Estimation des termes source et puits de l'ozone dans un ... - Inra

Estimation des termes source et puits de l’ozone
dans un couvert de maîse à partir de
l’équation de conservation de
la masse
Rapport de stage présenté par
Ouafae SABER
Pour l’obtention du Diplôme d’Etudes Approfondies
‘ Equations aux Dérivées Partielles et calcul scientifique’
A Paris sud Orsay
22/09/2004
Responsable du DEA : Encadrants: Benjamin LOUBET
Serge ALINAC
Pierre CELLIER
Responsable de l’option
numérique : François ALOUGE
1

REMERCIEMENTS
Ce travail est le reflet de cinq mois et demis de stage effectué au Laboratoire
Environnements et Grandes Cultures à l’INRA de grignon, dirigée par Monsieur Pierre
cellier.
Je voudrais présenter mes remerciements et ma profonde gratitude à
Monsieur Serge ALINAC, François ALOUGE de m’avoir permis de faire ce stage.
Un grand merci pour Benjamin Loubet, pour son encadrement, sa disponibilité et son
soutien durant ce stage.
Je remercie Pierre cellier pour son encadrement, et ses conseils.
Merci à tous les membres de l’équipe Biosphère - Atmosphère du laboratoire
Environnement et Grandes Culture pour leur accueil, et gentillesse .
.
2

SOMMAIR
1 Introduction .................................................................................................... 4
1.1 Contexte................................................................................................... 4
1.2 Relation entre polluants et biosphère ...................................................... 4
1.3 Objectifs................................................................................................... 5
2 Méthodes et modèles ...................................................................................... 6
2.1 Bilan d’énergie d’un couvert végétal ...................................................... 6
2.2 Loi de conservation de la masse.............................................................. 8
2.3 Diffusivité turbulente K(z) ...................................................................... 9
2.4 Méthode d’estimation du terme source S..............................................10
2.4.1 Discrétisation de l’équation de conservation..................................10
2.4.2 Interpolation et approximation des profils de concentration..........11
2.5 Comparaison des méthodes d’approximation et d’interpolation ..........11
2.6 Utilisation de profils moyens.................................................................15
3 Résultats........................................................................................................17
3.1 Termes sources pour O 3 , H 2 O , Ta et CO 2 dans le couvert ...................17
4 Conclusions ..................................................................................................22
REFERENCES....................................................................................................23
3

1 Introduction
1.1 Contexte
La pollution atmosphérique présente toujours un grand danger pour la santé des êtres
vivants, les humains, les animaux, ainsi que les plantes. L’ozone (O 3 ) fait partie des polluants
dangereux affectant les écosystèmes naturels ou cultivés en raison de son fort pouvoir
oxydant, et de ses concentrations importantes dans l’air (de quelques µg m -3 à quelques
dizaines de µg m -3 ). Il agit fortement sur le fonctionnement de la plante.
C’est un polluant secondaire qui se produit à partir des polluants primaires (les oxydes d’azote
(NO x ) , et les composés organiques volatils (COV) par les réactions photochimiques :
rayonnement UV
NO 2 + O 2 → NO + O 3 (de jour)
Près des surfaces naturelles, il se dépose selon 3 voies :
1) Stomatique.
2) Cuticulaire.
3) sur le sol.
et il peut être détruit par réactions chimiques en phase gazeuse dans le couvert végétal.
Les principales réactions chimiques de destruction de l’ozone sont les suivantes :
NO +O 3 → NO 2 + O 2 (temps de réaction : 1 minute)
NO 2 + O3 → NO 3 + O 2 (temps de réaction : 12 heures)
NO 3 + NO 2 → N 2 O 5 (la nuit)
1.2 Relation entre polluants et biosphère
Pour lutter contre cette menace que représente la pollution atmosphérique, il est
important de comprendre les interactions entre polluants et biosphère.
4

Zone
urbaine
Zones
rurales
Chimie
atmosphérique
O 3
NO x
dépôt sec
NH 3
C O V
dépôt sec
Emission
Impact
Impact
figure 1 : schéma d’ensemble des processus étudiés dans le projet BioPollAtm
La végétation est affecté par les dépôts d’ozone(effet dont j’ai parlé au dessus),mais le
dépôt contribue aussi à « déplacer » l’atmosphère, ce qui est un effet positif. Par ailleurs, les
végétations émettent COVs biogénétiques(qui peuvent contribuer à augmenter la pollution à
l’ozone,(effet négatif). Car ils peuvent directement influencer le devenir des polluants et
déterminer l’impact de la pollution de l’air sur la végétation et les zones d’impact de la
pollution atmosphérique sur la biosphère.
Les sources et puits de polluants peuvent donc directement influencer le devenir des polluants
et l’impact de la pollution de l’air sur la végétation ainsi que les zones d’impact de la
pollution atmosphérique sur la biosphère.
1.3 Objectifs
Dans le cadre du projet BioPollAtm, l’INRA a réalisé des expérimentations en 2002 sur
un champ de maïs, pendant lesquelles ont été mesurés les flux et les concentrations d’O 3 , CO 2
5

NO x , H 2 O ainsi que la température de l’air à plusieurs niveaux dans le couvert végétal. Ces
informations sont destinées à déterminer les termes sources et puits de polluants dans le
couvert végétal
Dans ce cadre, au cours de mon stage, je me suis intéressée plus particulièrement à analyser
les sources et puits d’H 2 O, de CO 2 , d’O 3 , et de chaleur, puis à trouver des méthodes
mathématiques (numériques) pour estimer les sources et puits de ces composés à partir des
concentrations mesurées à différents niveaux.
2 Méthodes et modèles
Dans toute la suite, nous nous plaçons dans le cas d’un couvert végétal uniforme
horizontalement, ce qui permet de faire l’hypothèse que les transferts se font selon la direction
verticale (z) uniquement.
2.1 Bilan d’énergie d’un couvert végétal
Le bilan d’énergie traduit, pour un système donné, la loi de conservation de l’énergie. Il
prend la forme générale suivante :
∑Fe - ∑Fs =∆St (1)
où ∑Fe et ∑Fs représentent respectivement la somme des flux entrant dans le système et
sortant du système, tandis que ∆St désigne la variation du terme de stockage. Les échanges Fe
et Fs peuvent se faire dans des direction variées :échanges verticaux, échanges horizontaux au
travers des faces « latérales » du système par exemple ::
Fe1
Fe2
Fs2
Fs1
Figure 2 : Echanges d’énergie d’un système donné.
Dans le cas des milieux naturels, l’équation (1) peut s’appliquer à toutes les échelles
d’espace (feuilles, volume élémentaire de végétation, de sol, d’atmosphère, parcelle agricole,
6

lac ,…….), ainsi qu’à toutes les échelles de temps. Les échanges d’énergie mis en jeu
dépendent du système choisi et se font sous de multiples formes et selon des processus
physiques différents.
Nous nous limiterons, dans notre travail, au bilan d’énergie à l’échelle de la parcelle agricole,
précisément, d’un couvert végétal uniforme d’extension horizontale suffisante, avec
l’hypothèse que les transferts se font selon la direction verticale, et les échanges latéraux sont
négligés. Nous négligerons le stockage d’énergie dans la végétation.
Les échanges d’énergie au niveau du couvert végétal se réduisent aux échanges radiatifs, aux
échanges convectifs (avec l’atmosphère) et aux échanges par conduction (avec le sol).
L’énergie mise en jeu par la photosynthèse est faible, et est généralement négligée.
Le bilan d’énergie se résume alors à:
Rn = H + L E + F s
Rn : rayonnement net (échanges radiatifs)
H : flux de chaleur sensible (échanges convectifs)
LE : flux de chaleur latente (échanges convectifs)
F S : flux de conduction dans le sol (échanges par conduction).
Par analogie avec les lois de la diffusion, l’expression générale des flux diffusifs est la
suivante:
F= -K grad(c) ou encore F= -K ∂c/∂z (uniformité horizontale)
F est la densité de flux de chaleur (W m -2 ), c est la concentration de la grandeur physique
associée au flux considéré, K est un coefficient de transport turbulent de dimension (L 2 T -1 ), et
z est la hauteur au-dessus du sol.
Ainsi le flux de chaleur sensible (flux de la chaleur dans l’air) se met-il sous la forme:
H = -ρ Cp K ∂T/∂z
où ρ (kg m -3 ) et Cp (J kg -1 K -1 ) sont respectivement la masse volumique et la chaleur
spécifique de l’air, T est sa température (K), et K est le coefficient de transfert turbulent pour
la chaleur sensible.
Le flux de chaleur latente s’écrit:
L E = -L ρ K ∂q/∂z
7

où L (J kg -1 ) est la chaleur latente de vaporisation. K est le coefficient de transfert turbulent de
masse (en général égal à celui pour la chaleur sensible) ; q désigne l’humidité spécifique de
l’air (kg d’eau kg -1 d’air).
Le flux conductif dans le sol (F s ) s’écrit sous la forme:
F s = - λ ∂T/∂z
λ étant la conductivité thermique du milieu (W m -1 K -1 ), z la profondeur du sol, T la
température du sol.
L’évolution des profils de température dans le sol est pilotée par l’équation de la chaleur:
∂F s /∂z = - Cp s ∂T/∂t
ou Cp s est la chaleur spécifique du sol.
On aboutit à la forme approximative:
F S = λ’ (Ts – To)/∆z
avec λ’ la conductivité thermique équivalente de la couche d’épaisseur ∆z, Ts la température
de surface du sol et To la température de la couche d’épaisseur ∆z.
2.2 Loi de conservation de la masse
La loi de conservation de l’énergie présentée ci-dessus est similaire à la loi de
conservation de la masse. Celle-ci dit simplement que l’évolution de la concentration au cours
du temps dans un volume élémentaire est égale à la somme de la divergence du flux (ici
vertical, étant donné les hypothèses dans lesquelles nous nous plaçons), et des sources
volumiques (S(z)). On a :
dc(z) /dt = dF(z)/dz + S(z)
La stationnarité de c nous donne :
dF(z)/dz= S(z) (2)
et pour estimer S(z) à partir de C(z) ou C(z) à partir de S(z), on utilise la relation de diffusion
établie précédemment :
F= -K ∂C(z)/∂z (3)
On a donc besoin de connaître K(z) dans tout le domaine que l’on souhaite étudier, c’est à
dire le couvert végétal et la couche immédiatement au-dessus.
8

2.3 Diffusivité turbulente K(z)
Nous avons retenu pour la diffusivité turbulente, les expressions données par Leuning
(1996), qui distingue plusieurs cas selon la hauteur dans le couvert végétal.
Le calcul de K(z) est basé sur l’expression suivante :
K = σ 2 w τ L .
où σ w est l’écart-type de la composante verticale de la vitesse du vent, et τ L est l’échelle de
temps lagrangienne de la turbulence. C’est le temps caractéristique des structures
tourbillonnaires responsables des échanges.
L’expression de Leuning prend en compte l’intensité du vent et la stratification thermique de
l’atmosphère.
Tableau 1 :les paramètres décrivant les trois régions donnés par Leuning :
z / h c x y θ a b d
≥0.8 z/h c σ ω / u * 0.98 0.850 1.25 -1
≥0.25 z/h c -0.8 τ L u * /h c 0.98 0.256 0.40 +1

4
3.5
4
3.5
L = -1e5 m
L=-10 m
L = 10 m
4
3.5
3
3
3
2.5
2.5
2.5
z / h c
2
2
2
1.5
1.5
1.5
1
1
1
0.5
0.5
0.5
0
0 0.5 1 1.5
0
0 1 2
τ u / h L * c
0
0 2 4
σ / u w *
K / u h * c
Figure 3 : : Profils verticaux de normalisés des expressions de σ ω / u * , l’écart type de la vitesse verticale,;
τ L u * /h c le temps scalaire Lagrangien ;et K/ u * h c la diffusivité, en fonction de la hauteur également
normalisée z / h c ;avec hc :la hauteur du couvert ; u * : une échelle de vitesse du vent. Ces profils sont
calculés pour trois valeurs de L la longueurs de Obukhov, qui indique la stabilité thermique de
l’atmosphère. Pointillés, instable ; trait continu, neutre ; trait + pointillé, stable.
2.4 Méthode d’estimation du terme source S
Le terme source est estimé à partir de l’équation de conservation (équation 2), en
utilisant la relation de diffusion (équation 3), et l’expression de K(z) présenté ci-dessus. Ces
équations continues doivent être discrétisées afin de les appliquer aux mesures.
2.4.1 Discrétisation de l’équation de conservation
On discrétise l’équation de conservation par un schéma centré, on obtient :
S(z i )=[F(z i+1/2 ) –F(z i-1/2 )] / [ z i+1/2 - z i-1/2 ]
Même chose pour
F(z i ) = -K(z i ) [C(z i+1/2 ) -C(z i+1/2 )] / [ z i+1/2 - z i-1/2 ]
La méthode utilisée a consisté à estimer F(z i ) puis S(z i ) à partir de C(z i ). Or C étant connu en
seulement 4 à 5 points dans le couvert végétal, j’ai donc testé plusieurs
méthodes pour interpoler les profils de concentration ou estimer un profil moyen .
10

2.4.2 Interpolation et approximation des profils de concentration
Il est clair qu’un nombre de 5 points par profil est insuffisant pour déterminer les
profils de concentrations à partir des sources ou l’inverse. Il n’a pas été possible d’interpoler
linéairement, car cela a crée des discontinuités, et on a besoin que les dérivées première et
seconde de C(z) soient continues (voir équations 2 et 3). Nous avons donc cherché à
interpoler les profils entre les points de mesure à l’aide de différentes méthodes.
Parmi celles-ci, j’ai utilisé une méthode d’approximation polynomiale de MatLab , avec la
fonction polyval, qui consiste à ce qui suit :
Soit y = p1*x^n + p2*x^n-1 +…….+pn*x + pn-1 un polynôme d’ordre n, x est un vecteur.
On veut interpoler la fonction au points:,x2, x1 ,x3, …….xn ; on appelle alors
Y = polyval(p, [x1 x2 x3…..xn])
avec p = [p1 p2…….pn pn-1] , les pi, i =1,…,n-1 sont les coefficients de y.
les points que nous avons pris, pour l’interpolation, sont tous les 10cm compris entre 0m et
5m.
Nous avons aussi utilisé la fonction spline (Cubic spline data interpolation) ;c’est une fonction
qui existe en matlab, son principe est d’interpoler, de trouver yy = spline(x, y, xx) les valeurs
de base de y aux points du vecteur xx. Le vecteur x est formé par les points ou y est connu.
Par ailleurs, nous avons utilisé la méthode de pchip, qui est un des moyens d’interpolation en
matlab : Piecewise Cubic Interpoling Polynomial (PCHIP). L’expression y i = pchip(x, y, x i )
nous donne yi qui concatène les éléments correspondants à ceux de xi déterminés par
l’interpolation cubique par morceaux entre les vecteurs x et y ; x étant formé par les points ou
y est connu. Le pchip nous donne les valeurs de la fonction P(x) d’interpolation dans les
points intermédiaires. Pour chaque subdivision x k

Figure 4 : : Profil de concentrations de dioxyde de Carbonne (CO 2 ). Points de mesures et les trois
méthodes d’interpolation.
En examinant cette figure, on voit bien qu’il y a une source au sol (la concentration augmente
prés du sol), un puits dans la végétation avec un minimum vers 1,5m (minimum de
concentration), et ensuite une augmentation régulière au dessus de la végétation (diffusion
turbulente).
Pour la méthode polyval, on observe qu’il y a un maximum au sol ce qui est bon, en revanche
Nous avons un minimum qui est trop bas, et aussi des oxillations au-dessus de couvert ce qui
n’est pas bon du tout, car cela induit des termes puits ou sources, qui n’existent manifestement
pas.
Regardons ce que nous a donné la méthode spline, on a un aussi un maximum au sol, ce qui
est bon, on a un minimum dans le couvert ce qui est parfait, mais on a toujours des oxillations
au-dessus du couvert.
Enfin, pour notre troisième méthode pchip, on voit clairement un maximum au sol, puis un
minimum dans le couvert (exactement à la hauteur 1,5m), et une bonne régularité au-dessus
du couvert.
12

Donc, on en conclut que la méthode qui marche le mieux est le pchip, et c’est bien celle-ci
que nous allons utiliser pour estimer le terme source dans ce qui suit.
Les Figures 5 et 6 donnent 2 autres exemples pour l’ozone et la température de l’air.
Figure 5 : Profil des variations des concentrations l’ozone(O3 )aux points de mesures, et en utilisant les
trois méthodes d’interpolation.
13

Figure 6 : Profil des variations de la température (Ta) aux points de mesures, et en utilisant les
trois méthodes d’interpolation.
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Figure 7 : Profil des variations de la vapeur d’eau(H2O) aux points de mesures, et en utilisant les
trois méthodes d’interpolation.
2.6 Utilisation de profils moyens
Compte tenu de la rapidité d’évolution des flux et de profils, ceux-ci présentent une
forte variabilité et ne correspondent pas toujours à des situations stationnaires. Pour pallier à
cet incovénient, nous avons calculé des profils moyens sur plusieurs journées. Nous avons
utilisé une méthode qui nous donne la moyenne de la concentration à une heure précise durant
les 24 heures, et (arbitrairement) pendant les 15 premiers jours d’août.
J’ai appliqué cette méthode pour les quatre composés O 3 , H 2 O, CO 2 ,et T a . Les profils obtenus
sont plus robustes et présentent moins d’irrégularités. En voici un exemple pour l’ozone
(Figures 8 et 9). On voit clairement un profil de dépôt sur la Figure 9 (moyenne), tandis que
les données horaires (Figure 8) sont plus cahotiques.
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figure 8 : profil de concentration de l’ozone (O3) le 01/08/2002 à 12h00 ; o, les points de
mesures ;le trait, est juste pour faire la liaison pour mieux voire.
16

figure 9 : profil des concentrations moyennes de l’ozone (O3) sur 15 jours, du 01/08/2002 au
15/08/2002,et à la même heure(12h00). o, points de mesures ;le trait est juste pour faire la liaison pour
mieux voir.
3 Résultats
3.1 Termes sources pour O 3 , H 2 O , Ta et CO 2 dans le couvert
Comme on vient de le constater, la moyenne a un rôle remarquable dans l’amélioration des
résultats, c’est pourquoi nous allons l’utiliser dans le calcul des termes sources.
Nous avons calculé les concentrations moyennes de nos quatre composés O 3 , H 2 O, Ta et CO 2 ,
arbitrairement à la même heure 12h00. Après, nous avons calculé les termes sources
correspondants, soit directement à partir des concentrations moyennes, soit en utilisant la
méthode pchip, et en moyennant le terme source résultant..
17

Figure 10 : profil des termes sources et puits de l’ozone (O 3 ) ; o présente ceux correspondant aux
concentrations moyennes de l’ozone (O 3 ) calculé en 15 jours, à la même heure (12 h00) ; les étoiles liées
par le trait vert correspondent aux profils moyens interpolés par la méthode du pchip.
18

Figure 11 : profil des termes source et puits de la vapeur d’eau (H2O) ; o présente ceux correspondant
aux concentrations moyennes calculées en 15 jours, à la même heures(12 h00) ; les étoile liées par le trait
vert ,les termes source et puit interpolés par la méthode du pchip .
19

Figure 12 : profil des termes source et puits de la température(Ta) ; o présente les termes source et puits
correspondant aux températures moyennes calculé en 15 jours, à la même heures(12 h00) ; les étoile liées
par le trait vert représentent les termes source et puit interpolés par la méthode du pchip .
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Figure 13 : profil des termes source et puits de dioxyde de Carbonne ; o présente les termes source et
puits correspondant aux concentrations moyennes du dioxyde de Carbonne calculé en 15 jours, à la même
heures(12 h00) ; les étoile liées par le trait vert représentent le terme source et puit interpolé par la
méthode du pchip .
Ces Figures donnent des résultats cohérents dans l’ensemble : Le couvert en milieu de journée
est une source de vapeur d’eau et de chaleur, et un puits de CO 2 . Le schéma est moins clair
pour l’ozone, pour des raisons qu’il reste à déterminer.
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4 Conclusions
L’étude que j’ai présentée dans ce rapport aura permis de tester la méthode d’estimation
des sources et puits à partir de l’équation de conservation de la masse. . Nous avons
également évalué différentes méthodes d’évaluation des profils : la méthode pchip est
meilleure que les autres, polyval et spline.
Cette méthode pchip, utilisé avec le modèle de transfert dans le couvert végétal, permet de
localiser les sources et puits en donnant des valeurs et des formes de profil d’émission et
dépôt satisfaisantes .
Les résultats obtenus sont cohérents.
La méthode est très sensible aux variations infimes du profil de concentration, aussi du profil
de K, donc, il serait intéressant de faire une étude de sensibilité aux paramètres qui décrivent
K .
En perspective, étant donné la grande sensibilité de la méthode, il serait nécessaire de
contraindre S(z) en utilisant un modèle d’échange de polluants à l’échelle foliaire, décrivant
les différents termes des échanges (stomatiques, cuticulaires).
22

REFERENCES
R.LEUNING; Estimation of scalar source/distributions in plant canopis using
Lagrangian Dispertion Analysis:Corrections for Atmospheric Stability and
Comparaison whid a multilayer canopy model; CSIRO Land and water, FC Pye
laboratory, PO Box 1666, Camberra, ACT 2601, Australia.(Received in final form 9
November 1999).
Pierre CELLIER; le rapport du projet national BioPollAtm, 2003.
Pierre CRUIZIAT, Jean-Pierre LAGOUARDE(eds)-1996-Tome1 :DE LA
PLANTE AU COUVERT VEGETAL ; ACTE de l’INRA EN BIOCLIMATOLOGIE.Le
Croisic, 3-7 avril 1995 ,670p.
23