UE5 – Logique 2010- 2011 TD N° 5 Logique du premier ordre ...

UE5 – Logique 2010- 2011
TD N° 5
Logique du premier ordre : syntaxe et sémantique - Formalisation
I) Formalisation : Arithmétique
Langage (signtature) : 0,1 ; + , * , - (arités 2, 2 1, notation infixe) ; < et =
Exprimer par une formule :
a) Il existe un plus petit élément.
b) Il existe un plus grand élément.
c) Il n'y a ni plus petit ni plus grand élément
d) La fonction « double » est monotone croissante
(arité 2, infixes)
Quelles sont les propriétés vérifiées par les interprétations dans R, Z , N, Z 3 = entiers
modulo 3 ({0,1,2} (avec opérations modulo 3)
e) Successeurs (examen 2008)
Dans un ensemble ordonné, on dira que y est successeur (immédiat) de x si x

Application :
Un fameux syllogisme dit : Tous les hommes sont mortels, or Socrate est un homme, donc
Socrate est mortel.
Quel rapport avec (1) ? Comment de même « instancier » et « interpréter » (2), (3), (4) ?
Etablir ces propriétés en Déduction Naturelle
III) Validité : équivalences remarquables (cf poly)
|= ∀x ( A(x) ∧ B(x) ) ⇔ ?
|= ∃x ( A(x) ∨ B(x) ) ⇔ ?
|= ¬ ∀x A(x) ⇔ ?
|= ¬ ∃x A(x) ⇔ ?
Application FNN : « faire rentrer les négations » dans les formules :
1) ¬∀x ∃y (¬P(x,y) → ∃z (P(z) ∧ R(x,y,z)))
2) Négation du (c) du I-2)
2

TD 5 CORRIGE
A. LANGAGE
I Formalisation
On prend comme symbole primitif < et on introduit ≤ avec la définition :
∀x∀y x ≤ y ≡ (x < y ∨ x = y)
(a) ∃x ∀y x≤y
(b) ∃x ∀y y≤x
(c) ∀x ∃y x

2) Quelle relation de conséquence logique entre ces 3 énoncés ?Compléter :
(1) ∀x (P(x) Q(x)), P(a) |= Q(a)
(2) ∀x (P(x) Q(x)), ¬Q(b) |= ¬P(b)
(3) ∀x (P(x) Q(x)), ∃x ¬Q(x) |= ∃x ¬P(x)
(4) ∀x (P(x) Q(x)), ¬Q(b), ∀z (P(z) ∨ R(z)) |= ¬P(b) ∧R(b) (ou, simplement : R(b))
On prend P(x) = « x est un homme », Q(x) = « x est mortel », a = « Socrate », b = « Zeus » (ou
autre dieu…), R(z) = « z est un dieu ».
(1) ∀x (P(x) Q(x))
P(a) Q(a)
Q(a)
(2) ∀x (P(x) Q(x))
P(b) Q(b)
Q(b)
P(a)
[P(b)]
⊥
¬Q(b)
(3) ∀x (P(x) Q(x))
¬P(b) 1
P(b) Q(b) [P(b)] 1
∃x ¬Q(x)
∃x ¬P(x)
Q(b) [¬Q(b)] 2
⊥
¬P(b) 1
∃x ¬P(x)
2
III) Validité : équivalences remarquables (cf poly)
|= ∀x ( A(x) ∧ B(x) ) ⇔ (∀x A(x) ∧ ∀x B(x))
|= ∃x ( A(x) ∨ B(x) ) ⇔ (∃x A(x) ∨ ∃x B(x))
|= ¬ ∀x A(x) ⇔ ∃x ¬A(x)
|= ¬ ∃x A(x) ⇔ ∀x ¬A(x)
Application FNN : « faire rentrer les négations » dans les formules
1) ¬∀x ∃y (¬P(x,y) → ∃z (P(z) ∧ R(x,y,z)))
On obtient :
∃x ∀y (¬P(x,y) ∧ ∀z (¬P(z) ∨ ¬R(x,y,z)))
2) Négation du (c) du I-2)
¬ ∀x (∃y x