DS2 – Physique Physique Physique – 18/10/2010 – 1/2

EXERCICE
2 : La cardioïde (la courbe du cœur ?)
Un point matériel M décrit une trajectoire plane contenue dans le plan (Oxy) et dont les équations
⎧ ( ) ( ( ))
horaires en coordonnées polaires sont :
⎪r t = R 1+
cos ωt
⎨
, où R et ω sont des constantes positives.
⎪⎩ θ ( t ) = ωt
La trajectoire décrite est dessinée ci-dessous, elle est appelée “cardioïde”. Il s’agit de la trajectoire d'un point
fixé à un cercle qui roule sans glisser sur un second cercle de même diamètre. Il s'agit donc d'une courbe
cycloïdale dont la directrice est un cercle (ou épicycloïde).
y
M5
x
Questions :
On note M1 la position du point M à la date t1 = 0, M2 la position correspondant à l’intersection entre
la trajectoire et la partie y > 0 de l’axe (Oy). M3 la position confondue avec l’origine O, et M4 l’intersection
entre la trajectoire et la partie y < 0 de l’axe (Oy). On note également M5 le point auquel θ = π/4.
1. JUSTIFIER le fait que le mouvement est périodique. Quelle est la période T de ce mouvement en
fonction de ω.
2. Préciser les coordonnées ( r ,θ ) et ( , )
x y des 5 points M1, M2, M3, M4 et M5.
3. Exprimer les premières dates t1, t2, t3, t4, et t5 auxquelles M est respectivement en M1, M2, M3, M4 et M5.
4. Reproduire la courbe de droite “approximativement” sur votre copie afin de la compléter au fur et à
mesure des questions. Placer tous les points, et préciser l’échelle (à l’aide des questions précédentes).
5. Représenter en chacun des points la base polaire B = ( er
, e
θ ) .
6. Donner l’expression générale du vecteur vitesse v du point M caractérisé par ses coordonnées ( r ,θ )
B = e e , puis donner v en fonction de R, ω, et t.
dans cette base polaire ( r
,
θ )
7. Représenter les vecteurs vitesse aux instants t1, t2, t3, t4, et t5.
8. Donner l’expression générale du vecteur accélération
( r ,θ ) dans la base polaire, puis donner
a en fonction de R, ω, et t.
9. Représenter les vecteurs accélération aux instants t1, t2, t3, t4, et t5.
a du point M caractérisé par ses coordonnées
10. Pour quelles parties de la trajectoire le mouvement est-il accéléré ? Pour quelles parties est-il décéléré ?
(Justifier le de manière intuitive et mathématique)