2 ) 

120 340 560 780 1000 1220 1440 1660 1880 

4,2 7,5 5,3 3,8 2,9 5,3 6,2 6,3 9 

Tableau 4-4 : Sensibilités des fluxmètres 

La sensibilité trouvée est ensuite utilisée pour calculer les flux surfaciques de l’ensemble des 

points de mesures effectués au cours des essais. Les flux surfaciques sont intégrés sur toute la 

surface de la section d’essais puis comparés au flux calculés dans le canal chaud par 

l’équation (4-17). En raison des effets d’entrée dus à la géométrie de la section d’essais (cf. 

figure 3- 20), les mesures des fluxmètres placés aux extrémités ne sont pas prises en compte. 

La Figure 4-12 représente le rapport du flux mesuré par les fluxmètres sur le flux calculé par 

l’équation (4-17) en fonction du flux calculé par l’équation (4-17). 

180


1,2 

flux fluxmètres / flux chaud (éq. 4-17) 

1,0 

0,8 

0,6 

0,4 

0,2 

Essai N°1 

Essai N°2 

Essai N°3 

Essai N°4 

Essai N°5 

0,0 

0 50 100 150 200 250 300 350 

flux chaud [éq. (4-17)] (W) 

Figure 4-12 : Vérification sur l’ensemble des essais de la validité des sensibilités trouvées pour les 

fluxmètres 

 

&DOFXOGLQFHUWLWXGHV 

Les erreurs commises sur l’étalonnage des fluxmètres sont de deux ordres. La première, 

comme le montre la Figure 4-12, provient de l’écart entre les flux mesurés par les fluxmètres 

et ceux calculés avec l’équation (4-17) : 

1 

Erreur 1(%) = 

N 

N 

ϕ 

−ϕ 

( éq. 

4 −17) 

fc 

( éq. 

4 −17) 

fluxmètre 

× 

1∑ ϕ 

fc 

avec N le nombre de points de mesure effectué pendant l’essai. Ces erreurs sont répertoriées 

dans le Tableau 4-5. 

100 

N° Essai 1 2 3 4 5 6 7 

Erreur 1 (%) 2,4 3,2 1,8 3,8 3,9 1,5 2,3 

Tableau 4-5 : Erreur relative sur le flux mesuré par les fluxmètres par rapport au flux 

calculé par l’équation (4-17) 

A cette erreur s’additionne celle faite sur les mesures des grandeurs physiques utilisées dans 

l’équation (4-17). L’erreur sur le terme convectif est : 

∆ 

( M 

Cp ( T −T 

) = ( M 

Cp ( T −T 

) 

fc 

fc 

fcs 

fce 

fc 

fc 

fcs 

fce 

⎡∆M 

× ⎢ 

⎢⎣ 

M 

fc 

fc 

∆Cp 

+ 

Cp 

fc 

fc 

+ 

T 

2∆T 

−T 

fcs 

fce 

⎤ 

⎥ 

⎥⎦ 

181


⎛ 

∆⎜ 

ρ 

⎜ 

⎝ 

avec 

et l’erreur sur le terme inertiel est : 

fc 

Cp 

∆M 

M 

fc 

fc 

fc 

S 

fc 

⎛ T 

L⎜ 

⎜ 

⎝ t 

n+ 

1 

fc 

n+ 

1 

= 0 ,0015 ± 

− T 

− t 

n 

fc 

n 

fc 

⎞⎞ 

⎛ 

⎟⎟ 

= ⎜ ρ 

⎟⎟ 

⎜ 

⎠⎠ 

⎝ 

fc 

Cp 

fc 

S 

fc 

⎛ T 

L⎜ 

⎜ 

⎝ t 

n+ 

1 

fc 

n+ 

1 

− T 

− t 

n 

fc 

n 

⎞⎞ 

⎡ 

⎟ 

∆ρ 

⎟ × ⎢ 

⎟⎟ 

⎠⎠ 

⎢ ρ 

⎣ 

fc 

fc 

∆Cp 

+ 

Cp 

fc 

fc 

+ 

T 

2∆T 

n+ 

1 

fc 

− T 

0,12 

, ∆T = 0,2 K, ∆t = 1 s, ∆Cp 

M 

fc = 0,5 J.kg -1 .K -1 , ∆ρ = 0,2 kg.m -3 (en 

considérant que les propriétés physiques données par Dow Corning sont fiables, les incertitudes 

sur Cp fc et ρ fc proviennent seulement de leur dépendance avec la température). 

La somme de ces deux erreurs est donnée dans le Tableau 4-6. 

n 

fc 

+ 

t 

n+ 

1 

∆t 

− t 

n 

⎤ 

⎥ 

⎥⎦ 

N° Essai 1 2 3 4 5 6 7 

Erreur 2 (%) 4,6 5,5 3,6 3,6 5,9 5,9 6 

Tableau 4-6 : Erreur sur le flux calculé par l’équation (4-17) 

Par conséquent, l’erreur globale sur la mesure des fluxmètres qui est la somme des erreurs 1 

et 2, s’élève en moyenne pour l’ensemble des essais à 8 %. 

4.3. Etude d’une suspension avec des particules chargées 

en MCP 

Ce paragraphe a pour objectif de présenter les résultats relatifs au refroidissement d’une 

suspension circulant en circuit fermé. Le refroidissement se fait par passages successifs dans 

la section d’essais. Les mesures de températures sont relevées au cours du temps dans 

plusieurs endroits de la boucle FIPO. 

La prévision des transferts de chaleur du coulis de glace stabilisé dans la section d’essais est 

relativement complexe car les moyens de mesure utilisables et les conditions opératoires ne 

facilitent pas l’interprétation des phénomènes observés. 

L’analyse des résultats a été focalisée principalement sur les puissances échangées. La 

comparaison des bilans au niveau de la section d’essais (locales) et au niveau de la boucle 

(globales) a permis de s’assurer de la validité des résultats obtenus. Ils mettent en évidence un 

effet amplificateur du changement de phase sur les puissances échangées. Par contre, l’étude 

du coefficient d’échange est succincte. Devant la difficulté à définir la manière la plus juste de 

le calculer dans nos conditions opératoires, nous n’avons pu qu’émettre des hypothèses sur le 

comportement thermique de ce fluide diphasique. 

182


4.3.1. Présentation générale 

Les essais sont classés suivant deux catégories principales : 

− les premiers essais sont réalisés avec une centrale d’acquisition lente qui scrute un 

nombre important de voies ; 

− les seconds sont réalisés avec une centrale d’acquisition rapide qui permet d’avoir 

des mesures quasiment en simultané dans différents points de la boucle. 

Ces essais sont complémentaires. Les premiers permettent d’évaluer l’inertie de l’enveloppe 

en résine et mesurent les températures de paroi du canal chaud le long de la section d’essais. 

Les seconds sont incomplets au niveau des mesures mais sont plus précis temporellement. 

Les essais sont réalisés majoritairement avec une concentration volumique en particules de 20 

% et un seul est réalisé avec une concentration de 25 %. Ils sont reproductibles entre eux. La 

grille des essais utilisés dans l’analyse des résultats, est présentée dans le Tableau 4-7. 

L’acquisition débute au temps t 0 et finit au temps t f . 

N° Essai acquisition c [ ] 

v T t ); T ( t ) 

fc 

( 0 fc f 

[ T t ); T ( t )] 

ff e 

( 0 ff e f 

(°C) 

(°C) 

M 

fc 

M 

(kg.h -1 ) (kg.h -1 ) 

Fipo 01-L lente 20 % [9 ;-12] [-4 ;-27] 170 510 

Fipo 05-L lente 20 % [7,5 ;-11] [-7 ;-26] 185 500 

Fipo 06-L lente 20 % [7 ;-13] [-12,5 ;-35] 160 510 

Fipo 12-L lente 20 % [4 ;-15] [-10 ;-35] 280 490 

Fipo 01-R rapide 20 % [9 ;-16] [-8 ;-39] 185 490 

Fipo 02-R rapide 20 % [5 ;-18] [-21 ;-39] 205 460 

Fipo 03-R rapide 20 % [18 ;-17] [-10 ;-33,5] 245 460 

Fipo 04-R rapide 20 % [5,5 ;-6,5] [-10 ;-21] 260 490 

Fipo 05-R rapide 25 % [7,5 ;-11,5] [-7,5 ;-23] 260 490 

Tableau 4-7 : Grille des essais réalisés en diphasique 

Les profils de température obtenus lors de la descente en température de la boucle Fipo ont en 

général une allure similaire à ceux représentés sur la Figure 4-13. Les résultats de l’ensemble 

des essais sont présentés en annexe. Une rupture de pente autour de la température de 

solidification des particules pour le fluide chaud permet de déterminer le début du 

changement de phase. Cependant, ces profils ne permettent pas d’observer de la surfusion car 

les températures mesurées sont celles du fluide porteur. Bien que la rupture de pente du profil 

de température du fluide chaud en sortie de la section d’essais (courbe en pointillée rouge) ait 

lieu autour de –1 °C, cet écart ne révèle pas forcément de la surfusion, mais il peut être 

simplement l’écart de température nécessaire entre la particule et le fluide porteur pour qu’il 

est un échange thermique entre les deux milieux. Par contre, un bilan énergétique est 

ff 

183


nécessaire pour déterminer la fin du changement de phase. L’interprétation des profils de 

températures sera donc faite ultérieurement, après une analyse des puissances échangées. 

20 

15 

10 

5 

Tfce 

Tfcs 

Tffe 

Tffs 

Tw moyen 

T résine à la paroi du canal froid 

T résine à 2 mm de profondeur 


0 

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 

-5 

Tfc 

-10 

-15 

-20 

-25 

-30 

temps (s) 

Figure 4-13 : Profils de température pour l’essai Fipo 01-L 

Tff 

4.3.2. Echanges thermiques 

4.3.2.1. Bilans dans la section d’essais 

 

)OXLGHFKDXG 

L’évaluation de la puissance échangée peut être faite en utilisant les relevés de température du 

fluide chaud aux bornes de la section d’essais. Mais comme le changement de phase des 

particules fait intervenir de la chaleur latente, l’équation (4-17) n’est valable que lorsque les 

particules sont toutes liquides ou toutes solides. Pendant la congélation des particules, un flux 

supplémentaire s’ajoute à l’équation (4-1) qui dépend de la fraction de particules en cours de 

congélation et de leur chaleur latente. Or ce flux n’est pas mesurable expérimentalement. Le 

bilan sur le fluide chaud à partir de l’équation (4-1) est représenté sur la Figure 4-14 par la 

courbe rouge. 

 

)OXLGHIURLG 

La puissance échangée entre les deux fluides peut être évaluée en réalisant un bilan dans le 

canal froid (équation (4-5)). Elle est égale au flux gagné par le fluide froid (équation (4-18)) 

184


auquel il faut soustraire l’inertie de la résine (équation (4-19)) et les pertes avec l’extérieur 

(équation (4-4)) : 

ϕ 

fc 

n+ 

1 n 

= ⎛ T 

ff 

− T ⎞ 

ff 

⎛ 

ρ Cp S L⎜ 

⎟ 

ff ff ff 

− M 

ff 

Cp 

n+ 

1 n 

ff ffe ffs r r r n 

t t 

⎜ 

⎝ − ⎠ 

⎝ t 

+ 

n+ 

1 n 

Tr 

− Tr 

( T − T ) + ρ Cp S L⎜ 

⎟ + K( T − T )L 

1 

− t 

n 

⎞ 

⎟ 

⎠ 

wr 

ext 

(4-24) 

Cette méthode d’évaluation présente l’avantage de ne faire intervenir que de la chaleur 

sensible : la mesure des températures permet de calculer directement les flux échangés. 

Cependant de nombreuses erreurs sont introduites dans ce calcul par le cumul des incertitudes 

sur les mesures de température et par la détermination des pertes avec l’extérieur (K). Les 

résultats obtenus sont présentés sur la Figure 4-14. 

 

)OX[PqWUHV 

Les fluxmètres mesurent le flux qui traverse la paroi entre les deux canaux. L’intégralité du 

flux transféré correspond au flux perdu par le fluide chaud sous forme de chaleur sensible et 

de chaleur latente. En dehors du changement de phase, ce flux doit être égal au flux calculé 

avec l’équation (4-17) puisque l’étalonnage des fluxmètres est basé sur cette égalité. 

 

$QDO\VHGHVIOX[pFKDQJpV 

Les flux échangés, évalués suivant les trois méthodes sont représentés sur la Figure 4-14. 

500 

450 

400 

Bilan sur le fluide chaud 

Bilan sur le fluide froid 

Moyenne des mesures des fluxmètres 

réchauffement du fluide chaud à l'extérieur de la section d'essais 

350 

Flux chaud (W) 

300 

250 

200 

150 

100 

50 

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 

temps (s) 

Figure 4-14 : Evaluation des flux échangés dans la section d’essais – Essai Fipo 01-L 

185


Les flux diffèrent suivant la manière de les calculer. Le flux évalué à partir des mesures dans 

le canal froid présente trop d’incertitudes pour être fiable. Le flux mesuré par les fluxmètres 

est cohérent avec les prédictions de la littérature : le changement de phase entraîne une 

augmentation significative des transferts thermiques. Cependant ce flux mesuré ne corrobore 

pas celui évalué à partir des mesures dans le canal chaud avant et après le changement de 

phase. Il est toujours plus faible et l’écart fluctue suivant les essais entre 55 W (essai Fipo 01- 

L) et 175 W (essai Fipo 05-R). Ce décalage entre ces deux méthodes de mesure peut être dû à 

la présence des particules. Lors des essais réalisés dans un bécher, il a été observé une 

tendance des particules à adhérer aux parois. La surface des fluxmètres (en polyimide) étant 

de nature différente de celle des canaux (en aluminium), des particules ont pu se déposer 

préférentiellement sur la surface des fluxmètres. La résistance thermique ainsi formée, réduit 

le flux qui les traverse. Il s’avère effectivement que le plus fort décalage est observé sur 

l’essai réalisé avec la plus forte concentration en particules. 

Une approche globale du problème est nécessaire pour avoir des informations 

complémentaires sur le flux échangé et définir ainsi une méthode pour l’évaluer avec le 

maximum de précision. 

4.3.2.2. Bilans dans la boucle 

L’évaluation du flux échangé en dehors du changement de phase peut être vérifiée en réalisant 

un bilan global sur toute la boucle. Le refroidissement au cours du temps de la masse de fluide 

chaud (m fc ) contenu dans la boucle (terme [1] de la relation (4-25)) correspond à la somme du 

flux « froid » reçu dans la section d’essais (terme [2] de la relation (4-25)) et du flux 

« chaud » reçu à l’extérieur de la section d’essai (terme [3] de la relation (4-25)). Le 

réchauffement à l’extérieur de la section d’essais n’est pas négligeable puisque le fluide 

remonte dans 5 m de conduite non calorifugée et passe dans une pompe qui produit de la 

chaleur (Figure 4-15). Ces pertes, représentées sur la Figure 4-14 pour l’essai Fipo 01-L 

(courbe en pointillée rouge), varient entre 130 et 230 W suivant les essais. 

Section 

d’essais 

Figure 4-15 : Schéma des flux échangés dans la boucle 

186


m 

fc 

Cp 

fc 

n+ 

1 n 

( T 

fc 

− T 

fc 

) 

n+ 

1 n 

( t − t ) 

= ρ 

fc 

Cp 

fc 

S 

fc 

⎛ T 

L⎜ 

⎝ t 

n+ 

1 

fc 

n+ 

1 

− T 

− t 

n 

fc 

n 

⎞ 

⎟ + M 

⎠ 

fc 

Cp 

fc 

( T ( t) 

− T ( t) 

) + M 

Cp ( T ( t + ∆t) 

− T ( t) 

) 

fcs 

fce 

fc 

fc 

fce 

fcs 

Refroidissement global 

dans la boucle 

1 

Refroidissement dans la 

section d’essais 

2 

Réchauffement à l’extérieur de 

la section d’essais 

3 

(4-25) 

avec ∆t le temps de séjour à l’extérieur de la section d’essais. 

Le terme [2] de l’équation (4–25) est formulé en utilisant le bilan sur le fluide chaud (équation 

(4–17)). Il peut être également évalué en utilisant le signal délivré par les fluxmètres. La 

Figure 4-16 compare le refroidissement global du fluide chaud [1] qui sert de ligne de base, 

avec le terme de droite de l’équation (4–26) calculé à partir des différents bilans ([2]+[3]). 

Cette figure montre que lorsqu’il n’y a pas de changement de phase, si le terme [2] est calculé 

à partir du bilan sur le fluide chaud, il y a égalité entre les deux termes de l’équation (4–25). 

Lorsque le terme [2] est calculé à partir du bilan sur le fluide froid, les termes inertiels sont 

sous estimés pendant les 500 premières secondes du début de l’essai. Pendant le changement 

de phase, il apparaît une augmentation du flux échangé, mais suivant les essais l’allure de 

cette « bosse » varie. 

flux (W) 

flux (W) 

250 

200 

150 

100 

50 

0 

-50 

-100 

500 

400 

300 

200 

100 

Fipo 01L 

temps (s) 

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 

refroidissement fluide chaud dans la boucle 

fluxmètre - réchauffement 

Flux fluide chaud - réchauffement 

fluxmètre réhaussé - réchauffement 

Fipo 12L 

0 

-100 0 500 1000 1500 2000 

-200 

temps (s) 

Figure 4-16 : Comparaison des flux calculés à partir du terme de gauche de l’équation (4–25) [1] avec le 

flux calculé à partir des termes de droite de l’équation (4–25) [2]+[3] 

(essais Fipo 01-L et Fipo 12-L) 

Le bilan sur le fluide froid donne des tendances mais ne semble pas exploitable pour 

interpréter les mesures. Cependant, il confirme la « bosse » observée sur les mesures des 

187


fluxmètres. Ces derniers, lorsqu’ils sont réajustés d’une certaine valeur qui varie suivant les 

essais (Tableau 4-8), donnent des résultats satisfaisants vis-à-vis de l’égalité de l’équation (4– 

26) en dehors du changement de phase. Le flux échangé est donc évalué pour tous les essais 

en ajustant le signal des fluxmètres sur cette ligne de base lorsqu’il n’y a pas de changement 

de phase. Les courbes obtenues pour tous les essais sont données en annexe. 

Flux 

d’ajustement 

des 

fluxmètres 

(W) 

Essai 

Avant 

changement de 

phase 

Après changement 


Fipo 

01-L 

55 

Fipo 

05-L 

Fipo 

06-L 

Fipo 

12-L 

Fipo 

01-R 

Fipo 

02-R 

Fipo 

04-R 

55 140 

120 115 115 115 

150 

60 

Fipo 

05-R 

Tableau 4-8 : Flux à ajouter au signal des fluxmètres pour les ajuster à la ligne de base lorsqu’il n’y a pas 

de changement de phase 

175 

4.3.2.3. Energie stockée sous forme latente 

Au cours du changement de phase, comme la fraction de particules en cours de congélation 

n’est pas connue, il est impossible de vérifier si l’augmentation du flux observé sur les 

mesures des fluxmètres est proportionnelle à la chaleur latente dégagée. Par contre, l’énergie 

nécessaire à la congélation de la totalité des particules contenue dans la boucle correspond, 

approximativement, à l’intégrale de la surface entre la ligne de base et le signal des fluxmètres 

au cours du temps. Cependant, la ligne de base est calculée en considérant qu’à l’extérieur de 

la section d’essais, les particules ne décongèlent pas. Or, tant que T fcs est inférieure à 0 °C et 

T fce supérieur à 0°C, les particules étant immergées dans un milieu à une température 

supérieure à leur température de fusion, elles décongèlent. Leur taux de décongélation n’est 

pas quantifiable expérimentalement, cependant un ordre de grandeur peut être estimé à partir 

des équations modélisant les échanges thermiques entre une particule et le fluide porteur, 

posées dans le chapitre 2. 

 

(YDOXDWLRQjSDUWLUGHVUpVXOWDWVH[SpULPHQWDX[ 

Dans un premier temps, l’énergie nécessaire au changement de phase est évaluée 

expérimentalement en négligeant la fusion des particules à l’extérieur de la section d’essais. 

Pour les essais réalisés avec des concentrations volumiques de 20 % et 25 %, la masse de 

particules contenue dans la boucle est respectivement de 516 g et 666 g et l’énergie théorique 

dégagée lors du changement de phase est respectivement de 150,7 kJ et de 194,5 kJ. Les 

188


énergies trouvées en intégrant la surface comprise entre la ligne de base et le signal des 

fluxmètres sont données dans le Tableau 4-9. 

Essai Fipo 01-L Fipo 05-L Fipo 06-L Fipo 12-L Fipo 01-R Fipo 02-R Fipo 04-R Fipo 05-R 

Energie 

(kJ) 

(intégration 

de surface) 

Ecart par 

rapport à 

m p H 

204,6 223 212 215 178 225,7 172 >250 

+ 36 % + 48 % + 41 % + 43 % + 18 % + 50 % + 14 % > + 30 % 

Tableau 4-9 : Energie nécessaire au changement de phase de la masse de particules contenue dans la 

boucle 

Les valeurs trouvées expérimentalement sont toujours supérieures à celles attendues mais leur 

ordre de grandeur reste cohérent. Le signal délivré par les fluxmètres semble donc juste, mais 

la fusion des particules à l’extérieur de la section d’essais est loin d’être négligeable (en 

moyenne 40 %). La Figure 4-17 représente l’évolution de l’énergie latente dégagée par les 

particules au cours du temps. En divisant l’énergie dégagée au temps t par l’énergie totale, il 

est facile de déduire la fraction de particules congelées au temps t. Le refroidissement de la 

suspension concentrée à 25 % en particules (Fipo 05-R) n’a pas été suffisant pour congeler la 

totalité des particules. 

245000 

195000 

194 500 J (cv = 25 %) 

energie (J) 

145000 

95000 

45000 

150 700 J (cv = 20 %) 

Fipo 01-L Fipo 05-L 


Fipo 01-R Fipo 02-R 


-5000 

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 

temps (s) 

Figure 4-17 : Evolution au cours du temps de l’énergie dégagée par le changement de phase 

189


 

(YDOXDWLRQGHODIUDFWLRQGHSDUWLFXOHTXLGpFRQJqOHjOH[WpULHXUGHOD 

VHFWLRQGHVVDLV 

Afin d’évaluer la fraction de particules qui décongèle à l’extérieur de la section d’essais, les 

échanges thermiques entre les particules et le fluide porteur ont été modélisés. Le modèle 

utilise l’équation (2 –41) décrite dans le chapitre 2 et les différents calculs se font suivant les 

étapes décrites dans l’organigramme (4–1). Par rapport au modèle du chapitre 2, la surfusion 

est négligée. La fusion des particules n’a lieu que lorsque le fluide chaud se trouve entre la 

sortie de la section d’essais à des températures négatives (T fcs < 0 °C) et à l’entrée de la 

section d’essais à des températures positives (T fce > 0 °C). Les valeurs de températures 

utilisées dans le modèle sont celles relevées au cours de l’essai Fipo 01-L. Au temps t, le 

fluide chaud à l’entrée de la section d’essais est à la température T fce (t). Après avoir traversé la 

section d’essais pendant un temps ∆t 1 , il ressort à une température T fcs (t+∆t 1 ). Il circule 

ensuite à l’extérieur de la section d’essais, pendant le temps ∆t 2 et il se réchauffe à T fce (t+∆t 2 ). 

La boucle est divisée en 40 zones : 20 dans la section d’essais et 20 à l’extérieur. La 

température n’étant connue qu’en entrée et sortie de la section d’essais, elle varie linéairement 

entre ces valeurs comme indiqué sur la Figure 4-18. 

n+1 

n 

1 

T N-1 

fce 

N 

1 

. 

. 

. 

. 

. 

. 

N 

T fcs 1 

2 

… 4 3 

20 zones 

T fc 

t t+∆ t 1 t+∆ t 1 +∆ t 2 t+2∆ t 1 +∆ t 2 

T fce 

T fce 

0 °C 

T fcs 

T fcs 

t 

Figure 4-18 : Modélisation du cycle thermique des particules lorsque T fc fluctue autour de 0 °C 

Dans la section d’essais, au début du changement de phase, le MCP est entièrement liquide. 

Le front de congélation dans la particule commence en 

r = R 

0 

c 

p 

. A la sortie de la section 

d’essais il vaut 

r 

N 

c 

= R + ∆r 

. A l’extérieur de la section d’essai, le fluide porteur de 

p 

c 

réchauffe et sa température devient positive. La particule décongèle en surface. Son front de 

fusion débute en 

n 

N 

r 

f 

= R 

p 

et finit à rf 

R 

p 

+ ∆rf 

= . 

190

Congélation dans la 

section d’essais 

r = 

0 

c 

R p 

Pour n = 1 à N 

oui 

T fc 

non 

r = R 

n 

f 

p 

oui 

r = 

0 

c 

R p 

Pour n = 1 à N 

T fc < 0 

non 

n 1 

oui 

r = r 

n 

c 

N 

f 

non 

r c 

r 

= n− 

c 

r 

n 

f 

= r 

n−1 

f 

r > r 

n−1 

f 

oui 

− 

ρ H r 

p 

N 

c 

n−1 

f 

⎛ 

⎜R 

⎜ 

⎝ 

p 

k 

p 

T 

fc 

R 

p 

⎛ 2k 

p 

+ ⎜ 

⎝ 

Nu 

pf 

k 

f 

non 

⎞ 

−1⎟r 

⎠ 

n−1 

f 

⎞ 

⎟ 

⎟ 

⎠ 

r = r 

n 

f 

N 

c 

n n−1 

( t −t 

) 

r 

n 

c 

= r 

n−1 

c 

+ 

ρ H r 

p 

n−1 

c 

⎛ 

⎜R 

⎜ 

⎝ 

p 

k 

p 

T 

fc 

R 

p 

⎛ 2k 

p 

+ ⎜ 

⎝Nu 

pf 

k 

f 

⎞ 

−1⎟r 

⎠ 

n−1 

c 

⎞ 

⎟ 

⎟ 

⎠ 

n n−1 

( t −t 

) 

non 

r = r 

N 

f 

N 

c 

oui 

r 

n 

c 

= r 

N 

c 

+ 

ρ H r 

p 

N 

c 

⎛ 

⎜R 

⎜ 

⎝ 

p 

k 

p 

T 

fc 

R 

p 

⎛ 2k 

p 

+ ⎜ 

⎝ 

Nu 

pf 

k 

f 

⎞ 

−1⎟r 

⎠ 

N 

c 

⎞ 

⎟ 

⎟ 

⎠ 

n n−1 

( t −t 

) 

Organigramme 4 –1 : Calcul des rayons du front de congélation et du 

191 

front de fusion.


Lorsque la particule rentre de nouveau dans la section d’essais et que la température du fluide 

porteur redevient négative, la particule recommence à congeler, d’abord en périphérie tant que 

∆r c > ∆r f puis la congélation se poursuit en son cœur, là où elle s’était arrêtée lors du passage 

précédent dans la section d’essais. 

Les différentes étapes sont schématisées sur la Figure 4-19. 

r c 

r f r c r c 

r c = R p 

Au temps t : MCP 

entièrement liquide 

1 er passage dans la 

section d’essais : la 

particule congèle sur 

sa périphérie 

Fusion à l’extérieur de 

la section d’essais : 

La particule décongèle 

sur sa périphérie 

Nouveau passage dans 


recongélation de la partie 

décongelée en périphérie 

Poursuite de la 

congélation au cœur 

de la particule 

Figure 4-19 : Evolution du front de congélation et de fusion de la particule au cours des cycles thermiques 

Les résultats du modèle obtenus pour l’essai Fipo 01-L sont donnés dans la Figure 4-20. Elle 

donne l’évolution de la température et du front de congélation pour des particules de 500 µm 

et 150 µm de rayon. Le nombre de Nusselt utilisé dans les calculs est de 2 (cas où la particule 

n’a pas de mouvement par rapport à la phase porteuse). 

rc (m) 

0,00051 

0,00049 

0,00047 

0,00045 

0,00043 

0,00041 

0,00039 

0,00037 

Fipo 01-L : Rp = 500 µm 

2 

1,5 

1 

0,5 

0 

-0,5 

-1 

-1,5 

Tfc (°C) 

rc (m) 

0,00035 

-2 

650 700 750 800 850 900 

temps (s) 

950 1000 1050 1100 1150 

0,00016 

0,00014 

0,00012 

0,0001 

0,00008 

0,00006 

Fipo 01-L : Rp = 150 µm 

0,00004 

Evolution du rayon du front de fusion 

-1 

0,00002 

Evolution de Tfc 

-1,5 

0 

-2 

650 700 750 800 850 900 

temps (s) 

950 1000 1050 1100 1150 

2 

1,5 

1 

0,5 

0 

-0,5 

Tfc (°C) 

Figure 4-20 : Profils de température du fluide chaud et du front de congélation au cours des cycles 

congélation/décongélation de la particule (essai Fipo 01-L) 

192


Plus le rayon des particules est faible, plus leur rapport surface sur masse à congeler est 

important et meilleurs sont les échanges. Par conséquent, les petites particules congèlent plus 

vite et leur décongélation à l’extérieur de la section d’essais est plus importante. 

Le Tableau 4-10 donne en fonction de leur taille, la fraction de particule qui décongèle. 

d p (µm) 2000 1000 500 300 

1,2 % 4,7 % 18,7 % 51,6 % 

Fraction volumique de particule 

décongelée 

Tableau 4-10 : Fraction de particule qui décongèle en fonction du diamètre 

La comparaison des résultats expérimentaux avec ceux du modèle indique que le diamètre des 

particules dans la section d’essais est plus faible que ce que l’on pensait. La répartition en 

taille des particules étant une gaussienne, il semblerait que la taille médiane des particules soit 

centrée sur 500 µm et non pas sur 1000 µm. Cependant, l’augmentation du flux échangé se 

fait sur un temps relativement long qui correspond plus au temps nécessaire au changement de 

phase de grosses particules. La distribution en taille des particules semble donc étalée. 

Pour résoudre l’équation (2 –28) dans le chapitre 2, le nombre de Stefan est considéré comme 

nul alors qu’il peut valoir au maximum 0,02 (écart maximum entre la température du fluide 

porteur et la température de fusion). Tao (1967) a fait une étude de sensibilité sur ce 

2k 

p 

paramètre et a montré que pour un nombre de Stefan de 0,1 et = 5 (valeur utilisée 

Nu k 

pf f 

dans le modèle), le temps nécessaire au changement de phase augmente de 12 % par rapport 

au cas où Ste = 0. Cependant, si la particule nécessite un temps plus long pour changer de 

phase, il lui faut plus de cycle dans la boucle pour congeler. Elle décongèle moins à 

l’extérieur de la section d’essais, mais comme son nombre de passages à l’extérieur de la 

section d’essais est plus important, le taux de décongélation risque d’être du même ordre de 

grandeur. De toute manière, dans notre cas de figure, le nombre de Stefan est suffisamment 

faible pour être négligé. 

Les résultats trouvés à partir des mesures ajustées des fluxmètres semblent cohérents : 

l’énergie mesurée correspond à l’énergie nécessaire pour congeler 1,4 fois la masse de 

particules contenues dans la boucle, soit recongeler les particules qui ont décongelées à 

l’extérieur de la section d’essais. 

193


4.3.2.4. Interprétation des résultats 

 

3URILOVGHWHPSpUDWXUH 

L’analyse faite sur l’énergie stockée sous forme latente permet de déterminer le temps de fin 

de congélation des particules. Cette information portée sur les profils de température (Figure 

4-21) indique que le « palier » en température ne correspond pas au temps de congélation 

mais que le changement de phase se poursuit malgré la reprise du refroidissement de la 

suspension. 

20 

10 

0 

Début de la 

congélation 

des 

particules 

Fin de la congélation des 

particules (temps 

déterminé à partir de la 

courbe d'énergie) 

0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 

T (°C) 

-10 

-20 


l'équilibre thermique 

Tfce 

Tfcs 

Tffe 

Tffs 

-30 

-40 

-50 

temps (s) 

Figure 4-21 : Profil de température de l’essai Fipo 01-R – Durée du changement de phase 

Au début de la congélation (t ∈ [500 ; 680]), l’absence de stabilisation autour de la 

température de congélation montre qu’il y a un déséquilibre thermique entre les flux 

échangés : le flux au niveau des parois de la section d’essais est supérieur au flux entre le 

fluide porteur et les particules. La température mesurée étant celle de la phase porteuse, on 

observe donc toujours une décroissance en température malgré le changement de phase. 

Autour de 680 s, le déséquilibre thermique entre les deux flux s’aggrave. Cette dégradation 

des échanges entre les particules et le fluide porteur peut s’expliquer par une forte 

augmentation de la viscosité de la suspension qui s’observe visuellement et au niveau des 

pertes de charge dans la section d’essais. En effet, dans un milieu plus visqueux, les effets 

micro-convectifs des particules en rotation sur elles-mêmes tendent à diminuer. Il se peut 

194


également que la distribution des particules dans la section d’essais soit complètement 

modifiée par ce changement de rhéologie, entraînant une modification du profil de vitesse qui 

se répercute ensuite sur les transferts de chaleur. Cependant, les informations à notre 

disposition ne nous permettent pas de pousser plus loin l’analyse pour expliquer les 

phénomènes observés. 

 

3HUWHVGHFKDUJH 

Alors que la viscosité de l’huile est faiblement dépendante de la température dans notre 

domaine d’étude, l’ajout de particules modifie complètement la rhéologie de la suspension. 

Au cours du refroidissement, elle devient de plus en plus visqueuse et prend l’aspect d’un 

sorbet de glace. Comme le montrent la Figure 4-22 et la Figure 4-23, les pertes de charge sont 

trop faibles pour être mesurées par le capteur de pression lorsque les particules sont à l’état 

liquide. Elles commencent à augmenter autour de T fcs = 0 °C et ont un pic à 4,5 mbar environ 

au début du « plateau » de températures qui correspond également à une augmentation du 

débit du fluide chaud. 

13 

11 

57 s 

Fin de la congélation 

Fipo 03-R 

Cv = 20 % 

DP 

Mfc 

290 

270 

9 

250 

DP (mbar) 

7 

5 

Début du 

"plateau" dans 

le profil de 

température 

230 

210 

Mfc (kg/h) 

3 

190 

1 

Tfcs = 0°C 

170 

-1100 300 500 700 900 1100 1300 1500 1700 

150 

temps (s) 

Figure 4-22 : Variation des pertes de charge et du débit du fluide chaud dans la section d’essais au cours 

du temps lors de la descente en température de la boucle (essai Fipo 03-R , c v = 20 %) 

195


Ensuite, le comportement varie suivant la concentration en particules de la suspension. Pour 

c v = 20 %, les pertes de charge diminuent et se stabilisent autour de 1 mbar. Pour c v = 25 %, 

les pertes de charge continuent à augmenter pour se stabiliser autour de 13 mbar. 

13 

290 

11 

60 s 

270 

9 

250 

DP (mbar) 

7 

5 

Tfcs = 0 °C 

Fipo 05-R 

Cv = 25 % 

DP 

Mfc 

230 

210 

Mfc (kg/h) 

3 

190 

1 

Début du "plateau" dans 

le profil de température 

170 

-1 

0 500 1000 temps (s) 1500 2000 2500 

150 

Figure 4-23 : Variation des pertes de charge et du débit du fluide chaud dans la section d’essais au cours 

du temps lors de la descente en température de la boucle (essai Fipo 05-R , c v = 25 %) 

Le temps entre le début de l’augmentation de DP et le sommet du pic est, pour les deux 

concentrations, du même ordre de grandeur : 57 s et 60 s. Le temps nécessaire à la suspension 

pour faire le tour de la boucle est de l’ordre de 35 s environ. Le début de l’augmentation 

correspond au commencement de la congélation des particules. Ce pic peut s’expliquer par 

une variation brusque de la viscosité de la suspension : lorsque les particules commencent à 

congeler, il se forme sur leur périphérie des dendrites de glace, les particules s’accrochent 

entre elles provoquant une augmentation de la viscosité. Ensuite, lors de leur passage dans la 

pompe péristaltique, les dendrites sont cassées, les particules se désolidarisent et la viscosité 

diminue. L’ordre de grandeur des temps de parcours dans la boucle sont en accord avec cette 

interprétation. Après le pic, le comportement varie suivant les concentrations. Il est 

certainement lié à l’augmentation de volume des particules lorsqu’elles changent de phase. 

Une concentration volumique de 25 % lorsque les particules sont liquides passe à 27 % 

lorsque les particules deviennent solides. Cette légère augmentation de la concentration peut 

correspondre à une concentration seuil au-delà de laquelle la mobilité des particules diminue. 

On passerait d’un écoulement hétérogène lorsque les particules sont liquides à un lit mouvant 

196


lorsque les particules deviennent solides. Dans la pratique, la formation d’un bouchon dans la 

boucle lors de l’essai Fipo 05-R, alors que pour tous les autres essais réalisés à des 

concentrations de 20 %, la boucle ne s’est jamais bouchée, confirme un changement de 

régime d’écoulement. 

Ces mesures de DP mettent en évidence la variation brusque de la rhéologie de la suspension 

dès que les particules commencent à congeler. Cependant, l’augmentation de débit qui 

accompagne l’augmentation de perte de charge va à l’encontre des interprétations faites. Si la 

viscosité augmente, puisque la pompe péristaltique travaille à perte de charge constante, le 

débit aurait dû diminuer. Son augmentation est alors peut être dû à une diminution des 

« glissements » dans la pompe lorsque le fluide porte des particules solides. 

Une étude plus approfondie à partir de ces mesures sur la viscosité et la nature newtonienne 

ou non newtonienne du fluide n’est pas envisageable en raison du manque de données et de 

leurs incohérences. De plus, la fiabilité des mesures des pertes de charge est très incertaine 

car, sur certains essais, les particules ont complètement obstrué les prises de pression et elles 

n’ont été mesurables sur seulement l’essai Fipo 03-R et l’essai Fipo 05-R. 

 

)OX[pFKDQJpV 

Dans le paragraphe 4.3.2.3, nous avons montré que les mesures des fluxmètres ajustées à la 

ligne de base donnent des résultats cohérents qui peuvent être utilisés pour une analyse plus 

approfondie des échanges thermiques du coulis de glace stabilisée. La Figure 4-24 présente 

l’ensemble des flux mesurés par les fluxmètres au cours du refroidissement de la suspension. 

Pour que le changement de phase débute en même temps sur l’ensemble des essais, les 

origines des temps ont été modifiées. Sur l’ensemble des essais, la même évolution du flux est 

observée. Lorsque les particules commencent à congeler, le flux augmente brusquement, puis 

croît lentement jusqu’à un maximum et décroît ensuite pour atteindre une valeur inférieure à 

sa valeur initiale. 

Afin de comprendre les raisons de l’augmentation des puissances échangées lorsqu’il y a un 

changement de phase, nous avons utilisé le modèle détaillé dans le chapitre 2, avec un degré 

de surfusion nul, pour avoir plus d’informations sur ce qui se passe au sein de la section 

d’essais. La modélisation de la boucle expérimentale avec ses cycles de refroidissement et de 

réchauffement étant difficile à réaliser avec le logiciel de calcul TRIO ® , nous avons simplifié 

le problème en maillant un canal rectangulaire de 20 m de long à température de paroi 

constante (-15 °C). Les particules sont ainsi intégralement congelées en un seul passage. 

197


Flux (W) 

800 

700 

600 

500 

400 

Début du 

changement de 

phase 

Fin du changement 


Fipo 01-L 

Fipo 05-L 

Fipo 06-L 

Fipo 12-L 

Fipo 01-R 

Fipo 02-R 

Fipo 04-R 

Fipo 05-R 

300 

200 

100 

0 

0 500 1000 1500 2000 2500 

temps (s) 

Figure 4-24 : Mesures au cours du temps des flux échangés lors du refroidissement de la suspension pour 

l’ensemble des essais (les fins des changements de phase sont représentées par les flèches en couleur) 

Nous avons préféré imposer une température de paroi constante plutôt que modéliser un 

échangeur à contre-courant, car sur 20 m de long il y aurait eu un trop grand écart entre les 

températures d’entrée et de sortie du fluide froid. Néanmoins, le fait d’imposer une 

température de paroi constante nous éloigne de nos conditions opératoires : l’écart de 

température entre la paroi et le fluide chaud diminue le long du canal alors 

qu’expérimentalement cet écart évolue peu puisque les deux fluides descendent 

simultanément en température. Le maillage se compose de 2 mailles dans les 90 mm de 

largeur du canal (X), de 10 mailles dans les 5 mm de la demi-épaisseur (centre du canal en y = 

0) et de 200 mailles dans les 20 m de long (z). La vitesse en entrée est de 0,063 m.s -1 , ce qui 

correspond à un débit de 200 kg.h -1 . Le fluide rentre dans le canal à une température de 

0,5 °C. 

Les résultats obtenus donnent la température de chaque maille, ce qui permet de connaître le 

profil de température dans l’épaisseur du canal et de calculer ainsi le flux échangé. Pour avoir 

une référence, un premier calcul a été effectué sans particules. Ensuite, deux calculs avec une 

concentration volumique de 20 % en particules de 0,5 mm de diamètre ont été faits avec des 

nombres de Nusselt de 2 et de 6 pour les échanges entre la particule et le fluide porteur. Les 

profils de températures et la répartition du pourcentage de particules congelées en z = 4 m, 

10 m et 19,5 m sont présentés dans la Figure 4-25 et la Figure 4-26. 

198


2 

0 

-2 

à 19,5 m de l'entrée sans particules 

à 4 m de l'entrée sans particules 

à 10 m de l'entrée avec particules - Nu=2 

à 19,5 m de l'entrée avec particules - Nu=6 


à 10 m de l'entrée sans particules 




-4 

T (°C) 

-6 

-8 

-10 

-12 

-14 

-16 

0 0,0005 0,001 0,0015 0,002 0,0025 0,003 0,0035 0,004 0,0045 0,005 

centre du canal 

paroi 

y (m) 

Figure 4-25 : Profils de température dans la demi épaisseur du canal en différentes cotes de sa longueur 

(Résultats issus des calculs TRIO) 

100 




pourcentage de particules congelées (%) 

90 

80 

70 

60 

50 

40 

30 

20 

10 

0 

0 0,0005 0,001 0,0015 0,002 0,0025 0,003 0,0035 0,004 0,0045 0,005 

centre du canal 

paroi 

y (m) 

Figure 4-26 : Répartition dans l’épaisseur du canal du pourcentage de particules congelées en 

z = 4 m, z = 10 m et z = 19,5 m 

199


La présence des particules modifie complètement l’allure du profil des températures. En 

absence de particule, le profil a l’allure classique d’une parabole. Par contre, avec des 

particules, le gradient de température devient linéaire à la paroi et les températures restent 

bloquées à la température de congélation tant que les particules n’ont pas fini de changer de 

phase. Ce profil linéaire en paroi s’explique par une disproportion entre les échanges par 

conduction et les échanges par convection. En effet, comme le montre la Figure 4-27, le 

gradient de température suivant z (échanges convectifs) est négligeable devant le gradient 

suivant y (épaisseur du canal – échanges conductifs). 

-dT/dy (K/m) 

7000 

6000 



5000 à 19,5 m de l'entrée avec particules - Nu=2 

4000 

3000 

2000 

1000 

y (m) 

0 

0 0,0005 0,001 0,0015 0,002 0,0025 0,003 0,0035 0,004 0,0045 0,005 

100,00 

en y=4,25 mm avec particules - Nu=2 

en y=2,25 mm avec particules - Nu=2 

10,00 

dT/dz (K/m) 

1,00 

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 

z (m) 

0,10 

0,01 

Figure 4-27 : Gradients de températures suivant y et z 

Le flux échangé le long du canal est calculé à partir des profils de températures. Les résultats 

sont donnés sur la Figure 4-28. Le fort flux observé sur le premier mètre du canal est dû aux 

effets d’entrée : le profil thermique n’est pas encore établi. A ce stade de la comparaison entre 

les résultats du modèle et expérimentaux, il est important de remarquer qu’une différence 

majeure apparaît entre les deux : dans le premier cas la majorité des échanges thermiques se 

fait avec un profil de température établi alors que dans le second cas le profil thermique n’est 

jamais atteint. Cette différence limite l’utilisation des résultats du modèle dans l’analyse des 

résultats expérimentaux. 

200


Flux (W/m²) 

9000 

8000 

7000 

6000 

5000 

4000 

3000 

2000 

1000 

sans particules 

avec particules - Nu = 2 

avec particules - Nu =6 

fraction de particules congelée - Nu = 2 

fraction de particules congelée - Nu = 6 

100 

90 

80 

70 

60 

50 

40 

30 

20 

10 

Fraction congelée (%) 

0 

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 

z (m) 

0 

Figure 4-28 : Variation du flux et de la fraction de particule congelée le long des 20 m de canal. 

La Figure 4-28 et la Figure 4-29 permettent toutefois de mettre en évidence une amélioration 

notable des échanges par la présence des particules. L’amélioration du flux de la Figure 4-29 

est calculé de la manière suivante : 

⎛ ϕ 

⎜ 

⎝ 


ϕ 

− ϕ 



⎞ 

⎟ ×100 

⎠ 

% 

250 

200 

150 

Nu =2 

Nu=6 

100 

50 

0 

-50 

0 5 10 15 20 

Z (m) 

Figure 4-29 : Amélioration du flux échangé par la présence des particules pour Nu = 2 et Nu = 6. 

Cette amélioration s’explique par le profil des températures dans l’épaisseur du canal (Figure 

4-25). Les particules qui changent de phase agissent comme des sources et bloquent la 

descente en température du fluide. Par conséquent, alors qu’avec un fluide monophasique, le 

gradient de température à la paroi diminue de plus en plus suivant Z, avec un fluide 

201


diphasique, le gradient de température à la paroi évolue peu et reste important. Le flux étant 

proportionnel au gradient, les échanges sont donc améliorés par la présence des particules. 

Il est intéressant de remarquer, que dans le modèle, la valeur du nombre de Nusselt des 

échanges entre la particule et le fluide porteur a très peu d’influence sur les résultats comme si 

les transferts thermiques étaient limités par le coefficient d’échange à la paroi du canal, alors 

qu’expérimentalement, la décroissance en température de la suspension pendant le 

changement de phase indique une tendance inverse. 

4.3.2.5. Coefficient d’échange 

Les courbes de flux de la Figure 4-24 présentent les mêmes allures mais des ordres de 

grandeur différents suivant les essais. Cette différence vient de l’écart en température entre le 

fluide chaud et le fluide froid (Tableau 4-11) qui n’est pas identique pour tous les essais : le 

flux échangé augmente avec ∆T moyen . 

Essai Fipo 01-L Fipo 05-L Fipo 06-L Fipo 12-L Fipo 01-R Fipo 02-R Fipo 04-R 

Intervalle [10 ; 12] [14 ; 16] [16 ; 18,5] [14,5 ; 17,5] [15 ; 18] [18,8 ; 19,5] [12,5 ; 14,4] 

∆T moyen 

moyenne 11,5 15,4 18,1 17 17 19 13,7 

Tableau 4-11 : Ecart des températures moyennes entre les deux fluides pendant le changement de phase 

Il est donc plus intéressant d’étudier un coefficient d’échange plutôt qu’un flux pour 

s’affranchir de l’effet de l’écart de température. 

 

0pWKRGHGHFDOFXO 

Pour calculer le coefficient d’échange global, l’équation (4-14) utilisée en simple phase n’est 

plus valable car le bilan thermique est modifié par l’apparition de la chaleur latente lors du 

changement de phase des particules. Le système d’équation doit être de nouveau posé afin de 

trouver l’équation appropriée au calcul de h. 

Les équations présentées dans le paragraphe 4.2.1 restent valables pour le fluide froid (4-2), 

pour le refroidissement de l’enveloppe (4-3) et les pertes avec l’extérieur (4-4). Par contre 

pour le fluide chaud, l’équation (4-1) n’est plus correcte lorsque les particules changent de 

phase. Un terme de chaleur latente vient s’additionner : 

avec 

dc m 

dz 

d 

∂T 

⎛ 

fc 

= ρ Cp S dz + M 

⎜Cp 

fc fc fc 

∂t 

fc 

⎝ 

∂T 

∂z 

− c 

dc 

m 

H dz 

dz ⎟ ⎞ 

⎠ 

fc 

ϕ (4-26) 

fc 

fc 

m 

la fraction de particule qui congèle par unité de longueur. 

202


Avec cette nouvelle expression du flux pour le fluide chaud, l’équation (4-7), valable en 

monophasique devient, en diphasique : 

⎛ ∂Tff 

⎜ 

∂z 

⎝ 

∂T 

⎞ dϕ 

fc 

ff 

− ⎟dz 

= − 

∂z 

⎠ M 

Cp 

ff 

ff 

dϕ 

fc 

− 

M 

Cp 

fc 

fc 

⎛ ρ S 

ff 

+ ⎜ 

⎜ M 

⎝ ff 

ff 

∂T 

∂t 

ff 

ρ S 

fc 

+ 

M 

fc 

fc 

∂ T c H 

c m 

− 

∂t 

Cp 

fc 

dc ⎞ 

m ⎟dz 

dz ⎟ 

⎠ 

En utilisant l’expression de -dϕ ff de l’équation (4-8) dans l’équation (4-27), on obtient : 

(4-27) 

∂ 

∂z 

⎛ c H dc ⎞ 

m m 

( T −T 

) dz = B dϕ 

+ ⎜C 

− dz 

puis en remplaçant dϕ fc par l’équation (4-6), on obtient : 

Si 

ff 

∂ 

∂z 

dc m 

est supposé constant suivant z, 

dz 

fc 

fc 

⎜ 

⎝ 

Cp 

fc 

dz 

( ) ( ) 

⎟ ⎞ 

⎜ ⎛ c 

− = − + − 

H dc m m 

T T Bhl T T C 

fc 

ff fc 

Cp dz 

⎝ 

fc ⎠ 

⎟ ⎟ ⎠ 

ff 

2 (4-28) 

dc 

dz 

m 

∆cm 

= on peut poser 

L 

⎛ 

⎞ 

⎜ 

cmH 

∆cm 

C' = C − ⎟ et la 

⎝ 

Cp fc L 

⎠ 

résolution de l’équation (4-28) devient identique à celle de l’équation (4-12) pour donner : 

∂ 

∂z 

( T − T ) = 2Bhl( T − T ) C' 

ff fc 

ff fc + 

En reprenant le même développement qu’en simple phase, l’intégration du flux chaud sur la 

longueur de l’échangeur donne : 

⎡ C' 

= ⎢ + 

2 

⎣2B 

hl 

( T − T ) 

B 

⎤ 

⎥ 

⎦ 

( exp ( 2Bhl 

L) 

−1) 

C' 

L 

− 

B 

ffs fce 

ϕ fc 

(4-29) 

Le coefficient d’échange est ainsi déduit du flux en utilisant l’équations (4-29). 

La fraction de particules qui congèle dans la section d’essais pendant un pas de temps est 

évaluée en intégrant l’équation (4-26) sur toute la longueur L de la section d’essais et sur deux 

temps successifs d’acquisition (n et n+1) : 

ϕ 

fc 

= ρ 

fc 

Cp 

fc 

S 

fc 

⎛ T 

L⎜ 

⎜ 

⎝ t 

n+ 

1 

fc 

n+ 

1 

− T 

− t 

n 

fc 

n 

⎞ 

⎟ + M 

⎟ 

⎠ 

fc 

Cp 

fc 

( T − T ) − M 

c ∆c 

H 

fcs 

fce 

fc 

m 

m 

∆c 

m 

⎛ 

⎜ ρ 

⎜ 

= 

⎝ 

fc 

Cp 

fc 

S 

fc 

⎛ T 

L⎜ 

⎜ 

⎝ t 

n+ 

1 

fc 

n+ 

1 

n 

− T ⎞ 

fc ⎟ + M 

fcCp 

n 

− t ⎟ 

⎠ 

M 

c H 

fc 

m 

fc 

( T − T ) 

fcs 

fce 

⎞ 

⎟ − ϕ 

⎟ 

⎠ 

fc 

(4-30) 

avec ϕ fc la moyenne des flux mesurés par les fluxmètres. 

203


 

&RHIILFLHQWGpFKDQJHHQWUHOHVGHX[IOXLGHV 

La présentation des résultats des différents essais sous la forme d’un coefficient d’échange 

permet de s’affranchir au niveau des transferts de chaleur de l’effet de l’écart en température 

entre les deux fluides. On améliore sensiblement l’homogénéité des résultats entre les essais : 

l’étalement des valeurs maximum des coefficients d’échange est de 11,6 % contre 16,6 % 

pour les flux. La Figure 4-30 donne le coefficient d’échange en fonction de la température 

moyenne du fluide chaud dans la section d’essais. Le changement de phase débute à T fc = 

0 °C environ et se termine entre –6 et –12 °C suivant les essais. 

Par simple comparaison avec les résultats obtenus en simple phase, on remarque que : 

− avant le début du changement de phase, sans considérer l’essai Fipo 05-L qui présente un 

coefficient d’échange anormalement élevé, le coefficient d’échange global est de l’ordre 

de 56 W.m -2 .K -1 contre 40 W.m -2 .K -1 lorsque le fluide chaud est de l’huile pure ; 

− pendant le changement de phase, les coefficients d’échange sont compris entre 55 et 

72 W.m -2 .K -1 : le changement de phase a une influence sur les transferts de chaleur ; 

− après le changement de phase, il y a une forte dégradation des échanges. A –15 °C le 

coefficient d’échange ne vaut plus que 35 W.m -2 .K -1 en moyenne. Il est plus faible que 

celui obtenu en simple phase. 

h (W/m²/K) 

Fipo 01-L 

Fipo 05-L 

Fipo 06-L 

Fipo 12-L 

Fipo 01-R 

Fipo 02-R 

Fipo 04-R 

Fipo 05-R 

100 

80 

60 

40 

20 

0 

-20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20 

Tfc moyen (°C) 

Figure 4-30 : Coefficient d’échange global entre les deux fluides en fonction de la température 

moyenne du fluide chaud 

204


Pour expliquer la dégradation des échanges observée après le changement de phase, nous 

avons extrapolé l’évolution du coefficient d’échange au cours du refroidissement en 

négligeant l’amélioration apportée par le changement de phase. La courbe noire en pointillés 

reprend globalement les pentes des courbes expérimentales avant et après le changement de 

phase en négligeant ce qui se passe pendant. On remarque que la détérioration des échanges 

coïncide avec l’augmentation de la viscosité dès que les particules commencent à congeler. 

Cette interprétation est confirmée par les résultats de l’essai Fipo 04-R où, une fois les 

particules congelées, la suspension est remontée en température en restant cependant en 

dessous de la température de fusion (voir le profil de température en annexe). Le coefficient 

d’échange ainsi mesuré est celui de la suspension sans changement de phase avec des 

particules solides. On remarque que h remonte progressivement avec la température et que si 

la suspension avait été réchauffée jusqu’à 0 °C, le coefficient d’échange retrouverait la valeur 

qu’il avait avant la congélation des particules. L’essai Fipo 04-R confirme qu’il y a un 

changement de la rhéologie du fluide au début du changement de phase qui détériore les 

transferts thermiques. Par conséquent, l’amélioration de h attendue lors du changement de 

phase est certainement diminuée par cet effet. Le coefficient d’échange de l’huile pure ne peut 

plus servir de référence pour quantifier l’amélioration apportée par les particules. 

La disparité des résultats des différents essais observés sur la Figure 4-30 montre que la 

représentation de h en fonction de la température moyenne du fluide chaud ne semble pas la 

plus judicieuse. Il est donc intéressant de chercher un paramètre plus pertinent pour 

représenter le coefficient d’échange. 

La Figure 4-31 représente le coefficient d’échange en fonction de la masse de particules 

congelées. Les résultats sont plus homogènes entre eux lorsqu’ils sont représentés en fonction 

de ce paramètre. L’augmentation du coefficient d’échange est importante pendant 80 % de la 

congélation des particules, puis diminue fortement pour la congélation des 20 % restants. 

L’amélioration la plus importante a lieu lorsque la fraction de particules congelées est 

comprise entre 40 et 70 %. Il s’avère que sur les courbes d’énergie de la Figure 4-17, la pente 

la plus forte correspond à ces concentrations. Or la pente des courbes d’énergie est 

directement liée à la vitesse de congélation. La Figure 4-32 met bien en évidence l’importance 

de la vitesse de congélation sur le coefficient d’échange. La vitesse de congélation est 

calculée en faisant la différence entre le pourcentage de particules congelées entre deux pas de 

temps, le tout divisé par la valeur d’un pas de temps. 

205


100 

80 

h (W/m²/K) 

60 

40 

20 

Fipo 01-L 

Fipo 05-L 

Fipo 06-L 

Fipo 12-L 

Fipo 01-R 

Fipo 02-R 

Fipo 04-R 

0 

0 20 40 60 80 100 120 

Pourcentage de particules congelées (%) 

Figure 4-31 : Coefficient d’échange global en fonction du pourcentage de particules congelées 

100 

80 

h (W/m²/K) 

60 

40 

20 

Fipo 01-L 

Fipo 05-L 

Fipo 06-L 

Fipo 12-L 

Fipo 01-R 

Fipo 02-R 

Fipo 04-R 

Fipo 05-R 

0 

0,00 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30 0,35 

Vitesse de congélation (s-1) 

Figure 4-32 : Coefficient d’échange global en fonction de la vitesse de congélation des particules 

Plus le nombre de particules qui congèlent est élevé, plus la source d’énergie générée par leur 

changement de phase est importante et plus la phase suspendante va rester à des températures 

proches de la température de congélation : le gradient de température entre le fluide et la paroi 

est donc très important. Par contre, si le nombre de particules qui congèle diminue, l’énergie 

206


dégagée par le changement de phase va diminuer et le flux échangé en paroi du canal va servir 

d’avantage au refroidissement de la suspension et réduire ainsi le gradient de température à la 

paroi. L’hystérésis observé sur ces courbes confirme, une nouvelle fois, le changement de 

rhéologie de la suspension au cours du changement de phase : à vitesse de congélation égale, 

le coefficient d’échange est meilleur pour un taux de particules congelées faible. 

 

&RHIILFLHQWGpFKDQJHGDQVOHFDQDOFKDXG 

L’inconvénient d’étudier l’effet des particules à partir d’un coefficient d’échange global, c’est 

que l’addition de la résistance thermique du canal froid avec celle du canal chaud atténue les 

effets. Il est donc intéressant de déduire le coefficient d’échange dans le canal chaud en 

utilisant l’équation (4-23), mise au point lors des essais en simple phase, pour calculer le 

coefficient dans le canal froid : 

h 

fc 

1 

1 1 

− 

h h 

= (4-31) 

La résistance de la paroi est négligée. Les valeurs obtenues sont représentées sur la Figure 

4-33. 

ff 

hfc (W/m²/K) 

Fipo 01-L 

Fipo 05-L 

Fipo 06-L 

Fipo 12-L 

Fipo 01-R 

Fipo 02-R 

Fipo 04-R 

Fipo 05-R 

3510 

3010 

2510 

2010 

1510 

1010 

510 

10 

-20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20 


Figure 4-33 : Coefficient d’échange dans le canal chaud calculé à partir de l’équation (4-31) 

207


L’effet du changement de phase sur le coefficient d’échange dans le canal chaud est plus 

visible que sur le coefficient d’échange global. Sur certains essais, comme Fipo 05-L et 06-L, 

l’amélioration apportée par le changement de phase est considérable : on passe d’un 

coefficient de 140 W.m -2 .K -1 avant la congélation à un coefficient qui atteint à son maximum 

3000 W.m -2 .K -1 . Pour éviter l’écrasement des courbes des autres essais en raison de ces fortes 

valeurs, la Figure 4-34 représente h fc avec une échelle logarithmique. 

Fipo 01-L 

10000 

hfc (W/m²/K) 

Fipo 05-L 

Fipo 06-L 

Fipo 12-L 

Fipo 01-R 

Fipo 02-R 

Fipo 04-R 

Fipo 05-R 

1000 

100 

10 

-20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20 


Figure 4-34 : Figure identique à la Figure 4-33 avec une échelle logarithmique pour représenter h fc 

La Figure 4-35 représente le coefficient d’échange dans le canal chaud en fonction du 

pourcentage de particules congelées. L’essai Fipo 05-R n’est pas représenté car la congélation 

des particules n’étant pas terminée, h fc ne peut être tracé en fonction de ce paramètre. 

L’augmentation du coefficient d’échange se fait en deux temps. Une première augmentation 

de 70 % en moyenne est observée lorsque le pourcentage de particules congelées est compris 

entre 5 et 10 %. Puis à partir de 20 % de particules congelées une augmentation plus 

progressive est observée qui est plus ou moins conséquente suivant les essais : pour l’essai 

Fipo 06-L, elle s’élève à 600 % et seulement à 7 % pour l’essai Fipo 04-R. Pour expliquer 

cette disparité dans les résultats, il se peut que lors de la congélation, une quantité variable de 

particules se collent en paroi et détériorent les échanges. 

208


hfc (W/m²/K) 

10000 

1000 

100 

1ère 

augmentation 

2ème 

augmentation 

Fipo 01-L 

Fipo 05-L 

Fipo 06-L 

Fipo 12-L 

Fipo 01-R 

Fipo 02-R 

Fipo 04-R 

10 

0 20 40 60 80 100 120 


Figure 4-35 : Coefficient d’échange dans le canal chaud en fonction du pourcentage de particules 

congelées 

La représentation de la Figure 4-36 du coefficient d’échange dans le canal chaud en fonction 

de la vitesse de congélation confirme cette différence de comportement. 

hfc (W/m²/K) 

3000 

2500 

2000 

1500 

Fipo 01-L 

Fipo 05-L 

Fipo 06-L 

Fipo 12-L 

Fipo 01-R 

Fipo 02-R 

Fipo 04-R 

Fipo 05-R 

1000 

500 

0 

0,00 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30 0,35 

Vitesse de congélation 

Figure 4-36 : Coefficient d’échange dans le canal chaud en fonction de la vitesse de 

congélation des particules 

209


Pour les essais Fipo 01-L, 05-L, 06-L et 12-L, h fc varie en fonction de la vitesse de 

congélation de manière exponentielle alors qu’il varie de manière linéaire pour les essais 01- 

R, 02-R, 04-R et 05-R. 

Pour évaluer l’amélioration apportée par le changement de phase, le coefficient d’échange de 

68 W.m -2 .K -1 trouvé en simple phase ne peut plus servir de référence en raison du changement 

de rhéologie de la suspension lorsque les particules commencent à congeler. Nous avons donc 

tracé, comme indiqué sur la Figure 4-37, une ligne de base qui extrapole un coefficient 

d’échange sans changement de phase en fonction de la température à partir des valeurs avant 

et après le changement de phase. 

500 

450 

hfc (W/m²/K) 

400 

350 

300 

250 

200 

150 

100 

50 

Fipo 02-R 

Ligne de base : 

-0,84 x % particules congelées+109 

% de particules congelées 

Figure 4-37 : Valeurs utilisées sur la courbe de h fc en fonction du % de particules congelées pour 

déterminer l’amélioration apportée par le changement de phase sur les transferts thermiques 

(essai Fipo 02-R) 

Le coefficient d’échange avec changement de phase est ainsi comparé à la valeur extrapolée : 

⎛ h 

⎜ 

h 

⎝ 

fc 

extrapolé 

0 

-1 19 39 59 79 99 

⎞ 

⎟ 

. Le rapport trouvé est donné sur la Figure 4-38 en fonction du pourcentage de 

⎠ 

particules congelées. 

Pour comparer les essais entre eux et essayer de trouver les paramètres à l’origine de la 

disparité des résultats, un rapport moyen est calculé en prenant les valeurs comprises entre 40 

et 70 % de particules congelées. Il varie entre 1,6 et 16 suivant les essais. 

210


hfc 

hfc extrapolé 

31 

26 

21 

16 

11 

Calcul de la valeur moyenne du coefficient 

d'échange pour un % de particules 

congelées compris entre 40 et 77 % 

Fipo 01-L 

Fipo 05-L 

Fipo 06-L 

Fipo 12-L 

Fipo 01-R 

Fipo 02-R 

Fipo 04-R 

6 

1 

0 20 40 60 80 100 120 


Figure 4-38 : Amélioration du coefficient d’échange en raison du changement de phase des particules en 

fonction du % de particules congelées 

Plusieurs paramètres ont été testés en abscisse. h fc ne montre aucune dépendance évidente 

avec le nombre de Reynolds, la vitesse de refroidissement du fluide froid ou du fluide chaud, 

ou avec l’écart en température entre les deux fluides. Par contre la fraction de particules 

∆c 

congelées dans la section d’essai ( m 

, terme intervenant dans le calcul de C’) et le nombre 

L 

⎛ cm 

H ⎞ 

µ s ⎜Cps 

+ ⎟ 

T 

de Prandtl basé sur un Cp s équivalent ( 

⎝ ∆ 

Pr = 

⎠ 

) semblent être des paramètres 

k 

qui interviennent dans les échanges. La Figure 4-39 et la Figure 4-40 représentent le rapport 

des coefficients d’échange en fonction de ces deux paramètres. Le nombre de Prandtl, sauf 

pour les essais Fipo 6-L et 12-L semble être un paramètre pertinent. Cependant, il fait 

intervenir la viscosité de la suspension. Or cette propriété physique, calculée avec la relation 

de Vand (1948), est sous-estimée lorsque les particules commencent à changer de phase. De 

plus, sur la Figure 4-36, les courbes de h fc des essais Fipo 06-L et 12-L ont une allure 

similaire à celles des essais 01-L et 05-L. Donc il n’y a pas de raison évidente pour que ces 

essais soient autant écartés des autres points. Une étude rhéologique de la suspension est 

nécessaire pour pouvoir pousser plus loin l’analyse. 

s 

211


19 

17 

Fipo 06-L 

Fipo 05-L 

15 

13 

h fc /h extrapolé 

= 0.0112 Pr - 3.6 

h fc 

h extrapolé 

11 

9 

7 

Fipo 12-L 

Fipo 02-R 

Fipo 01-L 

5 

Fipo 01-R 

3 

Fipo 05-R 

Fipo 04-R 

1 

50 250 450 650 850 1050 1250 1450 1650 1850 

Figure 4-39 : Influence du nombre de Prandtl sur l’amélioration des échanges 

Pr 

20 

18 

16 


h fc 

h extrapolé 

14 

12 

10 

8 

Fipo 12-L 

Fipo 01-L 

6 

4 

2 

0 

Fipo 04-R 

Fipo 05-R 

Fipo 01-R 

Fipo 02-R 

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 

∆ c m / L (m -1 ) 

Figure 4-40 : Influence de 

∆c m 

L 

sur l’amélioration du coefficient d’échange 

212


La représentation du rapport des coefficients d’échange en fonction de 

∆c m 

L 

présente deux 

tendances qui sont en accord avec celles observées sur la Figure 4-36 : les points des essais 

01-L, 05-L, 06-L et 12-L ont un comportement différent des essais 01-R, 02-R, 04-R et 05-R. 

La différence majeure entre ces deux séries d’essais est le mode d’acquisition. Suivant que 

l’enregistrement des températures est faîte avec une centrale d’acquisition lente ou une 

centrale d’acquisition rapide, la vitesse de congélation ne doit pas se calculer de la même 

façon. Cette erreur nous oblige à comparer séparément les deux séries d’essais. Toutefois, on 

remarque que les deux séries ont une dépendance linéaire avec 

∆c m 

L 

: 

∆c m 

L 

paramètre pertinent pour expliquer les variations de h fc au cours des différents essais. 

semble être un 

 

&RPSDUDLVRQDYHFOHVFRUUpODWLRQVGHODOLWWpUDWXUH 

L’amélioration du coefficient d’échange est due lorsqu’il n’y a pas de changement de phase à 

l’augmentation de la conductivité du fluide chaud. Deux facteurs sont à l’origine de cette 

augmentation : 

− la conductivité des particules (supérieure à celle de l’huile porteuse) 

k 

k 

s 

f 

k p 

2 + 

k f 

= 

k 

2 + 

k 

p 

f 

⎛ k p 

+ 2c 

⎜ 

v 

⎝ 

k f 

⎛ k p 

− c ⎜ 

v 

⎝ 

k f 

⎞ 

−1⎟ 

⎠ 

⎞ 

−1⎟ 

⎠ 

− les effets micro-convectifs ; pour des nombres de Peclet modérés, comme c’est le cas dans 

nos conditions expérimentales, l’amélioration de la conductivité s’évalue à partir de la 

corrélation de Nir et Acrivos (1976) [1-28] : 

k 

k 

sa 

f 

= 

Ac 

Pe 

1 + v p 

Lors du changement de phase, l’amélioration peut être prise en compte soit par la corrélation 

trouvée par Kasza et Chen (1985) : 

1 

11 

h 

h 

changement de phase 

simple phase 

⎛ c H 

= ⎜ 

Cp 

⎝ c 

v 

( T −T 

) 

fc 

+ 

1 

3 

⎞ 

1⎟ 

⎠ 

ou par la corrélation de Chen et Chen (1987) [équation (1–56)] : 

(4-32) 

Nu( 

z) 

= 0,475 Re 

1 

2 

Pr 

1 

3 

⎛ Ste ⎞ 

⎜ 

⎟ 

⎝ c ⎠ 

1 

− 

3 

⎡ Ste 

⎢1 

− 

⎣ 6 

m c m 

⎤ 

+ ... ⎥ 

⎦ 

213

avec 

( T ) 


Cpsc 

fc w 

Ste = − , Cp sc la capacité thermique de la suspension à 0 °C et T fc w la 

H 

température moyenne du fluide chaud en paroi. 

Les résultats trouvés pour les essais 01-L, 05-L et 06-L sont présentés sur la Figure 4-41. Les 

autres essais ne sont pas présentés car la corrélation de Chen et Chen ne peut être appliquée 

faute de mesures des températures de paroi. 

Avant le début du changement de phase, l’amélioration du coefficient d’échange n’est pas 

exclusivement due à la conductivité des particules (courbe expérimentale supérieure à la 

courbe jaune) mais également aux effets micro-convectifs. Cependant, alors que 

Charunyakorn et al. ont proposé une valeur de 3 pour la constante A, les valeurs 

expérimentales trouvées varient suivant les essais. Elles sont récapitulées dans le Tableau 

4-12. 

Essai Fipo 01-L 05-L 06-L 12-L 01-R 02-R 04-R 05-R 

A 2,4 10 2,2 3,2 1,2 1,8 2,6 2 

Tableau 4-12 : Valeurs de A trouvées pour faire correspondre h fc expérimental avec h fc calculé à partir de 

l’équation (1-28) 

Dans le chapitre 1, nous avons exposé les différentes corrélations proposées dans la littérature 

et leur disparité a mis en évidence l’importance des conditions expérimentales sur la valeur de 

A et du facteur de puissance du nombre de Péclet. La nature des suspensions, la taille des 

particules, les conditions opératoires, … sont autant de paramètres qui peuvent modifier les 

effets micro-convectifs. Dans notre cas, la suspension avant le début du changement de phase 

n’est pas homogène. Les particules s’agglomèrent entre elles. La formation de ces agrégats 

perturbe le profil de vitesse et suivant leur taille les effets micro-convectifs sont plus ou moins 

importants. Ceci peut être à l’origine des fluctuations de la valeur de A pour les différents 

essais. 

Après le changement de phase, lorsque les particules sont solides, le coefficient d’échange 

chute. Les effets micro-convectifs disparaissent en raison de l’augmentation de la viscosité, 

mais il est surprenant que le coefficient d’échange devienne inférieur à celui calculé avec les 

propriétés de l’huile pure. En effet, en régime laminaire, les échanges étant essentiellement 

conductifs et la conductivité de la glace étant supérieure à celle de l’eau, la conductivité de la 

suspension est supérieure à celle de l’huile pure. Des mesures de conductivité à des 

températures négatives seraient utiles pour mieux comprendre cette chute du coefficient 

d’échange. 

214


hfc (W/m²/°C) 

Fipo 01-L 

cv = 20 % 

valeurs expérimentales 10000 

huile pure 

suspension au repos 

micro-convection (A=2,4) 

Changement de phase avec k de la suspension (Chen et Chen) 

Changement de phase (Kasza et Chen) 

Changement de phase avec k de l'huile pure (Chen et Chen) 

1000 

100 

10 

-15 -10 -5 0 5 10 

valeurs expérimentales Tfc moyen (°C) 

huile pure 


effets micro-convectifs 

10000 

(A=10) 

avec changement de phase et k de la suspension (Chen et Chen) 

avec changement de phase (Kasza et Chen) 

avec changement de phase et k de l'huile pure (Chen et Chen) 

hfc (W/m²/K) 

Fipo 05-L 

cv = 20 % 

1000 

100 

10 

-15 -10 -5 0 5 10 15 20 


hfc (W/m²/K) 

valeurs expérimentales 

huile pure 


effets micro-convectifs (A=2,2) 

changement de phase avec k de la suspension (Chen & Chen) 

10000 

changement de phase (Kasza) 

changement de phase avec k de l'huile pure (Chen & Chen) 

1000 

100 

Fipo 06-L 

cv = 20 % 

10 

-20 -15 -10 -5 0 


5 10 

Figure 4-41 : Comparaison des résultats expérimentaux avec les résultats issus des corrélations données 

dans la littérature (essai Fipo 01-L, 05-L et 06-L) 

215


Les corrélations proposées dans la littérature pour évaluer l’amélioration apportée par le 

changement de phase ne donnent pas de résultats satisfaisants. Elles sous-estiment l’effet du 

changement de phase et elles prédisent une augmentation maximale du coefficient d’échange 

lorsque la température de la suspension est proche de la température de fusion, soit au début 

du changement de phase. Alors que sur les résultats expérimentaux, l’augmentation maximale 

a lieu à des températures inférieures de 3 jusqu’à 7 K à la température de fusion et pour un 

pourcentage de particules congelées de 60 % environ. Le problème vient du domaine de 

validité dans lequel ces corrélations sont utilisables. L’équation (1-56) mise au point par Chen 

et Chen (1987) permet de calculer un nombre de Nusselt local et non pas un nombre de 

Nusselt global. De plus, elle est issue d’un modèle où la température de paroi est constante et 

où il se forme une couche de fusion le long de l’échangeur. Dans notre cas, les particules ne 

se congelant pas en un seul passage, la couche de fusion n’existe pas. En paroi, coexistent des 

particules à l’état liquide et à l’état solide. Les résultats de notre modèle présenté dans le 

paragraphe 4.3.2.4.3 pour un échangeur de 20 m de long à température de paroi constante, 

confirment qu’il est délicat de le comparer à nos résultats expérimentaux. La corrélation de 

Kasza et Chen (1985) [4-31] présente le défaut que lorsque T fc tend vers T c au début du 

changement de phase, l’amélioration tend vers l’infini. De plus, cette relation n’est valable 

que lorsque les deux phases de la suspension sont à l’équilibre thermique. Or, dans notre cas 

de figure, les deux phases ne sont pas à l’équilibre et le changement de phase s’étale sur une 

large gamme de températures [(T c - T fc ) devient de plus en plus important]. 

Nos conditions opératoires sont trop loin des cas idéaux étudiés dans la littérature pour 

trouver une corrélation qui corrobore nos résultats. 

216

Conclusion générale et perspectives 

217

218

Le présent travail avait pour objectif de contribuer à améliorer les connaissances des 

écoulements et des transferts de chaleur des mélanges diphasiques de particules à changement 

de phase liquide-solide. 

L’analyse des données de la littérature concernant la thermo-hydraulique de ces fluides dans 

les échangeurs montre des lacunes importantes en terme de méthode prédictive pour le calcul 

des coefficients de transfert et de perte de pression ainsi qu’en terme de données 

expérimentales. Il est clair que la diversité des paramètres (taille et concentration des 

particules, masse volumique du fluide porteur et du MCP) peut induire une large variété de 

régimes d’écoulement. Par ailleurs, les mécanismes de transfert thermique restent complexes 

puisqu’ils intègrent des mécanismes convectifs entre particules et fluide porteur, entre fluide 

chargé et paroi mais également par conduction au sein même des particules qui sont le siège 

d’un changement de phase liquide-solide. L’absence de méthode générale est partiellement 

compensée par l’existence de corrélations qui restent d’une portée limitée. 

Les corrélations de la littérature pour évaluer les pertes de pression, élaborées à partir de 

résultats expérimentaux ou d’un modèle théorique (modèle triple couche), sont cohérentes 

entre elles. Leur prédiction est d’autant meilleure au fur et à mesure que l’écoulement devient 

homogène et que la concentration en particules augmente. 

Les corrélations proposées dans la littérature pour évaluer les coefficients de transfert sont 

issues de modèles théoriques et sont restreintes à des conditions d’utilisation particulières qui 

ne correspondent pas à nos conditions d’essais. 

Les mécanismes de transferts de chaleur entre les particules et le fluide porteur et entre le 

fluide et la paroi ont été modélisés en régime permanent. Les résultats obtenus ont permis 

d’identifier les paramètres prépondérants dans les transferts thermiques entre les deux phases 

et d’expliquer le rôle joué par le changement de phase dans l’amélioration des échanges : les 

particules sont une source d’énergie qui bloque la descente en température du fluide porteur et 

maintient un gradient de température élevé en paroi. La validation complète du modèle n’a 

pas pu être menée par les résultats expérimentaux, étant donné le régime transitoire de 

l’installation expérimentale, et reste à établir. Néanmoins, le modèle est un bon outil pour le 

dimensionnement d’une nouvelle section d’essais mieux adaptée au fluide étudié. 

Une boucle expérimentale, dont l’élaboration a connu diverses péripéties, a permis d’étudier 

le comportement thermique d’un fluide diphasique en circulation. Le fluide étudié est une 

suspension de particules dans de l’huile siliconée. Les particules sont constituées d’un gel 

organique très poreux rempli d’eau, fabriqué à partir d’un processus de polymérisation. La 

219

suspension est refroidie dans un échangeur vertical à section rectangulaire. La congélation 

complète des particules nécessite plusieurs passages dans l’échangeur. L’étude a donc été 

faite en régime transitoire. Les résultats expérimentaux obtenus mettent en évidence la 

superposition de deux effets sur l’amélioration du coefficient d’échange global entre la 

suspension et la paroi : l’un est lié aux effets micro-convectifs aux températures positives et 

l’autre au changement de phase liquide-solide des particules. 

- L’effet des particules liquides sur le coefficient d’échange avant le début du changement 

de phase entraîne une amélioration d’un facteur 2,3 en moyenne par rapport au cas de 

référence en simple phase. La comparaison avec les corrélations de la littérature confirme 

que les effets micro-convectifs sont à l’origine de cette amélioration. Cependant les 

résultats expérimentaux fluctuent beaucoup et ne nous permettent pas de proposer une 

corrélation propre à nos conditions opératoires. Le manque de reproductibilité de nos 

mesures est certainement dû à la formation d’un lit de particules dans les parties 

horizontales provoquée par les faibles vitesses d’écoulement. 

- Le changement de phase des particules provoque une amélioration supplémentaire du 

coefficient d’échange. Suivant les essais le facteur d’amélioration varie entre 2 et 16. 

Cette étude a montré que l’un des paramètres à l’origine de cet étalement est la variation 

de la vitesse de congélation : plus les particules congèlent rapidement, plus l’effet de 

source que génère le changement de phase est important et plus l’amélioration de 

l’échange thermique est importante. Cependant d’autres paramètres interviennent, mais 

les moyens de mesure mis en place n’ont pas permis de les identifier. Le déséquilibre 

thermique entre les particules et l’huile lors du changement de phase montre que les 

échanges globaux sont essentiellement limités par l’échange entre la particule et le fluide 

porteur et non pas par l’échange avec la paroi du canal. 

Enfin et pour conclure, notons que cette suspension présente , en tant que fluide frigoporteur 

diphasique, de nombreux avantages : de forts coefficients d’échange, une faible variation de 

température de paroi et surtout, par rapport aux coulis de glace, l’absence de générateur à 

surface raclée. Cependant, ces travaux ont montré qu’il est indispensable de caractériser en 

premier lieu le comportement rhéologique de ce fluide complexe en fonction de la 

température pour permettre, à terme, de développer des outils de dimensionnement des 

équipements constituant un circuit hydraulique diphasique reliant le groupe de production 

frigorifique et le dispositif d’utilisation du froid. 

220

Les perspectives sur les travaux à mener pour approfondir les connaissances sur ce produit 

concernent plusieurs points : 

− la rhéologie du fluide : les résultats ont montré que la viscosité du fluide était fortement 

perturbée par la solidification des particules et que cette variation pouvait être à la source 

des nombreux phénomènes non-expliqués. Une étude des pertes de charge de la 

suspension par une rhéomètrie en ligne à différentes températures est donc indispensable. 

Une visualisation de l’écoulement au cours du refroidissement peut également apporter 

des informations complémentaires sur la structure de l’écoulement et sur le profil des 

vitesses. Des mesures de pertes de pression dans des conduites verticales et horizontales et 

dans des singularités comme des coudes apporteraient des informations utiles sur la 

faisabilité d’utilisation de ces fluides dans des installations industrielles ; 

− la vitesse d’écoulement : cette étude a porté sur un régime laminaire. Un écoulement à des 

vitesses plus importantes permettrait probablement de réduire la formation de bouchons, 

d’agrégats et de dépôts de particules aux parois et de travailler dans des régimes 

d’écoulement plus favorables aux échanges thermiques. Les pompes péristaltiques étant 

limitées en débit, des tests avec des pompes plus puissantes sont nécessaires au préalable 

pour vérifier la tenue mécanique des particules lorsqu’elles sont soumises à de fortes 

contraintes de cisaillement. 

− des tests d’endurance pour qualifier la résistance du produit à changement de phase 

liquide-solide dans des conditions de cyclages industriels. Pour cela une réflexion sérieuse 

doit être faite sur la géométrie la mieux adaptée. Les paramètres à optimiser sont sa 

longueur (pour permettre de congeler les particules en un seul passage et travailler en 

régime permanent) et sa section de passage (elle doit être suffisante pour éviter les 

problèmes de bouchons) tout en évitant une géométrie d’échangeur où l’écoulement est 

asymétrique (type échangeur co-axial hélicoïdal). Les phénomènes parasites générés, 

compliqueraient l’interprétation des mesures alors que le comportement thermique de la 

suspension est déjà suffisamment complexe dans une géométrie simple. Pour 

l’instrumentation, les fluxmètres se sont avérés être un moyen de mesure performant qu’il 

semble judicieux de conserver. Ils peuvent être doublés par des bilans complets sur le 

fluide secondaire. Pour cela, les mesures de température doivent être complétées par une 

mesure des échanges thermiques avec l’extérieur (par des fluxmètres éventuellement) ; 

− la concentration de la suspension : ce paramètre peut apporter des informations très 

intéressantes sur de nombreux points. Il doit exister une concentration seuil comprise 

221

entre 20 et 25 % au delà de laquelle lorsque les particules deviennent solides, la rhéologie 

du fluide est fortement perturbée. Au delà de ces concentrations, le volume occupé par les 

particules est tel qu’il diminue fortement leur mobilité et génère des pertes de charge 

importantes. Il doit également exister une concentration optimale, inférieure à 20 % où la 

chute du coefficient d’échange à la fin de la congélation est moins prononcée. Des essais 

avec des concentrations plus faibles en complément aux mesures de viscosité aideraient à 

identifier les mécanismes responsables de cette chute. 

222

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228

Annexes 

A.1 Détermination de K (Chapitre 4 – paragraphe 4.2.1.) 

Figure A 1 : Coupe de la section d’essais et de son enveloppe 

A.2 Profils des descentes en température de la suspension 

Figure A 2 : Descente en température de la suspension pour une charge volumique en particules de 20 % (Fipo 

01-L) 


05-L) 


06-L) 


12-L) 


01-R) 


02-R) 


03-R) 


04-R) 


05-R) 

A.3 Flux échangés dans la boucle 

Figure A 11 : Comparaison des flux calculés à partir du terme de gauche de l’équation (4–25) [1] avec le flux 

calculé à partir des termes de droite de l’équation (4–25) [2]+[3] – (Fipo 01-L) 








calculé à partir des termes de droite de l’équation (4–25) [2]+[3] – (Fipo 01-R) 







A.4 Variation des débits massiques de la suspension 

Figure A 19 : Variation du débit au cours du refroidissement de la suspension ( le début du changement de phase 

pour chaque essai est repéré par une flèche) 

229

230

A.1. Détermination de K (Chapitre 4 – paragraphe 4.2.1.) 

Face 3 

210 

Plan de symétrie 

30 15 15 130 

Isolant 

(armaflex 

résine 

Canal 

froid 

Canal 

chaud 

Canal 

froid 

bois 

Face 1 

Face 2 

15 15 4 4 15 

Figure A 1 : Coupe de la section d’essais et de son enveloppe 

Le coefficient d’échange linéique est la somme des coefficients d’échange des quatre faces de 


1 1 0,015 0,015 0,004 

− Face 1 : = + + + 

K1 

hext 

kisolant 

kbois 

kré 

sin e 

Avec h ext = 5 W.m -2 .K -1 le coefficient d’échange avec l’extérieur, k isolant = 0,038 W.m -1 .K -1 la 

conductivité thermique de l’isolant, k bois = 0,162 W.m -1 .K -1 la conductivité thermique du bois 

et k résine = 0,36 W.m -1 .K -1 la conductivité thermique de la résine. Soit K 1 = 1,44 W.m -2 .K -1 . 

1 1 0,015 0,004 

− Face 2 : = + + soit K 2 = 1,65 W.m -2 .K -1 . 

K 2 hext 

kisolant 

kré 

sin e 

1 1 0,015 0,015 0,03 

− Face 3 : = + + + soit K 3 = 1,3 W.m -2 .K -1 . 

K 3 hext 

kisolant 

kbois 

kré 

sin e 

Le coefficient K vaut donc : K = 2 [( K1 + K 2 ) × 0,13 + ( K 3 × 0,21) 

], soit 1,35 W.m -1 .K -1 (le 

facteur 2 est du au plan de symétrie de la Figure A 1). 

231

A.2. Profils des descentes en température de la suspension 

(Chapitre 4 – paragraphe 4.3.1.) 

20 

15 

10 

FIPO 01-L 

Tfce 

Tfcs 

Tffe 

Tffs 

Tw moyen 




5 

0 

-5 

-10 

-15 

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 

Tfc 

-20 

-25 

-30 

temps (s) 

Tff 

Figure A 2 : Descente en température de la suspension pour une charge volumique en particules de 20 % 

(Fipo 01-L) 


20 

15 

10 

5 

0 

-5 

-10 

Tfce 

FIPO 05-L 

Tfcs 

Tffe 

Tffs 



Tw moyen 

0 500 1000 1500 2000 2500 

-15 

-20 

-25 

-30 

temps (s) 


(Fipo 05-L) 

232

20 

10 

Tfce 

Tfcs 

Tffe 

Tffs 



Tw moyen 


0 

-10 

-20 

0 200 400 600 800 1000 1200 

temps (s) 

FIPO 06-L 

-30 

-40 


(Fipo 06-L) 

30 

20 

10 

FIPO 12-L 

Tfce 

Tfcs 

Tffe 

Tffs 




0 

-10 

0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 

-20 

-30 

-40 

temps (s) 


(Fipo 12-L) 

233

20 

10 

FIPO 01-R 

Tfce 

Tfcs 

Tffe 

Tffs 


0 

-10 

-20 

-30 

-40 

0 200 400 600 800 1000 1200 1400 

Tfc 

Tff 

-50 

temps (s) 


(Fipo 01-R) 

10 

5 

0 

-5 

Tfce 

Fipo 02-R 

Tfcs 

Tffe 

Tffs 

0 200 400 600 800 1000 1200 1400 


-10 

-15 

-20 

-25 

-30 

-35 

-40 

-45 

temps (s) 


(Fipo 02-R) 

234

20 

FIPO 03-R 


Tffe 

10 

Tffs 

Tfce 

Tfcs 

0 

100 300 500 700 900 1100 1300 1500 1700 

temps (s) 

-10 

-20 

-30 

-40 


(Fipo 03-R) 


10 

5 

0 

-5 

-10 

-15 

Fipo 04-R 

Tfce 

Tfcs 

Tffe 

Tffs 

0 500 1000 1500 2000 2500 

-20 

-25 

temps (s) 


(Fipo 04-R) 

235

10 

5 

Fipo 05-R 

Tfce 

Tfcs 

Tffe 

Tffs 


0 

-5 

-10 

0 500 1000 1500 2000 

-15 

-20 

-25 

temps (s) 


(Fipo 05-R) 

236

A.3. Flux échangés dans la boucle (Chapitre4 – paragraphe 

4.3.2.2.) 

250 

200 

150 

Fipo 01L 


Pc-perte (tps ext SE ajusté à Q) 

fluxmètre-perte 

fluxmètre+55W-perte 

flux (W) 

100 

50 

0 

temps (s) 

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 

-50 

-100 

Figure A 11 : Comparaison des flux calculés à partir du terme de gauche de l’équation (4–25) [1] avec le 

flux calculé à partir des termes de droite de l’équation (4–25) [2]+[3] – (Fipo 01-L) 

400 

300 

Fipo 05-L 

200 

flux (W) 

100 

0 

-100 

-200 

-300 

0 500 1000 1500 2000 2500 


Pc-perte (tps ext SE ajusté à Q) 


fluxmètre+[55;150] W-perte 

temps (s) 



237

500 

400 

Fipo 06L 

300 

200 

100 

0 

-100 

-200 

0 200 400 600 800 1000 1200 


Pc-réchauffement 






500 

400 

Flux fluide chaud - réchauffement 

fluxmètre - réchauffement 

fluxmètre réhaussé - réchauffement 

300 

Fipo 12L 

flux (W) 

200 

100 

0 

-100 

0 500 1000 1500 2000 

temps (s) 

-200 



238

500 

400 

Fipo 01-R 





300 

flux (W) 

200 

100 

0 

0 200 400 600 800 1000 1200 

-100 

temps (s) 


flux calculé à partir des termes de droite de l’équation (4–25) [2]+[3] – (Fipo 01-R) 

600 

500 

400 

Fipo 02-R 





300 

flux (W) 

200 

100 

0 

-100 

0 200 400 600 800 1000 1200 1400 

-200 

temps (s) 



239

300 

250 

200 

Fipo 04-R 



fluxmètre+140 à 60 W-perte 



150 

100 

50 

0 

-50 

0 500 1000 1500 2000 2500 

-100 

temps (s) 



300 

250 

200 

Fipo 05-R 





150 


100 

50 

0 

-50 

-100 

0 500 1000 1500 2000 

temps (s) 

-150 



240

A.4. Variation des débits massiques de la suspension 

300 

Début du changement de phase 

280 

260 

240 

Mfc (kg/h) 

220 

200 

180 

160 

140 

120 

100 

Fipo 01-L Fipo 01-R 



Fipo 05-R Fipo 05-L 

0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000 

temps (s) 

Figure A 19 : Variation du débit au cours du refroidissement de la suspension ( le début du changement 

de phase pour chaque essai est repéré par une flèche) 

241

RESUME 

Ce travail porte sur l’étude des échanges thermiques d’un mélange diphasique, composé de particules d’eau en 

suspension dans de l’huile siliconée en circulation dans une boucle fermée. L’eau, contenue dans une matrice poreuse en 

polymère, est congelée par passages successifs dans un échangeur à plaques lisses. 

L’analyse des données de la littérature concernant la thermo-hydraulique de ces fluides dans les échangeurs montre des 

lacunes importantes en terme de données expérimentales et de méthodes prédictives pour le calcul des coefficients de 

transfert et de perte de pression. 

Les résultats expérimentaux, issus de bilans globaux sur la section d’essais, mettent en évidence l’effet dopant des 

particules sur le coefficient d’échange. Avant le changement de phase, les effets micro-convectifs des particules en 

rotation sur elles-mêmes améliorent le coefficient d’échange de 135 %. Une amélioration supplémentaire comprise entre 

100 et 1500 % apparaît lors du changement de phase. Les fluctuations observées suivant les essais sont certainement 

provoquées par la formation d’un lit due aux faibles vitesses d’écoulement. Les résultats du modèle montrent que les 

particules agissent comme des sources lorsqu’elles libèrent leur chaleur latente : elles bloquent la descente en 

température. Le gradient de température en paroi restant élevé, les échanges thermiques sont améliorés par rapport à un 

fluide monophasique. Lors de la congélation des particules, la rhéologie de la suspension varie fortement. La distribution 

des particules dans l’écoulement est certainement modifiée entraînant une détérioration très importante des transferts 

thermiques. 

Une étude rhéologique approfondie de la suspension est nécessaire pour une meilleure compréhension des phénomènes 

observés, mais ces premiers résultats montrent déjà un gain énergétique important apporté par les particules sur une 

gamme de température comprise entre 0 et – 6 °C. 

Mots clés : Mélange solide-liquide, Fluide frigoporteur diphasique, Chaleur latente, Particules à changement de phase, 

Transfert thermique, Echangeur à plaques planes. 

SUMMARY 

The purpose of the work is to study diphasique mixture heat exchange composed of water particles suspended in siliconed 

oil circulating in a closed loop. Water, contained in polymer porous matrix, is freezing by successive passages in plane 

plate heat exchanger. 

Thermo-hydraulic literature data analysis about these fluids in exchangers shows important blanks in exchange 

coefficient and pressure drop forecast methods and in experimental data. 

Experimental results, issued of global energy balance on a test section specifically conceived and made for this study, 

show doping effect on exchange coefficient. Before phase change, microconvective effects of rotating particles improve 

exchange coefficient of 2,3 factor. Supplementary enhancement included between 2 and 16 appeared during phase 

change. Trial measured discrepancy are certainly induced by bed layer formation due to low flow speed. At the end of 

particle freezing, when latent heat is not involved anymore in exchange enhancement, important heat transfer reduction is 

observed. This is attributed to the cooling suspension rheological evolution and the change of flow particle distribution. 

Modelling results corroborate heat exchange improvement due to phase change : particles act as sources when 

discharging there latent heat. They stop fluid temperature dropping and enable to keep a high wall temperature gradient. 

A deepened suspension rheological study is necessary for a better understanding of observed phenomenon, nevertheless 

these first results show already an important energetic profit brings by particles in range temperature of 0 and –6 °C. 

Key-words : Solid-liquid mixture, two-phase secondary refrigerant, Latent heat, Phase change particles, Heat transfer, 

Plane plate exchanger.

f - Thèses de l'INSA de Lyon

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