Exercice 2: Formulation directe du filtre de Kalman dans le cas ...

Exercice 2: Formulation directe du filtre de Kalman
dans le cas scalaire
Le signal s(k), qui suit un modèle autorégressif d’ordre 1, est perturbé par un bruit blanc
additif. On observe le signal x(k).
Le modèle d’état correspond à:
{
s(k) = a.s(k − 1) + w(k − 1)
(1)
x(k) = s(k) + n(k)
où w(k) et n(k) sont des bruits blancs, de moyenne nulle, de variances respectives σ 2 w σ 2 n,
non corrélés entre eux.
On cherche un filtre numérique récursif d’ordre 1 pour filtrer x(k) et estimer ŝ(k):
ŝ(k) = b(k)ŝ(k − 1) + g(k)x(k). (2)
Question 1: On cherche à optimiser le filtrage entre les instants
k et k − 1. Exprimer les coefficients b(k) et g(k) qui minimisent
IE [ (s(k) − ŝ(k)) 2] .
On a:
⇐⇒
[
2IE
(s(k) − ŝ(k)).
∂
∂b(k) IE [ (s(k) − ŝ(k)) 2] = 0
]
∂
∂b(k) (s(k) − ŝ(k)) = 0
⇐⇒ IE [(s(k) − ŝ(k)(−ŝ(k − 1))] = 0
Soit
IE [ε(k)ŝ(k − 1)] = 0 (3)
Ou encore
IE [s(k)ŝ(k − 1)] − b(k)IE [ ŝ 2 (k − 1) ] − g(k)IE [x(k)ŝ(k − 1)] = 0 (4)
De même
∂
∂g(k) IE [ (s(k) − ŝ(k)) 2] = 0
1

Soit
IE [ε(k)ŝ(k)] = 0 (5)
Ou encore
IE [s(k)x(k)] − b(k)IE [ŝ(k − 1)x(k)] − g(k)IE [ x 2 (k) ] = 0 (6)
Question 2: Montrer que:
IE [ ŝ 2 (k − 1) ] = IE [s(k − 1)ŝ(k − 1)]
IE [ŝ(k)ŝ(k − 1)] = IE [s(k)ŝ(k − 1)]
IE [x(k)ŝ(k − 1)] = IE [s(k)ŝ(k − 1)]
⋆ D’après (5), on a
IE [ε(k − 1)ŝ(k − 1)] = 0 ⇐⇒ IE [ ŝ 2 (k − 1) ] = IE [s(k − 1)ŝ(k − 1)] (7)
⋆ D’après (3), on a
IE [ε(k)ŝ(k − 1)] = 0 ⇐⇒ IE [ŝ(k)ŝ(k − 1)] = IE [s(k)ŝ(k − 1)] (8)
⋆ On a
IE [x(k)ŝ(k − 1)] = IE [s(k)ŝ(k − 1)] + IE [n(k)ŝ(k − 1)]
= IE [s(k)ŝ(k − 1)] + b(k − 1)IE [n(k)ŝ(k − 2)]
+ g(k − 1)IE [s(k − 1)n(k)] + g(k − 1)IE [n(k − 1)n(k)]
= IE [s(k)ŝ(k − 1)]
Comme ŝ(k−2) ne dépend pas de n(k), IE [s(k − 1)n(k)] = 0 et IE [n(k − 1)n(k)] = 0,
il vient,
IE [x(k)ŝ(k − 1)] = IE [s(k)ŝ(k − 1)] (9)
En utilisant ces relations, ainsi que celles de la question 1, en déduire que:
b(k) = a(1 − g(k))
2

On a d’après (4),
IE [s(k)ŝ(k − 1)] − b(k)IE [ ŝ 2 (k − 1) ] − g(k)IE [x(k)ŝ(k − 1)] = 0
⇐⇒ IE [s(k)ŝ(k − 1)] − b(k)IE [s(k − 1)ŝ(k − 1)] − g(k)IE [s(k)ŝ(k − 1)] = 0 d’après (7) et (9)
⇐⇒ (1 − g(k))IE [s(k)ŝ(k − 1)] = b(k)IE [s(k − 1)ŝ(k − 1)]
Or
D’où
IE [s(k)ŝ(k − 1)] = IE [s(k − 1)ŝ(k − 1)] + IE [w(k − 1)ŝ(k − 1)]
= IE [s(k − 1)ŝ(k − 1)]
b(k) = a(1 + g(k)) (10)
Question 3-4: On définit
V ˜S(k − 1) = IE [ (s(k − 1) − ŝ(k − 1)) 2]
Montrer que
V ˜S(k − 1) = IE [(s(k − 1) − ŝ(k − 1))s(k − 1)]
Exprimer alors g(k) en fonction de a, V ˜S(k − 1), σw 2 et σn.
2
V ˜S(k − 1) = IE [ (s(k − 1) − ŝ(k − 1)) 2]
= IE [ε(k − 1)(s(k − 1) − ŝ(k − 1))]
= IE [ε(k − 1)s(k − 1)] − IE [ε(k − 1)ŝ(k − 1)]
= IE [ε(k − 1)s(k − 1)] d’après (5) (11)
= IE [(s(k − 1) − ŝ(k − 1))s(k − 1)]
D’après (6), on a
IE [s(k)x(k)] − b(k)IE [ŝ(k − 1)x(k)] − g(k)IE [ x 2 (k) ] = 0 (12)
Le calcul de chaque terme donne:
⋆
IE [ x 2 (k) ] = IE [ (s(k) + n(k)) 2]
= IE [ s 2 (k) ] + 2IE [s(k)n(k)] + IE [ n 2 (k) ]
= IE [ s 2 (k) ] + σn
2
= a 2 IE [ s 2 (k − 1) ] + σn 2 + σw
2
3

⋆
IE [s(k)x(k)] = IE [ s 2 (k) ]
= IE [ a 2 s 2 (k − 1) + w 2 (k − 1) + 2as(k − 1)w(k − 1) ]
= a 2 IE [ s 2 (k − 1) ] + σ 2 w
⋆
IE [ŝ(k − 1)x(k)] = IE [ŝ(k − 1)s(k)] d’après (9)
= aIE [ŝ(k − 1)s(k − 1)]
(12) ⇔ IE [s(k)x(k)] − b(k)IE [ŝ(k − 1)x(k)] − g(k)IE [ x 2 (k) ] = 0
⇔ a 2 IE [ s 2 (k − 1) ] + σw 2 − b(k)aIE [ŝ(k − 1)s(k − 1)]
−g(k)(a 2 IE [ s 2 (k − 1) ] + σn 2 + σw) 2 = 0
⇔ a 2 IE [ s 2 (k − 1) ] + σw 2 − b(k)a(−V ˜S(k − 1) + IE [ s 2 (k − 1) ] )
−g(k)(a 2 IE [ s 2 (k − 1) ] + σn 2 + σw) 2 = 0
⇔ (a 2 − ab(k) − a 2 g(k))IE [ s 2 (k − 1) ] + σn 2 + ab(k)V ˜S(k − 1) − g(k)(σn 2 + σw) 2 = 0
Or
b(k) = a(1 + g(k))
=⇒ a 2 − ab(k) − a 2 g(k) = 0
g(k) =
a2 V ˜S(k − 1) + σ 2 w
a 2 V ˜S(k − 1) + σ 2 n + σ 2 w
Question 5: En déduire que g(k) = V ˜S(k)
σ 2 n
V ˜S(k) = IE [ε(k)s(k)] d’après (11)
= IE [ε(k)(x(k) − n(k))]
= IE [ε(k)x(k)] − IE [ε(k)n(k))]
= −IE [ε(k)n(k))]
= IE [ŝ(k)n(k))] − IE [s(k)n(k))]
= IE [ŝ(k)n(k))]
= b(k)IE [ŝ(k − 1)n(k))] + g(k)IE [x(k)n(k))]
= g(k)IE [x(k)n(k))]
4

V ˜S(k) = g(k)σ 2 n
5