La représentation de l'information - IIHE

La représentation de l’information 

• Technologie : système à 2 états stables 

(binaire) 

• Représentation de : 

— Données numériques 

— Texte 

— Instructions 

— Images 

— Son 

— … 

Année préparatoire Licence Informatique (ULB/UMH) Charleroi. Fonctionnement des ordinateurs. Chapitre 3 

D. Bertrand 1

Le système binaire 

• Elément de base : le bit (binary digit; 0, 1) 

• Groupement en : 

— octets (bytes) : 8 bits (2 3 ) 

— mots (words) : 2 n octets (n = 1, 2 ou 3 actuellement !) 

• Unité de base : l’octet 


D. Bertrand 2

Les puissances (de 10 de 2) 

Kilo : 10 3 = 1.000 2 10 =1024 

Méga : 10 6 = 1.000.000 2 20 =1.048.576 

Giga : 10 9 = 1.000.000.000 2 30 =1.073.741.824 

Téra : 10 12 = 1.000.000.000.000 2 40 =1.099.511.627.776 

Péta : 10 15 = 1.000.000.000.000.000 2 50 =1.125.899.906.842.624 

NB. 1 Moctet = 8x2 20 = 2 3 x2 20 = 2 23 = 8.388.608 bits 

milli : 10 -3 = 0,001 

micro : 10 -6 = 0,000001 

nano : 10 -9 = 0,000000001 

pico : 10 -12 = 0,000000000001 

femto : 10 -15 = 0,000000000000001 


D. Bertrand 3

La numération par addition 

• Les symboles conservent leur valeur 

• Leur juxtaposition les additionne (soustrait) 

• Les chiffres romains : 

I , II , III , IV … 

• Arithmétique difficile ! 


D. Bertrand 4

La numération par position 

• Définition d’une base 

• La base détermine le nombre de symboles 

• La position multiplie le symbole par la 

puissance correspondante de la base 

• Exemple système décimal : base = 10 

10 symboles : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 


D. Bertrand 5

2837 10 = 7x10 0 + 3x10 1 + 8x10 2 + 2x10 3 

Généralisation : n i est le chiffre en position i et b est la base 

m 

∑ m m-1 2 1 0 i 

i=0 

(n n ...n n n ) = n × b 

Système octal : base 8, 8 symboles (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7) 

5425 8 = 5x8 0 + 2x8 1 + 4x8 2 + 5x8 3 = 2837 10 

Système binaire : base 2, 2 symboles (0, 1) 

101100010101 2 = 

1x2 0 +0x2 1 +1x2 2 +0x2 3 +1x2 4 +0x2 5 +0x2 6 +0x2 7 +1X2 8 +1X2 9 +0x2 10 +1X2 11 

= 2837 10 

i 


D. Bertrand 6

Système hexadécimal : base 16, 16 symboles (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 

A[10], B[11], C[12], D[13], E[14], F[15]) 

B15 16 = 5x16 0 + 1x16 1 + 11x16 2 = 2837 10 

Les seize premiers nombres 

binaire octal hexadécimal décimal 

0000 00 0 00 

0001 2 1 01 1 01 

0010 02 2 02 

0011 2 2 03 3 03 

0100 04 4 04 

0101 05 5 05 

0110 06 6 06 

0111 2 3 07 7 07 

1000 10 8 08 

1001 11 9 09 

1010 12 A 10 

1011 13 B 11 

1100 14 C 12 

1101 15 D 13 

1110 16 E 14 

1111 17 F 15 


D. Bertrand 7

Passage d’une base à l’autre 

Rappel passage de la base b à la base 10 : 

m 

∑ 10 i 

i=0 

x = n × b 

i 

q 

q 

Passage de la base 10 à la base b : Divisions successives 

x 

10 

= (nmn m-1...n2n1n 0) 

x 

10 

=q 

0.b+n 

n 

0 

0 est le reste de la division de x par b 

q = (n n ...n n ) q 0 est le quotient de cette division 

q 

q 

0 m m-1 2 1 

0 1 1 

1 

m−1 

=q .b+n 

=q 

2.b+n2 

. 

=q .b+n 

m-2 m-1 m-1 

=0.b+n 

m 


D. Bertrand 8

Exemple 

Transformation du nombre 2837 10 en octal : 

2837 8 

24 354 8 

43 

32 

40 34 

44 8 

3 7 32 40 

5 

32 2 

4 

5 

2837 10 = 5425 8 


D. Bertrand 9

Passage d’une base b à une base b k 

• Regrouper les chiffres k par k 

• Transformer chaque groupe en chiffre de la base b k 

Exemple : passage de la base 2 à la base 2 3 (8) k = 3 

101100010101 2 = 101 2 100 2 010 2 101 2 = 5 8 4 8 2 8 5 8 = 5425 8 

passage de la base 2 à la base 2 4 (16) k = 4 

101100010101 2 = 1011 2 0001 2 0101 2 = B 16 1 16 5 16 = B15 16 

• La transformation inverse se réalise en remplaçant 

chaque chiffre de la base b k par k chiffres de la base b. 


D. Bertrand 10

Entiers non signés ( ≡ positifs) 

Mémoire organisée logiquement en entités de w bits correspondant à 

des multiples d’octets : 

2 octets (w=16 bits) : demi mot 

4 octets (w=32 bits): mot 

8 octets (w=64 bits): mot long 

La représentation binaire est complétée par des " 0 " en tête de mot 

Exemple: 2837 10 dans un demi mot (w = 16): 0000 1011 0001 0101 2 

Le plus grand nombre pouvant être représenté sur 16 bits est : 

1111 1111 1111 1111 2 = 1 0000 0000 0000 0000 2 – 1 = 2 16 - 1 

L'intervalle d'une représentation sur w bits est : [ 0, 2 w - 1 ] 


D. Bertrand 11

Entiers signés 

Le signe est une information binaire ( + ou -) 1 bit (0 ou 1) 

La longueur de l'entité réservée au nombre est raccourcie d'une unité 

Exemple (w=16): +2837 10 0000 1011 0001 0101 2 = B15 16 

- 2837 10 1000 1011 0001 0101 2 = 8B15 16 

Intervalle accessible : [ - (2 w-1 -1) , 2 w-1 -1 ] 

35605 10 ! 

Convention !!!! 

Deux problèmes : 1) 2 représentations du zéro : 

+0 0000 0000 0000 0000 = 0000 16 

-0 1000 0000 0000 0000 = 8000 16 

2) Arithmétique compliquée : 

Soustraction ≠ addition nombre négatif 


D. Bertrand 12

Complément à un 

-n 2 w -n -1 

Solutions 

+2837 10 0000 1011 0001 0101 2 = B15 16 

- 2837 10 1111 0100 1110 1010 2 = F4EA 16 

Tous les bits sont inversés 

Arithmétique OK mais : 

Deux zéros 

Problème de parité ! 

Complément à deux 

+0 0000 0000 0000 0000 = 0000 16 

-0 1111 1111 1111 1111 = FFFF 16 

Intervalle : [ - (2 w-1 -1) , 2 w-1 -1 ] 

+2837 

-n 2 w 10 0000 1011 0001 0101 2 = B15 16 

-n 

- 2837 10 1111 0100 1110 1011 2 = F4EB 16 

Tous les bits sont inversés 

puis +1 

0 0000 0000 0000 0000 = 0000 

Arithmétique OK 

16 

Un zéro 

Intervalle : [ - 2 w-1 , 2 w-1 -1 ] 

Pas de problème de parité 


D. Bertrand 13

Les réels 

La représentation à virgule fixe 

Exemple : 2837,51 10 = 1x10 -2 + 5x10 -1 + 7x10 0 + 3x10 1 + 8x10 2 + 2x10 3 

Définition: partie entière (longueur m) 

partie fractionnaire (longueur k) 

m+k=w (longueur de l'entité) 

m = 4; k = 2 

Généralisation : 

m-1 

∑ m-1 m-2 2 1 0 -1 -2 -k i 

i=-k 

(n n ...n n n ,n n ...n ) = n × b 

i 

En binaire : m = 8; k = 3 : 10011010,101 2 

1x2 -3 + 0x2 -2 + 1x2 -1 + 0x2 0 + 1x2 1 + 0x2 2 + 1x2 3 + 1x2 4 + 0x2 5 + 0x2 6 + 1x2 7 

= 154,625 10 


D. Bertrand 14

Transformation inverse 

14,42 10 binaire (m=8, k=8) ? 

14,42 = 14 + 0,42 

14 10 =00001110 2 

0,42 × 2 = 0,84 

0,42 10 = 0, 01101 

011 

0,84 × 2 = 1,68 

0,68 × 2 = 1,36 

0,36 × 2 = 0,72 

0,72 × 2 = 1,44 

0,44 × 2 = 0,88 

0,88 × 2 = 1,76 

0,76 × 2 = 1,52 

= 0,41796875 10 

14,42 10 = 00001110,01101011 2 

Précision ! 

0,01101011 2 = 0 ×2 -1 +1 ×2 -2 +1 ×2 -3 +0 ×2 -4 

+1 ×2 -5 +0 ×2 -6 +1 ×2 -7 +1 ×2 -8 

NB. 1 bit de plus : 0,011010111 2 =0,419921875 10 


D. Bertrand 15

Précision … 

Mot de longueur w intervalle -2 w-k-1 < r < 2 w-k-1 (Complément à 1) 

-2 w-k-1 ≤ r < 2 w-k-1 (Complément à 2) 

Conséquence : à longueur de mot (w) constante 

Grande précision k grand : petits nombres 

Grands nombres k petit : petite précision 

Exemple (en décimal) : 

w=7; k=5 (5 chiffres derrière la virgule) intervalle [-9,99999 , 9,99999] 

w=7; k=0 intervalle [-999999 , 999999] 

Pour augmenter la taille des nombres k négatif 

w=7; k =-3 intervalle [-999999000 , 999999000] 

± 999999 x 10 -k 


D. Bertrand 16

Représentation en virgule flottante 

Notation du type "ingénieur" : 

1,37603x10 1 ATS 

4,03399x10 1 BEF 

1,95583x10 0 DEM 

1,66386x10 2 ESP 

5,94573x10 0 FIM 

6,55957x10 0 FRF 

7,87564x10 -1 IEP 

1,93627x10 3 ITL 

= 1 € 

6 chiffres exacts 

taille du nombre puissance de 10 

Du très petit (1,67262 x 10 -27 : masse du proton en kg) 

Au très grand (6,02214 x 10 23 : nombre d'Avogadro) 

avec la même précision 


D. Bertrand 17

En binaire 

Signe (1 bit) 

Exposant (puissance de 2) 

Mantisse (en virgule fixe) normalisation !! 

m=1 k=23 

exemple : +0,11010000000000000000000 x 2 3 = 0,8125 x 8 = 6,5 10 

0 00000011 11010000000000000000000 

signe(s) exposant(e) mantisse(m) 

Technicalités : 

La convention IEEE : 

• L'exposant est incrémenté d'un décalage 

(pour éviter les représentations négatives) 

• L'exposant peut-être appliqué à un nombre X 

où X est une puissance de 2 (2 p ) 

• Le bit le plus significatif de la mantisse est non nul 

1 8 23 bits 

s 1,m x 2 e s e+127 m 


D. Bertrand 18

Caractères, texte et symboles spéciaux 

Version ”codée” du caractère 

D'abord utilisée pour représenter les chiffres decimaux : 

10 symboles (0, 1,…, 9) 4 bits (2 4 = 16 possibilités) 

La convention BCD (Binary Coded Decimal) : 

Chiffre BCD 

0 0000 2 

Les 6 derniers nombres : 

1 0001 2 

de 1010 

2 0010 2 1111 2 utilisés pour les 

2 

. symboles ”speciaux” ”!”, ”.”, ” * ”, ”:”, … 

. 

9 1001 2 

Exemple : 853.91 representé par : 1000 0101 0011 1011 1001 0001 2 

NB. 1000 0101 0011 1011 1001 0001 2 = 853B91 16 = 8,731,537 10 


D. Bertrand 19

Extensions 

6 bits 64 symboles; 7 bits 128 symboles; 8 bits 256 symboles 

ASCII (American Standard Code for Information Interchange) : 7 bits 

EBCDIC ( Extended Binary Coded Decimal Interchange Code) : 8 bits 

Caractère 

ASCII 

0 011 0000 2 

1 011 0001 2 

2 011 0010 2 

. . 

. . 

9 011 1001 2 

A 100 0001 2 

B 100 0010 2 

C 100 0011 2 

. . 

. . 

Z 101 1010 2 

a 110 0001 2 

b 110 0010 2 

. . 

. . 

EBCDIC 

1111 0000 2 

1111 0001 2 

1111 0010 2 . 

1111 1001 2 

1100 0001 2 

1100 0010 2 

1100 0011 2 . . 

1110 1001 2 

1000 0001 2 

1000 0010 2 . . 

Sept bits ? 

detection des erreurs 

8 ème bit : test de parité 

Parité paire : 

nombre pair de bits ”1” 

ex.: ”A” : 0100 0001 

(2 bits ”1”) 

Parité impaire : 

nombre impair de bits ”1” 

ex.: ”A” : 1100 0001 

(3 bits ”1”) 


D. Bertrand 20

y 

Les images (vecteurs) 

(x 2 ,y 2 ) 

z 

(x 2 ,y 2 ,z 2 ) 

(x 1 ,y 1 ,z 1 ) 

(x 3 ,y 3 ,z 3 ) 

(x 1 ,y 1 ) 

2 dimensions (plan) 

y 

2 x 2 entiers : coordonnées 

de début et de fin 

Taille des nombres ≡ résolution du milieu 

Ecran : 1024 points x768lignes; 

1280 points x1024lignes. 


x 

3 dimensions (espace) : 

”Meshes” : 3 x 3 entiers : 

sommets du triangle 

2 réels : cosinus directeurs 

de la normale : 

Réflexion de la lumière 

D. Bertrand 21 

x

Lesimages(”bit maps”) 

0000000100000000 

0000001010000000 

0000000100000000 

0000010001000000 

0000001010000000 

0000100000100000 

0000000100000000 

0000010001000000 

0001000000010000 

0000001010000000 

0000100000100000 

0010000000001000 

0000010001000000 

0001000000010000 

0100000000000100 

0000100000100000 

0010000000001000 

1111111111111110 

0001000000010000 

0100000000000100 

0010000000001000 

1111111111111110 

0100000000000100 

0100000000000100 

0100000000000100 

1111111111111110 

0100000000000100 

0100000011100100 

0100000000000100 

0100000000000100 

0100000000000100 

0100000011100100 

0100100000000100 

0100000000000100 

0101010011100100 

0100000011100100 

0100100000000100 

0101010000000100 

0100000000000100 

0101010011100100 

1111111111111110 

0100100000000100 

0101010000000100 

0101010011100100 

1111111111111110 

0101010000000100 

1111111111111110 


2 couleurs : 1 bit 

Noir/blanc (0/1) 

4 niveaux de gris : 2 bits 

00 noir 

01 gris foncé 

10 gris clair 

11 blanc 

8 couleurs : 3 bits 

000 noir 

001 rouge 

010 vert 

011 jaune 

100 bleu 

101 magenta 

110 cyan 

111 blanc 

D. Bertrand 22

Inflation mémoire … 

256 couleurs 8 plans de mémoires (256 = 2 8 ) 

Plus de couleurs Plus de plans de mémoires 

Solution possible … 

La palette de couleur : 

Définition d'une ”video look-up table” (ou table de couleur ou ”color map”) 

Ex. : choix de 256 couleurs dans une palette de 16,777,216 possibilités 

La mémoire de 8 plans est utilisée comme index 

d'une table de 256 (2 8 ) mots de 24 bits (2 24 = 16,777,216) : 

bbbb bbbb vvvv vvvv rrrr rrrr 2 

bits ”bleus” 

bits ”verts” 

bits ”rouges” 

Du léger (0000 0001 2 

) à l'intense (1111 1111 2 

) rouge, vert, bleu 

01 16 

FF 16 


D. Bertrand 23

H 

Son … 

Intervalles de temps 

Fréquence d'échantillonnage 

Ex.: 0,0001 s 10 kHz 

CD-ROM qualité HI-FI : 

t 

Fréquence 44,1kHz (NB. Transmission tél. : 3kHz) 

Résolution 16 bits 

Une minute musique stéréo : 

2 x 2 x 60 x 44.100 ≈ 10 Moctets 

canaux octets sec échantillons 

Vitesse de transmission : 

16 

bits 


Divisions échelle verticale (# de bits) 

Résolution 

Ex.: 16 bits 65536 divisions 

x 44.100 ≈ 1,4 Mbits/s 

échant./s 

Capacité CD-ROM : 

650 Moctets 

65 min. de musique 

D. Bertrand 24

La représentation de l'information - IIHE

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