UE5 – Logique 2010- 2011 TD N° 5 Logique du premier ordre ...

2) Quelle relation de conséquence logique entre ces 3 énoncés ?Compléter :
(1) ∀x (P(x) Q(x)), P(a) |= Q(a)
(2) ∀x (P(x) Q(x)), ¬Q(b) |= ¬P(b)
(3) ∀x (P(x) Q(x)), ∃x ¬Q(x) |= ∃x ¬P(x)
(4) ∀x (P(x) Q(x)), ¬Q(b), ∀z (P(z) ∨ R(z)) |= ¬P(b) ∧R(b) (ou, simplement : R(b))
On prend P(x) = « x est un homme », Q(x) = « x est mortel », a = « Socrate », b = « Zeus » (ou
autre dieu…), R(z) = « z est un dieu ».
(1) ∀x (P(x) Q(x))
P(a) Q(a)
Q(a)
(2) ∀x (P(x) Q(x))
P(b) Q(b)
Q(b)
P(a)
[P(b)]
⊥
¬Q(b)
(3) ∀x (P(x) Q(x))
¬P(b) 1
P(b) Q(b) [P(b)] 1
∃x ¬Q(x)
∃x ¬P(x)
Q(b) [¬Q(b)] 2
⊥
¬P(b) 1
∃x ¬P(x)
2
III) Validité : équivalences remarquables (cf poly)
|= ∀x ( A(x) ∧ B(x) ) ⇔ (∀x A(x) ∧ ∀x B(x))
|= ∃x ( A(x) ∨ B(x) ) ⇔ (∃x A(x) ∨ ∃x B(x))
|= ¬ ∀x A(x) ⇔ ∃x ¬A(x)
|= ¬ ∃x A(x) ⇔ ∀x ¬A(x)
Application FNN : « faire rentrer les négations » dans les formules
1) ¬∀x ∃y (¬P(x,y) → ∃z (P(z) ∧ R(x,y,z)))
On obtient :
∃x ∀y (¬P(x,y) ∧ ∀z (¬P(z) ∨ ¬R(x,y,z)))
2) Négation du (c) du I-2)
¬ ∀x (∃y x