Hydrodynamique et Tension superficielle - ENS Cachan

TP de Physique Générale n ◦ 5
Hydrodynamique et Tension superficielle
Laurent Bacri et François Treussart
9et12novembre1999
Références
[1] E.Guyon et J.-P.Hulin et L.Petit. Hydrodynamique physique. InterÉdition-CNRS, 1991.
[2] D.J. Tritton. Physical Fluid Dynamics. Oxford Science Publishing, 1991.
[3] L. Quaranta. Dictionnaire de Physique expérimentale : La Mécanique (Tome 1). Éd.
Pierron, 1992.
[4] M. Rieutord. Une introduction à la dynamique des fluides. Masson, 1997.
[5] Tensions superficielles et interfaciales. Techniques de l’Ingénieur, Chapitre K 475.
Poste n ◦ 1: Écoulements visqueux (Couette plan et Poiseuille)
Ce régime d’écoulement correspond à des nombres de Reynolds Re ≪ 1. Dans le cas
d’un écoulement stationnaire, il satisfait l’équation de Stokes grad P = ρg + η∆v.
1) Écoulement de Couette plan
Il s’agit de l’écoulement engendré par une contrainte de cisaillement à la surface d’un
liquide.
Manipulations proposées On dispose d’une cuve remplie de glycérol. À l’aide d’une
seringue, on dépose un filet vertical de glycérol coloré dans la cuve. On met ensuite en
mouvement la surface en déplaçant à vitesse constante une plaque de plexiglas. Observer
l’évolution du filèt d’encre. Inverser le sens du mouvement. Que se passe-t-il? Dépendance
avec la vitesse et le rythme du déplacement?
1

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2) Écoulement de Poiseuille
Rappels théoriques L’écoulement dit de Poiseuille est un écoulement visqueux unidimensionnel,
à travers un tube long (longueur L) de faible section (diamètre d =2R, R le
rayon) par exemple. Dans une telle configuration, l’équation de Navier Stokes possède
une solution analytique et conduit à la loi donnant le débit volumique à travers le tube en
fonction de la viscosité η et du gradient de pression imposé ∆P/L:
Q =
π ∆P
128η L d4 . (1)
Différents régimes d’écoulements, du laminaire au turbulent, peuvent être explorés, en
fonction du nombre de Reynolds Re ≡ Vd ,où V représente la vitesse moyenne de
η/ρ
l’écoulement. Re représente le paramètre de contrôle de la transition vers la turbulence.
Manipulations proposées Le réservoir d’eau est fermé par un tube plongeant dans le
liquide permettant ainsi d’imposer la pression atmosphérique à son extrémité inférieure.
La différence de pression est ainsi constante pendant toute la durée de l’expérience et égale
à la pression hydrostatique ρg∆h, où∆h représente la distance séparant le tube horizontal
de la base du tube vertical.
– Mesurer le débit volumique pour différents gradients de pression imposés. En déduire
la viscosité de l’eau η.
– Transition vers la turbulence [1, p.164]. Pour visualiser les différents régimes d’écoulement
et estimer le nombre de Reynolds critique Re c ,représenter le coefficient C d
caractérisant le frottement dans le tube, C d ≡ 8η/ρV R, en fonction de Re.
IMPORTANT: validité de la relation (1)? L’écoulement de Poiseuille ne s’établit
pas immédiatement à l’entrée du tube. Il apparaît à cet endroit un profil de couche limite
du type de celui de Blasius, qui s’étend typiquement sur une longueur z ≃ dRe/30
(voir [2, pp.14-16]) 1 . À la limite du régime laminaire Re ≃ 2000, ce qui conduit àune
longueur d’établissement de l’écoulement de Poiseuille de l’ordre de z ≃ 29 cm, cas le
plus défavorable. Cette longueur n’est pas négligeable devant la longueur du tube (L =1,50
m), et en toute rigueur il faudrait en tenir compte dans notre interprétation de l’expérience,
ce qui n’est pas chose aisée. La perte de charge subie par le fluide dans cette portion du
tube n’est pas connue (nous pourrions la mesurer avec un autre dispositif, soit une colonne
verticale de type tube de Venturi, soit un capteur de pression in situ), ce qui ne nous
permet pas de savoir précisément à quel gradient de pression est soumis le fluide dans la
portion restante du tube, portion dans laquelle a lieu l’écoulement de Poiseuille auquel
nous nous intéressons.
1. Il s’agit ptobablement d’une estimation reposant sur des observations expérimentales, le problème
étant complexe àrésoudre analytiquement.

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Poste n ◦ 2: Mesure de viscosité selon Ubbelohde
L’appareil de Ubbelohde (schéma ci-contre) est un
viscosimètre à capillaire, dont le fonctionnement est
le suivant. Le liquide est versé dans le réservoir R,
puis aspiré dans le bulbe B, le tube TA étant bouché.
Le liquide s’écoule ensuite par gravité dansletube
capillaire TC lorsque le tube TA est ouvert, c’est à dire
lorsque l’ampoule A est à la pression atmosphérique.
Ainsi, il n’y a pas de gradient de pression le long de la
colonne de liquide.
La mesure de la durée ∆t de l’écoulement d’une certaine
quantité de liquide, à travers le capillaire permet
de remonter àlaviscosité cinématique. On montre que:
schéma p.73 du Fermigier
ν = K[∆t − y(∆t)]
où K est une constante dépendant de la géométrie de
l’appareil et y une correction liée àladurée du passage
∆t. Ces deux grandeurs sont tabulées par le fabricant.
Manipulations
–Réaliser un mélange de glycérol et d’eau aux proportions de 70 à 85% en masse de
glycérol 2 , et mesurer sa viscosité en suivant la procédure décrite dans le §7 dela
notice du viscosimètre. On se reportera aux tableaux des §12 et §13 (de cette même
notice) respectivement pour la valeur de K et de y(∆t) dans notre cas particulier.
– Lorsque vous changer de solution, rincer à l’eau puis sécher à l’acétone et à l’air
comprimé .
– Confronter vos résultats avec ceux du Tab.1.
% en masse de Glycérol 0 5 10 20 40 50 60
Viscosité dyn.η (mPa.s) 1,00 1,01 1,15 1,54 3,18 5,97 8,82
Masse volumique (kg/m 3 ) 1000,00 1010,43 1021,07 1043,05 1089,97 1115,04 1141,30
Viscosité cin. ν (cSt=mm 2 /s) 1,00 1,00 1,13 1,48 2,92 5,35 7,73
% en masse de Glycérol 70 75 80 85 90 95 100
Viscosité dyn.η (mPa.s) 21,14 32,06 55,48 110,60 216,75 472,66 1573,36
Masse volumique (kg/m 3 ) 1168,83 1183,10 1197,72 1212,70 1228,07 1243,83 1260,00
Viscosité cin. ν (cSt=mm 2 /s) 18,09 27,10 46,32 91,20 176,50 380,00 1248,70
Tab. 1 : Viscosité d’un mélange glycérol–eau
Mesures avec viscosimètre de Ubbelohde
(d’après L. Bacri, Institut Curie).
2. Laisser reposer le mélange jusqu’à la disparition des microbulles d’air.

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Poste n ◦ 3: Écoulements fluides inertiels: mesure de traînée et
de portance d’une aile d’avion [3, p.328][4, p.108]
On s’intéresse ici aux contraintes auxquelles est soumise une aile d’avion dans un
écoulement laminaire de vitesse U, en fonction de l’angle d’attaque du bord de l’aile. Dans
le régime des grands nombres de Reynolds, l’air exerce sur l’aile une force de traînée
résistante T x , proportionnelle à
U 2 : T x = C x (ρ air U 2 /2)S x ,
où S x est la surface de l’aile projetée sur un plan perpendiculaire à l’axe (Ox) etC x un
coefficient sans dimension; ainsi qu’une force de portance
P z = C z (ρ air U 2 /2)S z .
L’écoulement est généré par la soufflerie métallique de “fort débit”.
Manipulations
–Réaliser le montage de la figure ci-contre, dans lequel le même dynamomètre sert à
mesurer la traînée et la portance.
– Connaissant la masse volumique ρ air , les surfaces S x et S z , et la vitesse U (mesurée
avecletubedePitot), déterminer les coefficients C x (a) etC z (a), pour différents
angles d’attaque α.
– Tracer la courbe polaire de la finesse de l’aile C z (a)/C x (a), paramétrée par α (plus
la finesse est élevée et plus la distance parcourue par l’avion planant jusqu’au sol, à
partir d’une altitude donnée, est grande). La finesse passe par un maximum correspondant
à un angle d’attaque de l’aile optimal. Le déterminer.
schéma du Quaranta de Mécanique

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Poste n ◦ 4: Visualisation d’écoulements inertiels: allées de Von
Karmann et instabilité deKelvin Helmoltz
Les expériences que nous présentons ici sont réalisées à l’aide de la soufflerie “maison”
de faible débit. Cette soufflerie permet d’explorer des régime de nombre de Reynolds (Re)
autour de la transition vers la turbulence, pour des obstacles de taille de l’ordre de 1 cm
(c’est à dire Re ∼Re c = 48).
Nous visualisons les écoulements à l’aide d’un générateur de fumée en matérialisant
des plans de coupe avec un plan laser (pipette Pasteur placé comme lentille cylindrique
sur le chemin du faisceau d’un laser He-Ne).
Observation des allées de Von Karmann autour d’un obstacle dans l’air
–Réglerledébit de la soufflerie au minimum.
– Placer un cylindre en verre (une éprouvette par ex., φ ≈ 2 cm) en position verticale
devant le jet de la soufflerie et l’éclairer par le plan laser.
– Filmer L’écoulement à l’arrière du cylindre (voir le menu MakeMovie du logiciel
Scion Image). Projeter le film image par image pour sélectionner la meilleure vue
des tourbillons.
He-Ne
Instabilité deKelvin Helmoltz [1, p.470]
Il s’agit de l’instabilité de cisaillement qui se développe à l’interface initialement plan
entre deux fluides qui glissent l’un sur l’autre (risée à la surface d’un lac par exemple) .
Pour l’observer nous disposons le plan laser verticalement en le dirigeant vers la sortie de
la soufflerie. Il apparaît des vaguelettes à l’interface entre l’air immobile de la pièce et l’air
issu de la soufflerie.
He-Ne

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Poste n ◦ 5: Mise en évidence de la tension superficielle
Longueur capillaire
A l’interface entre une goutte de liquide et le milieu environnant, s’exercent des forces
surfaciques ( γ air/liq , γ air/sol et γ sol/liq ) qui conduisent à la forme d’équilibre de la goutte,
avec un angle de raccordement θ. Lorsque cet angle est supérieur à90 ◦ ,onditquele
liquide ne mouille pas le support (le mercure sur le verre, par ex.), et qu’il le mouille dans
le cas contraire (l’éthanol sur le verre, par ex.) comme sur le schéma ci-dessous.
g air/sol.
g ar/iq. i l
q
g sol/liqḶiquide
Air
Support solide (lame de verre, ...)
L’échelle de longueur caractéristique, sur laquelle les forces surfaciques de tension superficielle
ne sont plus négligeables devant les forces volumiques de gravité, est appelée
longueur capillaire l c .
– Construire cette longueur par des arguments d’analyse dimensionnelle.
– Sachant que γ air/liq = 75 mN/m pour l’eau pure, déterminer la longueur capillaire
correspondante.
Manifestations spectaculaires
Film de savon Une tige peut rouler sur un cadre métallique.
– Tremper le cadre dans une solution savonneuse et former un film de savon.
– Poser la tige au milieu du cadre et percer l’un des côtés de la lame de savon. Que se
passe-t-il? Expliquer?
L’aiguille flottante ! Dans une autre expérience, remplir un bêcher d’eau.
– Avec vos doigts, déposer une aiguille métallique à la surface de l’eau. Qu’observezvous?
–Déposer une feuille de papier à cigarette sur la surface de l’eau puis délicatement,
avec une pince, par dessus le papier, l’aiguille préalablement séchée.
– Retirer doucement le papier à cigarette. Expliquer vos observations.
Instabilités de Rayleigh
Lorsque l’on trempe un fil de nylon dans un fluide visqueux, le film liquide est instable
et se sépare en gouttes. Soit b le rayon de la fibre, alors on peut montrer 3 que les gouttes
sont séparées d’une distance λ m telle que:
3. voir l’Annexe 1
λ m =2π √ 2 b

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b
Film liquide
Fil
l m
– Tremper le fil de nylon dans un bêcher rempli de glycérol et le tenir horizontalement.
– Mesurer les distances séparant les gouttes. Que concluez–vous?
Loi de Laplace
Soit une surface courbée de séparation entre deux fluides, il existe alors une différence
de pression ∆P entre les deux milieux :
( 1
∆P = γ
R + 1 )
R ′ ,
où R et R ′ sont les rayons de courbure principaux de la surface au point considéré.
On considère une bulle de savon de rayon R. En comptabilisant les différentes interfaces,
calculer la surpression nécessaire pour qu’une telle goutte soit en équilibre. Considérons
le montage schématisé ci-dessous, pour la mise en évidence de la loi de Laplace. Ilest
constitué d’une poire et de deux entonnoirs de tailles différentes. Ces différents éléments
sont reliés entre eux par 3 robinets R 0 ,R 1 et R 2 .
R 0
R 1
E 1
R 2
E 2
– Ouvrir les robinets R 0 ,R 1 et fermer R 2 .
– Former une bulle peu gonflée sous E 1 à l’aide de la poire et fermer R 1 .
– Ouvrir R 2 , former une bulle bien gonflée sous E 2 à l’aide de la poire.
– Fermer R 0 et ouvrir R 1 .
– Qu’observez-vous? Pourquoi?

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Profil de raccordement dans une cuve en coin
Un liquide mouillant forme un ménisque montant le long des parois du récipient.
Lorsque les bords de la cuve se rapprochent à une distance comparable à la longueur
capillaire, le liquide monte le long de la paroi (cf. ascension dans un tube capillaire, loi de
Jurin). On peut montrer que le profil y(x) de la surface du liquide dans le coin de la cuve
(qui forme un angle β ) suit une loi hyperbolique :
y(x) =
γ 1
ρg tan(β/2) x ,
où γ et ρ sont respectivement la tension superficielle et la masse volumique du liquide.
Pour la cuve que nous possédons β =7 ◦ .
Manipulations
– Remplir la cuve d’un liquide mouillant (éthanol, acétone ou eau).
– À l’aide du logiciel Scion “ Capturer ” (menu Stacks) l’image de la cuve 4 réalisée
aveclacaméra CCDet la sauvegarder sur le disque du PC Perot dans le répertoire
D:\Physique (A2)\Montée Capillaire\TP\Agreg.
– Placer les points de mesure sur l’interface (bouton à prendre dans la liste des
pictogrammes de la fenêtre de gauche). Appliquer l’opération Measure du menu
Analysis. Afficher les points de mesure avec ShowResults (les premier et dernier
points peuvent être aberrants : vous les éliminerez dans une deuxième étape, après
le transfert du tableau de points).
– Une autre méthode (plus ardue) est d’utiliser une macro. Charger la avec Load Macro
dans le menu , elle se trouve dans D:\Montée Capillaire et se nomme grille.txt.
Il faut alors isoler le bord du ménisque du reste de l’image, pour ceci vous pouvez
changer les niveaux de gris dans la fenêtre Map et utiliser l’instruction Process→
ApplyLUT. Vous pouvez également utiliser la détection de bord : Process→Find
Edges. Si vous arrivez à obtenir un profil bien défini, utiliser Options→Threshold
(quitte à changer le niveau de coupure) et Process→Binary→Make Binary et enfin
Special→Convertir une courbe en points. Vous devez indiquer l’échelle et le
nom du fichier de mesure à sauver. Exporter le tableau de point de mesure en unité
pixels dans un fichier au format .txt. Il est important d’obtenir des images bien
contrastées en jouant sur les éclairages.
– Charger ce fichier à l’aide d’Igor. Ce logiciel dispose d’un module de “ fit ” des
données. Nous avons préalablement définie par une procédure la fonction modèle
de fit :coef fit[0] + coef fit[1]/(x-coef fit[2]), où coef fit est un vecteur
de dimension 3 qui doit être initialement rempli par des valeurs voisines de celles
attendues, pour que le fit puisse être réaliser.
– Renormaliser àl’échelle réelle les pixels en mètre (prendre 3 points de mesure sur
l’image du papier millimétré).
–Déterminer coef fit[1], etendéduire la tension superficielle du liquide étudié
connaissant sa densité (ρ =0.8 g/cm3, pour l’acétone et l’éthanol).
4. Vous aurez préalablement fait l’image d’une feuille de papier millimétrée collée sur l’une des faces de
la cuve afin de mesurer l’échelle de longueur réelle.

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Poste n ◦ 6: Mesure de tension superficielle
Nous vous proposons 3 expériences permettant une mesure de γ air/liq avec des précisions
variables. Pour un même liquide, vous prendrez soin de confronter vos mesures par ces 3
techniques et vous vous assurerez de leur compatibilité compte tenu des incertitudes, avec
les valeurs tabulées dans la Tab. 2 ci dessous.
Corps pur T ref. ( ◦ C) Tension superficielle σ ref. (mN/m) dσ/dT (mN/m/K)
Acétone 25 24.02 0.112
Éthanol 20 22.39 0.0832
Eau 20 72.79 ?
Tab. 2 : Tensions superficielles des solvants “ classiques ” à t =25 ◦ C
(extrait de la réf. [5])
1–Ascension capillaire : loi de Jurin
Sous l’effet des contraintes de tension superficielle un liquide peut monter à l’intérieur
d’un tube de diamètre intérieur 2r inférieur à la longueur capillaire. Nous ferons l’approximation
que le ménisque qu’il forme avec le tube est de forme hémisphérique, de rayon de
courbure R.
– Calculer de deux façons différentes la pression P 1 dans le liquide au niveau du ménisque
en haut de la colonne de liquide.
– Egaler ces deux expressions et en déduire 5 la loi de Jurin :
2γ cos θ
h = ,
ρgr
où r représente le rayon intérieur du tube ; ρ et g respectivement la masse volumique
et la tension superficielle du liquide étudié; et θ l’angle de raccordement.
Manipulations
– À l’aide du cathétomètre, mesurer la hauteur h pour 4 diamètres de tubes différents
en choisissant par exemple l’éthanol.
–Endéduire la tension superficielle de l’éthanol (on fera l’approximation θ =0).
2–Mesure de tensions superficielles par arrachement
Cette technique consiste à mesurer la force qu’il faut appliquer à une lame de platine
pour l’extraire d’un liquide. Cette force est reliée simplement à la tension superficielle du
liquide, si l’on fait l’approximation qu’au moment de l’arrachement l’angle de raccordement
est nul. Etablir la relation liant la force mesurée F , la longueur L de la lame et la tension
superficielle γ au moment de l’arrachement.
Nettoyage Il est important de bien nettoyer la lame de platine avec une solution de
sulfochromique : ATTENTION ! Il s’agit d’un liquide très agressif :éviter tout contact
avec la peau et mettre des gants et des lunettes.
5. On notera que le rayon de courbure R de l’interface est estimé géométriquement par R = r/ cos θ.

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Procédure de calibration de la balance La balance utilisée comporte un bras avec
un contrepoids, fixé sur un fil de torsion équipé d’un petit miroir. Un spot lumineux se
réfléchit sur ce miroir et sa déviation est lue sur une échelle graduée montée à une distance
fixe de la balance.
La lame de platine étant suspendue au bout du bras, on règle la torsion du fil pour
obtenir le zéro sur l’échelle. On soustrait ainsi le poids de la lame et la lecture faite donnera
directement la force de tension superficielle. On accroche ensuite une masselotte calibrée
de 100 mg à la lame, et on règle la position du contrepoids pour obtenir une lecture de 98
dynes (force de correspondant au poids de 100 mg). Si la position du zéro a changé une
fois la masselotte ôtée, il faut procéder par ajustements successifs.
Manipulations
– Mesurer la force d’arrachement pour différents liquides.
–Endéduire la tension superficielle du liquide (on prendra pour longueur de lame de
platine L =2,0 cm). et la comparer aux valeurs obtenues par les autres méthodes.
Conclusion?
3–Mesure de tensions superficielles par stalagmométrie
Le poids des gouttes émises par un tube capillaire dépend
du rayon du tube et est proportionnel à la tension
superficielle.
Cette relation n’est pas exacte et dépend de la manière
dont se fait la rupture du filet de liquide. Pour vous
en convaincre, nous montrons dans l’Annexe 2des
images tirées des travaux de thèse encore en cours de
Yacine Amarouchene, au Laboratoire de Physique
Statistique de l’ENS Paris. Nous vous renvoyons aussi
à la lecture de [5, §2,04 page K 475-6].
Déterminer la tension superficielle du liquide en moyennant sur un nombre suffisant
de mesures (50 par exemple) pour avoir une bonne précision.
Remarque Une autre technique de mesure de tension superficielle, indirecte cette fois,
repose sur la réalisation d’onde de capillaritéà la surface d’un liquide. Nous vous renvoyons
au Poste n ◦ 7.
2r

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Poste n ◦ 7: Ondes à la surface d’un liquide
Éléments théoriques
Les ondes qui peuvent être engendrées à la surface d’un liquide (par le vent par exemple,
donnant lieu àlarisée) mettent en jeu deux mécanismes de retour àl’équilibre de la déformation:
le champ de force de gravité caractérisé par g et les forces de tension superficielle
s’appliquant sur les surfaces courbes. L’importance relative de ces deux mécanismes dépend
de la façon dont la longueur capillaire l c , caractéristique de l’échelle des phénomènes
de surface, se compare devant la longueur d’onde λ de l’onde naissante.
• Pour des ondes de longueur d’onde λ ≫ l c , le retour àl’équilibre de la déformation
est dominé par la gravité: nous observons des ondes de gravité. Il s’agit par exemple
de la houle marine.
• Lorsque la longueur d’onde λ ≪ l c ,ladéformation revient àl’équilibre sous l’effet
dominant des contraintes de tension superficielle: il s’agit d’une onde de capillarité.
On peut démontrer [1, pp.255-260] que la fréquance ν des ondes de surface obéit àla
relation de dispersion:
ν 2 = 1
4π 2 gk tanh(kh)(1 + k2 l 2 c
) (2)
où k ≡ 2π/λ représente le vecteur d’onde de l’onde de surface, et h la hauteur de liquide.
Notons qu’en régime d’eau peu profonde, c’est à dire lorsque la hauteur h est très petite
devant la longueur d’onde λ, tanh kh ≈ kh, et les ondes de gravité se propagent avec une
célérité c ≈ √ gh contrôlée uniquement par l’épaisseur de la couche de liquide. Il sera donc
nécessaire de travailler avec des profondeurs de liquide suffisamment importantes pour
pouvoir “sonder” réellement la relation de dispersion (2).
Manipulations Nous cherchons àvérifier la relation de dispersion (2) des ondes de
surface pour une profondeur de liquide de quelques mm, dans un régime où les deux
contributions, ondes capillaires et ondes de gravité doivent être prises en compte. Les mesures
permettront également d’obtenir un bon ordre de grandeur de la tension superficielle
γ eau de l’eau.
Vous disposez pour cela d’une cuve à onde équipée d’un stroboscope permettant la
projection des ondes sur un dépoli, et d’un système de pulsation d’air comprimé engendrant
des ondes de surface quasi-planes. La hauteur de liquide que vous pouvez utiliser est de
l’ordre de quelques millimètres. La mousse disposée sur le bord des parois absorbe presque
intégralement l’onde qui peut donc être considérée, avec une très bonne approximation,
comme progressive.
La fréquence du stroboscope est déduite de la courbe de calibration fournie 6 .
– Assurez vous de l’horizontalité delacuve.
– Nettoyer le fond de la cuve avec de l’alcool et la remplir ‘d’eau propre” afin d’avoir
une hauteur de l’ordre de 7 mm. Replacer la mousse sur tout le pourtour.
6. Si vous souhaitez refaire cette calibration, vous pouvez par exemple mesurer la fréquence ν du signal
détecté par une photodiode sur le trajet du faisceau haché, en fonction de la tension délivrée sur le boîtier
d’alimentation (sensée être proportionnelle à ν).

ENS Cachan, Préparation à l’Agrégation de Physique, 1999-2000 12
– Ajuster la hauteur du dispositif de pulsation pour engendrer des ondes d’amplitude
moyenne. Comment expliquez-vous la formation des franges claires sur le dépoli? De
quelle distance sont séparées deux franges consécutives, sur le dépoli? sur la surface
du liquide? Mesurer le rapport d’homothétie.
– Explorer toute la plage de variation de la fréquence d’excitation par le pulseur 7 et
relevez la longueur d’onde en collant un papier millimétré sur le dépoli par exemple.
7. Remarque pratique: pour ajuster finement la fréquence du stroboscope à celle du pulseur, vous
retoucherez plutôt légèrement la commande du pulseur dont le temps de réponse est beaucoup plus court
que celui du stroboscope.

ENS Cachan, Préparation à l’Agrégation de Physique, 1999-2000 13
Annexe 1
Calcul de la période dans l’instabilité deRayleigh 8
Soit b le rayon de la fibre et ζ l’épaisseur locale du film liquide. Soit e l’épaisseur initiale
du film et e l’épaisseur moyenne du film déformé.
L’axe des x est perpendiculaire à la fibre et l’axe des z est l’axe de la fibre. On se place
dans une symétrie cylindrique.
On considère une modulation périodique de vecteur d’onde q de l’interface, on écrit
alors :
ζ = e + x cos qz
En écrivant la conservation du volume, on aboutit àl’équation :
e = e −
x 2
4(b + e)
Lorsque la surface ondule, la pression de Laplace est modifiée à l’intérieur du film ( P 0
est la pression extérieure) :
[ 1
P = P 0 + γ
b + e − 1
(
(b + e) 2 1 − q 2 (b + e) 2) ]
x cos q
Or e ≪ b, donc:
P = P 0 + γ b 2 (
q 2 b 2 − 1 ) x cos qz (3)
Cette modulation provoque des écoulements le long de la fibre. Dans l’approximation de
lubrification, l’équation de Navier-Stokes s’écrit :
(
1 ∂
r ∂v )
= 1 ∂P
r ∂r ∂r η ∂z
ce qui s’intègre en tenant compte des conditions initiales v(b) =0et ∂v (b + ζ) =0en:
∂z
v(r) = 1 ∂p
[
r 2 − b 2 − 2(b + ζ) 2 log r ]
4η ∂z
b
Le courant J vaut alors :
J(z) =
∫
b+ζ
b
2πrv(r)dr = − ζ3
3η 2πb∂p ∂z
La relation de conservation de la masse s’écrit :
∂J
∂z +2πb∂ζ ∂t = 0 (5)
8. Extrait de la thèsedeDavidQuéré (Collège de France)
(4)

ENS Cachan, Préparation à l’Agrégation de Physique, 1999-2000 14
En rassemblant les équations (3), (4) et (5), on trouve :
∂x
∂t = e3 V ⋆
3b 4 q2 b 2 ( 1 − q 2 b 2) x
où V ⋆ = γ η
.Lafréquence σ du mode q s’écrit :
σ = e3 V ⋆
3b 4 (
q 2 b 2 − q 4 b 4)
Si σ est positif, la perturbation est amplifiée, sinon elle est amortie. C’est le mode le plus
rapide qui s’impose, et σ est maximum lorsque q = 1
b √ . Ce qui correspond à la longueur
2
d’onde mλ :
λ m =2π √ 2 b
Les ondulations du film liquide seront amplifiées, ce qui entraînera sa scission en gouttes
séparées d’une distance mλ , distance approximativement égale à 10 fois le rayon de la
fibre.

ENS Cachan, Préparation à l’Agrégation de Physique, 1999-2000 15
TP de Physique Générale n ◦ 5
Hydrodynamique et Tension superficielle
Liste du matériel nécessaire
Séances les 9 (Matin) et 12 (Après-Midi) novembre 1999
– Poste n ◦ 1 (salle 75 b): Écoulements visqueux(Couette plan et Poiseuille)
– Pour Couette plan
– 1 cuve paralèllepipédique
– du glycérol + la solution colorée de glycérol + une seringue
– une plaque de plexi. fixée au bout d’une tige
– un agitateur.
– Pour Poiseuille
–levasedeMariotte gradué avec ses bouchons et le long tube vertical
muni d’un robinet
– un tube en verre de longueur 1,50 m et de diamètre intérieur 4,30 mm et
un petit bouchon
– un grand cristallisoir sur un pieds Boy
– la balance jaune BA2100
– un chronomètre digital
– Poste n ◦ 2 (salle 75 a): Viscocimètre de Ubbelohde
– viscosimètre + support +1propipette
– glycérol + eau distillée + bêcher pour mélange
– 1 balance Scout (celle du concours d’entrée par ex.)
– 1 chronomètre digital
– Poste n ◦ 3 (salle 75 b): Écoulements fluides inertiels: traînée et portance
d’une aile d’avion
– la vieille soufflerie
– tube de Pitot (vérifier le niveau d’éthanol coloré)
– l’aile d’avion + dynamomètre

ENS Cachan, Préparation à l’Agrégation de Physique, 1999-2000 16
– Poste n ◦ 4 (salle 58): Visualisation d’écoulements inertiels: allées de Von
Karmann et instabilité deKelvin Helmoltz
– la nouvelle soufflerie
–legénérateur de fumée + liquide spécial
– 1 laser He-Ne
– 1 pipette Pasteur maitenue verticale avec une pince
–1éprouvette sur pieds Boy
–caméra N/B + PC Pérot
– Poste n ◦ 5 (salle 75 b, long de la fenêtre): Mises en évidence de la tension
superficielle
– Manifestations spectaculaires
– eau savonneuse
– cadre métallique + tige pouvant rouler dessus
– aiguille + papier à cigarette
– montage force de Laplace
– cuve en coin sur pieds + éthanol pur + PC Pérot + caméra N/B (à mettre
en salle 58)
– Instabilités de Rayleigh
–dufilàpêche (φ = 1 mm)
–1bécher contenant du glycérol
– 2 tiges verticales pour tendre le fil une fois sorti du bécher
– Poste n ◦ 6 (salle 75 a): Mesures de tension superficielle
– Loi de Jurin
– cuve + capillaires de diamètres intérieurs variables
–éthanol pur
– cathétomètre
– Balance d’arrachement
– la balance + la lame de platine
– une masse marquée de 100 mg
–unmélange sulfochromique + gants latex + lunettes de protection
– 4 petits cristalisoirs (les plus petits existant)
–del’éthanol pur, de l’acétone pur et de l’eau distillée
– 1 feutre pour écrire sur le verre
– Mesures par stalagmométrie
– une burette de chimie
–unbécher et une balance de précision

ENS Cachan, Préparation à l’Agrégation de Physique, 1999-2000 17
– Poste n ◦ 7 (salle 75 a): Ondes à la surface d’un liquide
– la cuve à onde nettoyée
– un bidon d’eau fraîchement tirée du robinet (ça suffira ici!)
– un transparent de papier milimétré + 1 feutre de couleur
– un petit réglet
– l’autre PC muni d’Igor