UE5 â Logique 2010- 2011 TD N° 5 Logique du premier ordre ...
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<strong>UE5</strong> – <strong>Logique</strong> <strong>2010</strong>- <strong>2011</strong><br />
<strong>TD</strong> N° 5<br />
<strong>Logique</strong> <strong>du</strong> <strong>premier</strong> <strong>ordre</strong> : syntaxe et sémantique - Formalisation<br />
I) Formalisation : Arithmétique<br />
Langage (signtature) : 0,1 ; + , * , - (arités 2, 2 1, notation infixe) ; < et =<br />
Exprimer par une formule :<br />
a) Il existe un plus petit élément.<br />
b) Il existe un plus grand élément.<br />
c) Il n'y a ni plus petit ni plus grand élément<br />
d) La fonction « double » est monotone croissante<br />
(arité 2, infixes)<br />
Quelles sont les propriétés vérifiées par les interprétations dans R, Z , N, Z 3 = entiers<br />
mo<strong>du</strong>lo 3 ({0,1,2} (avec opérations mo<strong>du</strong>lo 3)<br />
e) Successeurs (examen 2008)<br />
Dans un ensemble ordonné, on dira que y est successeur (immédiat) de x si x
Application :<br />
Un fameux syllogisme dit : Tous les hommes sont mortels, or Socrate est un homme, donc<br />
Socrate est mortel.<br />
Quel rapport avec (1) ? Comment de même « instancier » et « interpréter » (2), (3), (4) ?<br />
Etablir ces propriétés en Dé<strong>du</strong>ction Naturelle<br />
III) Validité : équivalences remarquables (cf poly)<br />
|= ∀x ( A(x) ∧ B(x) ) ⇔ ?<br />
|= ∃x ( A(x) ∨ B(x) ) ⇔ ?<br />
|= ¬ ∀x A(x) ⇔ ?<br />
|= ¬ ∃x A(x) ⇔ ?<br />
Application FNN : « faire rentrer les négations » dans les formules :<br />
1) ¬∀x ∃y (¬P(x,y) → ∃z (P(z) ∧ R(x,y,z)))<br />
2) Négation <strong>du</strong> (c) <strong>du</strong> I-2)<br />
2
<strong>TD</strong> 5 CORRIGE<br />
A. LANGAGE<br />
I Formalisation<br />
On prend comme symbole primitif < et on intro<strong>du</strong>it ≤ avec la définition :<br />
∀x∀y x ≤ y ≡ (x < y ∨ x = y)<br />
(a) ∃x ∀y x≤y<br />
(b) ∃x ∀y y≤x<br />
(c) ∀x ∃y x
2) Quelle relation de conséquence logique entre ces 3 énoncés ?Compléter :<br />
(1) ∀x (P(x) Q(x)), P(a) |= Q(a)<br />
(2) ∀x (P(x) Q(x)), ¬Q(b) |= ¬P(b)<br />
(3) ∀x (P(x) Q(x)), ∃x ¬Q(x) |= ∃x ¬P(x)<br />
(4) ∀x (P(x) Q(x)), ¬Q(b), ∀z (P(z) ∨ R(z)) |= ¬P(b) ∧R(b) (ou, simplement : R(b))<br />
On prend P(x) = « x est un homme », Q(x) = « x est mortel », a = « Socrate », b = « Zeus » (ou<br />
autre dieu…), R(z) = « z est un dieu ».<br />
(1) ∀x (P(x) Q(x))<br />
P(a) Q(a)<br />
Q(a)<br />
(2) ∀x (P(x) Q(x))<br />
P(b) Q(b)<br />
Q(b)<br />
P(a)<br />
[P(b)]<br />
⊥<br />
¬Q(b)<br />
(3) ∀x (P(x) Q(x))<br />
¬P(b) 1<br />
P(b) Q(b) [P(b)] 1<br />
∃x ¬Q(x)<br />
∃x ¬P(x)<br />
Q(b) [¬Q(b)] 2<br />
⊥<br />
¬P(b) 1<br />
∃x ¬P(x)<br />
2<br />
III) Validité : équivalences remarquables (cf poly)<br />
|= ∀x ( A(x) ∧ B(x) ) ⇔ (∀x A(x) ∧ ∀x B(x))<br />
|= ∃x ( A(x) ∨ B(x) ) ⇔ (∃x A(x) ∨ ∃x B(x))<br />
|= ¬ ∀x A(x) ⇔ ∃x ¬A(x)<br />
|= ¬ ∃x A(x) ⇔ ∀x ¬A(x)<br />
Application FNN : « faire rentrer les négations » dans les formules<br />
1) ¬∀x ∃y (¬P(x,y) → ∃z (P(z) ∧ R(x,y,z)))<br />
On obtient :<br />
∃x ∀y (¬P(x,y) ∧ ∀z (¬P(z) ∨ ¬R(x,y,z)))<br />
2) Négation <strong>du</strong> (c) <strong>du</strong> I-2)<br />
¬ ∀x (∃y x