FONCTIONS DE LYAPUNOV : APPLICATION - Laboratoire de ...

FONCTIONS DE LYAPUNOV : APPLICATION
À L’ÉTUDE DE DIFFUSIONS
par
Philippe Carmona
Résumé. — Cette note fait la synthèse de plusieurs papiers de Luc
Rey-Bellet, et Lawrence Thomas [2, 4, 3, 7, 6, 5, 1]. Elle montre
comment utiliser une fonction de Lyapunov pour:
– Montrer qu’une diffusion n’explose pas (est définie pour tout temps)
– Montrer l’existence d’une mesure de probabilité invariante
– Montrer l’unicité d’une mesure de probabilité invariante
– Montrer la convergence exponentielle du semi groupe vers la mesure
invariante.
Nous utilisons les critères obtenus pour montrer l’existence, l’unicité de
la mesure de probabilité invariante pour une chaîne d’oscillateurs en
communication avec deux réservoirs de température. Nous obtenons
également la convergence exponentielle du semi-groupe vers la mesure
invariante.
1. Critère de non explosion d’une équation différentielle
stochastique
Etant donnée l’équation différentielle stochastique
(1) dX t = b(X t ) dt + σ(X t ) dB t
avec X t ∈ R n , B t un mouvement Brownien m dimensionnel. On suppose
les coefficients b : R n → R n , σ : R n → M n×m localement Lipschitziens.
Alors on sait que pour tout point de départ x 0 , il y a existence (locale)
sur un intervalle aléatoire [0, ζ[, avec ζ > 0 presque sûrement.
Classification mathématique par sujets (2000). — .

2 PHILIPPE CARMONA
Il y a existence globale, i.e. ζ = +∞ presque sûrement, si b et σ ont une
croissance sous linéaire
Exemple 1. — On considère une particule dans un potentiel V , ie dont
la dynamique est déterminée par le Hamiltonien H(p, q) = 1 2 p2 + V (q).
Celle ci est placée dans un bain de chaleur à la température T > 0, i.e.
aux équations ˙q = ∂ p H, ṗ = −∂ q H, on rajoute un bruit de type Ornstein-
Uhlenbeck (ou Langevin):
(2)
(3)
dq t = dp t dt
dp t = (−γp − ∇V (q t )) dt + √ 2γT dB t .
γ > 0 est un paramètre de scaling et V est supposé C 2 . En conséquence
(4) |V (q)| ≤ C(1 + |q|) ⇒ existence globale
Que faire si V (q) = q 4 ?
Définition .1. — Une fonction de Lyapunov est une fonction continue
W : R n → R + telle que W(x) ≥ 1 et limW(x) |x|to∞ = +∞. En particulier
les ensembles de niveau {x : W(x) ≤ a} sont compacts.
Théorème .2. — Si les coefficients b, σ sont localement lipschitziens,
s’il existe une constante c et une fonction de Lyapunov W telles que
LW ≤ cW
Alors il y a existence globale des solutions, pour tout point de départ, et
E x [W(X t )] ≤ e ct W(x).
Application à l’exemple 1. — Ici L = A + L 0 + L 1 , avec Af =
∂ p H∂ q f − ∂ q H∂ p f le générateur du hamiltonien H = p2
2 + V (q),
On a
Donc
L 0 f = −γp∂ p f ,
L 1 f = γT∂ 2 p 2f
AH = 0, L 1 H = γT , L 0 H = −γp 2
LH = γ(T − p 2 ) ≤ γT
Comme H est minoré, par exemple si V ≥ 0, il existe C telle que W =
H + C ≥ 1 et LW ≤ γT ≤ γTW.

FONCTIONS DE LYAPUNOV ET DIFFUSIONS 3
Preuve du théorème .2. — Étant donné x 0, soit X(t) la solution issue de
x 0 de l’équation différentielle stochastique, définie sur [0, ζ[. Soit
τ n = inf {t > 0 : W(X t ) > n}
le temps de sortie du compact {W ≤ n}. Si n > W(x 0 ), alors l’équation
différentielle stochastique avec coefficients ¯b(x) = b(x)1 (W(x)≤n) et ¯σ(x) =
σ(x)1 (W(x)≤n) globalement lipschitziens admet une unique solution ¯X t
issu de x 0 : donc ζ > τ n et X t = ¯X t sur t ≤ τ n . On peut appliquer la
formule d’Itô à M t = W(X t )e −ct sur l’intervalle [0, t ∧ τ n ]:
(5)
M t∧τn = M 0 +
∫ t∧τn
0
e −cs ∇W(X s ) dB s +
∫ t∧τn
0
e −cs (LW − cW)(X s ) ds .
Le terme N t∧τn = M 0 + ∫ t∧τ n
e −cs ∇W(X
0 s ) dB s est une martingale locale
continue positive car M t ≥ 0 et LW ≤ cW, c’est donc une vraie
surmartingale et E x0 [M t∧τn ] ≤ E x0 [M 0 ] c’est à dire:
W(x 0 ) ≥ E x0
[
W(Xt∧τn )e −ct∧τn] ≥ E x0
[
W(Xτn )1 (τn≤t)]
= nPx0 (τ n ≤ t) .
Donc pour tout t > 0, P x0 (τ n ≤ t) → 0 donc τ n → +∞ P x0 presque
sûrement, et ζ ≥ lim sup τ n = +∞ presque sûrement.
Maintenant, en faisant n → +∞, il vient , par Fatou,
W(x 0 ) ≥ E x0
[
lim inf W(Xt∧τn )e −ct∧τn] = E x0
[
W(Xt )e −ct] .
2. Existence d’une mesure invariante
On introduit le semi groupe de la diffusion
P t f(x) = E x [f(X t )]
Une mesure de probabilité π est dite invariante si
∫
∫
∀t, f P t f(x) dxπ(dx) = f(x)π(dx)
ou de façon équivalente (en dérivant l’équation précédente)
∫
∀f ∈ D(L) , π(dx)Lf(x) = 0
Dans le cadre de notre exemple 1, il est facile de vérifier que π(dx) =
e −βH(p,q) dpdq est une mesure invariante, avec β = 1 . Si V (q) ∼ (const)|q|k
T

4 PHILIPPE CARMONA
avec k ≥ 1 ,alors il est facile de normaliser π pour en faire une probabilité.
Les résultats de la section suivante pourront même s’appliquer
et dire que π est l’unique mesure de probabilité invariante : nous aurons
donc ainsi construit un modèle de réservoir à température T, car le
bruit à permi de choisir parmi une infinité de mesures invariantes de la
dynamique Hamiltonienne la mesure de Gibbs π = π β .
Comme on ne peut pas toujours exhiber une solution proba à L ∗ π = 0,
avec L ∗ l’adjoint au sens des distributions de L, on va utiliser la compacité.
Rappelons le
Théorème de Prokhorov. — Une famille de probabilités (µ i ) i∈I définie
sur un espace métrique séparable complet (E, d) est relativement compacte
pour la convergence faible ssi elle est tendue, i.e.
∀ǫ > 0, ∃ K compact ,
sup µ i (K C ) ≤ ǫ.
i
Lemme .3. — La famille (µ i ) i∈I est tendue s’il existe une fonction positive
W tendant vers +∞ à l’infini telle que
sup µ i (W) < +∞ .
i
Démonstration. — En effet, par l’inégalité de Markov,
µ i (W > a) ≤ 1 A µ i(W) ≤ 1 A sup µ i (W) ≤ ǫ
i
si A = A 0 assez grand. Soit K un compact tel que W(x) > A sur K C ,
alors sup i µ i (K C ) ≤ ǫ.
La réciproque est vraie si E est en outre localement compact, car il
existe une suite croissante de compacts K p telle que sup i µ i (Kp C) ≤ 2−2p ,
et
∑
on peut , quitte à les grossir, imposer E = ∪K p : alors W(x) =
p 2p 1 (Kp\K p−1 )(x) convient.
Lemme .4. — Si le semi groupe est Fellérien et s’il existe une fonction
de Lyapunov W et x 0 ∈ E tels que sup t P t W(x 0 ) < +∞, alors il existe
une probabilité invariante.
Démonstration. — Considérons la famille de probabilités
µ t (f) = 1 t
∫ ∞
0
P s f(x 0 ) ds
ALors sup t µ t (W) ≤ sup t P t W(x 0 ) < +∞, donc d’après le Lemme de
Prokhorov, la suite µ t est tendue et admet une sous suite µ tn t n ↑ +∞

FONCTIONS DE LYAPUNOV ET DIFFUSIONS 5
convergeant faiblement vers une probabilité ν : si f continue bornée,
µ tn (f) → ν(f).
Donc si r > 0 et f est continue bornée, alors le semi groupe étant
Fellérien, P r f est continue bornée et µ tn (P r f) → ν(P r f). Or,
µ tn (P r f) = 1 ∫ r+tn
P s f(x 0 ) ds = 1 ((r + t n )µ r+tn (f) − rµ r (f)) → ν(f)
t n t n
r
Donc ν(P r f) = ν(f), d’où l’invariance de ν.
Voici une condition suffisante sur la fonction de Lyapunov pour obtenir
l’existence d’une proba invariante.
Théorème .5. — S’il existe des constantes c > 0, b < +∞, 0 < κ <
1, t 0 > 0 et une fonction de Lyapunov W telles que:
1. LW ≤ cW
2. P t0 W(x) ≤ κW(x) + b1 K (x)
Alors il existe une probabilité invariante.
Remarque .6. — Les conditions 1 et 2 sont entraînées par l’unique
inégalité LW(x) ≤ −αW(x) + β pour deux constantes α > 0 et 0 ≤
β < +∞, car alors LW ≤ β ≤ βW et
d
dt P tW(x) = P t LW(x) ≤ −αP t W(x) + β
donc en intégrant cette inégalité
P t W(x) ≤ e −αt (W(x)+
∫ t
0
βe αs ds) = e −αt W(x)+β 1 − e−αt
α
≤ e −αt W(x)+β/α
Donc, à t > 0 fixé, si l’on considère le compact K = {W(x) ≤ A} avec
A grand, pour que κ = e −αt + β
αA < 1, alors si x ∈ KC , W(x) > A donc
donc,
P t W(x) ≤ e −αt W(x) + β/α ≤ (e −αt + β
αA )W(x)
P t W(x) ≤ κW(x) + β/α.
Observons que l’exemple 1 ne s’applique pas directement ici, en utilisant
la caractérisation avec le générateur, même en utilisant la fonction
de Lyapunov W = e θH . En effet, en utilisant le fait que si X est

6 PHILIPPE CARMONA
un opérateur différentiel du premier ordre, alors X(e f ) = e f X(f) et
X 2 (e f ) = e f ((Xf) 2 + X 2 f), on obtient
AW = θW A(H) = 0 , L 0 W = −θγp 2 W L 1 W = γTθW(1 + θp 2 )
et donc
LW = γθW(T − p 2 (1 − Tθ))
ce qui ne convient pas, même si 0 < θT < 1, car {p 2 ≤ A} n’est pas un
compact !
Démonstration. — On a
P 2t0 W(x) ≤ κP t0 W(x) + bP t0 1 K (x) ≤ κ 2 W(x) + b + κb1 K (x)
et par une récurrence immédiate:
P nt0 W(x) ≤ κ n W(x) + b + κb + · · · + κ n−2 b + κ n−1 b1 K (x)
donc
P nt0 W(x ≤ κ n W(x) +
b
1 − κ
N’oublions pas que comme LW ≤ cW on a P s W(x) ≤ e cs W(x), donc, si
nt 0 ≤ t < (n + 1)t 0 , alors
P t W(x) = P nt0 (P t−nt0 W)(x) ≤ e c(t−nt 0) P nt0 W(x)
≤ e ct 0
(κ n W(x) +
b
1 − κ ) → b
ect 0
1 − κ
C’est une suite convergente, donc une suite bornée, et on peut appliquer
le critère précédent (Lemme .4).
On peut sous les mêmes hypothèses établir une propriété de récurrence:
Proposition .7. — Sous les hypothèses précédentes, si
τ K = inf {t > 0 : X t ∈ K}
désigne le premier temps de passage en K, alors il existe δ > 0 tel que
∀x, E x
[
e
δτ K
]
< +∞
En particulier, pour tout point de départ x, on atteint le compact K en
un temps fini presque sûrement.

FONCTIONS DE LYAPUNOV ET DIFFUSIONS 7
Démonstration. — Quitte à grossir K, on peut supposer que K = {W ≤ A}.
Montrons par récurrence que τ = τ K satisfait:
∀x ∉ K , P x (τ > nt 0 ) ≤ κn
A W(x)
Alors, par Markov, comme sur τ > t 0 , on a X t0 ∉ K,
P x (τ > (n + 1)t 0 ) = P x (τ > t 0 , (τ > nt 0 ) ◦ θ t0 )
= E x
[
1(τ>t0 )P Xt0 (τ > nt 0 ) ]
κ
≤ E x
[1 n
(τ>t0 )
A W(X t 0
)
[ ]
≤ κn κ
n
A E x
A W(X t 0
)
≤ κn
A P t 0
W(x) ≤ κn+1
A W(x) .
On en déduit aisément l’existence d’un moment exponentiel pour la variable
aléatoire τ K , en encadrant nt 0 ≤ t ≤ (n + 1)t 0 et obtenir la majoration
avec γ > 0,
P x (τ > t) ≤ e −γt
.
]
3. Unicité de la mesure invariante
La première hypothèse supplémentaire que nous devrons faire est une
hypothèse de régularité. Rappelons qu’un semi groupe (P t ) t≥0 est dit
Fellerien s’il envoie l’espace des fonctions continues bornées sur lui même
; on peut le démontrer en utilisant la continuité de la solution d’une
équation différentielle stochastique par rapport aux paramètres. Il est
dit fortement Fellerien si pour t > 0, P t envoie les fonctions essentiellement
bornées (de L ∞ ) dans les fonctions continues bornées. Il est dit
régularisant (smooth) si pour t > 0, il admet une densité C ∞ et s’il
envoie les fonctions essentiellement bornées dans les fonctions de classe
C ∞ . On établit cette propriété en utilisant le critère de Hörmander.
La seconde hypothèse que nous ferons est l’hypothèse d’irréductibilité :
il existe t 0 > 0, tel que pour tous x ∈ R n et tout 0 ouvert, P t0 (x, 0) > 0.
Grâce aux équations de Chapman Kolmogorov, alors cette propriété est
vérifiée pour tout t ≥ t 0 .

8 PHILIPPE CARMONA
Cette seconde hypothèse peut être établie en utilisant le théorème de support
de Stroock et Varadhan : si X t est solution de l’équation différentielle
stochastique au sens de Stratonovitch
alors
dX t = b(X t ) ∂t + σ(X t )∂B t ,
suppP t0 (x, .) = A t0 (x)
Le support de la mesure P t0 (x, .) est la fermeture de l’ensemble des points
y atteignables en t 0 , c’est à dire des points y tels qu’il existe un contrôle u
constant par morceaux (ou C 1 ) tel que l’équation différentielle ordinaire
ẋ(t) = b(x(t)) + σ(x(t))u(t) ,
x(0) = x, x(t 0 ) = y
admette une solution.
Pour l’exemple 1, étant donné x 0 = (p 0 , q 0 ) et x 1 = (p 1 , q 1 ), soit φ(s)
chemin de classe C 2 tel que φ(0) = q 0 , φ ′ (0) = p 0 , et φ(t 0 ) = q 1 , φ ′ (t 0 ) =
p 1 . Alors le contrôle suivant convient :
u(t) = √ 1 ( )
˙φ + ∇V (φ) + γ ˙φ
2γT
Théorème .8. — On se place sous les hypothèses du Théorème .2. On
suppose en outre que le semi-groupe est irréductible et fortement Fellerien.
Alors, il existe une unique mesure de probabilité invariante.
La preuve de ce théorème, i.e. la preuve de l’unicité de la mesure invariante,
va utiliser essentiellement les notions de récurrence et d’ergodicité.
Rappelons tout d’abord le
Théorème ergodique de Birkhoff. — Soit (X, F, µ) un espace de probabilité.
SOit (φ t ) t≥0 un semigroupe de transformations de X qui préserve
la mesure µ, c’est à dire φ t : X → X est mesurable, φ t ◦ φ s = φ t+s et
µ(φ −1
t (A)) = µ(A). Alors, pour toute fonction f ∈ L 1 (µ),
lim 1 t
∫ t
0
f(φ s (x)) ds = E [f | I]
dµ(x)pp
où E [f | I] désigne l’espérance conditionnelle, par rapport à µ et à la
tribu des invariants : I = {A ∈ F : φ 1 t(A) = A}.
La probabilité µ, ou le semigroupe (φ t ) t≥0 sont dits ergodiques si I est
presque sûrement triviale, c’est à dire que pour tout A ∈ I, µ(A) = 0
ou 1, ou encore que les fonctions I mesurables sont µ presque partout

FONCTIONS DE LYAPUNOV ET DIFFUSIONS 9
constantes. Dans ce cas, si f ∈ L 1 (µ), alors E [f | I] = ∫ fdµ, µ presque
partout.
Étant donnée une mesure invariante π pour le semigroupe (P t ) t≥0 on considère
P π la loi du processus de loi initiale π. C’est à dire que l’on se place
sur l’espace canonique (Ω = E R +
, E ⊗R +
, P x , x ∈ E) avec les applications
coordonnées X t (ω) = ω(t) et le semigroupe du shift θ t (ω)(s) = ω(t + s)
; alors,
∫
P π (A) = P x (A) π(dx) = P π (X . ∈ A)
Le shift préserve la mesure P π car sous P π , X 0 a pour loi π, donc X t a
pour loi πP t = π et par la propriété de Markov,
∫
E π [f(θ t (ω))] = E π [E Xt [f(ω)]] = P π (X t ∈ dx)E x [f] = E π [f]
Lemme .9. — Si le semi-groupe (P t ) t≥0 admet deux probabilités invariantes
distinctes π 1 ≠ π 2 , alors pour tout α ∈ (0, 1), si π = aπ 1 +(1−a)π 2 ,
la probabilité P π n’est pas ergodique et il existe une fonction h positive
bornée, invariante pour le semi groupe, non constante.
Démonstration. — Raisonnons par l’absurde et supposons P π ergodique.
Soit A ∈ I, alors P π (A) = 0, 1, donc si P π (A) = 0 , alors P π1 (A) =
P π2 (A) = 0 et si P π (A) = 1, alors P π1 (A) = P π2 (A) = 1. Soit f mesurable
bornée. Par le théorème ergodique de Birkhoff, appliqué à la fonction
F(ω) = f(X 0 (ω)), il existe A tel que P π (A) = 1, et
∀ω ∈ A ,
1
t
∫ t
0
∫
f(ω(s)) ds → m =
fdπ
On a P π1 (A) = P π2 (A) = 1, donc par convergence dominée,
m = lim 1 ∫ t
∫
E πi [f(ω(s))] ds = fdπ i
t
0
et on a donc ∫ f dπ 1 = ∫ f dπ 2 pour toute fonction f mesurable bornée,
d’où π 1 = π 2 , ce qui est contradictoire.
Il existe donc A ∈ I tel que 0 < P π (A) < 1. Soit h(x) = P x (A), alors
par propriété de Markov,
h(x) = P x (θt
−1 (A)) = E x [P Xt (A)] = E x [h(X t )] = P t h(x)
Donc (h(X t ) t≥0 est une martingale positive, qui converge presque sûrement:
h(X t ) = P Xt (A) = E [1 A ◦ θ t | F t ] = E [1 A | F t ] → 1 A (ω) ∈ {0, 1}
p.s.

10 PHILIPPE CARMONA
Si la fonction h était constante, alors cette constante ne pourrait être que
0 ou 1 et cela entraînerait que P π (A) ∈ {0, 1}, ce qui est contradictoire.
Nous allons voir maintenant que l’hypothèse d’irréductibilité entraîne la
récurrence des ouverts.
Lemme .10. — Sous les hypothèses du théorème, tout ouvert non vide
est récurrent pour la chaîne de Markov (X nt0 ) n≥0 . En conséquence, toute
fonction f mesurable bornée ou positive, qui est invariante pour la chaîne,
P t0 f = f, est constante presque partout.
Démonstration. — Soit A un ouvert non vide. La fonction 1 A est bornée,
donc la fonction x → P t0 1 A (x) est continue, et on a par irréductibilité
δ = inf x∈K P t0 1 A (x) > 0, car K est compact. On considère la chaîne de
Markov Y n = X nt0 de matrice de transition Q = P t0 , et le schéma de
succès échec suivant τ 0 = 0,
τ p =∈ {n > 1 + τ p−1 : Y n ∈ K} ,
ξ p = 1 (Y1+τp ∈A)
Alors, d’après la Proposition .7, pour tout p, τ p est fin presque sûrement,
P x (ξ 1 = 0) = P x (Y 1+τK ∉A) = E x
[
PYτK (Y 1 ∉ A) ] ≤ 1 − c
et donc, par récurrence et la propriété de Markov,
]
P x (ξ 1 = 0, . . ., ξ p = 0) = E x
[1 (Y1+τK ∉A)P Y1+τK (ξ 1 = 0, . . ., ξ p−1 = 0) ≤ (1−c) p
ce qui entraîne que P (∀p, ξ p = 0) = 0, et A est récurrent.
Soit alors f mesurable, bornée ou positive, invariante pour la chaîne.
Le semi-groupe est fortement Fellerien donc f = P t0 f est continue.
Si f est non constante alors il existe α < β tels que les ensembles
A = {x : f(x) < α} et B = {x : f(x) > β} soient ouverts non vides donc
récurrents. Comme P t0 f = f, M n = f(Y n ) = f(X net0 ) est une martingale,
positive ou bornée, donc convergeant vers une variable aléatoire
intégrable Z. Comme A et B sont récurrents on obtient que presque
sûrement, Z ≤ α et Z ≥ β ce qui est absurde.

FONCTIONS DE LYAPUNOV ET DIFFUSIONS 11
4. Convergence exponentielle vers la mesure invariante
Pour une chaîne de Markov sur un espace d’états fini, l’irréductibilité de
sa matrice de transition assure la convergence exponentielle vers l’unique
mesure de probabilité invariante, par le
Théorème de Perron-Frobenius. — Soit P une matrice stochastique
sur un espace d’états fini telle que il existe k, tel que pour tout n ≥ k la
matrice P n soit à coefficients strictement positifs:
∀n ≥ k , ∀i, j ,
P n
i,j > 0
Alors P admet une unique mesure invariante π et il existe γ, c > 0 tels
que
sup ∣ P
n
x,y − π(y) ∣ ≤ Ce −γn .
x,y
L’analogue en théorie des semigroupes existe, si l’on considère des semigroupes
compacts. L’espace de Banach considéré dépend de la fonction
de Lyapunov W:
H W = {f : E → Rborelienne : ‖f‖ W
< +∞},
avec ‖f‖ W
= sup |f(x)|W(x)
x∈E
Théorème .11. — On suppose que le semi-groupe est irréductible et
régularisant sur E = R n , que pour une constante c > 0, LW ≤ cW
et qu’il existe une suite de compacts K n , des constantes b n ∈ (0, +∞),
o < κ n < 1, telles que κ n → 0 et pour un t 0 > 0,
P t0 W(x) ≤ κ n W(x) + b n 1 Kn (x)
Alors, (P t ) t≥0 définit un semigroupe d’opérateurs sur H W , compacts pour
t ≥ t 0 . Le processus admet une unique mesure invariante π et pour des
constantes γ, C > 0 on a
‖P t − π‖ W
≤ Ce −γt
c’est à dire que pour toute f ∈ H W ,
∫
∣ P tf(x) − f dπ
∣ ≤ Ce−γt W(x) .
Démonstration. — Comme LW ≤ cW on a P t W(x) ≤ e ct W(x) et donc
P t est un opérateur linéaire sur H W de norme ‖P t ‖ ≤ e ct .
Étape 1 Montrons que P 2t0 est compact.

12 PHILIPPE CARMONA
Observons que pour toute f ∈ H W ,
∣ 1K c n
(x)P t0 f(x) ∣ ∣ &le1K c n
(x)P t0 |f|(x)
≤ 1 K c n
(x)‖f‖ W
P t0 W(x)
≤ 1 K c n
(x)‖f‖ W
κ n W(x)
et donc
∥ 1K c n
P t0
∥
∥W ≤ κ n → 0 .
Montrons que Λ = 1 Kn P t0 1 Kn est compact. On va montrer que de toute
famille (f i ) i∈I de H W telle que ‖f i ‖ W
≤ 1, on peut extraire une sous
suite f p telle que Λf p converge dans H W . Remarquons tout d’abord
que comme e semi groupe est fortement Fellerien, et 1 Kn f i est bornée, la
fonction P t0 1 Kn f i est continue, et (Λf i ) i∈I est une familles de fonctions de
C Kn , fonctions continues sur le compact K n . Cet ensemble est équiborné
car pour tout x ∈ K n ,
|Λf i (x)| ≤ ‖f i ‖ W
P t0 W(x) ≤ κ n W(x) ≤ κ n sup
y∈K n
W(y)
Cet ensemble est également équicontinue, car le semi-groupe étant régularisant,
pour tous x, y ∈ K n ,
∫
|Λf i (x) − Λf i (y)| ≤ |p t0 (y, z) − p t0 (x, z)||f i (z)|dz
z∈K n
∫
≤ |y − z| sup |∂ u p t0 (u, v)|‖f i ‖ W
W(z) dz ≤ C n |y − x| .
u,v∈K n K n
Par le théorème d’Arzela-Ascoli, il contient une sous suite (f p ) p≥0 telle
que Λf p converge dans C(K n ) vers f, ce qui entraîne comme W ≥ 1, que
Λf p converge dans H W vers f1 Kn .
Maintenant il suffit d’écrire
P 2t0 = 1 K c n
P t0 ◦ P t0 + 1 Kn P t0 ◦ 1 K c n
P t0 + 1 Kn P t0 1 Kn
Les deux premiers opérateurs convergent vers 0 dans H W , et le dernier
opérateur est compact, donc P 2t0 est compact. Quitte à remplacer P t0
Étape 2 P t0 n’admet que 1 comme valeur propre de module 1, et 1 est
valeur propre simple.
Supposons que 1 n’est pas valeur propre simple. Alors il existe f ∈ H W ,
non constante, telle que P t0 f = f. Quitte à diviser f par sa norme,

FONCTIONS DE LYAPUNOV ET DIFFUSIONS 13
on suppose ‖f‖ W
≤ 1. Alors, g = |f| est sous harmonique: g ≥ 0 et
g = |P t0 f| ≤ P t0 |f| = P t0 g. On en déduit que
g(x) ≤ P nt0 g(x) ≤ P nt0 W(x) ≤ κ n W(x) +
b
1 − κ
et donc que g(x) ≤
b est bornée. Donc f est P 1−κ t 0
-invariante bornée,
donc constante d’après le Lemme .10.
Maintenant supposons que f ∈ H W soit un vecteur propre de P t0 associé
à la valeur propre λ de module 1. Si on note χ = E λ (P t0 ) l’espace propre,
de dimension finie car P t0 est compact, associé à la valeur propre λ, alors
pour tout t ≥ 0, P t P t0 = P t0 P t entraîne que χ est stable par P t , et donc,
sur ce sev de dimension finie, P t = e tL ; En conséquence, si λ = e it 0α
sur χ on a P t f = e itα f et donc, pour t = 2φkα > t 0 , P t f = f. Ceci
est contradictoire avec l’hypothèse d’irréductibilité (appliquée ici en t au
lieu de t 0 ) et le Lemme .10.
Étape 3 Établissons la convergence exponentielle.
Comme P t0 est un opérateur compact, son spectre σ(P t0 ) est au plus
dénombrable, avec 0 comme seul point d’accumulation possible : en outre
toute valeur non nulle du spectre est une valeur propre avec une multiplicité
finie. En conséquence on peut décomposer l’espace H W en somme
directe H W = H 1 ⊕H 2 , avec H 1 sous espace propre associé à la valeur propre
1, de module maximal, constitué des fonctions constantes, et H 2 sur
lequel le rayon spectral de P t0 est strictement inférieur à 1 : Rad(P t0 ) < 1
sur H 2 .
Comme P t = P t−t0 P t0 est compact pour t ≥ t 0 , il est clair( voir par
exemple Davies Theorem 3.19) que σ(P t ) = {0} ∪e tσ(L) et donc pour des
constantes γ, C > 0,
‖P t ‖ H2
≤ Ce −γt
ce qui est exactement la convergence désirée, car f → ∫ fdπ est la projection
sur H 1 , ie f − ∫ f dπ ∈ H 2 .
5. Étude d’une particule en communication avec un réservoir
La dynamique de la particule a la position q de moment p est déterminée
par le Hamiltonien
H(p, q) = p2
2
+ V (q) (p, q ∈ R)

14 PHILIPPE CARMONA
avec V : R → R potentiel de classe C 2 tel que pour des constantes
a > 0, k ≥ 2:
V (λq) ∼ aλ k |q| k (λ → +∞)
Cette particule est en contact avec un réservoir de chaleur à la température
T, modélisé par un processus d’Ornstein-Uhlenbeck agissant comme un
bruit sur le moment p, c’est à dire que pour une constante γ > 0,
(6)
(7)
dq t = p t dt
dp t = (−γp − ∇V (q t )) dt + √ 2γT dB t .
Le but de cette section est d’utiliser les résultats généraux sur les fonctions
de Lyapunov pour montrer qu’il existe une unique mesure de probabilité
invariante vers laquelle le semi groupe converge exponentiellement
vite.
Nous avons déjà traité le problème d’irréductibilité, via le théorème de
support, et il est aisé d’appliquer ici le théorème de Hörmander qui prouve
que le semi-groupe est régularisant. En effet, le générateur s’écrit
L = X 0 + X 2 1 , X 1 = √ γT∂ p , X 0 = (−γp − V ′ (q))∂ p + p∂ q
En conséquence, [X 1 , X 0 ] = −γ √ γT∂ p + √ γT∂ q et {X 1 , [X 1 , X 0 ]} est de
rang maximal 2 en tout point (p, q).
Nous avons vu que LH = γ(T − p 2 ) ≤ γT et si W = e θH ,
LW = γθW(T − p 2 (1 − Tθ)) ≤ γθTW .
La solution de l’eds existe pour tout temps, mais on n’a pas LW ≤
−αW +β. Il nous reste à montrer qu’il existe une suite de compacts K n ,
des constantes b n < +∞ et 0 < κ n < 1, κ n → 0 telle que pour un t 0 > 0,
P t0 W(x) ≤ κ n W(x) + b n 1 Kn (x)
En prenant K n = {x : W(x) ≤ a n } avec a n → +∞, il nous suffit de
montrer que
lim sup P t0 W(x)
= 0
W(x)
a→+∞ {x:W(x)>a}
.
Supposons que cela n’est pas le cas, alors il existe ǫ > 0, a n ↑ +∞ et x n
tel que W(x n ) = a n , vérifiant
Nous aurons besoin du
P t0 W(x n )
W(x n )
≥ ǫ.

FONCTIONS DE LYAPUNOV ET DIFFUSIONS 15
Lemme .12. — Il existe des constantes C > 0, β > 1 ne dépendant que
de γ, T, θ telle que C > 0 si 0 < θ < 1 T , et
P t W(x)
W(x)
[ ]
≤ e γTθt E x e −CR t 1/β
0 p(s)2 ds
Démonstration. — Il suffit d’appliquer la formule d’ito au Hamiltonien
H(X t ) − H(x) = √ 2γT
∫ t
0
p s dB s +
∫ t
0
γ(T − p(s) 2 ) ds .
Étant donné deux exposants conjugués, 1 α + 1 β
= 1, on a
P t W(x)
W(x)
[
= E ]
x e
θ(H(X t)−H(x))
(
= e θTγt E x
[exp θ √ 2γT
= e θTγt E x [UV ]
∫ t
≤ e θTγt E x [U α ] 1/α E x
[
V
β ] 1/β
0
p s dB s − γθ
∫ t
0
)]
γp(s) 2 ds
avec
∫ t
U = exp(θ √ ∫ t
(8) 2γT p s dB s − αγTθ 2 p 2 s ds)
0
0
∫ t
(9)
V = exp(−γθ(1 − Tθα) p 2 s ds)
Nous avons E x [U α ] = 1 puisque c’est la martingale exponentielle, d’où le
résultat si α est choisi suffisamment proche de 1 pour que 1 − Tθα > 0.
0
5.1. Le scaling. — Nous allons utiliser la forme du potentiel V (q) en
observant que lorsque l’énergie W(x) est forte, alors le bruit gaussien
n’a pratiquement plus d’influence, et la particule cherche à redescendre
au plus vite la montagne potentielle, elle accumule donc pendant un
intervalle de temps constant, une vitesse p minimum.
Étant donné E > 0, on pose
p E (t) = E −1 2 p(E
1
k −1 2 t), qE (t) = E − 1 k q(E
1
k −1 2 t) .

16 PHILIPPE CARMONA
Alors X E = (p E , q E ) est solution de l’équation différentielle stochastique
(S E ) { dqE (t) = p E (t) dt
dp E (t) = (−E 1 2 − 1 k γpE (t) − ∇V E (q E (t))) dt + √ 2γTE 1
2k −3/4 dB E (t)
avec B E (t) = E − 1
2k +1 4B(E 1 k −1 2t) un mouvement Brownien standard, V E (q) =
1
E V (E 1 kq). C’est une dynamique Hamiltonienne, perturbée par un petit
bruit (quand E est grand) et associée au hamiltonien
H E (p E , q E ) = p 2 E /2 + V E(q E ) = 1 H(p, q)
E
En d’autres termes, si X t est solution du système initial (S) avec X 0 = x
et énergie initiale H(x) = E, alors X E (t) est solution du système (S E )
avec, X E (0) = x E = (E −1 2p, E − kq) 1 et H E (x E ) = 1. Pour E = +∞ on a
la disparition du bruit stochastique
(S ∞ )
{ dq∞ (t) = p ∞ (t) dt
dp ∞ (t) = (−ǫγp ∞ (t) − ∇V ∞ (q ∞ (t))) dt
avec ǫ = 1 (k=2) , et le potentiel est V ∞ (q) = a|q| k .
5.2. L’étude de la dynamique à l’infini. — En haut de la montagne
on n’entend pas de bruit, et donc on ne cherche qu’une chose, c’est de
redescendre la pente de potentiel : en conséquence il y a acquisition de
vitesse.
Lemme .13. — Étant donné τ > 0, il existe c τ > 0 telle que
inf
{x:H ∞(x)=1}
∫ τ
0
p ∞ (s) 2 ds ≥ c τ .
Démonstration. — Soit en effet x(t) une solution de S ∞ , issue de x ≠
(0, 0) et supposons que
∫ τ
0
p(s) 2 ds = 0
Alors, p(s) = 0, donc q(s) = C est constante sur [0, τ], et donc sur cet
intervalle
0 = ṗ = −ǫγp − ∇V ∞ (C) = −∇V ∞ (C)
Vu la forme de V ∞ (q) = a|q| k cela impose C = 0 et donc x = (0, 0) ce
qui est contradictoire.

FONCTIONS DE LYAPUNOV ET DIFFUSIONS 17
Par continuité par rapport aux conditions initiales, l’application x →
∫ τ
0 p(s)2 ds est continue sur le compact K = {x : H ∞ (x) = 1}. Elle est
strictement positive sur K car il ne contient pas 0, donc elle y atteint
son minimum c τ , qui est donc strictement positif.
5.3. Preuve de l’existence et l’unicité de la mesure invariante.
— Rappelons que nous raisonnons par l’absurde et donc qu’ il existe
ǫ > 0 et x n tel que H(x n ) = E n ↑ +∞, vérifiant
P t0 W(x n )
W(x n )
≥ ǫ.
A la solution (X t ) t≥0 issue de x n , on associe le processus changé d’échelle
(X En (t)) t≥0 , issu de ¯x n tel que
H En (¯x n ) = 1 = ¯p2 n
2 + 1 E n
V (E 1 k n ¯q n )
Vu les propriétés de croissance à l’infini du potentiel V , la suite ¯x n reste
dans un compact et admet donc une sous suite convergente, que nous
noterons encore ¯x n → ¯x ∞ . Par continuité H ∞ (¯x ∞ ) = 1 et par continuité
de la solution d’une équation différentielle stochastique par rapport aux
conditions initiales, et aux paramètres, ceux ci restant dans un compact,
on en déduit que, si on réalise ces solutions par rapport au même mouvement
Brownien,
[
]
E sup(X En (t) − X ∞ (t)) 2 −−−−→ 0 .
t≤τ
n→+∞
Supposons k = 2. Alors, on prend τ = t 0 , et comme
∫ t0
on a, en vertu du Lemme .12,
P t0 W(x n )
W(x n )
0
∫ τ
p(s) 2 ds = E n p En (s) 2 ds
≤ e γθTt 0
E¯xn
[
exp(−CE n
∫ τ
Or, pour tout α > 0, par le Lemme .13,
∫ τ
] [
E¯xn
[exp(−α p En (s) 2 ds) → E¯x∞ exp(−α
0
0
0
] 1/β
p En (s) 2 ds)
∫ τ
0
]
p ∞ (s) 2 ds) ≤ e −αcτ

18 PHILIPPE CARMONA
et donc, comme E n → +∞,
E¯xn
[
exp(−CE n
∫ τ
0
]
p En (s) 2 ds) → 0 .
Supposons maintenant k > 2. On prend n ≥ n 0 suffisamment grand pour
que t 0 E 1 2 − 1 k
n
≥ τ. Alors,
∫ t0
0
p(s) 2 ds = E 1 k +1 2
n
En conséquence, on a de même,
P t0 W(x n )
W(x n )
∫ t0 E
1
2
− 1 k
n
≤ e γθTt 0
E¯xn
[exp(−CE 1 k +1 2
n
0
p En (s) 2 ds ≥
∫ τ
0
∫ τ
0
p En (s) 2 ds .
p En (s) 2 ds)] 1/β
→ 0.
5.4. Conclusion. — Nous avons obtenu dans les deux cas une contradiction,
donc nous pouvons conclure à la convergence exponentielle
vers une unique mesure de probabilité invariante. Comme nous connaissons
une mesure invariante, la mesure de Gibbs µ β (dx) = 1 Z eβH dx à la
température T = 1 , nous avons donc un bon modèle de réservoir, c’est à
β
dire un système Markovien composé d’un système Hamiltonien perturbé
par un bruit qui choisit, parmi l’infinité de mesures de probabilité invariantes,
la mesure µ β , et dont le semigroupe converge exponentiellement
vite vers la mesure µ β .
6. Étude d’une chaîne d’oscillateurs en communication avec
deux réservoirs à des températures différentes
La dynamique de la particule a la position q ∈ R n de moment p est
déterminée par le Hamiltonien
H(p, q) = ∑ p 2 i
+ V (q) (p, q ∈ R)
2
1≤i≤n
avec V : R → R potentiel de la forme
(10)
∑
1≤i≤n
U (1) (q i ) +
∑
1≤i≤n−1
qui satisfait les deux hypothèses suivantes
U (2) (q i − q i+1 ) ,

FONCTIONS DE LYAPUNOV ET DIFFUSIONS 19
(H1) : Hypothèse de croissance à l’infini. Les deux fonctions U (i)
sont de classe C ∞ , et pour des constantes a (i) > 0 on a:
(11) lim
λto+∞ λ−k i
U (i) (λx) = a (i) |x| k i
(i = 1, 2)
et
(12) k 2 ≥ k 1 ≥ 2 .
(H2) : Hypothèse de non dégénérescence.
– la fonction q → ∂ q U (2) est inversible sur R ∗
– L’équation ∇V ∞ (q) = 0 admet pour unique solution dans R n , q = 0,
avec
(13) V ∞ (q) = 1 (k=2) a (1) ∑ |q i | k 1
+ a (2) ∑ |q i − q i+1 | k 2
.
– Pour tut q ∈ R il existe un entier m = m(q) ≥ 2 tel que ∂ m U (2) (q) ≠
0.
Les réservoirs de chaleurs de températures T 1 et T n agissent sur les moments
des particules 1 et n comme des processus d’Ornstein-Uhlenbeck,
c’est à dire que pour une constante γ > 0,
(14)
(15)
(16)
(17)
dq j (t) = p j (t) dt (1 ≤ j ≤ n)
dp 1 (t) = (−γp 1 (t) − ∂ q1 V (q t )) dt + √ 2γT 1 dB 1 (t)
dp j (t) = (−∂ qj V (q t )) dt (2 ≤ j ≤ n)
dp n (t) = (−γp n (t) − ∂ qn V (q t )) dt + √ 2γT n dB n (t)
On écrit ce système d’équation différentielle stochastique sous la forme
condensée
{ dq(t) = p(t) dt
(S)
dp(t) = (−γΛp(t) − ∇ q V (q(t))) dt + √ 2γTdB(t)
avec Λ : R n → R 2 la projection λ(x 1 , . . .,x n ) = (x 1 , x n ) et T : (x 1 , x n ) →
(T 1 x 1 , T n x n ), et B(t) = (B 1 (t), B 2 (t)) un mouvement Brownien de R 2 .
Le but de cette section est d’utiliser les résultats généraux sur les fonctions
de Lyapunov pour montrer qu’il existe une unique mesure de probabilité
invariante vers laquelle le semi groupe converge exponentiellement
vite.

20 PHILIPPE CARMONA
6.1. Existence, Irréductibilité et Régularité du semi groupe. —
Nous supposons déjà traité le problème d’irréductibilité, via le théorème
de support, et il est aisé d’appliquer ici le théorème de Hörmander qui
prouve que le semi-groupe est régularisant. En effet, le générateur s’écrit
L = X 0 + X 2 1 + X 2 n, X 1 = √ γT 1 ∂ p1 , X n = √ γT 1 ∂ pn
X 0 = A − γ(p 1 ∂ p1 + p n ∂ pn ) A = ∑ i
p i ∂ qi − ∂ qi V (q) ∂ pi
En conséquence, [X 1 , X 0 ] = √ γT 1 (−γ∂ p1 +∂ q1 ) et [X n , X 0 ] = √ γT n (−γ∂ pn +
∂ qn ). L’algèbre de lie des crochets itérés contient donc déja ∂ p1 , ∂ pn , ∂ q1 ,
∂ qn et
[∂ q1 , X 0 ] = (∂ 2 U (1) (q 1 ) + ∂ 2 U (2) (q 1 − q 2 ))∂ p1 − ∂ 2 U (2) (q 1 − q 2 )∂ p2
On considère le crochet de Lie
[
∂q1 , . . ., [ ∂ q1 , ∂ 2 U (2) (q 1 − q 2 ) ]] = ∂ m U (2) (q 1 −q 2 ) ≠ 0 pour m = m(q 1 −q 2 )
Il s’ensuit que l’algèbre contient ∂ p2 et on arrive de proche en proche à
une algèbre de rang maximum.
La fonction de Lyapunov choisie est W = e θH . Compte tenu de AH = 0,
X i H = √ γT i p i , X 2 i H = γT i, on a
LW = θWX 0 H + W((θX 1 H) 2 + θX 2 1H) + W((θX n H) 2 + θX 2 nH)
= γθW((T 1 + T n ) − (p 2 1 + p2 n ) + θ(T 1p 2 1 + T np 2 n )) ≤ cW
La solution de l’eds existe pour tout temps, mais on n’a pas LW ≤
−αW + β.
Il nous reste à montrer qu’il existe une suite de compacts K n , des constantes
b n < +∞ et 0 < κ n < 1, κ n → 0 telle que pour un t 0 > 0,
P t0 W(x) ≤ κ n W(x) + b n 1 Kn (x)
En prenant K n = {x : W(x) ≤ a n } avec a n → +∞, il nous suffit de
montrer que
.
lim
sup
a→+∞ {x:W(x)>a}
P t0 W(x)
W(x)
= 0

FONCTIONS DE LYAPUNOV ET DIFFUSIONS 21
Supposons que cela n’est pas le cas, alors il existe ǫ > 0, a n ↑ +∞ et x n
tel que W(x n ) = a n , vérifiant
Nous aurons besoin du
P t0 W(x n )
W(x n )
≥ ǫ.
Lemme .14. — Il existe des constantes C > 0, β > 1 ne dépendant que
de γ, T, θ telle que C > 0 si 0 < θ < 1
T max
, et
P t W(x)
W(x)
≤ e γ(T 1+T n)θt E x
[
e −CR t
0 ‖Λp(s)‖2 ds
Démonstration. — Identique à celle du Lemme .12.
] 1/β
6.2. Le scaling. — Nous allons utiliser la forme du potentiel V (q) en
observant que lorsque l’énergie W(x) est forte, alors le bruit gaussien
n’a pratiquement plus d’influence, et la particule cherche à redescendre
au plus vite la montagne potentielle, elle accumule donc pendant un
intervalle de temps constant, une vitesse p minimum.
Étant donné E > 0, on pose
p E (t) = E −1 2 p(E
1
k 2
− 1 2
t), q E (t) = E − 1
k 2 q(E 1
k 2
− 1 2
t) .
Alors X E = (p E , q E ) est solution de l’équation différentielle stochastique
(S E )
{ dq(t) = p(t) dt
dp(t) = (−E 1 2 − 1 k γΛp(t) − ∇q V E (q(t))) dt + E 1
2k 2
− 3 4√
2γTdB(t)
avec B E (t) = E − 1
2k +1 4B(E 1 k −1 2t) un mouvement Brownien standard de
R 2 , V E (q) = 1 V (E 1
k 2 q). C’est une dynamique Hamiltonienne, perturbée
E
par un petit bruit (quand E est grand) et associée au hamiltonien
H E (p E , q E ) = p 2 E/2 + V E (q E ) = 1 E
H(p, q)
En d’autres termes, si X t est solution du système initial (S) avec X 0 = x
et énergie initiale H(x) = E, alors X E (t) est solution du système (S E )
avec, X E (0) = x E = (E −1 2p, E − 1 kq) et H E (x E ) = 1. Pour E = +∞ on a
la disparition du bruit stochastique

22 PHILIPPE CARMONA
(S ∞ )
{ dq(t) = p(t) dt
dp(t) = (−1 (k2 =2)γΛp(t) − ∇ q V ∞ (q(t))) dt
6.3. L’étude de la dynamique à l’infini. — En haut de la montagne
on n’entend pas de bruit, et donc on ne cherche qu’une chose, c’est de
redescendre la pente de potentiel : en conséquence il y a acquisition de
vitesse.
Lemme .15. — Etant donné τ > 0, il existe c τ > 0 telle que
inf
{x:H ∞(x)=1}
∫ τ
0
‖Λp ∞ (s)‖ 2 ds ≥ c τ .
Démonstration. — Soit en effet x(t) une solution de S ∞ , issue de x ≠
(0, 0) et supposons que
∫ τ
0
∥ Λp(s)
2 ∥ ∥ ds = 0
Alors, pour i = 1, 2, p i (s) = 0, donc q i (s) = C i est constante sur [0, τ],
et donc sur cet intervalle
c’est à dire, pour i = 1,
0 = p˙
i = −ǫγp i − ∂ qi V ∞ (q) = −∂ qi V ∞ (q)
∂U (2)
∞ (C 1 − q(t)) = −∂U (1)
∞ (C 1 ) .
En vertu de l’hypothèse de non dégénérescence cela entraîne que soit
q 2 (t) = C 1 soit on peut inverser et obtenir q 2 (t) = C 2 sur cet intervalle.
Donc p 2 = 0 et de proche en proche on montre que les q i sont constantes
sur cet intervalle. Toujours en vertu de l’hypothèse de non dégérescence,
ce la entraîne que sur [0, τ], q(t) = C ∈ R n et ∇V ∞ (C) = 0 donc C = 0
ce qui est contradictoire.
Par continuité par rapport aux conditions initiales, l’application x →
∫ τ
0 ‖Λp(s)‖2 ds est continue et strictement positive sur le compact K =
{x : H ∞ (x) = 1}, puisque K ne contient pas 0. Elle y atteint donc son
minimum c τ , qui est donc strictement positif.

FONCTIONS DE LYAPUNOV ET DIFFUSIONS 23
6.4. Preuve de l’existence et l’unicité de la mesure invariante.
— Celle ci est mutatis mutandis identique à la preuve dans le cas d’une
particule et d’un réservoir.
Rappelons que nous raisonnons par l’absurde et donc qu’ il existe ǫ > 0
et x n tel que H(x n ) = E n ↑ +∞, vérifiant
P t0 W(x n )
W(x n )
≥ ǫ.
A la solution (X t ) t≥0 issue de x n , on associe le processus changé d’échelle
(X En (t)) t≥0 , issu de ¯x n tel que
H En (¯x n ) = 1 = ¯p2 n
2 + 1 V (E 1 k n ¯q n )
E n
Vu les propriétés de croissance à l’infini du potentiel V , la suite ¯x n reste
dans un compact et admet donc une sous suite convergente, que nous
noterons encore ¯x n → ¯x ∞ . Par continuité H ∞ (¯x ∞ ) = 1 et par continuité
de la solution d’une équation différentielle stochastique par rapport aux
conditions initiales, et aux paramètres, ceux ci restant dans un compact,
on en déduit que, si on réalise ces solutions par rapport au même mouvement
Brownien,
[
]
E sup(X En (t) − X ∞ (t)) 2 −−−−→ 0 .
t≤τ
n→+∞
6.5. Conclusion. — Nous avons obtenu dans les deux cas une contradiction,
donc nous pouvons conclure à la convergence exponentielle vers
une unique mesure de probabilité invariante.
6.6. Analyse des hypothèses H1 et H2. —
Interaction sans “pinning”. — Si par exemple U ∞ (1) = 0 et U ∞ (2) (q) =
1
2 q2 . Alors on ne peut pas appliquer les techniques précédentes car la
dynamique est dégénérée et l’équation ∇V ∞ (C) = 0 admet des solutions
non nulles q i = C, ∀i.
6.7. Interactions quadratiques. — On suppose que U (1) (q) = q 2 et
U (2) (q) = αq 2 pour un α > 0. C’est le potentiel le plus petit que l’on
peut considérer. Alors, k 1 = k 2 = 2 et
V E (t) = V ∞ (t) = V (t) = ∑ i
q 2 i + α ∑ i
(q i − q i+1 ) 2 .

24 PHILIPPE CARMONA
La fonction q → ∂U (2) (q) = 2αq est bien inversible, et ∂ 2 U (2) = 2α > 0.
Il nous reste à vérifier que l’équation ∇V (q) = 0 admet comme unique
solution q = 0. On obtient,
⎧
⎪⎨
0 = ∂ q1 V = 2q 1 + 2α(q 1 − q 2 )
(18) 0 = ∂ qj V = 2q j + 2α(2q j − q j+1 − q j−1 ) (2 ≤ j ≤ n − 1)
⎪⎩
0 = ∂ qn V = 2q n + 2α(q n − q n−1 )
C’est une équation récurrente linéaire dont la solution générale est q j =
ar j 1 + brj 2 , avec r 1 et r 2 les deux solutions, distinctes, de l’équation caractéristique
:
(19) x 2 − (2 + 1 α )x + 1 = 0 ,
(le discriminant est strictement positif).
Les deux équations extrêmes nous donnent alors un système linéaire de
deux équations à deux inconnues a, b:
dont le déterminant est
a(r 2 1 − 2r 1) + b(r 2 2 − 2r 2) = 0
a(r n 1 − 1 2 rn−1 1 ) + b(r n 2 − 1 2 rn−1 2 ) = 0
∆ = (r 2 1 − 2r 1 )(r n 2 − 1 2 rn−1 2 ) − (r 2 2 − 2r 2 )(r n 1 − 1 2 rn−1 1 )
En utilisant l’équation caractéristique (19), l’équation ∆ = 0 est équivalente
à
r 1 − 1
ur 1 + v = r 2 − 1
ur 2 + v
Donc l’équation r−1 = cte a deux solutions distinctes r ur+v 1, r 2 ce qui est
absurde. Don ∆ ≠ 0 et l’unique solution du système est a = b = 0 ce qui
impose q j = 0 pour tout j.
Références
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January 6, 2006
Philippe Carmona, Philippe Carmona, Laboratoire Jean Leray, UMR
6629, Université de Nantes, BP 92208, F-44322 Nantes Cedex 03 BP
E-mail : philippe.carmona@math.univ-nantes.fr