THÈSE Études sur la filamentation des impulsions laser ... - teramobile

Chapitre 1 : État de l’art et cadre théorique
1.1 Propagation linéaire des impulsions laser dans l’air
1.1.1 De l’équation d’onde au faisceau gaussien
Dans la suite nous présenterons les principales équations de la propagation linéaire [4] des
ondes lumineuses. Nous commencerons par l’équation d’onde la plus générale, et ensuite
nous rappellerons l’équation paraxiale de Helmholtz dont la solution usuelle est la fonction
d’onde gaussienne qui décrit la propagation d’une impulsion laser.
Équation d’onde
Dans une approche ondulatoire de la lumière, une onde lumineuse vérifie l’équation d’onde :
2
2 1 ∂ U
∇ U − = 0
(1. 1)
2 2
c ∂t
2 2 2
2
2 ∂ ∂ ∂
où ∇ est l’opérateur laplacien donné par : ∇ = + + , U la fonction d’onde et c
2 2 2
∂x
∂y
∂z
la vitesse de l’onde dans le milieu de propagation.
Dans le domaine de l’optique, U représente le champ électrique E de l’onde lumineuse et c la
vitesse de la lumière dans le milieu de propagation.
Pour décrire complètement une onde lumineuse, on utilise la fonction d’onde complexe :
E( r,
t)
E(
r).exp(
iωt)
= (1. 2)
où ω est la fréquence angulaire exprimée en rd.s -1 et E(r)
l’amplitude complexe du champ
électrique exprimée en V/m et écrite sous la forme :
où ε (r)
est le module de l’amplitude complexe et ϕ(r)
E( r)
= ε ( r).exp(
iϕ(
r))
(1. 3)
sa phase exprimée en radian.
La fonction complexe E(r,t) étant une fonction d’onde, doit vérifier l’équation 1.1. Ainsi en la
substituant dans celle-ci nous obtenons l’équation de Helmholtz :
( ∇
2
2
+ k ) E(
r)
= 0
(1. 4)
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