Exercice 9 : - Université des Sciences et de la Technologie d'Oran ...

UNIVERSITE DES SCIENCES ET DE LA TECHNOLOGIE MOHAMED BOUDIAF
LMD S.M. Semestre 4
Année Universitaire 2005/2006
Module : Mécanique Quantique
TD N°2
Chapitre I- Limites de la physique classique (suite)
Modèle de Bohr :
2 2
q γ
1- Une particule de charge q et d’accélération γ, rayonne une puissance P =
3
6πε
0c
Evaluer le temps τ nécessaire, dans l’hypothèse où la description classique serait valable, pour
qu’un électron tombe dans un atome d’hydrogène, de la première orbite de Bohr sur le noyau
qu’on assimilera à une sphère de rayon r 0 = 1,4.10 -15 m.
(L’accélération augmente quand l’électron se rapproche du noyau, on obtient une borne
supérieure pour τ en remplaçant γ par l’accélération sur la première orbite de Bohr.)
Ce temps est-il compatible avec la stabilité atomique que nous constatons quotidiennement ?
2- a- Rappeler les postulats de Bohr pour un atome hydrogénoide.
b- Trouver l’expression du rayon de l’atome. En déduire la valeur numérique du rayon de la
première orbite de Bohr a 0 (unité atomique de longueur).
c- Trouver l’expression de l’énergie totale de l’électron sur une orbite stationnaire. En déduire
l’énergie d’ionisation de l’atome d’hydrogène.
d- Calculer le rapport v/c (v étant la vitesse de l’électron) l’exprimant au moyen de la
constante de structure fine
2
1 e 1
α = =
4πε
0
hc
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Est-il raisonnable de négliger les effets de la relativité dans la théorie de Bohr ?
e- Trouver l’expression de la constante de Rydberg.
f- Quelle est la longueur d’onde du photon émis quand un électron de l’atome de Bohr subit
une transition de n 1 =5 à n 2 =2.
g- L’électron de l’atome d’hydrogène se trouvait dans un niveau d’énergie supérieur. En
revenant vers le niveau d’énergie n=3, il émet un photon de longueur d’onde λ=10965 Å. A
quel niveau d’énergie se trouvait l’électron ?
h- Calculer la longueur d’onde de De Broglie de l’électron λ n , n=1, 2, 3 dans les trois
premières orbites de l’atome d’hydrogène et montrer que la longueur d’une orbite atomique et
un nombre entier de λ n
3- Dans un tube à décharge électrique, des atomes d’hydrogène sont soumis à un faisceau
d’électrons de 12,2 eV. Quelles sont les longueurs d’ondes des raies qui peuvent être émises
par le gaz d’hydrogène.

Ondes de matière :
1-Calculer la longueur d’onde de De Broglie associée à un électron puis à un atome
d’hydrogène lorsque leur énergie cinétique est de 1eV.
2-Calculer la vitesse et l’énergie cinétique d’un électron et d’un neutron dont la longueur
d’onde de De Broglie est de 1 Å.
3-Que vaut la longueur d’onde d’un grain de poussière de masse m=10 -12 g propulsé à la
vitesse de 0,1 cm/s ?
4- Des réacteurs nucléaires produisent des neutrons pour lesquels la distribution en vitesse est
sensiblement une distribution de Maxwell-Boltzmann correspondant à la température
1 3
ambiante ( mv
2 = kT ). Monter que ces particules permettent des études
2 2
cristallographiques par diffraction de la même manière que les rayons X.
5-Montrer que pour une particule relativiste la longueur d’onde de De Broglie est donnée par :
h
λ =
E 2
m0c
( ) −1
2
m c
0
Rappel : E = T + m 0 c 2 = (p 2 c 2 +m 0 2 c 4 ) 1/2 est l’énergie totale d’une particule libre.
6-Calculer la vitesse et la longueur d’onde de de Broglie pour un électron d’énergie cinétique
de 10 keV et pour un neutron d’énergie cinétique de 8 MeV.
7-On veut accélérer un électron en lui appliquant une différence de potentiel de telle sorte que
sa longueur d’onde associée soit λ=1Å. Calculer cette différence de potentiel dans le cas
relativiste.